2024屆河南省鄲城縣第二高級中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

2024屆河南省鄲城縣第二高級中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．定積分（）A．1 B．2 C．3 D．42．(+)(2-)5的展開式中33的系數(shù)為A．-80 B．-40 C．40 D．803．某班共有52人，現(xiàn)根據(jù)學(xué)生的學(xué)號，用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為4的樣本．已知3號、29號、42號同學(xué)在樣本中，那么樣本中還有一個(gè)同學(xué)的學(xué)號是()A．10 B．11 C．12 D．164．三世紀(jì)中期，魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)割圓術(shù)，為計(jì)算圓周率建立了嚴(yán)密的理論和完善的算法.所謂割圓術(shù)，就是不斷倍增圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)求出圓周率的方法.如圖是劉徽利用正六邊形計(jì)算圓周率時(shí)所畫的示意圖，現(xiàn)向圓中隨機(jī)投擲一個(gè)點(diǎn)，則該點(diǎn)落在正六邊形內(nèi)的概率為（）A． B． C． D．5．以為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A． B． C． D．6．己知命題P：單位向量的方向均相同，命題q：實(shí)數(shù)a的平方為負(fù)數(shù)。則下列說法正確的是A．是真命題 B．是真命題 C．是假命題 D．是假命題7．已知，，，則的最大值為（）A．1 B． C． D．8．用反證法證明“方程至多有兩個(gè)解”的假設(shè)中，正確的是（）A．至少有兩個(gè)解 B．有且只有兩個(gè)解C．至少有三個(gè)解 D．至多有一個(gè)解9．某地區(qū)氣象臺(tái)統(tǒng)計(jì)，該地區(qū)下雨的概率是，刮風(fēng)的概率為，既刮風(fēng)又下雨的概率為，則在下雨天里，刮風(fēng)的概率為（）A． B． C． D．10．以雙曲線的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，離心率為的雙曲線的漸近線方程是（）A． B．C． D．11．對相關(guān)系數(shù)，下列說法正確的是（）A．越大，線性相關(guān)程度越大B．越小，線性相關(guān)程度越大C．越大，線性相關(guān)程度越小，越接近0，線性相關(guān)程度越大D．且越接近1，線性相關(guān)程度越大，越接近0，線性相關(guān)程度越小12．函數(shù)的定義域?yàn)?)A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)圓x2+y2＝1上的動(dòng)點(diǎn)P到直線3x+4y﹣10＝0的距離為d，則d的最大值為_____．14．棱長為的正四面體的高為__________.15．已知向量與的夾角為，且，，則向量在向量方向上的投影為________．16．設(shè)隨機(jī)變量ξ的概率分布列為P(ξ=k)=ck+1，k=0，1三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè){an}是等差數(shù)列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比數(shù)列．（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記{an}的前n項(xiàng)和為Sn，求Sn的最小值．18．（12分）某園林基地培育了一種新觀賞植物，經(jīng)過了一年的生長發(fā)育，技術(shù)人員從中抽取了部分植株的高度(單位:厘米)作為樣本(樣本容量為)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分組做出頻率分布直方圖，并作出樣本高度的莖葉圖(圖中僅列出了高度在[50,60),[90,100]的數(shù)據(jù)).1）求樣本容量和頻率分布直方圖中的2）在選取的樣本中,從高度在80厘米以上(含80厘米)的植株中隨機(jī)抽取3株,設(shè)隨機(jī)變量表示所抽取的3株高度在[80,90)內(nèi)的株數(shù),求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.19．（12分）某市為迎接“國家義務(wù)教育均衡發(fā)展”綜合評估，市教育行政部門在全市范圍內(nèi)隨機(jī)抽取了所學(xué)校，并組織專家對兩個(gè)必檢指標(biāo)進(jìn)行考核評分.其中分別表示“學(xué)校的基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)”和“學(xué)校的師資力量”兩項(xiàng)指標(biāo)，根據(jù)評分將每項(xiàng)指標(biāo)劃分為(優(yōu)秀)、(良好)、(及格）三個(gè)等級，調(diào)查結(jié)果如表所示.例如：表中“學(xué)校的基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)”指標(biāo)為等級的共有所學(xué)校.已知兩項(xiàng)指標(biāo)均為等級的概率為0.21.（1）在該樣本中，若“學(xué)校的基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)”優(yōu)秀率是0.4，請?zhí)顚懴旅媪新?lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認(rèn)為“學(xué)校的基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)”和“學(xué)校的師資力量”有關(guān)；師資力量（優(yōu)秀）師資力量（非優(yōu)秀）合計(jì)基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)（優(yōu)秀）基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)（非優(yōu)秀）合計(jì)（2）在該樣本的“學(xué)校的師資力量”為等級的學(xué)校中，若，記隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.附:20．（12分）已知函數(shù)，其中，且曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.21．（12分）已知點(diǎn)A是橢圓的上頂點(diǎn)，斜率為的直線交橢圓E于A、M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在橢圓E上，且；（1）當(dāng)時(shí)，求的面積；（2）當(dāng)時(shí)，求證：.22．（10分）已知函數(shù)，，.（1）若，求不等式的解集；（2）若對任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

