2024屆湖南省洞口二中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

2024屆湖南省洞口二中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．用反證法證明“如果a＜b，那么”，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)是（）A． B．C．且 D．或2．若（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)（）A． B． C． D．3．已知?jiǎng)t的最小值是()A． B．4 C． D．54．設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且,當(dāng)時(shí)，有恒成立，則不等式的解集是（）A．∪B．∪C．∪D．∪5．已知二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．6．已知A(2，－5,1)，B(2，－4，2)，C(1，－4,1)，則與的夾角為（）A．30° B．60° C．45° D．90°7．某學(xué)校為解決教師的停車問題，在校內(nèi)規(guī)劃了一塊場(chǎng)地，劃出一排12個(gè)停車位置，今有8輛不同的車需要停放，若要求剩余的4個(gè)空車位連在一起，則不同的停車方法有()A．種 B．種 C．種 D．種8．供電部門對(duì)某社區(qū)位居民2017年12月份人均用電情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后，按人均用電量分為，，，，五組，整理得到如下的頻率分布直方圖，則下列說法錯(cuò)誤的是A．月份人均用電量人數(shù)最多的一組有人B．月份人均用電量不低于度的有人C．月份人均用電量為度D．在這位居民中任選位協(xié)助收費(fèi)，選到的居民用電量在一組的概率為9．用數(shù)學(xué)歸納法證明過程中，假設(shè)時(shí)，不等式成立，則需證當(dāng)時(shí)，也成立，則（）A． B．C． D．10．把一枚骰子連續(xù)擲兩次，已知在第一次拋出的是奇數(shù)點(diǎn)的情況下，第二次拋出的也是奇數(shù)點(diǎn)的概率為（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)，若只有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．12．給出下列四個(gè)說法：①命題“都有”的否定是“使得”；②已知，命題“若，則”的逆命題是真命題；③是的必要不充分條件;④若為函數(shù)的零點(diǎn)，則，其中正確的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．參數(shù)方程所表示的曲線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是______．14．一個(gè)高為1的正三棱錐的底面正三角形的邊長(zhǎng)為6，則此三棱錐的側(cè)面積為______．15．設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)同時(shí)滿足以下條件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(－x－2)＋f(x)＝0；③當(dāng)x∈[0,1)時(shí)，f(x)＝lg(x＋1).則f()＋lg14＝________.16．已知AB是球O的直徑，C，D為球面上兩動(dòng)點(diǎn)，AB⊥CD，若四面體ABCD體積的最大值為9，則球O的表面積為__．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在正四棱錐P-BCD中，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為32，高OP=6，E是側(cè)棱PD上的點(diǎn)且PE=13PD，F(xiàn)是側(cè)棱PA上的點(diǎn)且PF=12(1)求平面EFG的一個(gè)法向量n；(2)求直線AG與平面EFG所成角θ的大?。?3)求點(diǎn)A到平面EFG的距離d．18．（12分）如圖，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，為中點(diǎn).求證：平面平面；若，求二面角的余弦值.19．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．20．（12分）已知數(shù)列{}滿足，且.（I）證明：數(shù)列{}是等差數(shù)列；（II）求數(shù)列{}的前項(xiàng)和.21．（12分）如圖，平面，在中，，，交于點(diǎn)，，，，．（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．22．（10分）已知．（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，證明對(duì)于任意的成立．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】解：因?yàn)橛梅醋C法證明“如果a>b，那么>”假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)是＝或<，選D2、B【解題分析】由可得：，故選B.3、C【解題分析】

由題意結(jié)合均值不等式的結(jié)論即可求得的最小值，注意等號(hào)成立的條件.【題目詳解】由題意可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.即的最小值是.故選：C.【題目點(diǎn)撥】在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條件，就是“一正——各項(xiàng)均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號(hào)能否取得”，若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤．4、B【解題分析】試題分析：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有恒成立，所以恒成立，所以在內(nèi)單調(diào)遞減．因?yàn)?所以在內(nèi)恒有；在內(nèi)恒有．又因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以在內(nèi)恒有；在內(nèi)恒有．又因?yàn)椴坏仁降慕饧床坏仁降慕饧?，由上分析可得，其解集為∪，故?yīng)選．考點(diǎn)：1、函數(shù)的基本性質(zhì)；2、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性中的應(yīng)用．【思路點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的基本性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性中的應(yīng)用，屬中檔題．其解題的一般思路為：首先根據(jù)商函數(shù)求導(dǎo)法則可知化為；然后利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性可判斷函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性；再由可得函數(shù)在內(nèi)的正負(fù)性；最后結(jié)合奇函數(shù)的圖像特征可得，函數(shù)在內(nèi)的正負(fù)性，即可得出所求的解集．5、A【解題分析】

