2024屆云南省高二數(shù)學第二學期期末監(jiān)測模擬試題含解析

2024屆云南省高二數(shù)學第二學期期末監(jiān)測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．從、、中任取兩個字母排成一列，則不同的排列種數(shù)為（）A． B． C． D．2．設函數(shù)是奇函數(shù)（）的導函數(shù)，，當時，，則使得成立的的取值范圍是（）A． B．C． D．3．若向量，滿足，與的夾角為，則等于（）A． B． C．4 D．124．在四邊形中，如果，，那么四邊形的形狀是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．直角梯形5．隨機變量的分布列如下表，其中，，成等差數(shù)列，且，246則（）A． B． C． D．6．空間中不共面的4點A，B，C，D，若其中3點到平面的距離相等且為第四個點到平面的倍，這樣的平面的個數(shù)為（）A．8 B．16 C．32 D．487．若隨機變量服從正態(tài)分布在區(qū)間上的取值概率是0.2，則在區(qū)間上的取值概率約是()A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.88．如圖，四棱錐中，底面是矩形，平面，且，點是上一點，當二面角為時，（）A． B． C． D．19．在極坐標系中，曲線，曲線，若曲線與交于兩點，則線段的長度為（）A．2 B． C． D．110．在中，已知，，，為線段上的一點，且，則的最小值為（）A． B． C． D．11．一次考試中，某班學生的數(shù)學成績近似服從正態(tài)分布，若，則該班數(shù)學成績的及格（成績達到分為及格）率可估計為（）A． B． C． D．12．設，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．甲、乙兩名運動員進行乒乓球單打比賽，根據(jù)以往比賽的勝負情況知道，每一局甲勝的概率為，乙勝的概率為．如果比賽采用“五局三勝”制，求甲以獲勝的概率______14．若從甲乙丙丁4位同學中選出3位同學參加某個活動，則甲被選中的概率為__________．15．函數(shù)的圖象在點處的切線方程是_____________.16．已知函數(shù)，則的極大值為________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在上為減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）設函數(shù).(1)若為定義域上的單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；(2)若，當時，證明：.19．（12分）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）求；（2）若，，是中點，求的長.20．（12分）已知為虛數(shù)單位，復數(shù)滿足，（1）求．（2）在復平面內(nèi)，為坐標原點，向量，對應的復數(shù)分別是，，若是直角，求實數(shù)的值．21．（12分）為推行“新課堂”教學法，某化學老師分別用傳統(tǒng)教學和“新課堂”兩種不同的教學方式，在甲、乙兩個平行班級進行教學實驗.為了比較教學效果，期中考試后，分別從兩個班級中各隨機抽取20名學生的成績進行統(tǒng)計，結(jié)果如下表：記成績不低于70分者為“成績優(yōu)良”.分數(shù)甲班頻數(shù)56441乙班頻數(shù)13655（1）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯概率不超過0.025的前提下認為“成績優(yōu)良與教學方式有關”？甲班乙班總計成績優(yōu)良成績不優(yōu)良總計附：，其中.臨界值表0.100.050.0252.7063.8415.024（2）現(xiàn)從上述40人中，學校按成績是否優(yōu)良采用分層抽樣的方法抽取8人進行考核.在這8人中，記成績不優(yōu)良的乙班人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望.22．（10分）在上海高考改革方案中，要求每位考生必須在物理、化學、生物、政治、歷史、地理六門學科中選擇三門參加等級考試，受各因素影響，小李同學決定選擇物理，并在生物和地理中至少選擇一門.（1）小李同學共有多少種不同的選科方案？（2）若小吳同學已確定選擇生物和地理，求小吳同學與小李同學選科方案相同的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

從、、中任取兩個字母排成一列，直接利用排列數(shù)公式可得出結(jié)果.【題目詳解】由排列數(shù)的定義可知，從、、中任取兩個字母排成一列，則不同的排列種數(shù)為.故選：D.【題目點撥】本題考查排列數(shù)的應用，考查計算能力，屬于基礎題.2、A【解題分析】

構(gòu)造新函數(shù),，當時.所以在上單減，又，即.所以可得,此時，又為奇函數(shù)，所以在上的解集為：.故選A.點睛：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，需要構(gòu)造函數(shù)，例如，想到構(gòu)造.一般：（1）條件含有，就構(gòu)造,（2）若，就構(gòu)造，（3），就構(gòu)造，（4）就構(gòu)造，等便于給出導數(shù)時聯(lián)想構(gòu)造函數(shù).3、B【解題分析】

將平方后再開方去計算模長，注意使用數(shù)量積公式.【題目詳解】因為，所以，故選：B.【題目點撥】本題考查向量的模長計算，難度一般.對于計算這種形式的模長，可通過先平方再開方的方法去計算模長.4、A【解題分析】

