山西省渾源縣第五中學(xué)校2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末預(yù)測試題含解析

山西省渾源縣第五中學(xué)校2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末預(yù)測試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)數(shù)列，()都是等差數(shù)列，若，則等于（）A．60 B．62 C．63 D．662．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)是（）A． B． C． D．3．已知是定義在上的奇函數(shù)，對任意，，都有，且對于任意的，都有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．4．中，，且，點(diǎn)滿足，則A． B． C． D．5．某教師有相同的語文參考書本，相同的數(shù)學(xué)參考書本，從中取出本贈送給位學(xué)生，每位學(xué)生本，則不同的贈送方法共有（）A．種 B．種 C．種 D．種6．由曲線和直線，，（）所圍成圖形（陰影部分）的面積的最小值為()．A． B． C． D．7．甲、乙兩名運(yùn)動員，在某項(xiàng)測試中的8次成績?nèi)缜o葉圖所示，分別表示甲、乙兩名運(yùn)動員這項(xiàng)測試成績的平均數(shù)，，分別表示甲、乙兩名運(yùn)動員這項(xiàng)測試成績的標(biāo)準(zhǔn)差，則有（）A． B．C． D．8．若對于任意的實(shí)數(shù)，有，則的值為（）A． B． C． D．9．如果的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為128，則展開式中的系數(shù)是（）A．21 B． C．7 D．10．設(shè)地球的半徑為R，在緯度為的緯線圈上有A,B兩地，若這兩地的緯線圈上的弧長為，則A,B兩地之間的球面距離為（）A． B． C． D．11．函數(shù)與兩條平行線，及軸圍成的區(qū)域面積是（）A． B． C． D．12．命題p：x∈R，ax2﹣2ax+1＞0，命題q：指數(shù)函數(shù)f（x）＝ax（a＞0且a≠1）為減函數(shù)，則P是q的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線過點(diǎn)，且它的一個(gè)方向向量為，則原點(diǎn)到直線的距離為______．14．已知直線的一個(gè)法向量，則直線的傾斜角是_________（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）；15．已知、滿足，則的最小值為________.16．在圓中：半徑為的圓的內(nèi)接矩形中，以正方形的面積最大，最大值為.類比到球中：半徑為的球的內(nèi)接長方體中，以正方體的體積最大，最大值為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函數(shù)的極大值．18．（12分）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)榧?，集合，?）若，求；（2）若，求.19．（12分）設(shè)相互垂直的直線，分別過橢圓的左、右焦點(diǎn)，，且與橢圓的交點(diǎn)分別為、和、.（1）當(dāng)?shù)膬A斜角為時(shí)，求以為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）問是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.20．（12分）由甲、乙、丙三個(gè)人組成的團(tuán)隊(duì)參加某項(xiàng)闖關(guān)游戲，第一關(guān)解密碼鎖，3個(gè)人依次進(jìn)行，每人必須在1分鐘內(nèi)完成，否則派下一個(gè)人．3個(gè)人中只要有一人能解開密碼鎖，則該團(tuán)隊(duì)進(jìn)入下一關(guān)，否則淘汰出局．根據(jù)以往100次的測試，分別獲得甲、乙解開密碼鎖所需時(shí)間的頻率分布直方圖．（1）若甲解開密碼鎖所需時(shí)間的中位數(shù)為47，求a、b的值，并分別求出甲、乙在1分鐘內(nèi)解開密碼鎖的頻率；（2）若以解開密碼鎖所需時(shí)間位于各區(qū)間的頻率代替解開密碼鎖所需時(shí)間位于該區(qū)間的概率，并且丙在1分鐘內(nèi)解開密碼鎖的概率為0.5，各人是否解開密碼鎖相互獨(dú)立．①求該團(tuán)隊(duì)能進(jìn)入下一關(guān)的概率；②該團(tuán)隊(duì)以怎樣的先后順序派出人員，可使所需派出的人員數(shù)目X的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最小，并說明理由．21．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，且。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和。22．（10分）設(shè)函數(shù).（1）若是的極值點(diǎn)，求的值.（2）已知函數(shù)，若在區(qū)間（0，1）內(nèi)僅有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

