海南省三亞市華僑學(xué)校2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題含解析

海南省三亞市華僑學(xué)校2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若，則A．10 B．15 C．30 D．602．已知集合，，則A． B． C． D．3．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則（）A．2019 B． C．2020 D．4．已知圓與雙曲線的漸近線相切，則的離心率為（）A． B． C． D．5．定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則（）A． B．2 C． D．6．已知函數(shù)若關(guān)于的方程有7個不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．7．設(shè)復(fù)數(shù)，是的共軛復(fù)數(shù)，則的虛部為A． B． C． D．8．若直線的傾斜角為，則（）A．等于 B．等于 C．等于 D．不存在9．下列說法錯誤的是（）A．在統(tǒng)計學(xué)中，獨(dú)立性檢驗(yàn)是檢驗(yàn)兩個分類變量是否有關(guān)系的一種統(tǒng)計方法B．在殘差圖中，殘差分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄，其模擬的效果越好C．線性回歸方程對應(yīng)的直線至少經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)中的一個點(diǎn)D．在回歸分析中，相關(guān)指數(shù)越大，模擬的效果越好10．周末，某高校一學(xué)生宿舍有甲乙丙丁四位同學(xué)分別在做不同的四件事情，看書、寫信、聽音樂、玩游戲，下面是關(guān)于他們各自所做事情的一些判斷：①甲不在看書，也不在寫信；②乙不在寫信，也不在聽音樂；③如果甲不在聽音樂，那么丁也不在寫信；④丙不在看書，也不在寫信.已知這些判斷都是正確的，依據(jù)以上判斷，乙同學(xué)正在做的事情是（）A．玩游戲 B．寫信 C．聽音樂 D．看書11．下列四個命題中，真命題的個數(shù)是（）①命題：“已知，“”是“”的充分不必要條件”；②命題：“p且q為真”是“p或q為真”的必要不充分條件；③命題：已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，），則f（4）的值等于；④命題：若，則．A．1 B．2 C．3 D．412．若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件x-3y+4≥03x-y-4≤0x+y≥0，則A．-1 B．1C．10 D．12二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在長方體中，，，，那么頂點(diǎn)到平面的距離為______．14．在極坐標(biāo)系中，已知圓經(jīng)過點(diǎn)，圓心為直線與極軸的交點(diǎn)，則圓的極坐標(biāo)方程為__________.15．將4個不同的小球任意放入3個不同的盒子中，則每個盒子中至少有1個小球的概率為________．16．若，，，則_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在以坐標(biāo)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的普通方程，并指出曲線是什么曲線；（2）若直線與曲線相交于兩點(diǎn)，，求的值.18．（12分）已知在等比數(shù)列{an}中，＝2，，＝128，數(shù)列{bn}滿足b1＝1，b2＝2，且{}為等差數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和19．（12分）已知函數(shù).(Ⅰ)證明：；(Ⅱ)若直線為函數(shù)的切線，求的最小值.20．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）當(dāng)時，在定義域內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)的值.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）求曲線的普通方程；（2）在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為，過直線上一點(diǎn)引曲線的切線，切點(diǎn)為，求的最小值.22．（10分）某興趣小組欲研究某地區(qū)晝夜溫差大小與患感冒就診人數(shù)之間的關(guān)系，他們分別到氣象局與某醫(yī)院抄錄了1到5月份每月10號的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù)，得到如下資料：日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日晝夜溫差81013129就診人數(shù)（個）1825282617該興趣小組確定的研究方案是：先從這5組數(shù)據(jù)中選取一組，用剩下的4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用選取的一組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)．（1）若選取的是1月的一組數(shù)據(jù)，請根據(jù)2至5月份的數(shù)據(jù)．求出關(guān)于的線性回歸方程．（2）若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差不超過2，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是理想的，試判斷該小組所得的線性回歸方程是否理想？如果不理想，請說明理由，如果理想，試預(yù)測晝夜溫差為時，因感冒而就診的人數(shù)約為多少？參考公式：,.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

