江蘇省2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題含解析

江蘇省2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．1-2x5展開式中的x3系數(shù)為（A．40 B．-40 C．80 D．-802．已知集合，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A．或 B．或 C．或 D．或或3．已知某隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為則隨機(jī)變量落在區(qū)間內(nèi)在概率為()A． B． C． D．4．現(xiàn)有張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各張.從中任取張，要求這張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多張.不同取法的種數(shù)為A． B． C． D．5．如圖，在矩形中，在線段上，且，將沿翻折．在翻折過程中，記二面角的平面角為，則的最大值為（）A． B． C． D．6．已知曲線在處的切線與直線平行，則的值為（）A．-3 B．-1 C．1 D．37．在區(qū)間上任取兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，則函數(shù)無零點(diǎn)的概率為（）A． B． C． D．8．空間中不共面的4點(diǎn)A，B，C，D，若其中3點(diǎn)到平面的距離相等且為第四個(gè)點(diǎn)到平面的倍，這樣的平面的個(gè)數(shù)為（）A．8 B．16 C．32 D．489．雙曲線和有（）A．相同焦點(diǎn) B．相同漸近線 C．相同頂點(diǎn) D．相等的離心率10．如圖，在ΔABC中，AN=12AC，P是A．14 B．1 C．1211．隨機(jī)變量的概率分布為，其中是常數(shù)，則（）A． B． C． D．12．歐拉公式eix＝cosx＋isinx(i為虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”．根據(jù)歐拉公式可知，e2i表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．給出定義：對(duì)于三次函數(shù)設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”，經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心.已知函數(shù).設(shè).若則__________．14．已知展開式中只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中常數(shù)項(xiàng)為_______．15．請(qǐng)列舉用0，1，2，3這4個(gè)數(shù)字所組成的無重復(fù)數(shù)字且比230大的所有三位偶數(shù)______.16．展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為______________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知時(shí)，函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，且，當(dāng)時(shí)，（1）判斷的奇偶性；（2）判斷在上的單調(diào)性，并給出證明；（3）若且，求的取值范圍.18．（12分）有6本不同的書:(1)全部借給5人,每人至少1本,共有多少種不同的借法?(2)全部借給3人,每人至少1本,共有多少種不同的借法?19．（12分）如圖，OA，OB是兩條互相垂直的筆直公路，半徑OA＝2km的扇形AOB是某地的一名勝古跡區(qū)域．當(dāng)?shù)卣疄榱司徑庠摴袍E周圍的交通壓力，欲在圓弧AB上新增一個(gè)入口P（點(diǎn)P不與A，B重合），并新建兩條都與圓弧AB相切的筆直公路MB，MN，切點(diǎn)分別是B，P．當(dāng)新建的兩條公路總長最小時(shí)，投資費(fèi)用最低．設(shè)∠POA＝，公路MB，MN的總長為．（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；（2）當(dāng)為何值時(shí)，投資費(fèi)用最低？并求出的最小值．20．（12分）若函數(shù),當(dāng)時(shí),函數(shù)有極值為.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若有個(gè)解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)．（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°（4）sin2（-18°）+cos248°-sin2（-18°）cos248°（5）sin2（-25°）+cos255°-sin2（-25°）cos255°Ⅰ試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)Ⅱ根據(jù)（Ⅰ）的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣位三角恒等式，并證明你的結(jié)論22．（10分）已知四棱錐的底面是正方形，底面.（1）求證：直線平面；（2）當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)，二面角的大小為？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

由二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)公式，賦值即可求出。【題目詳解】1-2x5展開式的通項(xiàng)公式是T令r=3，所以x3系數(shù)為C53【題目點(diǎn)撥】本題主要考查如何求二項(xiàng)式定理的展開式中某一項(xiàng)的系數(shù)。2、D【解題分析】

就和分類討論即可.【題目詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，滿足；當(dāng)時(shí)，，若，所以或.綜上，的值為0或1或2.故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查集合的包含關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題，解題時(shí)注意利用集合中元素的性質(zhì)（如互異性、確定性、無序性）合理分類討論.3、B【解題分析】