設(shè)數(shù)列的公差為，則由題意可得，求得的值，得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解得值，得到答案.【題目詳解】由題意，數(shù)列，都是等差數(shù)列，且，設(shè)數(shù)列的公差為，則有，即，解得，所以，，所以，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了等差數(shù)列的定義，以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解題分析】

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的性質(zhì)分別對選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可【題目詳解】對于A，為奇函數(shù)，在區(qū)間為單調(diào)增函數(shù)，不滿足題意；對于B,為偶函數(shù)，在區(qū)間上為單調(diào)遞減的函數(shù)，故B滿足題意；對于C,為偶函數(shù)，在區(qū)間上為周期函數(shù)，故C不滿足題意；對于D,為偶函數(shù)，在區(qū)間為單調(diào)增函數(shù)，故D不滿足題意；故答案選B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，要求熟練掌握常見函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì).3、B【解題分析】

由可判斷函數(shù)為減函數(shù)，將變形為，再將函數(shù)轉(zhuǎn)化成恒成立問題即可【題目詳解】，又是定義在上的奇函數(shù)，為R上減函數(shù)，故可變形為，即，根據(jù)函數(shù)在R上為減函數(shù)可得，整理后得，在為減函數(shù)，為增函數(shù)，所以在為增函數(shù)，為減函數(shù)在恒成立，即，當(dāng)時(shí)，有最小值所以答案選B【題目點(diǎn)撥】奇偶性與增減性結(jié)合考查函數(shù)性質(zhì)的題型重在根據(jù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化函數(shù)，學(xué)會去“”；本題還涉及恒成立問題，一般通過分離參數(shù)，處理函數(shù)在某一區(qū)間恒成立問題4、D【解題分析】分析：以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解．詳解：由題意，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)點(diǎn)，則，又由，所以，即，所以，所以，故選D．點(diǎn)睛：本題主要考查了向量的坐標(biāo)表示與向量的坐標(biāo)運(yùn)算問題，其中恰當(dāng)?shù)慕⒅苯亲鴺?biāo)系，求得向量的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及推理與計(jì)算能力．5、B【解題分析】若本中有本語文和本數(shù)學(xué)參考，則有種方法，若本中有本語文和本參考，則有種方法，若本中有語文和本參考，則有種方法，若本都是數(shù)學(xué)參考書，則有一種方法，所以不同的贈送方法共有有，故選B.6、C【解題分析】

利用定積分求出陰影部分區(qū)域面積關(guān)于的函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出該函數(shù)的最小值，可得出結(jié)果．【題目詳解】設(shè)陰影部分區(qū)域的面積為，則，，其中，令，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，函數(shù)在處取得極小值，亦即最小值，且最小值為，因此，陰影部分區(qū)域面積的最小值為，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查利用定積分計(jì)算曲邊多邊形的面積，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，在利用定積分思想求曲邊多邊形的面積時(shí)，要確定被積函數(shù)和被積區(qū)間，結(jié)合定積分公式進(jìn)行計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題．7、B【解題分析】

根據(jù)莖葉圖看出兩組數(shù)據(jù)，先求出兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再求出兩組數(shù)據(jù)的方差，比較兩組數(shù)據(jù)的方差的大小就可以得到兩組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差的大?。绢}目詳解】由莖葉圖可看出甲的平均數(shù)是，乙的平均數(shù)是，兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等．甲的方差是乙的方差是甲的標(biāo)準(zhǔn)差小于乙的標(biāo)準(zhǔn)差，故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差的意義，是一個(gè)基礎(chǔ)題，解題時(shí)注意平均數(shù)是反映數(shù)據(jù)的平均水平，而標(biāo)準(zhǔn)差反映波動的大小，波動越小數(shù)據(jù)越穩(wěn)定．8、B【解題分析】試題分析：因?yàn)椋?，故選擇B.考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理.9、A【解題分析】

令，則該式等于系數(shù)之和，可求出n，由二項(xiàng)展開式公式即可求得展開式中某項(xiàng)的系數(shù).【題目詳解】令，則，解得：，由二項(xiàng)展開式公式可得項(xiàng)為：，所以系數(shù)為21.故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)展開式系數(shù)之和與某項(xiàng)系數(shù)的求法，求系數(shù)之和時(shí)，一般令，注意區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)之和為.10、D【解題分析】