直接利用定積分公式計(jì)算得到答案.【題目詳解】.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了定積分，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.2、C【解題分析】，由展開式的通項(xiàng)公式可得：當(dāng)時(shí)，展開式中的系數(shù)為；當(dāng)時(shí)，展開式中的系數(shù)為，則的系數(shù)為.故選C.【名師點(diǎn)睛】（1）二項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負(fù)整數(shù)，且n≥r，如常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零、有理項(xiàng)指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項(xiàng).（2）求兩個(gè)多項(xiàng)式的積的特定項(xiàng)，可先化簡或利用分類加法計(jì)數(shù)原理討論求解.3、D【解題分析】

由題計(jì)算出抽樣的間距為13，由此得解．【題目詳解】由題可得，系統(tǒng)抽樣的間距為13，則在樣本中．故選D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了系統(tǒng)抽樣知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．4、A【解題分析】設(shè)圓的半徑為，則圓的面積，正六邊形的面積，所以向圓中隨機(jī)投擲一個(gè)點(diǎn)，該點(diǎn)落在正六邊形內(nèi)的概率，故選A.5、A【解題分析】

由題意和拋物線的性質(zhì)判斷出拋物線的開口方向，并求出的值，即可寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【題目詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)是，

所以拋物線開口向右，且=2，

則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．6、D【解題分析】

先判斷命題P，命題q均為假.再逐項(xiàng)判斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤.【題目詳解】命題P：單位向量的方向可以是任意的，假命題命題q：實(shí)數(shù)a的平方為非負(fù)數(shù)，假命題為假命題，A錯(cuò)誤為假命題，B錯(cuò)誤是真命題，C錯(cuò)誤是假命題，D正確故答案選D【題目點(diǎn)撥】本題考查了命題的判斷，正確判斷命題的正誤是解決此類題型的關(guān)鍵.7、D【解題分析】

直接使用基本不等式，可以求出的最大值.【題目詳解】因?yàn)?，，，所以有，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故本題選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，掌握公式的特征是解題的關(guān)鍵.8、C【解題分析】分析：把要證的結(jié)論進(jìn)行否定，得到要證的結(jié)論的反面，即為所求．詳解：由于用反證法證明數(shù)學(xué)命題時(shí)，應(yīng)先假設(shè)命題的否定成立，

命題：“方程ax2+bx+c=0（a≠0）至多有兩個(gè)解”的否定是：“至少有三個(gè)解”，

故選C．點(diǎn)睛：本題主要考查用命題的否定，反證法證明數(shù)學(xué)命題的方法和步驟，把要證的結(jié)論進(jìn)行否定，得到要證的結(jié)論的反面，是解題的突破口，屬于中檔題．9、D【解題分析】分析：根據(jù)條件概率求結(jié)果.詳解：因?yàn)樵谙掠晏炖?，刮風(fēng)的概率為既刮風(fēng)又下雨的概率除以下雨的概率，所以在下雨天里，刮風(fēng)的概率為，選D.點(diǎn)睛：本題考查條件概率，考查基本求解能力.10、D【解題分析】

由題求已知雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出值即可得答案?！绢}目詳解】由題可知雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則所求雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，即，又因?yàn)殡x心率為，所以，解得，所以，即，所以漸近線方程是故選D【題目點(diǎn)撥】本題考查求雙曲線的漸近線方程，解題的關(guān)鍵是判斷出焦點(diǎn)位置后求得，屬于簡單題。11、D【解題分析】

根據(jù)兩個(gè)變量之間的相關(guān)系數(shù)r的基本特征，直接選出正確答案即可．【題目詳解】用相關(guān)系數(shù)r可以衡量兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱，|r|≤1，r的絕對值越接近于1，表示兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，r的絕對值接近于0時(shí)，表示兩個(gè)變量之間幾乎不存在相關(guān)關(guān)系，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查兩個(gè)變量之間相關(guān)系數(shù)的基本概念應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．12、D【解題分析】

分析每個(gè)根號下的范圍，取交集后得到定義域.【題目詳解】因?yàn)?，所以，則定義域?yàn)?故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)含根號的函數(shù)定義問題，難度較易.注意根號下大于等于零即可.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解題分析】