由可判斷出四邊形為平行四邊形，由可得出，由此判斷出四邊形的形狀.【題目詳解】，所以，四邊形為平行四邊形，由可得出，因此，平行四邊形為矩形，故選A.【題目點撥】本題考查利用向量關系判斷四邊形的形狀，判斷時要將向量關系轉(zhuǎn)化為線線關系，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，同時也考查了推理能力，屬于中等題.5、A【解題分析】

根據(jù)a,b,c成等差數(shù)列，a+b+c=1，可解得a,b,c，進而求出.【題目詳解】由，得.則，故選A.【題目點撥】本題考查根據(jù)隨機變量X的分布列求概率，分析題目條件易求出．6、C【解題分析】

由題意分類討論各種情況，然后利用加法原理確定滿足題意的平面的個數(shù)即可.【題目詳解】第一種情況，A，B，C，D點在平面的同側(cè).當平面∥平面BCD時，A與平面的距離是與平面BCD的距離的2倍.這種情況下有4個平面.第二種情況，A，B，C，D中有3個點在平面的一側(cè)，第4個點在平面的另一側(cè)，這時又有兩種情形：一種情形是平面與平面BCD平行，且A與平面的距離是平面與平面BCD距離的2倍.這時有4個平面.另一種情形如圖a所示，圖中E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，K是AD的三等分點中靠近A的分點，A，B，C到平面EFK（即平面）的距離是D到平面EFK距離的一半.∵EF可以是AB，AC的中點的連線，又可以是AB，BC的中點的連線，或AC，BC的中點的連線，∴這種情形下的平面有3×4=12（個）.第三種情況，如圖b所示，在A，B，C，D四點中，平面兩側(cè)各種有兩點.容易看出：點A到平面EFMN（平面）的距離是B，C，D到該平面距離的2倍．就A，C與B，D分別位于平面兩側(cè)的情形來看，就有A離平面遠，B離平面遠，C離平面遠，D離平面遠這四種情況.又“AC，BD異面，則這樣的異面直線共有3對，∴平面有4×3=12（個）.綜上分析，平面有4+4+12+12=32（個）.故選C.【題目點撥】本題主要考查分類討論的數(shù)學思想，計數(shù)原理的應用，空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.7、A【解題分析】

根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性可知，在區(qū)間上的取值概率是0.2，可得在區(qū)間上的取值概率是0.6，從而可得在區(qū)間上的取值概率?！绢}目詳解】解：據(jù)題設分析知，因為隨機變量服從正態(tài)分布且，根據(jù)對稱性可得，所求概率，故選A.【題目點撥】本題考查了正態(tài)分布的應用，解題的關鍵是熟知正態(tài)曲線是關于對稱，在正態(tài)曲線下方和x軸上方范圍內(nèi)的區(qū)域面積為1等正態(tài)密度曲線圖象的特征.8、A【解題分析】建立如圖所示空間直角坐標系，則，設平面的一個法向量為，由于，所以，即，又平面的一個法向量是且，解之得，應選答案A．9、B【解題分析】

分別將曲線，的極坐標方程化為普通方程，根據(jù)直線與圓相交，利用點到直線的距離公式結(jié)合垂徑定理，可得結(jié)果【題目詳解】根據(jù)題意，曲線曲線，則直線與圓相交，圓的半徑為，圓心到直線的距離為設長為，則有，即解得（舍負）故線段的長度為故選【題目點撥】本題主要考查的是極坐標與直角坐標方程的互化，圓的方程以及直線與圓的位置關系，是一道基礎題10、C【解題分析】分析：△ABC中設AB=c，BC=a，AC=b，由sinB=cosA?sinC結(jié)合三角形的內(nèi)角和及和角的正弦公式化簡可求cosC=0即C=90°，再由，S△ABC=6可得bccosA=9，可求得c=5，b=3，a=4，考慮建立以AC所在的直線為x軸，以BC所在的直線為y軸建立直角坐標系，由P為線段AB上的一點，則存在實數(shù)λ使得=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1），設則，，由=（x，0）+（0，y）=（x，y）可得x=3λ，y=4﹣4λ則4x+3y=12而，利用基本不等式求解最小值．詳解：△ABC中設AB=c，BC=a，AC=b∵sinB=cosA?sinC，∴sin（A+C）=sinCcosA，即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA，∴sinAcosC=0，∵sinA≠0，∴cosC=0C=90°∵，S△ABC=6∴bccosA=9，∴，根據(jù)直角三角形可得sinA=，cosA=，bc=15∴c=5，b=3，a=4以AC所在的直線為x軸，以BC所在的直線為y軸建立直角坐標系可得C（0，0）A（3，0）B（0，4）P為線段AB上的一點，則存在實數(shù)λ使得=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1）設，則，∴=（x，0）+（0，y）=（x，y）∴x=3λ，y=4﹣4λ則4x+3y=12=故所求的最小值為故選C．點睛：本題是一道構(gòu)思非常巧妙的試題，綜合考查了三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式及基本不等式求解最值問題，解題的關鍵是理解把已知所給的是一個單位向量，從而可用x，y表示，建立x，y與λ的關系，解決本題的第二個關鍵點在于由x=3λ，y=4﹣4λ發(fā)現(xiàn)4x+3y=12為定值，從而考慮利用基本不等式求解最小值11、B【解題分析】

