2024屆江蘇省南京市田家炳中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

2024屆江蘇省南京市田家炳中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知復(fù)數(shù)，則（）A．1 B． C． D．52．甲?乙?丙?丁四位同學(xué)一起去老師處問(wèn)他們的成績(jī).老師說(shuō):“你們四人中有2位優(yōu)秀,2位良好,我現(xiàn)在給丙看甲?乙的成績(jī),給甲看乙的成績(jī),給丁看丙的成績(jī).”看后丙對(duì)大家說(shuō):“我還是不知道我的成績(jī).”根據(jù)以上信息,則下列結(jié)論正確的是()A．甲可以知道四人的成績(jī) B．丁可以知道自己的成績(jī)C．甲?丙可以知道對(duì)方的成績(jī) D．乙?丁可以知道自己的成績(jī)3．已知函數(shù)的最小正周期是，若其圖像向右平移個(gè)單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)的圖像（）A．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) B．關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)C．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) D．關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)4．的展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)的和為32，則該展開(kāi)式中x的系數(shù)為（）A．10 B． C．5 D．5．的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（）A．2 B．4 C．6 D．86．對(duì)變量x,y有觀測(cè)數(shù)據(jù)(xi,yiA．變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)B．變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)C．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)D．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)7．的常數(shù)項(xiàng)為(

)A．28 B．56 C．112 D．2248．現(xiàn)對(duì)某次大型聯(lián)考的1.2萬(wàn)份成績(jī)進(jìn)行分析，該成績(jī)服從正態(tài)分布，已知，則成績(jī)高于570的學(xué)生人數(shù)約為（）A．1200 B．2400 C．3000 D．15009．已知復(fù)數(shù)，則的虛部是（）A． B． C．-4 D．410．中國(guó)南北朝時(shí)期的著作《孫子算經(jīng)》中，對(duì)同余除法有較深的研究.設(shè)為整數(shù)，若a和b被m除得余數(shù)相同，則稱(chēng)a和b對(duì)模m同余.記為.若，，則b的值可以是（）A．2019 B．2020 C．2021 D．202211．若實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足a＋b＝2，則的最小值是()A．18 B．6 C．2 D．412．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿(mǎn)足，則（）A． B．1 C．-1 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為_(kāi)_________．14．若，分別是橢圓：短軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上異于，的任意一點(diǎn)，若直線與直線的斜率之積為，則__________．15．曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_________.16．如圖，AD與BC是四面體ABCD中互相垂直的棱，BC=2.若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c為常數(shù)，則四面體ABCD的體積的最大值是.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知的展開(kāi)式中，前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列.（1）求含項(xiàng)的系數(shù)；（2）將二項(xiàng)式的展開(kāi)式中所項(xiàng)重新排成一列，求有理項(xiàng)互不相鄰的概率．18．（12分）甲、乙、丙三人組成一個(gè)小組參加電視臺(tái)舉辦的聽(tīng)曲猜歌名活動(dòng)，在每一輪活動(dòng)中，依次播放三首樂(lè)曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首，若有一人猜錯(cuò)，則活動(dòng)立即結(jié)束；若三人均猜對(duì)，則該小組進(jìn)入下一輪，該小組最多參加三輪活動(dòng)．已知每一輪甲猜對(duì)歌名的概率是34，乙猜對(duì)歌名的概率是23，丙猜對(duì)歌名的概率是(I)求該小組未能進(jìn)入第二輪的概率；(Ⅱ)記乙猜歌曲的次數(shù)為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．19．（12分）在極坐標(biāo)系中，極點(diǎn)為0，已知曲線與曲線交于不同的兩點(diǎn).求：(1)的值；(2)過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線的極坐標(biāo)方程．20．（12分）如圖，平面，在中，，，交于點(diǎn)，，，，．（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．21．（12分）在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中。（1）求該二項(xiàng)展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和的值；（2）求該二項(xiàng)展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)；（3）求該二項(xiàng)展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)。22．（10分）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)，若（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）．（Ⅰ）求橢圓的方程．（Ⅱ）設(shè)是橢圓上的任意一點(diǎn)，為圓的任意一條直徑（、為直徑的兩個(gè)端點(diǎn)），求的最大值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】.故選2、B【解題分析】

根據(jù)題意可逐句進(jìn)行分析，已知四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，而丙知道甲和乙但不知道自己的成績(jī)可知：甲和乙、丙和丁都只能一個(gè)是優(yōu)秀，一個(gè)是良好，接下來(lái)，由上一步的結(jié)論，當(dāng)甲知道乙的成績(jī)后，就可以知道自己的成績(jī)，同理，當(dāng)丁知道丙的成績(jī)后，就可以知道自己的成績(jī)，從而選出答案.【題目詳解】由丙知道甲和乙但不知道自己的成績(jī)可知：甲和乙、丙和丁都只能一個(gè)是優(yōu)秀，一個(gè)是良好；當(dāng)甲知道乙的成績(jī)后，就可以知道自己的成績(jī)，但是甲不知道丙和丁的成績(jī)；當(dāng)丁知道丙的成績(jī)后，就可以知道自己的成績(jī)，但是丁不知道甲和乙的成績(jī)；綜上，只有B選項(xiàng)符合.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題是一道邏輯推理題，此類(lèi)題目的推理方法是綜合法和分析法，逐條分析題目條件語(yǔ)句即可，屬于中等題.3、D【解題分析】