先求出二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，所需要的條件，然后再平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫出可行解域，然后分析得出的取值范圍.【題目詳解】因?yàn)槎魏瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，所以有：，對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)橄聢D所示：則令，則的取值范圍為，故本題選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程零點(diǎn)分布問題，正確畫出可行解域是解題的關(guān)鍵.6、B【解題分析】分析：由題意可得，，進(jìn)而得到與，再由，可得結(jié)論.詳解：，，，并且，，與的夾角為，故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查空間向量夾角余弦公式，屬于中檔題.解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握由空間點(diǎn)的坐標(biāo)寫出向量的坐標(biāo)與向量求模.7、A【解題分析】根據(jù)題意，要求有4個(gè)空車位連在一起，則將4個(gè)空車位看成一個(gè)整體，將這個(gè)整體與8輛不同的車全排列,有種不同的排法，即有種不同的停車方法；故選A.點(diǎn)睛：（1）解排列組合問題要遵循兩個(gè)原則：①按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類；②按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．（2）不同元素的分配問題，往往是先分組再分配．在分組時(shí)，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組．注意各種分組類型中，不同分組方法的求解．8、C【解題分析】根據(jù)頻率分布直方圖知，12月份人均用電量人數(shù)最多的一組是[10,20)，有1000×0.04×10=400人，A正確；12月份人均用電量不低于20度的頻率是(0.03+0.01+0.01)×10=0.5，有1000×0.5=500人，∴B正確；12月份人均用電量為5×0.1+15×0.4+25×0.3+35×0.1+45×0.1=22，∴C錯(cuò)誤；在這1000位居民中任選1位協(xié)助收費(fèi),用電量在[30,40)一組的頻率為0.1，估計(jì)所求的概率為，∴D正確.故選C.9、C【解題分析】故選10、C【解題分析】分析：設(shè)表示“第一次拋出的是奇數(shù)點(diǎn)”，表示“第二次拋出的是奇數(shù)點(diǎn)”，利用古典概型概率公式求出的值，由條件概率公式可得結(jié)果.詳解：設(shè)表示“第一次拋出的是奇數(shù)點(diǎn)”，表示“第二次拋出的是奇數(shù)點(diǎn)”，，，在第一次拋出的是奇數(shù)點(diǎn)的情況下，第二次拋出的也是奇數(shù)點(diǎn)的概率為，故選C.點(diǎn)睛：本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意條件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用，同時(shí)注意區(qū)分獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率與條件概率的區(qū)別與聯(lián)系.11、C【解題分析】

由，令，解得或，令，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性、極值，得出結(jié)論.【題目詳解】，令，解得或，令，可得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，，所以當(dāng)時(shí)，令，解得，此時(shí)函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)1，滿足題意，當(dāng)時(shí)不滿足條件，舍去.綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、方程與不等式的解法、分類討論思想，屬于難題.12、C【解題分析】

對(duì)于①②③④分別依次判斷真假可得答案.【題目詳解】對(duì)于①，命題“都有”的否定是“使得”，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，命題“若，則”的逆命題為“若，則”正確；對(duì)于③，若則，若則或，因此是的充分不必要條件，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，若為函數(shù)，則，即，可令，則，故為增函數(shù)，令，顯然為減函數(shù)，所以方程至多一解，又因?yàn)闀r(shí)，所以，則④正確，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查真假命題的判斷，難度中等.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)消參,將化為直角坐標(biāo)系下曲線方程,即可求軸的交點(diǎn)坐標(biāo).【題目詳解】可化為可得:當(dāng)時(shí),曲線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查圓錐曲線的參數(shù)方程和普通方程的轉(zhuǎn)化,消去參數(shù)方程中的參數(shù),就可把參數(shù)方程化為普通方程,消去參數(shù)的常用方法有:①代入消元法;②加減消元法;③乘除消元法;④三角恒等式消元法.本題采用了三角恒等式消元法.14、18【解題分析】

畫出滿足題意的三棱錐P-ABC圖形，根據(jù)題意，畫出高，利用直角三角形，求出此三棱錐的側(cè)面上的高，即可求出棱錐的側(cè)面積．【題目詳解】由題意畫出圖形，如圖所示：因?yàn)槿忮FP-ABC是正三棱錐，頂點(diǎn)在底面上的射影D是底面的中心，在三角形PDF中：因?yàn)槿切蜳DF三邊長(zhǎng)PD=1，DF=3所以PF=2，則這個(gè)棱錐的側(cè)面積S=3×故答案為：18?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積和棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查數(shù)形結(jié)合思想，還考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題，棱錐的側(cè)面積是每一個(gè)側(cè)面的面積之和。15、1.【解題分析】分析：由①②知函數(shù)f(x)是周期為2的奇函數(shù)，由此即可求出答案.詳解：由①②知函數(shù)f(x)是周期為2的奇函數(shù)，于是f()＝f＝f＝－f，又當(dāng)x∈[0,1)時(shí)，f(x)＝lg(x＋1)，f()＝－f＝－lg＝lg，故f()＋lg14＝lg＋lg14＝lg10＝1.故答案為：1.點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)周期性的使用，函數(shù)的周期性反映了函數(shù)在整個(gè)定義域上的性質(zhì)．對(duì)函數(shù)周期性的考查，主要涉及函數(shù)周期性的判斷，利用函數(shù)周期性求值．16、36π【解題分析】

