專(zhuān)題03任意角及其度量（2大考點(diǎn)3種題型）

專(zhuān)題03任意角及其度量（2大考點(diǎn)3種題型）思維導(dǎo)圖核心考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)一、任意角考點(diǎn)二、角的度量題型一．任意角的三角函數(shù)的定義題型二．三角函數(shù)值的符號(hào)題型三：角的度量考點(diǎn)一、任意角1.正角、負(fù)角、零角：正角：一條射線(xiàn)繞端點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角為正角，其度量值是正的；負(fù)角：一條射線(xiàn)繞端點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角為負(fù)角，其度量值是負(fù)的.零角：當(dāng)一條射線(xiàn)沒(méi)有旋轉(zhuǎn)時(shí)，稱(chēng)為零角.零角的始邊與終邊重合.【小結(jié)】這樣，我們可將角的概念推廣到任意角，包括正角、負(fù)角與零角，也包括超過(guò)的角.2.象限角和軸線(xiàn)角：（1）為了便于研究角及與其相關(guān)的問(wèn)題，可將角置于平面直角坐標(biāo)系中，使角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的正半軸重合，此時(shí)角的終邊在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限的角，或者說(shuō)這個(gè)角屬于第幾象限.如圖，和都是第一象限角，和都是第二象限的角.（2）當(dāng)角的終邊在坐標(biāo)軸上時(shí)，就說(shuō)這些角不屬于任一象限，這種角稱(chēng)為軸線(xiàn)角.3.終邊相同的角：我們把所有所有與角終邊重合的角（包括角本身）的集合表示為.【小結(jié)】①終邊在軸正半軸上的角的集合為；②終邊在軸負(fù)半軸上的角的集合為；③終邊在軸上的角的集合為；④終邊在軸上的角的集合為；⑤終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為；⑥第二象限角的集合為.【注意】后綴表示射線(xiàn)，表示直線(xiàn).考點(diǎn)二、角的度量一般地說(shuō)，如果一個(gè)半徑為的圓的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為，那么就是角的絕對(duì)值，即，的符號(hào)由它的始邊旋轉(zhuǎn)至終邊的方向決定【逆正順負(fù)】.【注意】角度弧度（5）象限角的表示：第一象限的角的集合：第二象限的角的集合：第三象限的角的集合：第四象限的角的集合：【注意】題型一．任意角的三角函數(shù)的定義【例1】．（2023春?浦東新區(qū)校級(jí)月考）下列命題中，正確的是A．第二象限角大于第一象限角 B．若，是角終邊上一點(diǎn)，則 C．若，則、的終邊相同 D．的解集為【分析】取特例可判斷，根據(jù)三角函數(shù)的定義判斷，利用周期解出三角方程的解集判斷．【解答】解：因?yàn)橄笙藿遣荒鼙容^大小，如是第二象限角，是第一象限角，故錯(cuò)誤；因?yàn)?，是角終邊上一點(diǎn)，所以，所以，故錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足，但、的終邊不相同，故錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，在一個(gè)周期上的解為，故在定義域上的解為，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．【例2】．（2023春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）“，”是“”的條件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的概念及特殊角的正弦函數(shù)值求解即可．【解答】解：“”能推出“”，充分性成立，反過(guò)來(lái)，“”不能推出“”，因?yàn)榭赡?，故必要性不成立，所以“，”是“”的是充分不必要條件．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分條件、必要條件的概念及特殊角的正弦函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題．【例3】．（2023春?青浦區(qū)校級(jí)月考）若角的終邊上有一點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為．【分析】利用終邊上的點(diǎn)表示出，然后解方程即可．【解答】解：角的終邊上有一點(diǎn)，則，，解得．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．【例4】．（2023?上海模擬）已知為角終邊上一點(diǎn)，則．【分析】由已知點(diǎn)的坐標(biāo)求出到原點(diǎn)的距離，利用任意角的三角函數(shù)的定義求得，的值，然后求解即可．【解答】解：（1）點(diǎn)為角終邊上一點(diǎn)，，則，，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，是基礎(chǔ)題．【例5】．（2023春?寶山區(qū)校級(jí)月考）已知終邊過(guò)點(diǎn)，若，則．【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求解．【解答】解：依題意，因?yàn)榻K邊過(guò)點(diǎn)，，所以，解得：或（舍去），所以，所以．