分析：由于，與已知對比可得的值1．詳解：由于，與已知對比可得故選B.點(diǎn)睛：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，觀察分析得到是關(guān)鍵，考查分析與轉(zhuǎn)化的能力，屬于中檔題．2、C【解題分析】

利用一元二次不等式的解法化簡集合，再根據(jù)集合的基本運(yùn)算進(jìn)行求解即可．【題目詳解】因?yàn)?，，所以，故選C．【題目點(diǎn)撥】研究集合問題，一定要抓住元素，看元素應(yīng)滿足的屬性.研究兩集合的關(guān)系時，關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系.3、D【解題分析】

用，代入已知等式，得，可以變形為：，說明是等差數(shù)列，故可以求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后求出的值.【題目詳解】因?yàn)?，所以，所以?shù)列是以為公差的等差數(shù)列，，所以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，故本題選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了公式的應(yīng)用，考查了等差數(shù)列的判定義、以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.4、B【解題分析】

由題意可得雙曲線的漸近線方程為，根據(jù)圓心到切線的距離等于半徑，求出的關(guān)系，進(jìn)而得到雙曲線的離心率，得到答案．【題目詳解】由題意，根據(jù)雙曲線的漸近線方程為．根據(jù)圓的圓心到切線的距離等于半徑1，可得，整理得，即，又由，則，可得即雙曲線的離心率為．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)——離心率的求解，其中求雙曲線的離心率(或范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，即可得的值(范圍)．5、D【解題分析】

由等式可得函數(shù)的周期，得到，再由奇函數(shù)的性質(zhì)得，根據(jù)解析式求出，從而得到的值.【題目詳解】因?yàn)椋缘闹芷?，所以，故選D.【題目點(diǎn)撥】由等式得函數(shù)的周期，其理由是：為函數(shù)自變量的一個取值，為函數(shù)自變量的另一個取值，這兩個自變量的差始終為4，函數(shù)值始終相等，所以函數(shù)的周期為4.6、C【解題分析】分析：畫出函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的圖象，判斷f（x）的范圍，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解a的范圍．詳解：函數(shù)的圖象如圖：關(guān)于f2（x）+（a﹣1）f（x）﹣a=0有7個不等的實(shí)數(shù)根，即[f（x）+a][f（x）﹣1]=0有7個不等的實(shí)數(shù)根，f（x）=1有3個不等的實(shí)數(shù)根，∴f（x）=﹣a必須有4個不相等的實(shí)數(shù)根，由函數(shù)f（x）圖象可知﹣a∈（1，2），∴a∈（﹣2，﹣1）．故選：C．點(diǎn)睛：函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根的問題，一般以含參數(shù)的三次式、分式、以e為底的指數(shù)式或?qū)?shù)式及三角函數(shù)式結(jié)構(gòu)的函數(shù)零點(diǎn)或方程根的形式出現(xiàn)，一般有下列兩種考查形式：(1)確定函數(shù)零點(diǎn)、圖象交點(diǎn)及方程根的個數(shù)問題；(2)應(yīng)用函數(shù)零點(diǎn)、圖象交點(diǎn)及方程解的存在情況，求參數(shù)的值或取值范圍問題．7、C【解題分析】

由，得，代入，利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，即可求解.【題目詳解】由題意，復(fù)數(shù)，得，則，所以復(fù)數(shù)的虛部為，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了共軛復(fù)數(shù)的概念，以及復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運(yùn)算，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的基本概念，以及復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解題分析】分析:根據(jù)畫出的直線得直線的傾斜角.詳解：直線x=1的傾斜角為故答案為：C.點(diǎn)睛：(1)本題主要考查特殊直線的傾斜角，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平.(2)任意一條直線都有傾斜角，但是不是每一條直線都有斜率.9、C【解題分析】對于A，統(tǒng)計學(xué)中，獨(dú)立性檢驗(yàn)是檢驗(yàn)兩個分類變量是否有關(guān)系的一種統(tǒng)計方法，正確；對于B，殘差圖中，殘差分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄，其模擬的效果越好，正確；對于C，線性回歸方程對應(yīng)的直線過樣本中心點(diǎn)，不一定過樣本數(shù)據(jù)中的點(diǎn)，故C錯誤；對于D，回歸分析中，相關(guān)指數(shù)R2越大，其模擬的效果就越好，正確．故選C.10、D【解題分析】

