2024屆永州市重點中學高二數(shù)學第二學期期末經(jīng)典模擬試題含解析

2024屆永州市重點中學高二數(shù)學第二學期期末經(jīng)典模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，則（）A． B． C．1 D．72．（）A．0 B． C．1 D．23．設m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,下列命題中正確的是（）A．若m//α,m//β,則α//β B．若α⊥β，m⊥α，n//β，則m⊥nC．若m⊥α,m//n,則n⊥α D．若α⊥β,m⊥α,則m//β4．已知函數(shù)，若、，，使得成立，則的取值范圍是（）．A． B． C． D．或5．設，，，，則（）A． B． C． D．6．已知y與x及與的成對數(shù)據(jù)如下，且y關(guān)于x的回歸直線方程為，則關(guān)于的回歸直線方程為（）x12345y2345710203040502030405070A． B． C． D．7．已知，是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是()A．1 B．2 C． D．8．設z=i(2+i)，則=A．1+2i B．–1+2iC．1–2i D．–1–2i9．定義在上的函數(shù)滿足下列兩個條件：（1）對任意的恒有成立；（2）當時，；記函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．10．已知，，則下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．11．如圖，在中，．是的外心，于，于，于，則等于（）A． B．C． D．12．“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻．十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于同一個常數(shù)．若第一個單音的頻率為f，第三個單音的頻率為，則第十個單音的頻率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．各棱長均相等的正三棱錐，其任意兩個相鄰的面所成的二面角的大小為________.14．若C5x=C15．如圖，在中，，，是內(nèi)一動點，，則的最小值為____________.16．若，分別是橢圓：短軸上的兩個頂點，點是橢圓上異于，的任意一點，若直線與直線的斜率之積為，則__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖1，等邊中，，是邊上的點（不與重合），過點作交于點，沿將向上折起，使得平面平面，如圖2所示．（1）若異面直線與垂直，確定圖1中點的位置；（2）證明：無論點的位置如何，二面角的余弦值都為定值，并求出這個定值．18．（12分）知函數(shù)，，與在交點處的切線相互垂直.(1)求的解析式；(2)已知,若函數(shù)有兩個零點,求的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù)關(guān)系式：的部分圖象如圖所示：（1）求，，的值；（2）設函數(shù)，求在上的單調(diào)遞減區(qū)間．20．（12分）某市教育部門為了了解全市高一學生的身高發(fā)育情況，從本市全體高一學生中隨機抽取了100人的身高數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析。經(jīng)數(shù)據(jù)處理后,得到了如下圖1所示的頻事分布直方圖，并發(fā)現(xiàn)這100名學生中,身不低于1.69米的學生只有16名,其身高莖葉圖如下圖2所示，用樣本的身高頻率估計該市高一學生的身高概率.(I)求該市高一學生身高高于1.70米的概率,并求圖1中的值.(II)若從該市高一學生中隨機選取3名學生,記為身高在的學生人數(shù),求的分布列和數(shù)學期望；(Ⅲ)若變量滿足且,則稱變量滿足近似于正態(tài)分布的概率分布.如果該市高一學生的身高滿足近似于正態(tài)分布的概率分布，則認為該市高一學生的身高發(fā)育總體是正常的.試判斷該市高一學生的身高發(fā)育總體是否正常,并說明理由.21．（12分）已知等式.（1）求的展開式中項的系數(shù)，并化簡：；（2）證明：（?。唬áⅲ?22．（10分）在中，內(nèi)角的對邊分別為.已知（1）求的值（2）若，求的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式可得，又由即得到答案?！绢}目詳解】由函數(shù)的解析式可得，又由，則【題目點撥】本題考查了分段函數(shù)，解答的關(guān)鍵是運用函數(shù)的周期性把轉(zhuǎn)化有具體解析式的范圍內(nèi)。2、C【解題分析】

根據(jù)定積分的意義和性質(zhì)，，計算即可得出.【題目詳解】因為，故選C.【題目點撥】本題主要考查了含絕對值的被積函數(shù)的定積分求值，定積分的性質(zhì)，屬于中檔題.3、C【解題分析】

結(jié)合空間中點線面的位置關(guān)系，對選項逐個分析即可選出答案.【題目詳解】對于選項A，當m//α,m//β，α,β有可能平行，也有可能相交，故A錯誤；對于選項B，當α⊥β，m⊥α，n//β，m,n有可能平行，也可能相交或者異面，故B錯誤；對于選項C，當m⊥α,m//n,根據(jù)線面垂直的判定定理可以得到n⊥α，故C正確；對于選項D，當α⊥β,m⊥α,則m//β或者m?β，故D錯誤；故答案為選項C.【題目點撥】本題考查了空間中直線與平面的位置關(guān)系，考查了學生的空間想象能力，屬于基礎題.4、B【解題分析】

