江蘇省蘇州市常熟中學2024屆高二數(shù)學第二學期期末調研試題含解析

江蘇省蘇州市常熟中學2024屆高二數(shù)學第二學期期末調研試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．三棱錐的棱長全相等，是中點，則直線與直線所成角的正弦值為（）A． B． C． D．2．函數(shù)圖象交點的橫坐標所在區(qū)間是()A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（1，5）3．4名男歌手和2名女歌手聯(lián)合舉行一場音樂會，出場順序要求兩名女歌手之間恰有一名男歌手，共有出場方案的種數(shù)是（）A． B． C． D．4．現(xiàn)有甲、乙等5名同學排成一排照相，則甲、乙兩名同學相鄰，且甲不站兩端的站法有（）A．24種 B．36種 C．40種 D．48種5．已知函數(shù)，且，則曲線在處的切線方程為（）A． B．C． D．6．給定空間中的直線及平面，條件“直線上有兩個不同的點到平面的距離相等”是“直線與平面平行”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件7．已知雙曲線的一條漸近線方程為，為該雙曲線上一點，為其左、右焦點，且，，則該雙曲線的方程為（）A． B． C． D．8．若函數(shù)的定義域為R，則實數(shù)a的取值范圍為（）A． B．（0，1）C． D．（﹣1，0）9．設，若，則展開式中二項式系數(shù)最大的項為（）A．第4項 B．第5項 C．第4項和第5項 D．第7項10．設集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|2﹣x＞0},則A∩B＝（）A．[﹣3，2） B．（2，3] C．[﹣1，2） D．（﹣1，2）11．已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且當時，，則（）A．1 B．-1 C．2 D．-212．若，則等于（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線的離心率為，一條漸近線為，拋物線的焦點為F，點P為直線與拋物線異于原點的交點，則_________.14．《九章算術》卷5《商功》記載一個問題“今有圓堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.問積幾何？答曰：二千一百一十二尺，術曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”，這里所說的圓堡瑽就是圓柱體，它的體積為“周自相乘，以高乘之，十二而一”，就是說：圓堡瑽（圓柱體）的體積為（底面圓的周長的平方高），則由此可推得圓周率的取值為________.15．定積分的值為__________.16．已知偶函數(shù)在單調遞減，.若，則的取值范圍是__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設函數(shù).(Ⅰ)討論函數(shù)的單調性；(Ⅱ)當函數(shù)有最大值且最大值大于時，求的取值范圍.18．（12分）在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．（1）將，的方程化為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線？（2）以坐標原點為極點，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，已知直線的極坐標方程為．若上的點對應的參數(shù)為，點在上，點為的中點，求點到直線距離的最小值．19．（12分）已知數(shù)列滿足，．(Ⅰ)求的值，猜想數(shù)列的通項公式并用數(shù)學歸納法證明；(Ⅱ)令，求數(shù)列的前項和.20．（12分）《中華人民共和國道路交通安全法》第47條的相關規(guī)定：機動車行經(jīng)人行橫道時，應當減速慢行；遇行人正在通過人行橫道，應當停車讓行，俗稱“禮讓斑馬線”，《中華人民共和國道路交通安全法》第90條規(guī)定：對不禮讓行人的駕駛員處以扣3分，罰款50元的處罰．下表是某市一主干路口監(jiān)控設備所抓拍的5個月內駕駛員不“禮讓斑馬線”行為統(tǒng)計數(shù)據(jù)：月份12345違章駕駛員人數(shù)1201051009085（1）請利用所給數(shù)據(jù)求違章人數(shù)少與月份x之間的回歸直線方程；（2）預測該路口7月份的不“禮讓斑馬線”違章駕駛員人數(shù)；（3）交警從這5個月內通過該路口的駕駛員中隨機抽查了50人，調查駕駛員不“禮讓斑馬線”行為與駕齡的關系，得到如下2×2列聯(lián)表：不禮讓斑馬線禮讓斑馬線合計駕齡不超過1年22830駕齡1年以上81220合計302050能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認為“禮讓斑馬線”行為與駕齡有關？參考公式：，.（其中n＝a+b+c+d）P（K2≥k）0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821．（12分）在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（，為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為，若直線與曲線相切；（1）求曲線的極坐標方程與直線的直角坐標方程；（2）在曲線上取兩點，與原點構成，且滿足，求面積的最大值.22．（10分）已知圓：，是軸上的動點，分別切圓于兩點.（1）若，求及直線的方程；（2）求證：直線恒過定點.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】分析：取中點，連接，由三角形中位線定理可得，直線與所成的角即為直線與直線所成角，利用余弦定理及平方關系可得結果.詳解：如圖，取中點，連接，分別為的中點，則為三角形的中位線，，直線與所成的角即為直線與直線所成角，三棱錐的棱長全相等，設棱長為，則，在等邊三角形中，為的中點，為邊上的高，，同理可得，在三角形中，，，直線與直線所成角的正弦值為，故選C.點睛：本題主要考查異面直線所成的角，屬于中檔題題.求異面直線所成的角的角先要利用三角形中位線定理以及平行四邊形找到，異面直線所成的角，然后利用直角三角形的性質及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因為異面直線所成的角是直角或銳角，所以最后結果一定要取絕對值.2、C【解題分析】

