2024屆廣東省深圳市寶安區(qū)高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)2024屆廣東省深圳市寶安區(qū)高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之和是（

）A．7 B．13 C．21 D．27【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以?fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之和是，故選：B.2．已知集合，則的元素個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．無(wú)數(shù)【答案】C【分析】依題意，轉(zhuǎn)換為兩個(gè)圖象交點(diǎn)問(wèn)題，兩函數(shù)聯(lián)立，轉(zhuǎn)為一元二次方程解得個(gè)數(shù)問(wèn)題，從而得到答案.【詳解】聯(lián)立整理得.由，得原方程組有兩組解，即中有2個(gè)元素，故選：C.3．某單位有職工500人，其中男性職工有320人，為了解所有職工的身體健康情況，按性別采用分層抽樣的方法抽取100人進(jìn)行調(diào)查，則抽取到的男性職工的人數(shù)比女性職工的人數(shù)多（

）A．28 B．36 C．52 D．64【答案】A【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合分層抽樣的定義，即可得解.【詳解】由題意可知抽取到的男性職工人數(shù)為，女性職工人數(shù)為，則抽取到的男性職工的人數(shù)比女性職工的人數(shù)多.故選：A.4．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】對(duì)可得，然后根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】由，則，即，即，解得得，則不能推出，能推出，則“”是“”的必要不充分條件.故選：B.5．已知函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，即可列式求解.【詳解】是增函數(shù)，也是增函數(shù)，所以是上的增函數(shù).因?yàn)樵趦?nèi)有零點(diǎn)，所以，解得.故選：A6．如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，不經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)，其中點(diǎn)在該拋物線上，點(diǎn)在軸上，若，則（

）A． B． C． D．3【答案】D【分析】根據(jù)拋物線定義可求出，根據(jù)三角形相似即可求出.【詳解】設(shè),，由，根據(jù)拋物線定義可得，故，，過(guò)，分別作軸的垂線，過(guò)作軸的垂線，垂足為，明顯，所以.故選：D7．若函數(shù)的最大值是，則常數(shù)的值可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)兩角差的余弦以及輔助角公式對(duì)化簡(jiǎn)，表示出最大值，進(jìn)而得到答案.【詳解】因?yàn)?，其中，所以，所以，?duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)，，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)，，故D錯(cuò)誤，故選：B.8．已知是球的直徑上一點(diǎn)，，平面，為垂足，截球所得截面的面積為，為上的一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)作球的截面，則所得的截面面積最小的圓的半徑為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)截得的截面圓的半徑為，球的半徑為，由平面幾何知識(shí)得截面與球心的距離為，利用勾股定理求得的值，由題意可知球心到所求截面的距離最大時(shí)截面面積最小，利用面積公式，即可得答案.【詳解】如圖，設(shè)截得的截面圓的半徑為，球的半徑為，因?yàn)?，所?由勾股定理，得，由題意得，所以，解得，此時(shí)過(guò)點(diǎn)作球的截面，若要所得的截面面積最小，只需所求截面圓的半徑最小.設(shè)球心到所求截面的距離為，所求截面的半徑為，則，所以只需球心到所求截面的距離最大即可，而當(dāng)且僅當(dāng)與所求截面垂直時(shí)，球心到所求截面的距離最大，即，所以.故選：C二、多選題9．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則是等比數(shù)列B．若是等比數(shù)列，則C．若，則是等比數(shù)列D．若是等比數(shù)列，且，則【答案】BCD【分析】舉特列可判斷A；由等比數(shù)列的性質(zhì)可判斷B；由，得，兩式相減可得可判斷C；由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可判斷D.【詳解】當(dāng)時(shí)，滿足，但不是等比數(shù)列，則A錯(cuò)誤由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，則B正確.由，得，則，當(dāng)時(shí)，，則，從而可知是等比數(shù)列，則C正確.由，得.由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，，即，解得，再代入結(jié)合C選項(xiàng)可知此時(shí)為等比數(shù)列，則D正確.故選：BCD.10．直線與圓，則（