根據(jù)事情判斷其對應(yīng)關(guān)系進(jìn)行合情推理進(jìn)而得以正確分析【題目詳解】由于判斷都是正確的，那么由①知甲在聽音樂或玩游戲；由②知乙在看書或玩游戲；由③知甲聽音樂時丁在寫信；由④知丙在聽音樂或玩游戲，那么甲在聽音樂，丙在玩游戲，丁在寫信，由此可知乙肯定在看書故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查了合情推理，考查分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題．11、C【解題分析】

命題①單位圓x2+y2＝1上或圓外任取一點(diǎn)P（a，b），滿足“a2+b2≥1”，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，一定有“|a|+|b|≥1”，在單位圓內(nèi)任取一點(diǎn)M（a，b），滿足“|a|+|b|≥1”，但不滿足“a2+b2≥1”，從而判斷命題的真假性；命題②先由“p且q為真”推出p、q的真假，然后判斷“p或q”的真假，反之再加以判斷；命題③直接把點(diǎn)的坐標(biāo)代入冪函數(shù)求出α，然后把x＝4代入求值即可；命題④構(gòu)造函數(shù)f（x）＝x﹣1+lnx，其中x＞0，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而判斷命題的真假性；【題目詳解】命題①如圖在單位圓x2+y2＝1上或圓外任取一點(diǎn)P（a，b），滿足“a2+b2≥1”，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，一定有“|a|+|b|≥1”，在單位圓內(nèi)任取一點(diǎn)M（a，b），滿足“|a|+|b|≥1”，但不滿足，“a2+b2≥1”，故a2+b2≥1是“|a|+|b|≥1”的充分不必要條件，故命題①正確；命題②“p且q為真”，則命題p、q均為真，所以“p或q為真”．反之“p或q為真”，則p、q都為真或p、q一真一假，所以不一定有“p且q為真”.所以命題“p且q為真”是“p或q為真”的充分不必要條件，故命題②不正確；命題③由冪函數(shù)f（x）＝xα的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，），所以2α＝，所以α＝﹣，所以冪函數(shù)為f（x）＝，所以f（4）＝，所以命題③正確；命題④若x+lnx＞1，則x﹣1+lnx＞0，設(shè)f（x）＝x﹣1+lnx，其中x＞0，∴＞0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且f（1）＝0，∴f（x）＞0時x＞1，即x+lnx＞1時x＞1，所以命題④正確.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查命題的真假判斷，充分不必要條件，冪函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生的計算能力，知識綜合性強(qiáng)，屬于中檔題．12、C【解題分析】

本題是簡單線性規(guī)劃問題的基本題型，根據(jù)“畫、移、解”等步驟可得解.題目難度不大題，注重了基礎(chǔ)知識、基本技能的考查.【題目詳解】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出題中的不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)橐?-1,1),(1,-1),(2,2)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域（包含邊界），由圖易得當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=3x+2y經(jīng)過平面區(qū)域的點(diǎn)(2,2)時，【題目點(diǎn)撥】解答此類問題，要求作圖要準(zhǔn)確，觀察要仔細(xì).往往由于由于作圖欠準(zhǔn)確而影響答案的準(zhǔn)確程度，也有可能在解方程組的過程中出錯.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

作出圖形，計算出四面體的體積，并計算出的面積，然后利用等體積法計算出點(diǎn)到平面的距離.【題目詳解】如下圖所示：三棱錐的體積為.在中，由勾股定理得，同理可得，取的中點(diǎn)，連接，則，由勾股定理得.所以，的面積為.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，解的.因此，點(diǎn)到平面的距離為.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查點(diǎn)到平面距離的計算，常用的方法有等體積法、空間向量法，考查計算能力，屬于中等題.14、【解題分析】