根據(jù)緯線圈上的弧長為求出A,B兩地間的徑度差，即可得出答案。【題目詳解】設(shè)球心為O，緯度為的緯線圈的圓心為O′，則∠O′AO=,∴O′A=OAcos∠O′AO=Rcos,設(shè)A,B兩地間的徑度差的弧度數(shù)為，則Rcos=,∴=,即A,B兩地是⊙O′的一條直徑的兩端點(diǎn)，∴∠AOB=,∴A,B兩地之間的球面距離為．答案：D．【題目點(diǎn)撥】本題涉及到了地理相關(guān)的經(jīng)緯度概念。學(xué)生需理解其基本概念，將題干所述信息轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)相關(guān)知識求解。11、B【解題分析】

根據(jù)定積分的幾何意義直接求出在區(qū)間的定積分，即可得出答案?！绢}目詳解】故選B【題目點(diǎn)撥】本題考查定積分的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題。12、B【解題分析】

根據(jù)充分條件和必要條件的定義分別進(jìn)行判斷即可．【題目詳解】命題p：?x∈R，ax2﹣2ax+1＞0，解命題p：①當(dāng)a≠0時(shí)，△＝4a2﹣4a＝4a（a﹣1）＜0，且a>0，∴解得：0＜a＜1，②當(dāng)a＝0時(shí)，不等式ax2﹣2ax+1＞0在R上恒成立，∴不等式ax2﹣2ax+1＞0在R上恒成立，有：0≤a＜1；命題q：指數(shù)函數(shù)f（x）＝ax（a＞0且a≠1）為減函數(shù)，則0＜a＜1；所以當(dāng)0≤a＜1；推不出0＜a＜1；當(dāng)0＜a＜1；能推出0≤a＜1；故P是q的必要不充分條件．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，考查了二次型函數(shù)恒成立的問題，考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

求出直線的方程，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式可求出原點(diǎn)到直線的距離.【題目詳解】由于直線的一個(gè)方向向量為，則直線的斜率為，所以，直線的方程為，即，因此，原點(diǎn)到直線的距離為.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查點(diǎn)到直線距離的計(jì)算，同時(shí)也考查了直線方向向量的應(yīng)用，解題時(shí)要根據(jù)題中條件得出直線的斜率，并寫出直線的方程，考查計(jì)算能力，屬于中等題.14、【解題分析】

由法向量與方向向量垂直，求出方向向量，得直線的斜率，從而得傾斜角?！绢}目詳解】直線的一個(gè)法向量，則直線的一個(gè)方向向量為，其斜率為，∴傾斜角為。故答案為：?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查求直線的傾斜角，由方向向量與法向量的垂直關(guān)系可求得直線斜率，從而求得傾斜角，注意傾斜角范圍是，而反正切函數(shù)值域是。15、4【解題分析】

此題考查線性規(guī)劃問題，只需認(rèn)真作出不等式表示的平面區(qū)域，把目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為截距式求值即可.【題目詳解】作出不等式表示的平面區(qū)域，如圖所示：令，則，作出直線l:,平移直線l，由圖可得，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，直線在y軸上的截距最大，此時(shí)取得最小值，得B(2，2),代入故填4.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查學(xué)生的作圖能力及分析能力，難度較小.16、【解題分析】分析：圓的內(nèi)接矩形中，以正方形的面積最大，當(dāng)邊長等于時(shí)，類比球中內(nèi)接長方體中，以正方體的體積最大，棱長為詳解：圓的內(nèi)接矩形中，以正方形的面積最大，當(dāng)邊長時(shí)，解得時(shí)，類比球中內(nèi)接長方體中，以正方體的體積最大，當(dāng)棱長,解得時(shí)，正方體的體積為點(diǎn)睛：類比推理，理會題意抓住題目內(nèi)在結(jié)構(gòu)相似的推導(dǎo)過程，不要僅模仿形式上的推導(dǎo)過程。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解題分析】