求概率密度函數(shù)在（1，3）的積分，求得概率．【題目詳解】由隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)的意義得，故選B．【題目點(diǎn)撥】隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)在某區(qū)間上的定積分就是隨機(jī)變量在這一區(qū)間上概率．4、C【解題分析】試題分析：3張卡片不能是同一種顏色，有兩種情形：三種顏色或者兩種顏色，如果是三種顏色，取法數(shù)為，如果是兩種顏色，取法數(shù)為，所以取法總數(shù)為，故選C．考點(diǎn)：分類加法原理與分步乘法原理．【名師點(diǎn)晴】（1）對(duì)于一些比較復(fù)雜的既要運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理又要運(yùn)用分步乘法計(jì)數(shù)原理的問題，我們可以恰當(dāng)?shù)禺嫵鍪疽鈭D或列出表格，使問題更加直觀、清晰．（2）當(dāng)兩個(gè)原理混合使用時(shí)，一般是先分類，在每類方法里再分步．5、A【解題分析】

做輔助線，構(gòu)造并找到二面角所對(duì)應(yīng)的平面角，根據(jù)已知可得，進(jìn)而求得其最大值.【題目詳解】在平面圖中過A作DM的垂線并延長，交于,交于.在翻折過程中A點(diǎn)在平面BCD上的投影的軌跡就是平面圖中的AE.設(shè)翻折的角度為，在平面BCD投影為，過作于F，則即為二面角所對(duì)的平面角.然后有，.故=，求導(dǎo)得,設(shè)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以即時(shí)，有最大值，此時(shí)=,故選A.【題目點(diǎn)撥】本題的解題關(guān)鍵在于找到二面角的平面角,并且用了求導(dǎo)數(shù)的方法求最大值，有一定的難度.6、C【解題分析】

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在處的切線的斜率，根據(jù)兩直線平行斜率相等即可得到的值?！绢}目詳解】因?yàn)?，所以線在處的切線的斜率為，由于曲線在處的切線與直線平行，故，即，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題7、D【解題分析】

在區(qū)間上任取兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，其對(duì)應(yīng)的數(shù)對(duì)構(gòu)成的區(qū)域?yàn)檎叫?，所求事件?gòu)成的區(qū)域?yàn)樘菪螀^(qū)域，利用面積比求得概率.【題目詳解】因?yàn)楹瘮?shù)無零點(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，則事件函數(shù)無零點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域?yàn)樘菪?，在區(qū)間上任取兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域?yàn)檎叫?，所以函?shù)無零點(diǎn)的概率.【題目點(diǎn)撥】本題考查幾何概型計(jì)算概率，考查利用面積比求概率，注意所有基本事件構(gòu)成的區(qū)域和事件所含基本事件構(gòu)成的區(qū)域.8、C【解題分析】

由題意分類討論各種情況，然后利用加法原理確定滿足題意的平面的個(gè)數(shù)即可.【題目詳解】第一種情況，A，B，C，D點(diǎn)在平面的同側(cè).當(dāng)平面∥平面BCD時(shí)，A與平面的距離是與平面BCD的距離的2倍.這種情況下有4個(gè)平面.第二種情況，A，B，C，D中有3個(gè)點(diǎn)在平面的一側(cè)，第4個(gè)點(diǎn)在平面的另一側(cè)，這時(shí)又有兩種情形：一種情形是平面與平面BCD平行，且A與平面的距離是平面與平面BCD距離的2倍.這時(shí)有4個(gè)平面.另一種情形如圖a所示，圖中E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，K是AD的三等分點(diǎn)中靠近A的分點(diǎn)，A，B，C到平面EFK（即平面）的距離是D到平面EFK距離的一半.∵EF可以是AB，AC的中點(diǎn)的連線，又可以是AB，BC的中點(diǎn)的連線，或AC，BC的中點(diǎn)的連線，∴這種情形下的平面有3×4=12（個(gè)）.第三種情況，如圖b所示，在A，B，C，D四點(diǎn)中，平面兩側(cè)各種有兩點(diǎn).容易看出：點(diǎn)A到平面EFMN（平面）的距離是B，C，D到該平面距離的2倍．就A，C與B，D分別位于平面兩側(cè)的情形來看，就有A離平面遠(yuǎn)，B離平面遠(yuǎn)，C離平面遠(yuǎn)，D離平面遠(yuǎn)這四種情況.又“AC，BD異面，則這樣的異面直線共有3對(duì)，∴平面有4×3=12（個(gè)）.綜上分析，平面有4+4+12+12=32（個(gè)）.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.9、A【解題分析】