對的范圍分類討論，當時，函數(shù)在上遞增，在上遞減，即可判斷：、，，使得成立.當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，即可判斷：一定不存在、，，使得成立，問題得解.【題目詳解】當時，，函數(shù)在上遞增，在上遞減，則：、，，使得成立.當時，，函數(shù)在上遞增，在也遞增，又，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時一定不存在、，，使得成立.故選：B【題目點撥】本題主要考查了分類思想及轉(zhuǎn)化思想，還考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷，屬于難題。5、A【解題分析】

根據(jù)條件，令，代入中并取相同的正指數(shù)，可得的范圍并可比較的大?。挥蓪?shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可判斷的范圍，進而比較的大小.【題目詳解】因為令則將式子變形可得，因為所以由對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知綜上可得故選：A.【題目點撥】本題考查了指數(shù)式與對數(shù)式大小比較，指數(shù)冪的運算性質(zhì)應用，對數(shù)函數(shù)圖像與性質(zhì)應用，屬于基礎題.6、D【解題分析】

先由題意求出與，根據(jù)回歸直線過樣本中心，即可得出結(jié)果.【題目詳解】由題意可得：，，因為回歸直線方程過樣本中心，根據(jù)題中選項，所以關(guān)于的回歸直線方程為.故選D【題目點撥】本題主要考查回歸直線方程，熟記回歸直線方程的意義即可，屬于?？碱}型.7、C【解題分析】

試題分析：由于垂直，不妨設，，，則，，表示到原點的距離，表示圓心，為半徑的圓，因此的最大值，故答案為C．考點：平面向量數(shù)量積的運算．8、D【解題分析】

本題根據(jù)復數(shù)的乘法運算法則先求得，然后根據(jù)共軛復數(shù)的概念，寫出．【題目詳解】，所以，選D．【題目點撥】本題主要考查復數(shù)的運算及共軛復數(shù)，容易題，注重了基礎知識、基本計算能力的考查．理解概念，準確計算，是解答此類問題的基本要求．部分考生易出現(xiàn)理解性錯誤．9、C【解題分析】

根據(jù)題中的條件得到函數(shù)的解析式為：f（x）＝﹣x+2b，x∈（b，2b]，又因為f（x）＝k（x﹣1）的函數(shù)圖象是過定點（1，0）的直線，再結(jié)合函數(shù)的圖象根據(jù)題意求出參數(shù)的范圍即可【題目詳解】因為對任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）＝2f（x）成立，且當x∈（1，2]時，f（x）＝2﹣x；f（x）＝2（2）=4﹣x，x∈（2，4]，f（x）＝4（2）=8﹣x，x∈（4，8]，…所以f（x）＝﹣x+2b，x∈（b，2b]．（b取1，2，4…）由題意得f（x）＝k（x﹣1）的函數(shù)圖象是過定點（1，0）的直線，如圖所示只需過（1，0）的直線與線段AB相交即可（可以與B點重合但不能與A點重合）kPA2，kPB，所以可得k的范圍為故選：C．【題目點撥】解決此類問題的關(guān)鍵是熟悉求函數(shù)解析式的方法以及函數(shù)的圖象與函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學的一個重要數(shù)學思想，是解決數(shù)學問題的必備的解題工具．10、C【解題分析】

構(gòu)造函數(shù)，原不等式等價于兩次求導可證明在上遞減，從而可得結(jié)論.【題目詳解】由題意，，，設，，設，，在單調(diào)遞減，且，,所以在遞減，，故選C.【題目點撥】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于難題.利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟：（1）求出；（2）令求出的范圍，可得增區(qū)間；（3）令求出的范圍，可得減區(qū)間.11、D【解題分析】由正弦定理有,為三角形外接圓半徑,所以,在中,,同理,所以,選D.12、B【解題分析】

根據(jù)題意，設單音的頻率組成等比數(shù)列{an}，設其公比為q，由等比數(shù)列的通項公式可得q的值，進而計算可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，設單音的頻率組成等比數(shù)列{an}，設其公比為q，（q＞0）則有a1＝f，a3，則q2，解可得q，第十個單音的頻率a10＝a1q9＝（）9ff，故選：B．【題目點撥】本題考查等比數(shù)列的通項公式，關(guān)鍵是求出該等比數(shù)列的公比，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

取AB中點D，連結(jié)SD、CD，則SD⊥AB，CD⊥AB，從而∠SDC是二面角的平面角，由此能求出結(jié)果．【題目詳解】解：取AB中點D，連結(jié)SD、CD，∵三棱錐S﹣ABC是各棱長均相等的正三棱錐，∴SD⊥AB，CD⊥AB，∴∠SDC是二面角的平面角，設棱長SC＝2，則SD＝CD，∴cos∠SDC，∴∠SDC＝arccos．故各棱長均相等的正三棱錐任意兩個相鄰的面所成的二面角的大小為arccos．故答案為：arccos．【題目點撥】本題考查二面角的大小的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．14、2或3【解題分析】

