安徽省黃山市八校聯(lián)盟2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末預(yù)測試題含解析

安徽省黃山市八校聯(lián)盟2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末預(yù)測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．劉徽是我國魏晉時期杰出的數(shù)學(xué)家，他采用了以直代曲、無限趨近、內(nèi)夾外逼的思想，創(chuàng)立了割圓術(shù)，即從半徑為1尺的圓內(nèi)接正六邊形開始計算面積，如圖是一個圓內(nèi)接正六邊形，若向圓內(nèi)隨機投擲一點，則該點落在正六邊形內(nèi)的概率為（）A． B． C． D．2．設(shè)滿足約束條件，則的最大值是（）A．-3 B．2 C．4 D．63．已知，則（）A． B．186 C．240 D．3044．已知為坐標(biāo)原點，雙曲線上有兩點滿足，且點到直線的距離為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．5．若將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A． B．C． D．6．在平面直角坐標(biāo)系中，由坐標(biāo)軸和曲線所圍成的圖形的面積為（）A． B． C． D．7．函數(shù)的圖像大致為（）A． B．C． D．8．如圖，點分別在空間直角坐標(biāo)系的三條坐標(biāo)軸上，，平面的法向量為，設(shè)二面角的大小為，則()．A． B． C． D．9．復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)是A．1+i B．1?i C．?1+i D．?1?i10．袋中有大小完全相同的2個紅球和2個黑球，不放回地依次摸出兩球，設(shè)“第一次摸得黑球”為事件，“摸得的兩球不同色”為事件，則概率為()A． B． C． D．11．已知復(fù)數(shù)z=2+i，則A． B． C．3 D．512．我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈A．1盞 B．3盞C．5盞 D．9盞二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)實數(shù)x，y滿足，則的最小值為___________.14．已知正方體的棱長為2，是棱的中點，點在正方體內(nèi)部或正方體的表面上，且平面，則動點的軌跡所形成的區(qū)域面積是______.15．若復(fù)數(shù)，則__________．（是的共軛復(fù)數(shù)）16．的展開式中的系數(shù)為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程；（2）設(shè)直線與曲線交于兩點，點，求的值.18．（12分）已知函數(shù),．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；（Ⅱ）證明:；（Ⅲ）當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的值.19．（12分）在中，內(nèi)角對邊的邊長分別是，已知，．（Ⅰ）若的面積等于，求；（Ⅱ）若，求的面積．20．（12分）已知函數(shù)，．（1）令，當(dāng)時，求實數(shù)的取值范圍；（2）令的值域為，求實數(shù)的取值范圍；（3）已知函數(shù)在，數(shù)集上都有定義，對任意的，當(dāng)時或成立，則稱是數(shù)集上的限制函數(shù)；令函數(shù)，求其在上的限制函數(shù)的解析式，并求在上的單調(diào)區(qū)間．21．（12分）已知數(shù)列{an}和b（1）求an與b（2）記數(shù)列{anbn}的前n22．（10分）某運動員射擊一次所得環(huán)數(shù)的分布列如下：89111．41．41．2現(xiàn)進行兩次射擊，且兩次射擊互不影響，以該運動員兩次射擊中最高環(huán)數(shù)作為他的成績，記為．（1）求該運動員兩次命中的環(huán)數(shù)相同的概率；（2）求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

由面積公式分別計算出正六邊形與圓的面積，由幾何概型的概率計算公式即可得到答案【題目詳解】由圖可知：，故選D.【題目點撥】本題考查幾何概型，屬于基礎(chǔ)題。2、D【解題分析】

先由約束條件畫出可行域，再利用線性規(guī)劃求解.【題目詳解】如圖即為，滿足約束條件的可行域，由，解得，由得，由圖易得：當(dāng)經(jīng)過可行域的時，直線的縱截距最大，z取得最大值，所以的最大值為6，故選．【題目點撥】本題主要考查線性規(guī)劃求最值，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解題分析】

首先令，這樣可以求出的值，然后把因式分解，這樣可以變成兩個二項式的乘積的形式，利用兩個二項式的通項公式，就可以求出的會下，最后可以計算出的值.【題目詳解】令，由已知等式可得：，，設(shè)的通項公式為：，則常數(shù)項、的系數(shù)、的系數(shù)分別為：；設(shè)的通項公式為：，則常數(shù)項、的系數(shù)、的系數(shù)分別為：，，所以，故本題選A.【題目點撥】本題考查了二項式定理的應(yīng)用，正確求出通項公式是解題的關(guān)鍵.4、A【解題分析】

