《微積分》(上下冊)教學課件01.函數(shù)、極限、連續(xù)高等數(shù)學第1-4節(jié)

《微積分》(上下冊)教學課件01.函數(shù)、極限、連續(xù)高等數(shù)學第1-4節(jié)匯報人：AA2024-01-25函數(shù)概念與性質極限理論與計算連續(xù)性與間斷點分析導數(shù)與微分及其應用中值定理與導數(shù)應用不定積分與定積分初步目錄CONTENTS01函數(shù)概念與性質函數(shù)定義及表示方法函數(shù)定義設$x$和$y$是兩個變量，$D$是實數(shù)集的某個子集，若對于$D$中的每一個$x$值，按某種對應法則$f$，總有唯一確定的$y$值與它對應，則稱$y$是$x$的函數(shù)，記作$y=f(x)$。函數(shù)的表示方法函數(shù)的表示方法主要有三種：解析法、列表法和圖像法。

函數(shù)基本性質有界性函數(shù)在某一區(qū)間內有界，意味著函數(shù)在該區(qū)間內的值域是一個有界集。單調性函數(shù)在某一區(qū)間內單調增加（或減少），意味著在該區(qū)間內任意兩點$x_1<x_2$，都有$f(x_1)leqf(x_2)$（或$f(x_1)geqf(x_2)$）。周期性函數(shù)具有周期性，意味著存在一個正數(shù)$T$，使得對于任意$x$，都有$f(x+T)=f(x)$。反函數(shù)若函數(shù)$y=f(x)$的定義域是$D_f$，值域是$R_f$，且對于$R_f$中的每一個$y$值，在$D_f$中都有唯一的$x$值與之對應，則稱函數(shù)$x=g(y)$為函數(shù)$y=f(x)$的反函數(shù)。復合函數(shù)設函數(shù)$y=f(u)$的定義域為$D_f$，函數(shù)$u=g(x)$的定義域為$D_g$，且$g(D_g)subsetD_f$，則由下式確定的函數(shù)稱為由函數(shù)$u=g(x)$與函數(shù)$y=f(u)$構成的復合函數(shù)，記作$y=f[g(x)]$。反函數(shù)與復合函數(shù)由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和有限次的復合運算所得到的并可以用一個式子表示的函數(shù)稱為初等函數(shù)。初等函數(shù)初等函數(shù)的圖像可以通過基本初等函數(shù)的圖像經(jīng)過變換得到。例如，指數(shù)函數(shù)的圖像、對數(shù)函數(shù)的圖像、冪函數(shù)的圖像、三角函數(shù)的圖像等。初等函數(shù)的圖像初等函數(shù)及其圖像02極限理論與計算123描述函數(shù)在某一點或無窮遠處的變化趨勢。極限的定義唯一性、局部有界性、保號性、四則運算法則。極限的性質函數(shù)在某一點左側和右側極限的定義及性質。左右極限極限概念及性質無窮小量的定義極限為零的變量稱為無窮小量。無窮大量的定義絕對值無限增大的變量稱為無窮大量。無窮小量與無窮大量的關系無窮小量的倒數(shù)是無窮大量，反之亦然。無窮小量的性質有限個無窮小量之和、差、積仍是無窮小量。無窮小量與無窮大量加法、減法、乘法、除法。極限的四則運算法則復合函數(shù)的極限等于函數(shù)值的極限。復合函數(shù)的極限運算法則冪指函數(shù)的極限可以通過取對數(shù)化為復合函數(shù)的極限進行計算。冪指函數(shù)的極限運算法則極限運算法則03兩個重要極限的應用在求解一些復雜函數(shù)的極限時，可以通過變形轉化為這兩個重要極限進行計算。01第一個重要極限lim(sinx/x)=1，x->0。02第二個重要極限lim[(1+1/x)^x]=e，x->∞。兩個重要極限03連續(xù)性與間斷點分析連續(xù)函數(shù)的性質連續(xù)函數(shù)具有局部有界性、局部保號性、四則運算性質、復合函數(shù)連續(xù)性等。連續(xù)性的幾何意義函數(shù)在某點連續(xù)意味著函數(shù)圖像在該點處沒有間斷或跳躍。連續(xù)性的定義設函數(shù)$f(x)$在點$x_0$的某鄰域內有定義，如果$lim_{Deltaxto0}Deltay=0$，則稱函數(shù)$f(x)$在點$x_0$處連續(xù)。連續(xù)概念及性質間斷點的類型根據(jù)函數(shù)在間斷點處的左右極限情況，間斷點可分為可去間斷點、跳躍間斷點、無窮間斷點和振蕩間斷點四種類型。判斷方法通過計算函數(shù)在間斷點處的左右極限，根據(jù)極限的存在性和相等性來判斷間斷點的類型。間斷點的定義如果函數(shù)$f(x)$在點$x_0$處不連續(xù)，則稱$x_0$為函數(shù)$f(x)$的間斷點。間斷點類型與判斷方法有界性定理閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必定有界。閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必定能取到最大值和最小值。如果函數(shù)$f(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，且$f(a)neqf(b)$，則對于任意介于$f(a)$和$f(b)$之間的數(shù)$c$，至少存在一點$xiin(a,b)$，使得$f(xi)=c$。閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)具有一致連續(xù)性，即對于任意給定的正數(shù)$epsilon$，總存在正數(shù)$delta$，使得當區(qū)間內任意兩點$x_1,x_2$滿足$|x_1-x_2|<delta$時，有$|f(x_1)-f(x_2)|<epsilon$。