根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)得解.【題目詳解】由組合數(shù)的性質(zhì)得x=2或x+2=5，所以x=2或x=3.【題目點撥】本題考查組合數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎題.15、【解題分析】

設，，，在中，由正弦定理，得，，在中，，，其中，，從而，由最小值為的最小值為，故答案為.16、2【解題分析】

設點坐標為，則．由題意得，解得．答案：2點睛：求橢圓離心率或其范圍的方法（1）根據(jù)題意求出的值，再由離心率的定義直接求解．（2）由題意列出含有的方程(或不等式)，借助于消去b，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解．解題時要注意橢圓本身所含的一些范圍的應用，如橢圓上的點的橫坐標等．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）取中點，中點，連結(jié)，以為原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出圖1中點在靠近點的三等分點處；（2）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能證明無論點D的位置如何，二面角的余弦值都為定值．【題目詳解】解：（1）在圖2中，取中點，中點，連結(jié)，以為原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，設，則，，∴，，，，故，，∵異面直線與垂直，∴，解得x（舍）或x，∴，∴圖1中點在靠近點的三等分點處．（2）證明：平面的法向量，，，設平面的法向量，則即，取，得，設二面角的平面角為，則為鈍角，故，∴無論點的位置如何，二面角的余弦值都為定值．【題目點撥】本題考查利用空間向量確定空間中點的位置以及二面角的余弦值的計算，考查運算能力求解能力和推理論證能力，是中檔題．18、(1)．(2)或．【解題分析】分析：（1）分別求出與在交點處切線的斜率，從而得到答案；（2）對求導，分類討論即可.詳解：(1)，，又，，與在交點處的切線相互垂直，,.又在上,，故.(2)由題知.①,即時,令,得;令,得或，在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,故存在使.又，，，在區(qū)間上有一個零點,在區(qū)間上有一個零點,在區(qū)間上有一個零點,共個零點,不符合題意,舍去.②時,令,得，令,得或，在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增，又,,有兩個零點,符合題意.③,即時,令,得,令,得或，在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增，，在區(qū)間上存在一個零點,若要有兩個零點,必有,解得.④,即時,令,得，令,得或，在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增，,在區(qū)間上存在一個零點，又，∴在區(qū)間∴上不存在零點,即只有一個零點,不符合題意.綜上所述,或.點睛：函數(shù)零點或函數(shù)圖象交點問題的求解，一般利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)，并借助函數(shù)圖象，根據(jù)零點或圖象的交點情況，建立含參數(shù)的方程(或不等式)組求解，實現(xiàn)形與數(shù)的和諧統(tǒng)一．19、(1).(2).【解題分析】分析：（1）根據(jù)函數(shù)圖像最高點可確定A值，根據(jù)已知水平距離可計算周期，從而得出，然后代入圖像上的點到原函數(shù)可求得即可；（2）先根據(jù)（1）得出g（x）表達式，然后根據(jù)正弦函數(shù)圖像求出單調(diào)遞減區(qū)間，再結(jié)合所給范圍確定單調(diào)遞減區(qū)間即可.詳解：(1)由圖形易得，，解得，此時．因為的圖象過，所以，得．因為，所以，所以，得．綜上，，．(2)由(1)得．由，解得，其中．取，得，所以在上的單調(diào)遞減區(qū)間為．點睛：考查三角函數(shù)的圖像和基本性質(zhì)，對三角函數(shù)各個變量的作用和求法的熟悉是解題關(guān)鍵，屬于基礎題.20、(I)見解析;（Ⅱ）見解析；(Ⅲ)見解析.【解題分析】分析:(I)先求出身高高于1.70米的人數(shù),再利用概率公式求這批學生的身高高于1.70的概率.分別利用面積相等求出a、b、c的值.(II)先求出從這批學生中隨機選取1名，身高在的概率，再利用二項分布寫出的分布列和數(shù)學期望.(Ⅲ)先分別計算出和，再看是否滿足且,給出判斷.詳解：(I)由圖2可知，100名樣本學生中身高高于1.70米共有15名，以樣本的頻率估計總體的概率，可得這批學生的身高高于1.70的概率為0.15.記為學生的身高，結(jié)合圖1可得:，,,又由于組距為0.1,所以，（Ⅱ）以樣本的頻率估計總體的概率，可得:從這批學生中隨機選取1名，身高在的概率.因為從這批學生中隨機選取3名，相當于三次重復獨立試驗，所以隨機變量服從二項分布，故的分布列為:01230.027