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了誘導(dǎo)公式，三角函數(shù)函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．【例6】．（2023春?徐匯區(qū)校級(jí)期中）角是第四象限角，其終邊與單位圓的交點(diǎn)為，把角順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得角，則角終邊與單位圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)為．【分析】利用三角函數(shù)的坐標(biāo)定義，利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：是第四象限角，其終邊與單位圓的交點(diǎn)為，，，把角順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得角，則，則，，即角終邊與單位圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，．故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)的定義，利用坐標(biāo)公式以及誘導(dǎo)公式進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．題型二．三角函數(shù)值的符號(hào)【例1】．（2023春?浦東新區(qū)期中）已知點(diǎn)在第四象限，則角的終邊在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】由題意得，結(jié)合三角函數(shù)的定義即可求解．【解答】解：由題意得，所以為第三象限．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形函數(shù)值符號(hào)的判斷，屬于基礎(chǔ)題．【例2】．（2023春?寶山區(qū)校級(jí)月考）設(shè)是第三象限角，則下列函數(shù)值一定為負(fù)數(shù)的是A． B． C． D．【分析】對(duì)于，結(jié)合特殊值法，即可求解；對(duì)于，先求出在第二象限或第四象限，再結(jié)合選項(xiàng)，即可求解．【解答】解：對(duì)于，當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足是第三象限角，但，故錯(cuò)誤；對(duì)于，，，則，，故在第二象限或第四象限，所以符合題意．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)值的符號(hào)，屬于基礎(chǔ)題．【例3】．（2023春?青浦區(qū)校級(jí)期中）點(diǎn)是第______象限角終邊上的點(diǎn)A．一 B．二 C．三 D．四【分析】利用誘導(dǎo)公式可得為第三象限的角，從而可得點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)，進(jìn)而可得答案．【解答】解：為第三象限的角，，，故是第三象限角終邊上的點(diǎn)，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查誘導(dǎo)公式、象限角及三角函數(shù)符號(hào)的確定，屬于基礎(chǔ)題．【例4】．（2023春?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期中）若，，則是第象限角．A．一 B．二 C．三 D．四【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合三角函數(shù)值的符號(hào)，即可求解．【解答】解：，，則是第四象限．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)值的符號(hào)，屬于基礎(chǔ)題．【例5】．（2023春?青浦區(qū)校級(jí)期中）為第三象限角，且，則在第象限．【分析】利用角所在象限，列出不等式，然后轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：因?yàn)榈谌笙藿牵?，得，則所在象限為第二象限或第四象限，又因，故所在象限為第二象限．綜上所述，在第二象限．故答案為：二．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)角所在象限的判斷，三角函數(shù)值的符號(hào)的判斷，是基礎(chǔ)題．題型三：角的度量【例1】．（2023下·上海楊浦·高一上海市控江中學(xué)?？计谀┌霃綖?，弧長(zhǎng)為2的扇形的圓心角為弧度.【答案】1【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式結(jié)合已知條件求解即可【詳解】半徑為2，弧長(zhǎng)為2的扇形的圓心角為弧度，故答案為：1【例2】．（2023下·上海長(zhǎng)寧·高一統(tǒng)考期末）將弧度化為角度：弧度=°．【答案】【分析】根據(jù)角度制與弧度制的互化即可求解.【詳解】.故答案為：【例3】．（2023下·上海嘉定·高一校考期末）把化為弧度.【答案】【分析】根據(jù)角度與弧度的換算關(guān)系，即可求得答案.【詳解】由題意得，故答案為：【例4】．（2023下·上海嘉定·高一?？计谥校?50度＝（填弧度）；【答案】【分析】根據(jù)角度與弧度之間的換算關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】150度＝.