由題意得出正態(tài)密度曲線關于直線對稱，由正態(tài)密度曲線的對稱性得知所求概率為可得出結(jié)果.【題目詳解】由題意，得，又，所以，故選B.【題目點撥】本題考查正態(tài)分布在指定區(qū)間上概率的計算，解題時要充分利用正態(tài)密度曲線的對稱性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間的概率來計算，考查運算求解能力，屬于中等題.12、A【解題分析】

根據(jù)復數(shù)除法運算得到，根據(jù)復數(shù)模長定義可求得結(jié)果.【題目詳解】，.故選：.【題目點撥】本題考查復數(shù)模長的求解，涉及到復數(shù)的除法運算，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

利用二項分布可求甲以獲勝的概率.【題目詳解】設“甲班以3:1”獲勝為事件.若甲班以3:1獲勝，則前3局甲班恰好勝2局，然后第4局勝．所以，.故答案為:.【題目點撥】本題考查古典概型的概率的計算，注意利用常見的分布（如二項分布、超幾何分布等）來幫助計算概率，本題為基礎題.14、【解題分析】分析：先確定4位同學中選出3位同學事件數(shù)，再確定甲被選中事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式求結(jié)果.詳解：因為4位同學中選出3位同學共有種，甲被選中事件數(shù)有,所以甲被選中的概率為.點睛：古典概型中基本事件數(shù)的探求方法(1)列舉法.(2)樹狀圖法：適合于較為復雜的問題中的基本事件的探求.對于基本事件有“有序”與“無序”區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復雜的題目簡單化、抽象的題目具體化.(4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素數(shù)目較多的題目.15、【解題分析】

首先求出在1處的導數(shù)，再求出在1處的函數(shù)值，然后用點斜式求出方程即可.【題目詳解】，∴且，切線方程是，即．【題目點撥】本題考查利用導數(shù)求函數(shù)在點處的切線方程，屬于基礎題.16、【解題分析】，因此，時取極大值三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）在和上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)；（2）【解題分析】

（1）將代入，求出，令，解不等式可得增區(qū)間，令，解不等式可得減區(qū)間.（2）根據(jù)題意可得在上恒成立，分離參數(shù)可得，只需即可.【題目詳解】（1）當時，，，令，可得或；令，.所以在和上為增函數(shù)；在上為減函數(shù).（2）由于在上為減函數(shù)，在上恒成立，即，令，可設，于是所以，的取值范圍是.【題目點撥】本題考查了導數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的應用，解題的關鍵是求出導函數(shù)，屬于中檔題.18、（1）；（2）見解析【解題分析】

(1)求得的導數(shù)，，得到方程的判別式，分和、三種討論，求得函數(shù)的單調(diào)性，即可求解；(2)由，當時，只需，故只需證明當時，，求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【題目詳解】(1)由題意，函數(shù)的定義域為，則，方程的判別式.(ⅰ)若，即，在的定義域內(nèi)，故單調(diào)遞增．(ⅱ)若，則或.若，則，.當時，，當時，，所以單調(diào)遞增．若，單調(diào)遞增．(ⅲ)若，即或，則有兩個不同的實根，當時，，從而在的定義域內(nèi)沒有零點，故單調(diào)遞增．當時，，在的定義域內(nèi)有兩個不同的零點，即在定義域上不單調(diào)．綜上：實數(shù)的取值范圍為.(2)因為，當，時，，故只需證明當時，.當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，故在上有唯一實根，且，當時，，當時，，從而當時，)取得最小值．由得，即，故，所以.綜上，當時，.【題目點撥】本題主要考查導數(shù)在函數(shù)中的綜合應用，以及不等式的證明，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能力與計算能力，對于恒成立問題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．19、（1）（2）【解題分析】

（1）通過正弦定理和余弦定理即可得到答案；（2）在中使用余弦定理即可得到的長.【題目詳解】（1）因為所以由正弦定理得：由余弦定理得：又，所以（2）由，，，得：所以在中，，所以【題目點撥】本題主要考查正余弦定理在解三角形中的實際應用，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力，分析能力及計算能力，難度不大.20、（1）z＝3+4i；（2）c＝8【解題分析】

（1）設，由，進行計算化簡，得到關于的方程組，解得答案；（2）代入（1）中求出的，然后由∠AOB是直角，得到，得到關于的方程，求出的值.【題目詳解】（1）