由題意，為等腰直角三角形，高為球O的半徑時(shí)，四面體ABCD的體積最大，利用四面體ABCD體積的最大值為9，求出R，即可求出球O的表面積.【題目詳解】由題意，為等腰直角三角形，高為球O的半徑時(shí)，四面體ABCD的體積最大，最大值為，，球O的表面積為.故答案為：36π.【題目點(diǎn)撥】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球內(nèi)接多面體，球的表面積，其中分析出何時(shí)四面體ABCD的體積的最大值，是解答的關(guān)鍵.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）n=(0,1，2)（2）直線AG與平面EFG所成角θ=arcsin（3）6【解題分析】

(1)建立空間直角坐標(biāo)系，求出EF=(3,2，-1)，EG=(-2,4，-2)，設(shè)平面EFG的一個(gè)法向量n=(x,y，z)，由n?EF(2)求出AG=(-8,2，2)，由sinθ=|cos<AG,n(3)求出EA=(6,2，-4)，由點(diǎn)A到平面EFG的距離d=【題目詳解】(1)∵在正四棱錐P-BCD中，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為32，高OP=6E是側(cè)棱PD上的點(diǎn)且PE=13PD，F(xiàn)是側(cè)棱PAG是△PBC的重心.如圖建立空間直角坐標(biāo)系．∴D(0,-6,0)，P(0,0，6)，E(0,-2,4)，A(6,0，0)，B(0,6，0)，C(-6,0，0)，G(-2,2，2)，EF=(3,2，-1)，EG=(-2,4，設(shè)平面EFG的一個(gè)法向量n=(x,y，z)則n?EF=3x+2y-z=0平面EFG的一個(gè)法向量n=(0,1，2)(2)AG=(-8,2，則sinθ=|∴直線AG與平面EFG所成角θ=arcsin(3)EA=(6,2，∴點(diǎn)A到平面EFG的距離d=|【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了平面的法向量、線面角、點(diǎn)到平面的距離的求法，空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．18、證明見解析；.【解題分析】

推出，從而平面，進(jìn)而得出，再得出，從而平面，由此能證明平面平面；以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的余弦值.【題目詳解】解：證明：平面平面，，平面平面.平面，.在菱形中，，可知為等邊三角形，為中點(diǎn)，.，平面.平面，平面平面.由知，平面，，，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，，，.設(shè)為平面的法向量，由可得，取，同理可求平面的法向量，，即二面角的余弦值等于.【題目點(diǎn)撥】本題考查面面垂直的證明，線面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力，考查函數(shù)與方程思想，屬于中檔題.19、（1）；（2）見解析【解題分析】

(1)根據(jù)前n項(xiàng)和與通項(xiàng)間的關(guān)系得到，，，兩式做差即可得到數(shù)列，數(shù)列為常數(shù)列，，即；（2）根據(jù)第一問得到，裂項(xiàng)求和即可.【題目詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，①，②，得，即，所以，且，所以數(shù)列為常數(shù)列，，即．（2）由（1）得，所以，所以，．【題目點(diǎn)撥】這個(gè)題目考查的是數(shù)列通項(xiàng)公式的求法及數(shù)列求和的常用方法；數(shù)列通項(xiàng)的求法中有常見的已知和的關(guān)系，求表達(dá)式，一般是寫出做差得通項(xiàng)，但是這種方法需要檢驗(yàn)n=1時(shí)通項(xiàng)公式是否適用；數(shù)列求和常用法有：錯(cuò)位相減，裂項(xiàng)求和，分組求和等．20、（I）見解析（II）【解題分析】

（I）根據(jù)題意，對(duì)于，變形可得，根據(jù)等差數(shù)列的定義分析可得結(jié)論；（II）由（1）中的結(jié)論，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，即可得出，再根據(jù)錯(cuò)位相減法即可求解出結(jié)果?！绢}目詳解】解：（I）由，可得所以得為等差數(shù)列，公差為1；（II），①②①-②得【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了構(gòu)利用定義法證明等差數(shù)列以及錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和，證明時(shí)采用了構(gòu)造的方法，錯(cuò)位相減法主要用于數(shù)列的形式為等差乘等比。21、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】

過D作平行線DH，則可得兩兩垂直，以它們?yōu)樽鴺?biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)，求出長(zhǎng)，寫出的坐標(biāo)．求出相應(yīng)向量，（1）由，證得垂直；（2）求出平面的法向量，直線與平面所成角的正弦值等于向量和夾角余弦值的絕對(duì)值．由向量的數(shù)量積運(yùn)算易求．【題目詳解】（1）過D作平行線DH，以D為原點(diǎn)，DB為x軸，DC為y軸，為軸，建立空間坐標(biāo)系，如圖，在中，，，，，交于點(diǎn)，，；,，，；（2）由（1）可知