試題分析：設的零點在區(qū)間與圖象交點的橫坐標所在區(qū)間是，故選C．考點：曲線的交點．【方法點晴】本題考曲線的交點，涉及數(shù)形結合思想、函數(shù)與方程思想和轉化化歸思想，以及邏輯思維能力、等價轉化能力、運算求解能力、綜合程度高，屬于較難題型．3、D【解題分析】

利用捆綁法：先從4名男歌手中選一名放在兩名女歌手之間，并把他們捆綁在一起看作一個元素和剩余的3名男歌手進行全排列，利用排列組合的知識和分步計數(shù)原理求解即可.【題目詳解】根據(jù)題意，分兩步進行：先從4名男歌手中選一名放在兩名女歌手之間，同時對兩名女歌手進行全排列有種選擇；再把他們捆綁在一起看作一個元素和剩余的3名男歌手進行全排列有種選擇，由分步計數(shù)原理可得，共有出場方案的種數(shù)為.故選：D【題目點撥】本題考查利用捆綁法和分步乘法計數(shù)原理，結合排列數(shù)公式求解排列組合問題；考查運算求解能力和邏輯推理能力；分清排列和組合和兩個計數(shù)原理是求解本題的關鍵；屬于中檔題、?？碱}型.4、B【解題分析】

對5個位置進行編號1，2，3，4，5，則甲只能排在第2，3，4位置，再考慮乙，再考慮其它同學.【題目詳解】對5個位置進行編號1，2，3，4，5，∵甲不站兩端，∴甲只能排在第2，3，4位置，（1）當甲排在第2位置時，乙只能排第1或第3共2種排法，其他3位同學有A3∴共有2×A（2）當甲排在第3位置時，乙只能排第2或第4共2種排法，其他3位同學有A3∴共有2×A（3）當甲排在第4位置時，乙只能排第3或第5共2種排法，其他3位同學有A3∴共有2×A∴排法種數(shù)N=12+12+12=36種.【題目點撥】分類與分步計數(shù)原理，在確定分類標準時，一般是從特殊元素出發(fā)，同時應注意元素的順序問題.5、B【解題分析】

先對已知函數(shù)f(x)求導，由可得a的值，由此確定函數(shù)和其導函數(shù)的解析式，進而可得x=0處的切線方程?！绢}目詳解】，，解得，即，，則，，曲線在點處的切線方程為，即.【題目點撥】本題考查求函數(shù)某點處的切線方程，解題關鍵是先由條件求出函數(shù)f(x)中的未知量a。6、B【解題分析】分析：利用直線與平面平行的定義判斷即可.詳解：直線上有兩個不同的點到平面的距離相等，如果兩點在平面同側，則；如果兩點在平面異側，則與相交：反之，直線與平面平行，則直線上有兩個不同的點到平面的距離相等.故條件“直線上有兩個不同的點到平面的距離相等”是“直線與平面平行”的必要非充分條件.故選B.點睛：明確：則是的充分條件，，則是的必要條件．準確理解線面平行的定義和判定定理的含義，才能準確答題．7、D【解題分析】

設，根據(jù)已知可得，由，得到，結合雙曲線的定義，得出，再由已知求出，即可求解.【題目詳解】設，則由漸近線方程為，，又，所以兩式相減，得，而，所以，所以，所以，，故雙曲線的方程為.故選：D【題目點撥】本題考查雙曲線的標準方程、雙曲線的幾何性質，注意焦點三角形問題處理方法，一是曲線的定義應用，二是余弦定理（或勾股）定理，利用解三角形求角或面積，屬于中檔題.8、A【解題分析】

首先由題意可得，再由對數(shù)式的運算性質變形，然后求解對數(shù)不等式得答案.【題目詳解】由題意可得，第一個式子解得或；第二個式子化簡為，令，則，解得或，則或，則或.即或.綜上，實數(shù)的取值范圍為.故選：A.【題目點撥】本題主要考查以函數(shù)定義域為背景的恒成立問題，二次型函數(shù)的恒成立問題一般借助判別式進行處理，本題同時兼顧考查了對數(shù)的運算性質，綜合性較強，側重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).9、C【解題分析】

先利用二項展開式的基本定理確定的數(shù)值，再求展開式中系數(shù)最大的項【題目詳解】令，可得，令，則，由題意得，代入得，所以，又因為，所以展開式中二項式系數(shù)最大的項為第4項和第項，故選【題目點撥】本題考查了二項式定理的應用問題，也考查了賦值法求二項式的次數(shù)的應用問題，屬于基礎題。10、C【解題分析】

求得集合A={x|-1≤x≤3},B={x|x<2}，根據(jù)集合的交集運算，即可求解．【題目詳解】由題意，集合A={x|x所以A∩B={x|-1≤x<2}=[-1,2)．故選：C．【題目點撥】本題主要考查了集合的交集運算，其中解答中正確求解集合A,B，再根據(jù)集合的運算求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．11、B【解題分析】