將問題轉(zhuǎn)化為求圓心到直線的距離加上半徑，再由點(diǎn)到直線的距離公式可得結(jié)果.【題目詳解】依題意可知，圓x2+y2＝1上的動(dòng)點(diǎn)P到直線3x+4y﹣10＝0的距離的最大值等于圓心到直線的距離加上半徑，因?yàn)閳A心到直線為，圓的半徑為1，所以的最大值為.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

利用正弦定理計(jì)算出正四面體底面三角形的外接圓半徑，再利用公式可得出正四面體的高.【題目詳解】設(shè)正四面體底面三角形的外接圓的半徑為，由正弦定理得，，因此，正四面體的高為，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查正四面體高的計(jì)算，解題時(shí)要充分分析幾何體的結(jié)構(gòu)，結(jié)合勾股定理進(jìn)行計(jì)算，考查空間想象能力，屬于中等題.15、【解題分析】

由題知，，再根據(jù)投影的概念代入計(jì)算即可.【題目詳解】，，所以向量在向量方向上的投影為.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了向量模的坐標(biāo)計(jì)算，投影的概念與計(jì)算.16、【解題分析】∵所有事件發(fā)生的概率之和為1，即P（ξ=0）+P（ξ=1）+P（ξ=2）+P（ξ=3）=1，∴，∴c=1225，∴P（ξ=k）=1225(k+1)，∴P（ξ=2）=．故答案為．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解題分析】

(Ⅰ)由題意首先求得數(shù)列的公差，然后利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)首先求得的表達(dá)式，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得其最小值.【題目詳解】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，即，解得，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）知,所以；當(dāng)或者時(shí)，取到最小值.【題目點(diǎn)撥】等差數(shù)列基本量的求解是等差數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等差數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用.18、(1)見解析;(2)見解析.【解題分析】分析：（1）由莖葉圖及頻率分布直方圖能求出樣本容量n和頻率分布直方圖中的x，y；（2）由題意可知，高度在[80,90)內(nèi)的株數(shù)為5，高度在[90,100]內(nèi)的株數(shù)為2，共7株.抽取的3株中高度在[80,90)內(nèi)的株數(shù)的可能取值為1,2,3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和期望.詳解：(1)由題意可知，樣本容量，.(2)由題意可知，高度在[80,90)內(nèi)的株數(shù)為5，高度在[90,100]內(nèi)的株數(shù)為2，共7株.抽取的3株中高度在[80,90)內(nèi)的株數(shù)的可能取值為1,2,3，則,,.123故.點(diǎn)睛：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.19、（1）見解析；（2）見解析.【解題分析】

（1）依題意求得n、a和b的值，填寫列聯(lián)表，計(jì)算K2，對照臨界值得出結(jié)論；（2）由題意得到滿足條件的（a，b），再計(jì)算ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望值．【題目詳解】（Ⅰ）依題意得，得由，得由得師資力量(優(yōu)秀)師資力量（非優(yōu)秀）基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)（優(yōu)秀）2021基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)（非優(yōu)秀）2039.因?yàn)?，所以沒有90﹪的把握認(rèn)為“學(xué)校的基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)”和“學(xué)校的師資力量”有關(guān).（Ⅱ）,,得到滿足條件的有：，，，，故的分布列為1357故【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)和離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望問題，屬于中檔題．20、（1）（2）單調(diào)增區(qū)間為：函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為【解題分析】

（1）根據(jù)題可知，由此計(jì)算出的值；（2）寫出并因式分解，討論取何范圍能使，由此求出單調(diào)遞增、遞減區(qū)間.【題目詳解】（1）由題意，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為0.，，所以；（2）由（1）知，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為：；函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的運(yùn)用以及求解具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，難度較易.已知曲線某點(diǎn)處切線斜率求解參數(shù)時(shí)，可通過先求導(dǎo)，然后根據(jù)對應(yīng)點(diǎn)處切線斜率等于導(dǎo)數(shù)值求解出參數(shù).21、（1）（2）證明見解析【解題分析】

（1）由橢圓對稱性確定直線斜率為1，斜率為-1，求出點(diǎn)坐標(biāo)后可得三角形面積；（2）由直線方程為求得點(diǎn)坐標(biāo)（橫坐標(biāo)即可），得，同理得（直線斜率為），利用得的方程，利用函數(shù)的知識(shí)（導(dǎo)數(shù)）證明此方程的解在區(qū)間上．【題目詳解】（1）由橢圓對稱性知點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，且，由題意，，方程為，于是可以設(shè)點(diǎn)其中，于是，解得，所以.（2）據(jù)題意，直線，聯(lián)立橢圓E，得：，即：，則，那么，同理，知：，由，得：，即：.令，則，所以單調(diào)增，又，，故存在唯一零點(diǎn)，即.【題目點(diǎn)