由最小正周期為可得,平移后的函數(shù)為,利用奇偶性得到,即可得到,則,進(jìn)而判斷其對(duì)稱(chēng)性即可【題目詳解】由題,因?yàn)樽钚≌芷跒?所以,則平移后的圖像的解析式為,此時(shí)函數(shù)是奇函數(shù),所以,則,因?yàn)?當(dāng)時(shí),,所以,令,則,即對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為；令,則對(duì)稱(chēng)軸為,當(dāng)時(shí),，故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查圖象變換后的解析式,考查正弦型三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性4、A【解題分析】

令得各項(xiàng)系數(shù)和，求得，再由二項(xiàng)式定理求得展開(kāi)式中x的系數(shù)．【題目詳解】令得，，二項(xiàng)式為，展開(kāi)式通項(xiàng)為，令，，所以的系數(shù)為．故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式定理，考查二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和．掌握二項(xiàng)式定理是解題關(guān)鍵．賦值法是求二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和的常用方法．5、D【解題分析】

由題意得到二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，進(jìn)而可得出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)榈恼归_(kāi)式的第項(xiàng)為，令，則，所以的系數(shù)為8.故選D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查求指定項(xiàng)的系數(shù)問(wèn)題，熟記二項(xiàng)式定理即可，屬于?？碱}型.6、C【解題分析】試題分析：由散點(diǎn)圖1可知，點(diǎn)從左上方到右下方分布，故變量x與y負(fù)相關(guān)；由散點(diǎn)圖2可知，點(diǎn)從左下方到右上方分布，故變量u與v正相關(guān)，故選C考點(diǎn)：本題考查了散點(diǎn)圖的運(yùn)用點(diǎn)評(píng)：熟練運(yùn)用隨機(jī)變量的正負(fù)相關(guān)的概念是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題7、C【解題分析】分析：由二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，即可求解展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng).詳解：由題意，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查了二項(xiàng)展開(kāi)式的指定項(xiàng)的求解，其中熟記二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.8、A【解題分析】

根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性，求得的值，進(jìn)而求得高于的學(xué)生人數(shù)的估計(jì)值.【題目詳解】，則成績(jī)高于570的學(xué)生人數(shù)約為.故選A.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性，考查計(jì)算正態(tài)分布指定區(qū)間的概率，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解題分析】

利用復(fù)數(shù)運(yùn)算法則及虛部定義求解即可【題目詳解】由，得，所以虛部為.故選A【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，復(fù)數(shù)的虛部，考查運(yùn)算求解能力.10、A【解題分析】

先利用二項(xiàng)式定理將表示為，再利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)，得出除以的余數(shù)，結(jié)合題中同余類(lèi)的定義可選出合適的答案．【題目詳解】，則，所以，除以的余數(shù)為，以上四個(gè)選項(xiàng)中，除以的余數(shù)為，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式定理，考查數(shù)的整除問(wèn)題，解這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵就是將指數(shù)冪的底數(shù)表示為與除數(shù)的倍數(shù)相關(guān)的底數(shù)，結(jié)合二項(xiàng)定理展開(kāi)式可求出整除后的余數(shù)，考查計(jì)算能力與分析問(wèn)題的能力，屬于中等題．11、B【解題分析】

由重要不等式可得，再根據(jù)a＋b＝2，代入即可得解.【題目詳解】解：由實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足a＋b＝2，有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故選:B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了重要不等式的應(yīng)用及取等的條件，重點(diǎn)考查了運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題.12、C【解題分析】試題分析：∵函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿(mǎn)足，，∴，把代入可得，解得，故選C.考點(diǎn)：（1）導(dǎo)數(shù)的乘法與除法法則；（2）導(dǎo)數(shù)的加法與減法法則.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求解.【題目詳解】由于的展開(kāi)式的奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，所以的展開(kāi)式的奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)式展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.14、2【解題分析】

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則．由題意得，解得．答案：2點(diǎn)睛：求橢圓離心率或其范圍的方法（1）根據(jù)題意求出的值，再由離心率的定義直接求解．（2）由題意列出含有的方程(或不等式)，借助于消去b，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解．解題時(shí)要注意橢圓本身所含的一些范圍的應(yīng)用，如橢圓上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)等．15、【解題分析】

利用切線的斜率是函數(shù)在切點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)，求出切線斜率，再利用直線方程的點(diǎn)斜式求出切線方程．【題目詳解】∵y＝lnx，∴，∴函數(shù)y＝lnx在x＝1處的切線斜率為1，又∵切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），∴切線方程為y＝x﹣1．故答案為：y＝x﹣1．【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．16、【解題分析】