最大值和最小值定理中間值定理（介值定理）一致連續(xù)性閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質04導數(shù)與微分及其應用導數(shù)的定義導數(shù)描述了函數(shù)在某一點處的切線斜率，反映了函數(shù)值隨自變量變化的快慢程度。導數(shù)的計算方法通過求極限的方式計算導數(shù)，包括基本初等函數(shù)的導數(shù)公式、導數(shù)的四則運算法則、復合函數(shù)的求導法則等。高階導數(shù)二階及二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù)，表示函數(shù)在某一點處的更高階變化率。導數(shù)概念及計算方法微分概念及計算方法微分在近似計算、誤差估計、微分方程等領域有廣泛應用。微分的應用微分是函數(shù)在某一點處的局部變化量的線性近似，即函數(shù)的局部增量可以近似表示為自變量的微分與函數(shù)在該點處導數(shù)的乘積。微分的定義通過求導數(shù)的方式計算微分，包括基本初等函數(shù)的微分公式、微分的四則運算法則、復合函數(shù)的微分法則等。微分的計算方法導數(shù)在幾何中可用于求曲線的切線方程、法線方程、曲率等，還可用于判斷函數(shù)的單調性、凹凸性等。幾何應用導數(shù)在物理中可用于描述速度、加速度、角速度等物理量的變化率，還可用于求解最值問題，如最小作用量原理、最大功原理等。物理應用導數(shù)在經(jīng)濟學中可用于分析邊際效應、彈性等經(jīng)濟指標，還可用于求解最優(yōu)化問題，如最小成本、最大收益等。經(jīng)濟學應用導數(shù)在幾何和物理中應用05中值定理與導數(shù)應用若函數(shù)$f(x)$在點$x_0$處可導且取得極值，則$f'(x_0)=0$。費馬引理若函數(shù)$f(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，在開區(qū)間$(a,b)$內可導，且$f(a)=f(b)$，則存在$xiin(a,b)$，使得$f'(xi)=0$。羅爾定理若函數(shù)$f(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，在開區(qū)間$(a,b)$內可導，則存在$xiin(a,b)$，使得$f'(xi)=frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。拉格朗日中值定理若函數(shù)$f(x)$和$g(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，在開區(qū)間$(a,b)$內可導，且$g'(x)neq0$，則存在$xiin(a,b)$，使得$frac{f'(xi)}{g'(xi)}=frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$?？挛髦兄刀ɡ碇兄刀ɡ韮热菁白C明利用導數(shù)研究函數(shù)單調性單調性判定定理：若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$I$上可導，則若$f'(x)<0$在$I$上恒成立，則$f(x)$在$I$上單調遞減。若$f'(x)>0$在$I$上恒成立，則$f(x)$在$I$上單調遞增；應用舉例：通過求解導數(shù)并判斷其符號，可以確定函數(shù)的單調區(qū)間。利用導數(shù)研究函數(shù)極值和最值極值判定定理：若函數(shù)$f(x)$在點$x_0$處連續(xù)，且在點$x_0$的某鄰域內可導，則若$f'(x_0)=0$且當$x<x_0$時$f'(x)<0$，當$x>x_0$時$f'(x)>0$，則$f(x)$在點$x_0$處取得極小值；若$f'(x_0)=0$且當$x<x_0$時$f'(x)>0$，當$x>x_0$時$f'(x)<0$，則$f(x)$在點$x_0$處取得極大值。$f(x)$在$[a,b]$上的最大值和最小值分別存在于端點或極值點；通過比較端點和極值點的函數(shù)值，可以確定函數(shù)的最值。最值判定定理：若函數(shù)$f(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，則06不定積分與定積分初步不定積分的定義不定積分是求一個函數(shù)的原函數(shù)或反導數(shù)的過程，結果是一個函數(shù)族，每個函數(shù)之間相差一個常數(shù)。不定積分的性質不定積分具有線性性、可加性和常數(shù)倍性質。此外，還有換元積分法和分部積分法等基本方法。不定積分的幾何意義不定積分表示的是曲線在某區(qū)間上與x軸圍成的面積，其結果是一個函數(shù)表達式。不定積分概念及性質通過變量代換將復雜的不定積分轉化為簡單的不定積分，常用的代換方法有三角代換、根式代換等。換元積分法分部積分法兩種方法的比較與選擇將兩個函數(shù)相乘的不定積分轉化為兩個較簡單的函數(shù)的積分，適用于被積函數(shù)是兩類不同函數(shù)乘積的情況。在實際應用中，需要根據(jù)被積函數(shù)的特征選擇合適的積分方法。換元積分法和分部積分法定積分的定義定積分是求一個函數(shù)在閉區(qū)間上的積分值，其結果是一個數(shù)。定積分的幾何意義定積分表示的是曲線在指定區(qū)間上與x軸圍