對(duì)于已知的兩條雙曲線，有，則半焦距相等，且焦點(diǎn)都在軸上，由此可得出結(jié)論.【題目詳解】解：對(duì)于已知的兩條雙曲線，有，半焦距相等，且焦點(diǎn)都在軸上，它們具有相同焦點(diǎn).故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線的定義與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解題分析】

以AB,AC作為基底表示出【題目詳解】∵P，N分別是∴AP=又AP=mAB+【題目點(diǎn)撥】本題主要考查平面向量基本定理以及向量的線性運(yùn)算，意在考查學(xué)生的邏輯推理能力．11、B【解題分析】分析：由已知得可得a值，在求出期望算方差即可.詳解：因?yàn)殡S機(jī)變量的概率分布為，故得，故E（X）=,又，而,故=，選B點(diǎn)睛：考查分布列的性質(zhì)和期望、方差的計(jì)算，熟悉公式即可，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解題分析】

由題意得，得到復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，即可作出解答.【題目詳解】由題意得，e2i＝cos2＋isin2，∴復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(cos2，sin2)．∵2∈，∴cos2∈(－1，0)，sin2∈(0，1)，∴e2i表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了復(fù)數(shù)坐標(biāo)的表示，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-4037【解題分析】

由題意對(duì)已知函數(shù)求兩次導(dǎo)數(shù),令二階導(dǎo)數(shù)為零,即可求得函數(shù)的中心對(duì)稱,即有,,借助倒序相加的方法,可得進(jìn)而可求的解析式,求導(dǎo),當(dāng)代入導(dǎo)函數(shù)解得,計(jì)算求解即可得出結(jié)果.【題目詳解】函數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由得解得,而故函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,故，兩式相加得，則.同理,,,令,則,,故函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,,兩式相加得,則.所以當(dāng)時(shí),解得:,所以則.故答案為:-4037.【題目點(diǎn)撥】本題考查對(duì)新定義的理解,考查二階導(dǎo)數(shù)的求法,仔細(xì)審題是解題的關(guān)鍵,考查倒序法求和,難度較難.14、61【解題分析】分析：根據(jù)題設(shè)可列出關(guān)于的不等式，求出，代入可求展開式中常數(shù)項(xiàng)為.詳解：的展開式中，只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即最大，，解得，又，則展開式中常數(shù)項(xiàng)為.點(diǎn)睛：在二項(xiàng)展開式中，有時(shí)存在一些特殊的項(xiàng)，如常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)、系數(shù)最大的項(xiàng)等等，這些特殊項(xiàng)的求解主要是利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式.15、310，302，320，312【解題分析】

根據(jù)題意，分別討論個(gè)位數(shù)字是0和個(gè)數(shù)數(shù)字是2兩種情況，即可得出結(jié)果.【題目詳解】由0，1，2，3這4個(gè)數(shù)字所組成的無重復(fù)數(shù)字且比230大的所有三位偶數(shù)有：（1）當(dāng)個(gè)位數(shù)字是0時(shí)，數(shù)字可以是：310，320；（2）當(dāng)個(gè)數(shù)數(shù)字是2時(shí)，數(shù)字可以是：302，312.故答案為：310，302，320，312.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查簡單的排列問題，只需按要求列舉即可，屬于基礎(chǔ)題型.16、【解題分析】∴二項(xiàng)式展開式中，含項(xiàng)為∴它的系數(shù)為1．故答案為1．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)偶函數(shù).(2)見解析.(3).【解題分析】