根據(jù)f（x）是R上的奇函數(shù)，并且f（x+1）=f（1-x），便可推出f（x+4）=f（x），即f（x）的周期為4，而由x∈[0，1]時，f（x）=2x-m及f（x）是奇函數(shù)，即可得出f（0）=1-m=0，從而求得m=1，這樣便可得出f（2019）=f（-1）=-f（1）=-1．【題目詳解】∵是定義在R上的奇函數(shù)，且；∴；∴；∴的周期為4；∵時，；∴由奇函數(shù)性質可得；∴；∴時，；∴.故選：B.【題目點撥】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和周期性求值，此類問題一般根據(jù)條件先推導出周期，利用函數(shù)的周期變換來求解，考查理解能力和計算能力，屬于中等題.12、D【解題分析】

中最大的數(shù)為，包含個數(shù)據(jù)，且個數(shù)據(jù)是連續(xù)的正整數(shù)，由此可得到的表示.【題目詳解】因為，所以表示從連乘到，一共是個正整數(shù)連乘，所以.故選：D.【題目點撥】本題考查排列數(shù)的表示，難度較易.注意公式：的運用.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解題分析】

由雙曲線的離心率求出漸近線的方程，然后求出直線與拋物線的交點的坐標，可得．【題目詳解】雙曲線中，，即，，不妨設方程為，由得或，即，拋物線中，∴．故答案為：4.【題目點撥】本題考查雙曲線的幾何性質，考查直線與拋物線相交問題，考查拋物線的焦半徑公式．屬于中檔題．14、3【解題分析】

根據(jù)圓堡瑽（圓柱體）的體積為（底面圓的周長的平方高）,可得,進而可求出的值【題目詳解】解:設圓柱底面圓的半徑為,圓柱的高為,由題意知,解得.故答案為:3.【題目點撥】本題主要考查了圓柱的體積公式.只要能看懂題目意思,結合方程的思想即可求出結果.15、【解題分析】分析：，其中利用定積分的幾何意義計算.詳解：，其中的幾何意義為函數(shù)與直線及軸所圍成的圖形的面積，即圓在第一象限的部分的面積，其值為.而.所以原式.故答案為：.點睛：本題主要考查定積分，定積分的幾何意義，圓的面積等基礎知識，考查數(shù)形結合思想，解答定積分的計算，關鍵是熟練掌握定積分的相關性質.16、【解題分析】因為是偶函數(shù)，所以不等式，又因為在上單調遞減，所以，解得.考點：本小題主要考查抽象函數(shù)的奇偶性與單調性，考查絕對值不等式的解法，熟練基礎知識是關鍵.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)當時，函數(shù)在上單調遞增，當時，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減；(2)．【解題分析】

（Ⅰ）函數(shù)的定義域為，①當時，，函數(shù)在上單調遞增；②當時，令，解得，i）當時，，函數(shù)單調遞增，ii）當時，，函數(shù)單調遞減；綜上所述：當時，函數(shù)在上單調遞增，當時，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：當函數(shù)有最大值且最大值大于，，即，令，且在上單調遞增，在上恒成立，故的取值范圍為.18、（1）表示以為圓心，1為半徑的圓，表示焦點在軸上的橢圓；（2）.【解題分析】試題分析：（1）分別將曲線、的參數(shù)方程利用平方法消去參數(shù)，即可得到，的方程化為普通方程，進而得到它們分別表示什么曲線；（2），利用點到直線距離公式可得到直線的距離，利用輔助角公式以及三角函數(shù)的有界性可得結果.試題解析：（1）的普通方程為，它表示以為圓心，1為半徑的圓，的普通方程為，它表示中心在原點，焦點在軸上的橢圓．（2）由已知得，設，則，直線：，點到直線的距離，所以，即到的距離的最小值為．19、(Ⅰ)見解析；(Ⅱ)【解題分析】

(Ⅰ)根據(jù)，利用遞推公式，可以求出的值，可以猜想出數(shù)列的通項公式，然后按照數(shù)學歸納法的步驟證明即可；(Ⅱ)利用錯位相減法，可以求出數(shù)列的前項和.【題目詳解】解:(Ⅰ)當時，當時，當時，猜想，下面用數(shù)學歸納法證明當時，，猜想成立，假設當()時，猜想成立，即則當時，，猜想成立綜上所述，對于任意，均成立(Ⅱ)由（Ⅰ）得①②由①－②得：【題目點撥】本題考查了用數(shù)學歸納法求數(shù)列的通項公式，考查了用借位相減法求數(shù)列的前項和，考查了數(shù)學運算能力.20、（1）；（2）66人；（3）有的把握認為“禮讓斑馬線”行為與駕齡關．【解題分析】

（1）利用所給數(shù)據(jù)計算、，求出回歸系數(shù)，寫出回歸直線方程；

（2）由（1）中的回歸直線方程計算x=7時的值即可；

（3）由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)計算K2，對照臨界值得出結論．【題目詳解】（1）由表中數(shù)據(jù)知，，∴，∴，∴所求回歸直線方程為．（2）由（1）知，令，則人.（3）由表中數(shù)據(jù)得，