（Ⅰ）將點(diǎn)代入切線方程得出，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出，于此列方程組求解出實(shí)數(shù)、的值；（Ⅱ）求出函數(shù)的定義域，然后對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，分析出該函數(shù)的極大值點(diǎn)并求出該函數(shù)的極大值?！绢}目詳解】（Ⅰ）由，得．由曲線在點(diǎn)處的切線方程為，得，，解得．（Ⅱ），．，解得；，解得；所以函數(shù)的增區(qū)間：；減區(qū)間：，時(shí)，函數(shù)取得極大值，函數(shù)的極大值為．【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，求解時(shí)要熟練應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的基本步驟，另外在處理直線與函數(shù)圖象相切的問題時(shí)，抓住以下兩個(gè)要點(diǎn)：（1）函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率；（2）切點(diǎn)是切線與函數(shù)圖象的公共點(diǎn)。18、解：（1）；（2）.【解題分析】試題分析：（1）把代入二次不等式求集合B，根據(jù)函數(shù)定義域化簡集合A，然后根據(jù)交集的運(yùn)算法則直接運(yùn)算即可．（2）時(shí)求出集合B,化簡集合A,再求出A、B的補(bǔ)集，根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可．試題解析：（1），得，∵，∴，∴.（2）∵，∴，∴，∴.19、（Ⅰ）（Ⅱ）存在，使得恒成立，詳見解析【解題分析】

（1）將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，計(jì)算出線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，利用弦長公式計(jì)算出，于此得出圓心坐標(biāo)和半徑長，再寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)式方程；（2）對直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，在直線的斜率不存在時(shí)，分別計(jì)算出和，可計(jì)算出的值，在直線的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線的方程為，將該直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式以及韋達(dá)定理計(jì)算出，同理計(jì)算出，代入題中等式計(jì)算出的值，從而說明實(shí)數(shù)存在．【題目詳解】（1）由題意可設(shè)的方程為，代入可得．所以，的中點(diǎn)坐標(biāo)為．又，所以，以為直徑的圓的方程為．（2）假設(shè)存在常數(shù)，使得恒成立．①當(dāng)與軸垂直或與軸垂直時(shí)，；②設(shè)直線的方程為，則直線的方程為．將的方程代入得：．由韋達(dá)定理得：，，所以．同理可得．所以．因此，存在，使得恒成立．【題目點(diǎn)撥】本題考查直線與橢圓的綜合問題，考查弦長公式、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，計(jì)算量大，解題的易錯點(diǎn)就是計(jì)算，計(jì)算時(shí)可充分利用因式分解等一些常規(guī)步驟來操作，另外在設(shè)直線方程時(shí)也可以掌握一些技巧，降低運(yùn)算量．20、（1），，甲、乙在1分鐘內(nèi)解開密碼鎖的頻率分別是0.9，0.7；（2）①0.985；②先派出甲，再派乙，最后派丙.【解題分析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖中左右兩邊矩形面積均為計(jì)算出中位數(shù)，可得出、的值，再分別計(jì)算甲、乙在分鐘內(nèi)解開密碼鎖的頻率值；（2）①利用獨(dú)立事件概率的乘法公式可計(jì)算出所求事件的概率；②分別求出先派甲和先派乙時(shí)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，比較它們的大小，即可得出結(jié)論．【題目詳解】（1）甲解開密碼鎖所需時(shí)間的中位數(shù)為47，，解得；，解得；∴甲在1分鐘內(nèi)解開密碼鎖的頻率是；乙在1分鐘內(nèi)解開密碼鎖的頻率是；（2）由（1）知，甲在1分鐘內(nèi)解開密碼鎖的頻率是0.9，乙是0.7，丙是0.5，且各人是否解開密碼鎖相互獨(dú)立；①令“團(tuán)隊(duì)能進(jìn)入下一關(guān)”的事件為，“不能進(jìn)入下一關(guān)”的事件為，，∴該團(tuán)隊(duì)能進(jìn)入下一關(guān)的概率為；②設(shè)按先后順序自能完成任務(wù)的概率分別p1，p2，p3，且p1，p2，p3互不相等，根據(jù)題意知X的取值為1，2，3；則，，，，，