討論直線的斜率是否存在：當(dāng)斜率不存在時，易得直線的方程，根據(jù)及點O到直線距離即可求得的關(guān)系，進而求得離心率；當(dāng)斜率存在時，設(shè)出直線方程，聯(lián)立雙曲線方程，結(jié)合及點到直線距離即可求得離心率?！绢}目詳解】（1）當(dāng)直線的斜率不存在時，由點到直線的距離為可知直線的方程為所以線段因為，根據(jù)等腰直角三角形及雙曲線對稱性可知，即雙曲線中滿足所以，化簡可得同時除以得，解得因為，所以（2）當(dāng)直線的斜率存在時，可設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程可得化簡可得設(shè)則，因為點到直線的距離為則，化簡可得又因為所以化簡得即所以，雙曲線中滿足代入化簡可得求得，即因為，所以綜上所述，雙曲線的離心率為所以選A【題目點撥】本題考查了雙曲線性質(zhì)的應(yīng)用，直線與雙曲線的位置關(guān)系，注意討論斜率是否存在的情況，計算量較大，屬于難題。5、A【解題分析】

利用三角恒等變換化簡的解析式，再根據(jù)的圖象變換規(guī)律求得的解析式，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【題目詳解】解：將函數(shù)的圖象上所有的橫坐標(biāo)伸長為原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，令，求得，可得的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：A.【題目點撥】本題主要考查三角恒等變換，余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解題分析】

根據(jù)余弦函數(shù)圖象的對稱性可得，求出積分值即可得結(jié)果.【題目詳解】根據(jù)余弦函數(shù)圖象的對稱性可得，故選C.【題目點撥】本題主要考查定積分的求法，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬于基礎(chǔ)題．7、D【解題分析】

利用函數(shù)解析式求得,結(jié)合選項中的函數(shù)圖象，利用排除法即可得結(jié)果.【題目詳解】因為函數(shù)，所以，選項中的函數(shù)圖象都不符合，可排除選項，故選D.【題目點撥】本題通過對多個圖象的選擇考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點是綜合性較強、考查知識點較多，但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點以及時函數(shù)圖象的變化趨勢，利用排除法，將不合題意的選項一一排除.8、C【解題分析】由題意可知，平面的一個法向量為：，由空間向量的結(jié)論可得：.本題選擇C選項.點睛：(1)本題求解時關(guān)鍵是結(jié)合題設(shè)條件進行空間聯(lián)想，抓住條件有目的推理論證.(2)利用空間向量求線面角有兩種途徑：一是求斜線和它在平面內(nèi)射影的方向向量的夾角(或其補角)；二是借助平面的法向量．9、B【解題分析】分析：化簡已知復(fù)數(shù)z，由共軛復(fù)數(shù)的定義可得．詳解：化簡可得z=∴z的共軛復(fù)數(shù)為1﹣i.故選B．點睛：本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運算，涉及共軛復(fù)數(shù)，屬基礎(chǔ)題．10、B【解題分析】

根據(jù)題目可知，求出事件A的概率，事件AB同時發(fā)生的概率，利用條件概率公式求得，即可求解出答案．【題目詳解】依題意，，，則條件概率．故答案選B．【題目點撥】本題主要考查了利用條件概率的公式計算事件的概率，解題時要理清思路，注意的求解．11、D【解題分析】

題先求得，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算法則即得.【題目詳解】∵故選D.【題目點撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的運算法則，共軛復(fù)數(shù)的定義等知識，屬于基礎(chǔ)題..12、B【解題分析】

設(shè)塔頂?shù)腶1盞燈，由題意{an}是公比為2的等比數(shù)列，∴S7==181，解得a1=1．故選B．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由題意畫出可行域，令，轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)為，數(shù)形結(jié)合即可得解.【題目詳解】由題意畫出可行域，如圖，令，則，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)直線過點A時，取最小值，由可得點，所以.故答案為：.【題目點撥】本題考查了簡單的線性規(guī)劃，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

