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試卷第=page11頁,共=sectionpages33頁2024屆甘肅省蘭州市第五十八中學(xué)教育集團(tuán)高三上學(xué)期建標(biāo)考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1.,,則(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】先根據(jù)指數(shù)函數(shù)和正弦函數(shù)的性質(zhì)分別求出集合,再根據(jù)交集的定義即可得解.【詳解】,,所以.故選:A.2.已知復(fù)數(shù),則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(
)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【分析】先化簡復(fù)數(shù),再利用復(fù)數(shù)的幾何意義求解.【詳解】解:因?yàn)閺?fù)數(shù),所以z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限,故選:D3.已知向量,,若與反向共線,則的值為(
)A.0 B. C. D.【答案】C【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算,求得參數(shù),再結(jié)合向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)運(yùn)算求模長即可.【詳解】根據(jù)題意可得:,解得或;當(dāng)時(shí),與共線同向,故舍去;當(dāng)時(shí),,,.故選:C.4.“”是“”的(
)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)兩角和正切公式化簡并計(jì)算得或3,利用充分必要條件定義即可判斷.【詳解】由,得,即或3,(經(jīng)檢驗(yàn)均為原分式方程的解),所以“”是“”的充分不必要條件.故選:A.5.已知圓錐曲線的離心率為,則(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】由離心率建立關(guān)于的方程,通過解三角方程,即可得到值.【詳解】由圓錐曲線的離心率大于1,可知該圓錐曲線為雙曲線,且,即,又,所以.故選:D.6.林業(yè)部門規(guī)定:樹齡500年以上的古樹為一級(jí),樹齡300~500年之間的古樹為二級(jí),樹齡100~299年的古樹為三級(jí),樹齡低于100年不稱為古樹.林業(yè)工作者為研究樹木年齡,多用年輪推測法,先用樹木測量生長錐在樹干上打孔,抽取一段樹干計(jì)算年輪個(gè)數(shù),由經(jīng)驗(yàn)知樹干截面近似圓形,年輪寬度依次構(gòu)成等差數(shù)列.現(xiàn)為了評(píng)估某棵大樹的級(jí)別,特測量數(shù)據(jù)如下:樹干周長為3.14米,靠近樹芯的第5個(gè)年輪寬度為0.4cm,靠近樹皮的第5個(gè)年輪寬度為0.2cm,則估計(jì)該大樹屬于(
)A.一級(jí) B.二級(jí) C.三級(jí) D.不是古樹【答案】C【分析】由條件抽象出等差數(shù)列的基本量,再結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和,求.【詳解】設(shè)樹干的截面圓的半徑為,樹干周長,,從內(nèi)向外數(shù):,,,∴年,所以為三級(jí).故選:C7.已知過點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為,設(shè)過點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為,則(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】設(shè)過點(diǎn)的直線與兩個(gè)圓分別交于點(diǎn)和,根據(jù)圓的切線的性質(zhì),結(jié)合題意,在直角中,求得,結(jié)合倍角公式和三角函數(shù)的基本關(guān)系式,即可求解.【詳解】由圓,可化為,可得圓心,半徑,又由圓,可化為,可得圓心,半徑,設(shè)過點(diǎn)的直線與圓切于點(diǎn),與圓切于點(diǎn),如圖所示,連接,則,因?yàn)檫^點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為,所以,則,所以,在直角中,,所以,所以,因?yàn)?,所以,即,所?故選:B.8.已知函數(shù)的定義域?yàn)?,,且在恒有成立,則的解集為(
)A. B.C. D.【答案】D【分析】由題意,可得函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱,且在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,從而可判斷出函數(shù)的正負(fù)分布情況,即為或,進(jìn)而可得出答案.【詳解】因?yàn)?,所以函?shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱,因?yàn)樵诤阌谐闪?,所以函?shù)在上單調(diào)遞增,由對(duì)稱性可得函數(shù)在上單調(diào)遞減,又,所以,故當(dāng)時(shí),,當(dāng)或時(shí),,由,得或,所以或,解得或,即的解集為.故選:D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:由題意得出函數(shù)的對(duì)稱性及單調(diào)性,從而判斷出函數(shù)的正負(fù)分布情況,是解決本題的關(guān)鍵.二、多選題9.若,且,則(