）A．圓的半徑為2B．直線過(guò)定點(diǎn)C．直線與圓一定有公共點(diǎn)D．圓的圓心到直線的距離的最大值是3【答案】BCD【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可得出圓心、半徑，判斷A項(xiàng)；整理直線方程，解，即可得出定點(diǎn)坐標(biāo)；直線恒過(guò)圓上點(diǎn)，即可判斷C；設(shè)，當(dāng)時(shí)，距離最大，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，求出，即可判斷D.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，，所以圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為3.故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，直線可化為，由可得，，所以直線過(guò)定點(diǎn)，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，直線過(guò)定點(diǎn)，所以，直線與圓一定有公共點(diǎn).故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，設(shè)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，所以，圓的圓心到直線的距離的最大值是，故D項(xiàng)正確.故選：BCD.11．若直線與曲線相切，則的取值可能為（

）A．1 B．2 C．3 D．6【答案】BCD【分析】設(shè)出切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義得出，由切點(diǎn)既在直線上又在曲線上得出，由此將轉(zhuǎn)化為函數(shù)求值域可得.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)?，所?又因?yàn)榍悬c(diǎn)在直線上，所以，解得，所以，令，則，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，又當(dāng).故的取值范圍為.故選：BCD.12．正三棱柱中，，，，分別為，，的中點(diǎn)，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．平面平面B．點(diǎn)到平面的距離為C．與所成角的余弦值的取值范圍為D．以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長(zhǎng)為【答案】ACD【分析】對(duì)A，利用面面垂直的判定即可證明，對(duì)B利用等體積法即可求出距離，對(duì)C建立空間直角坐標(biāo)系，利用線線角的向量求法即可求出其范圍，對(duì)D，作出交線，將立體平面化求解即可.【詳解】對(duì)于A，取的中點(diǎn)，連接，，易知也是的中點(diǎn)，在中，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，在中，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，平面，，所以平面．又因?yàn)槠矫?，所以平面平面，A正確．對(duì)于B，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，易知，，取中點(diǎn)為，連接，因?yàn)?，則，因?yàn)榈酌?，且面，則，又因?yàn)槠矫?，且，所以平面，且，因?yàn)?，所以，解得，B錯(cuò)誤．對(duì)于C，取的中點(diǎn)，連接，易知．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，，的方向分別為，，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則.，設(shè)，，，，設(shè)與所成的角為，則．令（），則，當(dāng)即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞減可知；當(dāng)，即時(shí)，同理根據(jù)對(duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞減可知．綜上，與所成角的余弦值的取值范圍為，C正確．對(duì)于D，由A選項(xiàng)中的結(jié)論知平面，．又因?yàn)榍蛎娴陌霃綖椋砸詾榍蛐?，為半徑的球面與側(cè)面的交線（圓的一部分）的半徑為．如圖，，，所以，解得，由圓與正方形的對(duì)稱性知，所以球面與側(cè)面的交線長(zhǎng)為，D正確．故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題B選項(xiàng)關(guān)鍵是利用等體積法求出點(diǎn)到平面距離，C選項(xiàng)關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，得到線線角表達(dá)式，再結(jié)合對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性即可得到其范圍.三、填空題13．已知單位向量滿足，則.【答案】【分析】利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律及已知可得，再由運(yùn)算律求即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，則，故.故答案為：14．函數(shù)是奇函數(shù)，則.【答案】1【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算，即可求解，再代入函數(shù)解析式求值.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，即，所以，解得，則.故答案為：115．為了檢查學(xué)生的身體素質(zhì)情況，從田徑類3項(xiàng)，球類2項(xiàng)，武術(shù)類2項(xiàng)共7項(xiàng)項(xiàng)目中隨機(jī)抽取3項(xiàng)進(jìn)行測(cè)試，則恰好抽到兩類項(xiàng)目的概率是.【答案】【分析】利用組合應(yīng)用問(wèn)題，結(jié)合排除法求出試驗(yàn)及所求概率的事件的基本事件數(shù)，再利用古典概率公式計(jì)算即得.【詳解】從這7項(xiàng)項(xiàng)目中隨機(jī)抽取3項(xiàng)的情況有種，抽取的3項(xiàng)屬同一類的情況有種，抽取的3項(xiàng)包含三類的情況有種，則符合條件的情況有種，所以所求概率為.故答案為：16．已知橢圓的左焦點(diǎn)為，直線與交于，兩點(diǎn)，若，則的離心率是.【答案】【分析】依題意，設(shè)，因?yàn)?