(1)利用賦值法得到，即得函數(shù)的奇偶性.(2)利用函數(shù)單調(diào)性的定義嚴(yán)格證明.(3)先求出，再解不等式.【題目詳解】（1）令，則，，為偶函數(shù).（2）設(shè)，，∵時(shí)，，∴，∴，故在上是增函數(shù).（3）∵,又∴∵，∴，即，又故.【題目點(diǎn)撥】(1)本題主要考查抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的證明，考查函數(shù)的圖像和性質(zhì)的運(yùn)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)用定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟：①取值，設(shè)，且；②作差，求；③變形（合并同類項(xiàng)、通分、分解因式、配方等）；④判斷的正負(fù)符號(hào)；⑤根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義下結(jié)論.18、（1）1800；（2）540【解題分析】分析：（1）將6本書中某兩本書合在一起組成5份,借給5人,即可得到答案；（2）將6本書分成三份有3種分法，第一種是一人4本，一人1本，一人1本；第二種是一人3本，一人2本，一人1本；第三種是每人各2本；然后再將分好的三份借給3人即可.詳解：(1)將6本書中某兩本書合在一起組成5份,借給5人,共有=1800種借法.(2)將6本書分成三份有3種分法.第一種是一人4本,一人1本,一人1本;第二種是一人3本,一人2本,一人1本;第三種是每人各2本;然后再將分好的三份借給3人,有=540種借法.點(diǎn)睛：分組分配問題是排列、組合問題的綜合運(yùn)用，解決這類問題的一個(gè)基本指導(dǎo)思想就是先分組后分配．關(guān)于分組問題，有整體均分、部分均分和不等分組三種，無論分成幾組，都應(yīng)注意只要有一些組中元素的個(gè)數(shù)相等，就存在均分現(xiàn)象．19、(1);(2)當(dāng)時(shí)，投資費(fèi)用最低，此時(shí)的最小值為.【解題分析】

（1）由題意，設(shè)，利用平面幾何的知識(shí)和三角函數(shù)的關(guān)系式及三角恒等變換的公式，即可得函數(shù)的關(guān)系式；（2）利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式和恒等變換的公式，求得的解析式，再利用基本不等式，即可求得投資的最低費(fèi)用，得到答案.【題目詳解】（1）連接，在中，，故，據(jù)平面幾何知識(shí)可知,在中，，故，所以，顯然，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，即函?shù)關(guān)系式為，且．（2）化簡（1）中的函數(shù)關(guān)系式可得：令，則，代入上式得：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“＝”，此時(shí)求得，又，所以∴當(dāng)時(shí)，投資費(fèi)用最低，此時(shí)的最小值為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，以及基本不等式求最值問題，其中根據(jù)平面幾何的知識(shí)和三角函數(shù)的關(guān)系式和恒等變換的公式，得到函數(shù)的解析式是解答的關(guān)鍵，著重靠考查了分析問題和解答問題的能力，以及推理與運(yùn)算能力.20、（1）；（2）.【解題分析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)在某個(gè)點(diǎn)取得極值的條件，得到方程組，求得的值，從而得到函數(shù)的解析式；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性以及極值，通過有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，求得的取值范圍.【題目詳解】（1）因?yàn)椋?，由時(shí)，函數(shù)有極值，得，即，解得所以；（2）由（1）知，所以，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有極大值；當(dāng)時(shí)，有極小值，因?yàn)殛P(guān)于的方程有三個(gè)不等實(shí)根，所以函數(shù)的圖象與直線有三個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍是.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0，利用條件求函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，將方程根的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)來解決，屬于中檔題目.21、見解析【考點(diǎn)定位】本題主要考察同角函數(shù)關(guān)系、兩角和與差的三角函數(shù)公式、二倍角公式，考查運(yùn)算能力、特殊與一般思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想【解題分析】試題分析：（1）由倍角公式及特殊角的三角函數(shù)值即可求解；（2）根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)規(guī)律，得，由三角函數(shù)中的恒等變換的公式展開即可證明．試題解析：（1）選擇（2），計(jì)算如下：sin215