)A. B. C. D.【答案】ABD【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì),結(jié)合作差比較法,逐項(xiàng)判定,即可求解.【詳解】對(duì)于A中,由,可得,因?yàn)椋傻?,所以A正確;對(duì)于B中,由,所以,所以B正確;對(duì)于C中,因?yàn)?,且,可得,所以,所以C錯(cuò)誤;對(duì)于D中,因?yàn)椋?,可得,則,所以D正確.故選:ABD.10.已知函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)為1,與該極大值點(diǎn)相鄰的一個(gè)零點(diǎn)為,將的圖象向左平移1個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象,則下列結(jié)論正確的是(
)A.B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.為奇函數(shù)D.若在區(qū)間上的值域?yàn)?,則.【答案】BD【分析】對(duì)于A,根據(jù)余弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行判斷;對(duì)于B,由余弦型函數(shù)增區(qū)間公式得出結(jié)果;對(duì)于C,根據(jù)圖象平移變換及函數(shù)奇偶性定義進(jìn)行判斷;對(duì)于D,根據(jù)余弦型函數(shù)的定義域、值域的關(guān)系以及圖像與性質(zhì)得出結(jié)果.【詳解】設(shè)的最小正周期為T,由題意,,得,所以,所以,又點(diǎn)在的圖象上,所以,所以,,即,,又,所以,對(duì)于A,因?yàn)?,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,令,,解得,,所以的單調(diào)遞增區(qū)間為,,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增區(qū)間為,故B正確;對(duì)于C,因?yàn)椋詾榕己瘮?shù),故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,當(dāng)時(shí),,又的值域?yàn)?,如圖,當(dāng)時(shí),,
所以,解得,故D正確.故選:BD.11.已知正方體的棱長為4,正四面體的棱長為a,則以下說法正確的是(
)A.正方體的內(nèi)切球直徑為4B.正方體的外接球直徑為C.若正四面體可以放入正方體內(nèi)自由旋轉(zhuǎn),則a的最大值是D.若正方體可以放入正四面體內(nèi)自由旋轉(zhuǎn),則a的最小值是【答案】ACD【分析】求得正方體外接球的直徑判斷選項(xiàng)A、B,對(duì)于C,即正四面體的外接球小于等于正方體內(nèi)切球;對(duì)于D,即正方體的外接球小于等于正四面體內(nèi)切球.【詳解】對(duì)于A,正方體的內(nèi)切球直徑即其棱長,所以直徑為4,A正確;對(duì)于B,正方體的外接球直徑即其體對(duì)角線,所以直徑為,B錯(cuò)誤;正四面體的棱長為a
因?yàn)檎拿骟w的外接球的球心O到點(diǎn)F、G、H的距離相等,所以O(shè)在平面BCD內(nèi)的射影,到點(diǎn)F、G、H的距離相等,又因?yàn)樵谡拿骟w中是正三角形,所以是的中心,進(jìn)而在正四面體中,有平面,所以球心O在高線上,同理:球心O也在其它面的高線上,又正四面體中各面上的高都相等,所以由得,點(diǎn)O到正四面體各面的距離相等,所以點(diǎn)O也是正四面體的內(nèi)切球的球心,這樣正四面體的內(nèi)切球的球心與外接球的球心重合.記正四面體的高為,則.因此,只要求出其中一個(gè),則另一個(gè)也出來了.因?yàn)樵谡拿骟w中,是正三角形,是其中心,所以,因?yàn)槠矫?平面,所以,在中,由勾股定理,得,所以,解得,,故所求的外接球的半徑和內(nèi)切球的半徑分別為.對(duì)于C,若正四面體可以放入正方體內(nèi)自由旋轉(zhuǎn),即正四面體的外接球小于等于正方體內(nèi)切球,又由棱長為a的正四面體的外接球半徑,C正確;對(duì)于D,正方體可以放入正四面體內(nèi)自由旋轉(zhuǎn),即正方體的外接球小于等于正四面體內(nèi)切球,又由棱長為a的正四面體的內(nèi)切球半徑,D正確.故選:ACD.12.已知分別是函數(shù)和的零點(diǎn),則(