根據(jù)題意，令，可以求出圓的圓心坐標(biāo)，又因?yàn)閳A經(jīng)過點(diǎn)，則圓的半徑為C，P兩點(diǎn)間的距離，利用極坐標(biāo)公式即可求出圓的半徑，則可寫出圓的極坐標(biāo)方程.【題目詳解】在中，令，得，所以圓的圓心坐標(biāo)為．因?yàn)閳A經(jīng)過點(diǎn)，所以圓的半徑，于是圓過極點(diǎn)，所以圓的極坐標(biāo)方程為．【題目點(diǎn)撥】本題考查用極坐標(biāo)公式求兩點(diǎn)間的距離以及求點(diǎn)的坐標(biāo)，考查圓的極坐標(biāo)方程，考查了學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】試題分析：將個不同的小球任意放入個不同的盒子中，每個小球有種不同的放法，共有種放法，每個盒子中至少有個小球的放法有種，故所求的概率.考點(diǎn)：1、排列組合；2、隨機(jī)變量的概率.16、0.15【解題分析】由題意可得：，則：，.點(diǎn)睛：關(guān)于正態(tài)曲線在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率求法①熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)曲線的軌跡是以為圓心，3為半徑的圓.(2)【解題分析】

（1）由曲線的參數(shù)方程，消去參數(shù)，即可得到曲線的普通方程，得出結(jié)論；（2）把直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，再由點(diǎn)到直線的距離公式，列出方程，即可求解?！绢}目詳解】（1）由（為參數(shù)），消去參數(shù)得，故曲線的普通方程為.曲線的軌跡是以為圓心，3為半徑的圓.（2）由，展開得，的直角坐標(biāo)方程為.則圓心到直線的距離為，則，解得.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了參數(shù)方程與普通方程，極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化及應(yīng)用，重點(diǎn)考查了轉(zhuǎn)化與化歸能力.通常遇到求曲線交點(diǎn)、距離、線段長等幾何問題時，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標(biāo)方程后求解，或者直接利用極坐標(biāo)的幾何意義求解.要結(jié)合題目本身特點(diǎn)，確定選擇何種方程.18、（2）；（2）.【解題分析】

(2)根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到＝2，＝2，進(jìn)而求出公比，得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)，再由等差數(shù)列的公式得到結(jié)果；（2）根據(jù)第一問得到通項(xiàng)，分組求和即可.【題目詳解】（2）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q．由等比數(shù)列的性質(zhì)得a4a5＝＝228，又＝2，所以＝2．所以公比．所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝a2qn－2＝2×2n－2＝2n－2．設(shè)等差數(shù)列{}的公差為d．由題意得，公差，所以等差數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為．所以數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為（n＝2，2，…）．（2）設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn．由（2）知，（n＝2，2，…）．記數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為A，數(shù)列{2n－2}的前n項(xiàng)和為B，則，．所以數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為．【題目點(diǎn)撥】這個題目考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，以及數(shù)列求和的應(yīng)用，常見的數(shù)列求和的方法有：分組求和，錯位相減求和，倒序相加等.19、(1)見解析.(2).【解題分析】

（1）由即為，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可得到結(jié)論；（2）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)，可得的值和切線方程，令，求得，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，即可求解．【題目詳解】(Ⅰ)證明：整理得令，當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞減，所以，不等式得證.(Ⅱ)，設(shè)切點(diǎn)為，則，函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，令，解得，所以，令，因?yàn)?，，所以，，?dāng)，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?【題目點(diǎn)撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，以及不等式的證明，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能力與計算能力，對于恒成立問題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．20、（Ⅰ）當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）求出函數(shù)的的定義域以及導(dǎo)函數(shù)，分類討論，，情況下導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，由此得到答案；（Ⅱ）結(jié)合（Ⅰ）可得函數(shù)的最小值，要使在定義域內(nèi)恒成立，則恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求出的最值，從而得到實(shí)數(shù)的值?！绢}目詳解】（Ⅰ）由題可得函數(shù)的的定義域?yàn)椋唬?）當(dāng)時，恒成立，則單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間（2）當(dāng)時，恒成立，則單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；（3）當(dāng)時，令，解得：，令，解得：，則單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；綜述