，則有，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理得到，從而得到離心率.【詳解】設(shè)，因?yàn)椋?，所?聯(lián)立整理得，則，，從而，整理得，故，故答案為：.四、解答題17．在中，角的對(duì)邊分別是，且.(1)求角的值；(2)若的面積為，求的周長(zhǎng).【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件利用二倍角余弦公式化簡(jiǎn)求得，求得結(jié)果；（2）由三角形面積公式求得，再利用余弦定理可求得，從而得三角形周長(zhǎng)．【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，所以，則或（舍去）.因?yàn)椋?（2）因?yàn)榈拿娣e為，所以，則.由余弦定理可得，則，即，解得.故的周長(zhǎng)為.18．在等差數(shù)列中，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由題意可得，解方程即可求出，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出；（2）由（1）可得，再由分組求和法和等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解即可.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，則，解得，.故.（2）由（1）可得，則，故.19．已知某地中學(xué)生的男生和女生的人數(shù)比例是，為了解該地中學(xué)生對(duì)羽毛球和乒乓球的喜歡情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取部分中學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，了解到該地中學(xué)生喜歡羽毛球和乒乓球的概率如下表：男生女生只喜歡羽毛球0.30.3只喜歡乒乓球0.250.2既喜歡羽毛球，又喜歡乒乓球0.30.15(1)從該地中學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，已知抽取的這名中學(xué)生喜歡羽毛球，求該中學(xué)生也喜歡乒乓球的概率；(2)從該地中學(xué)生中隨機(jī)抽取100人，記抽取到的中學(xué)生既喜歡羽毛球，又喜歡乒乓球的人數(shù)為，求的分布列和期望.【答案】(1)；(2)分布列見解析，24.【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合條件概率公式求解即得.（2）利用（1）的信息，結(jié)合二項(xiàng)分布求出分布列的期望.【詳解】（1）記事件表示從該地中學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，被抽取的這名中學(xué)生喜歡羽毛球，事件表示從該地中學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，被抽取的這名中學(xué)生喜歡乒乓球，則，，所以所求的概率.（2）由（1）知從該地中學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，被抽取的這名中學(xué)生既喜歡羽毛球，又喜歡乒乓球的概率，因此，所以的分布列為，期望為.20．如圖，在圓錐中，是圓的直徑，且是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，為圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，是的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，由題意可證得，再由線面平行的判定定理證明即可；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.求出平面與平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可.【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接.因?yàn)闉閳A弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以.因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，則，從而四邊形為平行四邊形，故.因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?（2）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?，所以，，則.設(shè)平面的法向量為，則令，得.設(shè)平面的法向量為，則令，得.設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則.故平面與平面所成銳二面角的余弦值為.21．已知雙曲線的離心率是3，點(diǎn)在上.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知直線與相切，且與的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，試問(wèn)是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)是，【分析】（1）將點(diǎn)代入方程，結(jié)合離心率計(jì)算即可得；（2）設(shè)出切線方程，聯(lián)立曲線可得切線中參數(shù)的關(guān)系，聯(lián)立切線與漸近線，可得兩交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得，結(jié)合所得切線中參數(shù)的關(guān)系即可得該定值.【詳解】（1）由題可得，解得，故的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線，聯(lián)立，整理得，則，即.由（1）可知的漸近線方程為和，不妨設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為，與直線的交點(diǎn)為，聯(lián)立，解得，即，聯(lián)立解得，即，則，，得，因?yàn)?，所以，所以，即，故是定值，且該定值?【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用直線與雙曲線相切得到，再求出的坐標(biāo)，最后計(jì)算即可.22．已知函數(shù).(1)求的極值；(2)已知，證明：.【答案】(1)極大值為，極小值為(2)證明見解析【分析】（1）先求得的單調(diào)性，進(jìn)而求得的極值；（2）先利用題給條件構(gòu)造出的不等式，再利用（1）的結(jié)論即可證得.【詳解】（1），，令，可得.令