)A. B.C. D.【答案】ABD【分析】把函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo),再結(jié)合反函數(shù)圖像的特點(diǎn)得到點(diǎn)和關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,根據(jù)可判斷A、B選項(xiàng);結(jié)合反函數(shù)的性質(zhì)可以判斷C選項(xiàng);利用特殊值的思路得到的范圍即可判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?,分別是函數(shù),的零點(diǎn),所以,,那么,可以看做函數(shù)和與函數(shù)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo),如圖所示,點(diǎn),,分別為函數(shù),,的圖像與函數(shù)圖像的交點(diǎn),所以,因?yàn)楹瘮?shù)和互為反函數(shù),所以函數(shù)圖像關(guān)于的圖像對(duì)稱,的圖像也關(guān)于的圖像對(duì)稱,所以點(diǎn)和關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,,,故AB正確;由反函數(shù)的性質(zhì)可得,因?yàn)閱握{(diào)遞增,,所以,所以,故C錯(cuò);當(dāng)時(shí),函數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為,函數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為,因?yàn)椋?,所以的范圍為,那么,而,所以,故D正確.故選:ABD.三、填空題13.展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是.【答案】【分析】利用二項(xiàng)式定理求解.【詳解】展開式通項(xiàng)公式為令,故展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為:14.已知圓錐的母線長為2,側(cè)面展開圖扇形的面積為,那么該圓錐的體積是.【答案】/【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式求得底面半徑以及圓錐的高,進(jìn)而可求體積.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為,由題意可得:,解得,可得圓錐的高為,所以該圓錐的體積是.故答案為:.15.校運(yùn)會(huì)期間,需要學(xué)生志愿者輔助裁判老師進(jìn)行記錄工作,學(xué)生會(huì)將從6名志愿者中任意選派3名同學(xué)分別承擔(dān)鉛球記錄、跳高記錄、跳遠(yuǎn)記錄工作,其中甲、乙2人不承擔(dān)鉛球記錄工作,則不同的安排方法共有種.【答案】【分析】先安排鉛球工作,再安排其他兩項(xiàng)工作進(jìn)而求解.【詳解】依題意,分兩步:①在甲乙之外人中任選人,承擔(dān)鉛球記錄工作,有種情況;②在剩下的人中任選人,承擔(dān)跳高和跳遠(yuǎn)記錄工作,有種情況,則不同的安排方法有種故答案為:16.已知函數(shù),設(shè)是四個(gè)互不相同的實(shí)數(shù),滿足,則的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象變換作出時(shí),函數(shù)的圖象,再根據(jù)圖象設(shè),從而得到,且,,即可求解【詳解】當(dāng)時(shí),,作出函數(shù)圖象,如圖所示:
當(dāng)時(shí),,設(shè),且,則由圖象得:,則由題意知,,且,,所以,即,則,所以的取值范圍是,故答案為:.四、解答題17.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列滿足,求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】(1)利用等差數(shù)的性質(zhì),結(jié)合通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式即可得解;(2)利用分組求和差,結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可得解.【詳解】(1)(1)設(shè)數(shù)列等差數(shù)列的公差為d,因?yàn)?,所以,則,因?yàn)?,即,所以,所以,,所以,?(2)因?yàn)椋?,所以?8.已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最值及取得最值時(shí)的取值集合;(2)設(shè)的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若,,且,求的面積.【答案】(1)答案見解析(2)或【分析】(1)化簡解析式后求解最值和取值集合即可.(2)依據(jù)正余弦定理得到等量關(guān)系,求解邊長后算面積即可.【詳解】(1),,,,易知的最大值為,此時(shí),化簡得,的最小值為,此時(shí),化簡得,綜上當(dāng)時(shí),取到最小值,當(dāng)時(shí),取到最大值.(2)在中,結(jié)合,故,解得(其它解舍去),故由余弦定理得,由已知得,由正弦定理得,聯(lián)立方程組,解得或,當(dāng),時(shí),,當(dāng),時(shí),.19.如圖,線段是圓柱的母線,BC是圓柱下底面圓的直徑.