專題10等比數列（知識梳理精講）原卷版

專題10等比數列知識點一等比數列的概念定義：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數（不為零），那么這個數列就叫做等比數列．這個常數叫做等比數列的公比，通常用字母表示，定義的表達式為．例1．（1）、（2023上·山東濰坊·高三?？计谥校┰诘缺葦盗兄?，已知，，則該等比數列的公比是（

）A． B． C． D．（2）、（2016上·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第三中學?？茧A段練習）已知數列是等比數列，若，，則.（3）、（2023上·天津南開·高三南開中學?？茧A段練習）設數列的公比為，則“且”是“是遞減數列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件1．（2023下·高二課時練習）兩個數4和9的等比中項是（

）A．6 B．C． D．2．（2024上·北京大興·高三統(tǒng)考期末）設是等比數列，，，則.3．（2023下·高二課時練習）在等比數列中，，，則.例2．（2023上·上海普陀·高三曹楊二中?？计谥校┮阎獢盗袧M足，.(1)證明：數列為等比數列，并求的通項公式；(2)在與之間插入個數，使這個數組成一個公差為的等差數列，在數列中是否存在不同的三項、、（其中、、成等差數列）成等比數列？若存在，求出所有滿足條件的、、；若不存在，請說明理由.1．（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·高三校考階段練習）已知數列的前n項和為，是n、的等差中項，．(1)證明：是等比數列；(2)設，數列的前n項和，證明：．知識點二等比數列的通項公式（1）、設等比數列的首項為，公比為，則它的通項公式．（2）、推廣形式：例4．（1）、（2023上·湖南岳陽·高二?？几傎悾┰跀盗兄?，，，則為（

）．A． B． C． D．（2）、（2023上·江蘇揚州·高二統(tǒng)考階段練習）已知為等比數列，公比，，且成等差數列，則通項公式．（3）、（2023上·上海虹口·高三?？计谥校┮阎獢盗惺鞘醉棡?公差不為0的等差數列，且其中、、三項成等比數列，則數列的通項公式．（4）、（2023上·重慶·高三西南大學附中?？计谥校┑缺葦盗兄?，，，則.1．（2017上·寧夏石嘴山·高二石嘴山市第三中學?？计谥校┮阎缺葦盗兄?，，，則該數列的通項（

）A． B． C． D．2．（2023上·廣東汕頭·高三汕頭市潮陽黃圖盛中學?？茧A段練習）在正項等比數列中，，，則的通項公式.3．（2023上·陜西渭南·高三?？茧A段練習）數列的前項和為，若，則．4．（2022上·浙江杭州·高二杭州高級中學?？计谀┮阎獢盗械氖醉?，前n項和為，若，則．例4．（2024上·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中?？计谀┮阎枪畈粸榱愕牡炔顢盗?，，且成等比數列．(1)求數列的通項公式；(2)若，求的前1012項和．1．（2023上·福建泉州·高三?？茧A段練習）已知各項均不相同的等差數列的前四項和，且成等比數列.(1)求數列的通項公式；(2)設為數列的前n項和，求知識點三等比中項（1）等比中項：如果，，成等比數列，那么叫做與的等比中項．即是與的等比中項?，，成等比數列?．（2）若時，則，特別地，當時，．例5．（1）、（2024上·河北保定·高二保定一中?？茧A段練習）在等比數列中，，是方程的兩根，則的值為．（2）、（2023上·陜西西安·高二西北工業(yè)大學附屬中學校考期中）已知數列是等差數列，數列是等比數列，，且，則（

）A． B． C． D．（3）、（2023下·黑龍江大慶·高二大慶中學?？奸_學考試）在正項等比數列中，，則.1．（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）記為公差不為零的等差數列的前n項和.若，且，，成等比數列，則的值為.2．（2023上·湖北·高二期末）已知數列是公比為的正項等比數列，且，則（

）A． B． C． D．3．（2022下·四川南充·高一四川省南充高級中學?？茧A段練習）設，若3是與的等比中項，則的最大值是.知識點四等比數列的綜合性質等比數列的公比為，其前項和為例6．（1）、（2024·安徽淮北·統(tǒng)考一模）正項等差數列的前項和為，若，，成等比數列，則的最小值為.（2）、（2017上·寧夏石嘴山·高二石嘴山市第三中學?？计谥校┤舻缺葦盗袧M足，則等于（

）A．6 B．±6 C．5 D．±5（3）、（2024上·河北邢臺·高二河北省博野中學校聯考期末）現有一根4米長的木頭，第一天截掉它的，以后每一天都截掉它前一天留下的木頭的，到第天時，共截掉了米，則（

）A．5 B．6 C．7 D．81．（2024上·吉林白山·高二統(tǒng)考期末）等比數列的各項均為正數，其前項和為，已知，則.2．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學?？寄M預測）已知公差不為的等差數列的前項和為，若，，成等比數列，則（

）A． B． C． D．3．（2023上·江蘇南通·高二統(tǒng)考期末）已知數列為等比數列，，公比．若是數列的前n項積，則取得最大值時n的值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9例7．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設是首項為1的等比數列，數列滿足．已知，，成等差數列．（1）求和的通項公式；（2）記和分別為和的前n