分別取的中點,并連同點順次連接,六邊形就是所求的動點的軌跡,求出面積即可.【題目詳解】如下圖所示：分別取的中點,并連同點順次連接，因為是三角形的中位線,所以平面,平面,同理都平行平面,所以就是所求的動點的軌跡,該正六邊形的邊長為,所以正六邊形的面積為：.故答案為【題目點撥】本題考查了直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用,考查了數(shù)學(xué)運算能力、空間想象能力.15、2【解題分析】分析：利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡求得z，進而得到最后求出復(fù)數(shù)的模即可．詳解：由，可得∴，∴故答案為：2點睛：復(fù)數(shù)的運算，難點是乘除法法則，設(shè)，則，.16、-10【解題分析】分析：利用二項式展開式通項即可得出答案.詳解：，當(dāng)時，.故答案為：-10.點睛：求二項展開式中的特定項，一般是利用通項公式進行，化簡通項公式后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項時，指數(shù)為零；求有理項時，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項數(shù)k＋1，代回通項公式即可．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】

（1）由代入曲線C的極坐標(biāo)方程，即可求出普通方程，消去直線l的參數(shù)方程中的未知量t，即可得到直線的普通方程；（2）因為直線和曲線C有兩個交點，所以根據(jù)直線的參數(shù)方程，建立一元二次方程根與系數(shù)，得出結(jié)果．【題目詳解】（1）由得曲線的直角坐標(biāo)方程為，直線的普通方程為.(2)直線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為代入，整理得：,設(shè)所對應(yīng)的參數(shù)為，則,所以.【題目點撥】本題考查參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程化為普通方程，直線與曲線有兩個交點時的距離問題，是?？碱}型．18、(1)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是.(2)證明見解析.(3).【解題分析】

(Ⅰ)求導(dǎo)，由，即可得到函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；(Ⅱ)記h(x)＝f(x)g(x),設(shè)法證明，即可證明.(Ⅲ)由題即，易證,當(dāng)時取到等號，由得,由此可求的值.【題目詳解】(Ⅰ)因為由，得所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是.(Ⅱ)記h(x)＝f(x)g(x)＝,,所以在R上為減函數(shù)因為所以存在唯一，使即，,當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以所以.(Ⅲ)因為,所以,易證,當(dāng)時取到等號，由得,,所以即.【題目點撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，以及不等式的證明與恒成立問題的求解，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計算能力，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點處的切線方程；(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問題，同時注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.19、（Ⅰ），．（Ⅱ）的面積．【解題分析】試題分析：（1）由余弦定理及已知條件得，a2＋b2－ab＝4，…………2分又因為△ABC的面積等于，所以absinC＝，得ab＝4.…………4分聯(lián)立方程組解得a＝2，b＝2.…………5分（2）由題意得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，即sinBcosA＝2sinAcosA，…………7分當(dāng)cosA＝0時，A＝，B＝，a＝，b＝，…………8分當(dāng)cosA≠0時，得sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a，聯(lián)立方程組解得a＝，b＝.…………10分所以△ABC的面積S＝absinC＝.…………11分考點：本題主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，三角形內(nèi)角和定理，兩角和差的三角函數(shù)．點評：典型題，本題在考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，三角形內(nèi)角和定理，兩角和差的三角函數(shù)的同時，考查了函數(shù)方程思想，在兩道小題中，均通過建立方程組，以便求的a,b,c等．20、（1）（2）（3）增區(qū)間為在【解題分析】

（1）由分段函數(shù)求值問題，討論落在哪一段中，再根據(jù)函數(shù)值即可得實數(shù)的取值范圍；（2）由分段函數(shù)值域問題，由函數(shù)的值域可得，再求出實數(shù)的取值范圍；（3）先閱讀題意，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可.【題目詳解】解:（1）由,且時，當(dāng)時,有時,,與題設(shè)矛盾,當(dāng)時,有時,,與題設(shè)相符,故實數(shù)的取值范圍為:;（2）當(dāng)，，因為，所以，即，當(dāng)，，因為，所以，即，又由題意有，所以，故實數(shù)的取值范圍為；（3）由的導(dǎo)函數(shù)為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得函數(shù)在任一點處的導(dǎo)數(shù)即為曲線在這一點處切線的斜率，由限制函數(shù)的定義可知，由，即函數(shù)在為增函數(shù)，故函數(shù)在為增函數(shù).【題目點撥】本題考查了分段函數(shù)求值問題、分段函數(shù)值域問題及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，重點考查了閱讀理解能力，屬中檔題.21、（1）an=【解題分析】（1）根據(jù)數(shù)列遞推關(guān)系式，確定數(shù)列的特點，得到數(shù)列的通項公式；（2）根據(jù)（1）問得到新的數(shù)列的通項公式，利用錯位相減法進行數(shù)列求和.試題解析：（1）由a1=2,a當(dāng)n=1時，b1=b當(dāng)n≥2時，1nbn所以bn（2）由（1）知，a所以T2所以T所以Tn考點：1.等