(1)弦AB上是否存在點(diǎn),使得平面,請(qǐng)說明理由;(2)若,,,求二面角的余弦值.【答案】(1)存在,當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí),理由見解析.(2)【分析】(1)先確定點(diǎn)為的中點(diǎn),再證明平面平面,再根據(jù)面面平行的性質(zhì)即可得出結(jié)論;(2)以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求解即可.【詳解】(1)當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí),平面,證明如下:取的中點(diǎn),連接,∵分別為的中點(diǎn),則,又平面,平面,∴平面,又∵,平面,平面,∴平面,,平面,∴平面平面,由于平面,故平面;(2)∵是的直徑,可得,即,且,,故,,如圖,以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,得,,設(shè)為平面的一個(gè)法向量,則,令,則,可得,因?yàn)檩S平面,則可取平面的一個(gè)法向量為,設(shè)二面角為,則,所以二面角的余弦值為.20.某學(xué)校為了提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,舉行了“趣味數(shù)學(xué)”闖關(guān)比賽,每輪比賽從10道題中任意抽取3道回答,每答對(duì)一道題積1分.已知小明同學(xué)能答對(duì)10道題中的6道題.(1)求小明同學(xué)在一輪比賽中所得積分的分布列和期望;(2)規(guī)定參賽者在一輪比賽中至少積2分才視為闖關(guān)成功,若參賽者每輪闖關(guān)成功的概率穩(wěn)定且每輪是否闖關(guān)成功相互獨(dú)立,問:小明同學(xué)在5輪闖關(guān)比賽中,需幾次闖關(guān)成功才能使得對(duì)應(yīng)概率取值最大?【答案】(1)分布列見解析,(2)3次或4次【分析】(1)根據(jù)超幾何分布的知識(shí)求得分布列并求得數(shù)學(xué)期望.(2)根據(jù)二項(xiàng)分布的知識(shí)求得闖關(guān)成功的次數(shù)的分布列,由此求得正確答案.【詳解】(1)由題知:可取0,1,2,3,則:,,,,故的分布列為:0123則的期望為:.(2)方法1、參賽者在一輪比賽中至少積2分才視為闖關(guān)成功,記概率為若小明同學(xué)在5輪闖關(guān)比賽中,記闖關(guān)成功的次數(shù)為,則.故所以的分布列為:012345故小明同學(xué)在5輪闖關(guān)比賽中,需3次或4次闖關(guān)成功才能使得對(duì)應(yīng)概率取值最大.方法2、參賽者在一輪比賽中至少積2分才視為闖關(guān)成功,記概率為若小明同學(xué)在5輪闖關(guān)比賽中,記闖關(guān)成功的次數(shù)為,則故∴假設(shè)當(dāng)時(shí),對(duì)應(yīng)概率取值最大,則解得,而故小明同學(xué)在5輪闖關(guān)比賽中,需3次或4次闖關(guān)成功才能使得對(duì)應(yīng)概率取值最大.21.已知A,B分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn),,直線AB的斜率為.(1)求橢圓的方程;(2)若直線與軌跡交于M,N兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線OM,ON的斜率之積等于,試探求的面積是否為定值,并說明理由.【答案】(1)(2)定值1【分析】(1)由已知可得,計(jì)算即可得到橢圓的方程;(2)設(shè)聯(lián)立方程組,求得,又由直線OM,ON的斜率之積等于,化簡求得,再由弦長公式和面積公式,即可求解.【詳解】(1)由題意可知,,直線AB的斜率為.依題意得,橢圓的方程為(2)設(shè),由,得,則,即,且,因?yàn)橹本€OM,ON的斜率之積等于,,所以,即,又O到直線MN的距離為,,所以.所以的面積為定值1.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:本題的關(guān)鍵是將直線與橢圓方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理式,再通過斜率乘積為定值得到,最后利用點(diǎn)到直線距離公式和弦長公式得到面積表達(dá)式,代入即可得到答案.22.已知函數(shù),e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)證明:;(2)若恒成立,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值,即可得證;(2)在上恒成立,即在上恒成立,由(1)得,再分和兩種情況討論即可得出答案.【詳解】(1)由題可知,當(dāng)時(shí),,,故恒成立,所以函數(shù)在上為增函數(shù),則當(dāng)時(shí),,得證;(2)在上恒成立,即在上恒成立,設(shè),則,,由(1)得,(ⅰ)當(dāng)時(shí),,此時(shí)在上單調(diào)遞增,故,符合題意;(ⅱ)當(dāng)時(shí)
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