作BE⊥AD于E，連接CE，則AD⊥平面BEC，所以CE⊥AD，由題設(shè)，B與C都是在以AD為焦距的橢球上，且BE、CE都垂直于焦距AD，所以BE=CE.取BC中點(diǎn)F，連接EF，則EF⊥BC，EF=2，，四面體ABCD的體積，顯然，當(dāng)E在AD中點(diǎn)，即B是短軸端點(diǎn)時(shí)，BE有最大值為b=，所以.[評(píng)注]本題把橢圓拓展到空間，對(duì)缺少聯(lián)想思維的考生打擊甚大！當(dāng)然，作為填空押軸題，區(qū)分度還是要的，不過(guò)，就搶分而言，膽大、靈活的考生也容易找到突破點(diǎn)：AB=BD(同時(shí)AC=CD)，從而致命一擊，逃出生天！三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）7；（2）.【解題分析】

（1）利用二項(xiàng)式定理求出前三項(xiàng)的系數(shù)的表達(dá)式，利用這三個(gè)系數(shù)成等差數(shù)列并結(jié)合組合數(shù)公式求出的值，再利用二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)可求出項(xiàng)的系數(shù)；（2）利用二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)求出展開(kāi)式中有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為，總共是項(xiàng)，利用排列思想得出公共有種排法，然后利用插空法求出有理項(xiàng)不相鄰的排法種數(shù)，最后利用古典概型概率公式可計(jì)算出所求事件的概率．【題目詳解】（1）∵前三項(xiàng)系數(shù)、、成等差數(shù)列．，即．∴或(舍去）∴展開(kāi)式中通項(xiàng)公式T，，，1．令，得，∴含x2項(xiàng)的系數(shù)為；（2）當(dāng)為整數(shù)時(shí)，．∴展開(kāi)式共有9項(xiàng)，共有種排法．其中有理項(xiàng)有3項(xiàng)，有理項(xiàng)互不相鄰有種排法，∴有理項(xiàng)互不相鄰的概率為【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式定理指定項(xiàng)的系數(shù)，考查排列組合以及古典概型的概率計(jì)算，在處理排列組合的問(wèn)題中，要根據(jù)問(wèn)題類(lèi)型選擇合適的方法求解，同時(shí)注意合理使用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理，考查邏輯推理與計(jì)算能力，屬于中等題．18、（Ⅰ）34（Ⅱ）ξ的分別列為Eξ=0×1【解題分析】試題分析：（1）分別將甲、乙、丙第i次猜對(duì)歌名記為事件Ai，Bi，Ci(i=1,2,3)，則A（2）利用相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式、對(duì)立事件的概率計(jì)算公式即可得出．試題解析：分別將甲、乙、丙第i次猜對(duì)歌名記為事件Ai，Bi，Ci(i=1,2,3)，則（Ⅰ）該小組未能進(jìn)入第二輪的概率P=P(=P(A（Ⅱ）乙猜對(duì)歌曲次數(shù)ξ的可能取值為0,1,2,3，P(ξ=0)=P(AP(ξ=1)=P(A=P(=1P(ξ=2)=P(A==1P(ξ=3)=P(A∴ξ的分別列為Eξ=0×1點(diǎn)睛：本題考查了相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式、對(duì)立事件的概率計(jì)算公式、隨機(jī)變量的分布列的概率與數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．19、（1）；（2）.【解題分析】

試題分析：（1）把曲線C1和曲線C2的方程化為直角坐標(biāo)方程，它們分別表示一個(gè)圓和一條直線．利用點(diǎn)到直線的距離公式求得圓心到直線的距離為d的值，再利用弦長(zhǎng)公式求得弦長(zhǎng)|AB|的值．

（2）用待定系數(shù)法求得直線l的方程，再根據(jù)極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化公式求得l的極坐標(biāo)方程試題解析：（1）∵，∴，又∵，可得,∴，圓心(0,0)到直線的距離為∴．（2）∵曲線的斜率為1，∴過(guò)點(diǎn)且與曲線平行的直線的直角坐標(biāo)方程為，∴直線的極坐標(biāo)為，即．20、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解題分析】

過(guò)D作平行線DH，則可得兩兩垂直，以它們?yōu)樽鴺?biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)，求出長(zhǎng)，寫(xiě)出的坐標(biāo)．求出相應(yīng)向量，（1）由，證得垂直；（2）求出平面的法向量，直線與平面所成角的正弦值等于向量和夾角余弦值的絕對(duì)值．由向量的數(shù)量積運(yùn)算易求．【題目詳解】（1）過(guò)D作平行線DH，以D為原點(diǎn)，DB為x軸，DC為y軸，為軸，建立空間坐標(biāo)系，如圖，在中，，，，，交于點(diǎn)，，；,，，；（2）由（1）可知，，，設(shè)平面BEF的法向量為，所以，，取，，設(shè)直線與平面所成角為，所以=.【題目點(diǎn)撥】本題考查證明空間兩直線垂直，考查求直線與平面所成的角，解題方法是建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法證明線線垂直，求線面角，這種方法主要考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，思維量很少，解法固