故答案為：.【例5】．（2023下·上海浦東新·高一?？计谥校┰趩挝粓A中，圓心角為的弧長(zhǎng)為．【答案】【分析】直接利用弧長(zhǎng)公式求解即可【詳解】在單位圓中，圓心角為的弧長(zhǎng)為，故答案為：【例6】．（2023下·上海閔行·高一?？茧A段練習(xí)）若扇形的圓心角為，面積為，則扇形的半徑為.【答案】【分析】利用扇形的面積公式可求得該扇形的半徑.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，則該扇形的面積為，解得，故該扇形的半徑為.故答案為：.【例7】．（2023上·上海松江·高一?？计谀┤羯刃蔚陌霃綖?，弧長(zhǎng)為3，則扇形的面積為.【答案】3【分析】根據(jù)扇形的面積公式直接運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：扇形的面積為.故答案為：3.【例8】．（2023上·上?！じ咭簧虾Ｊ薪ㄆ街袑W(xué)?？茧A段練習(xí)）已知一個(gè)扇形的圓心角大小為，弧長(zhǎng)為，則其面積為.【答案】【分析】利用扇形弧長(zhǎng)公式求出半徑，再用扇形面積公式求出其面積即可.【詳解】因扇形的圓心角大小為，弧長(zhǎng)為，設(shè)扇形半徑為，則由解得：故其面積為.故答案為：.【例9】．（2023下·上海靜安·高一統(tǒng)考期末）已知扇形的弧所對(duì)的圓心角為，且半徑為，則該扇形的弧長(zhǎng)為.【答案】【分析】直接利用弧長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】因?yàn)橐粋€(gè)扇形的弧所對(duì)的圓心角為，所以圓心角的弧度數(shù)為，所以該扇形的弧長(zhǎng)為.故答案為：.【例10】．（2023下·上海黃浦·高一上海市大同中學(xué)校考期末）已知圓O上的一段圓弧長(zhǎng)等于該圓的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)，則這段圓弧所對(duì)的圓心角的弧度為．【答案】【分析】設(shè)該圓的半徑為，則可得圓的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)為，然后根據(jù)題意利用弧長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)該圓的半徑為，則該圓的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)為，即這段弧的長(zhǎng)度為，則其所對(duì)的圓心角的弧度數(shù)為，故答案為：【例11】．（2023下·上海奉賢·高一校考期中）已知半徑為的扇形的圓心角為，則扇形的面積為．【答案】【分析】根據(jù)弧度制的定義，求得弧長(zhǎng)，根據(jù)扇形的面積公式，可得答案.【詳解】因?yàn)榘霃缴刃蔚膱A心角為，則圓心角，所以弧長(zhǎng)，面積.故答案為：.【例12】．（2023上·上海·高一上海市行知中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知扇形的弧所對(duì)的圓心角為，且半徑為，則該扇形的面積為．【答案】【分析】把圓心角的度數(shù)化為弧度制，結(jié)合扇形的面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】，半徑為，所以該扇形的面積為，故答案為：【例13】．（2022上·上海徐匯·高一上海市第二中學(xué)校考期末）“數(shù)摺聚清風(fēng)，一捻生秋意”是宋朝朱翌描寫(xiě)折扇的詩(shī)句，折扇出人懷袖，扇面書(shū)畫(huà)，扇骨雕琢，是文人雅士的寵物，所以又有“懷袖雅物”的別號(hào)．如圖是折扇的示意圖，其中，，M為的中點(diǎn)，則扇面（圖中扇環(huán)）部分的面積是．【答案】【分析】利用扇形面積公式去求扇環(huán)部分的面積即可.【詳解】設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)為，則.故答案為：一、填空題1．（2023下·上海嘉定·高一?？计谥校┡c角終邊重合的角的集合是.【答案】【分析】根據(jù)終邊相同角的概念直接求解即可.【詳解】與角終邊重合的角的集合是.故答案為：2．（2023上·上?！じ咭簧虾Ｊ行兄袑W(xué)?？茧A段練習(xí)）已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸正半軸重合，其終邊經(jīng)過(guò)，則.【答案】/【分析】根據(jù)正弦的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)榻堑捻旤c(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸正半軸重合，其終邊經(jīng)過(guò)，所以，故答案為：3．（2023上·上海·高一上海市行知中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若，則是第象限角.（填“一”、“二”、“三”或“四”）【答案】三【分析】直接根據(jù)象限角的定義判斷即可.【詳解】由題意，所以是第三象限角.故答案為：三.4．（2023下·上?！じ咭簧虾Ｊ衅邔氈袑W(xué)?？计谥校┮阎?弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為4厘米，則此圓心角所夾的扇形面積為.【答案】4【分析】運(yùn)用扇形的弧長(zhǎng)公式求得扇形的半徑，再運(yùn)用扇形的面積公式計(jì)算即可.【詳解】由題意知，，，所以扇形的半徑，所以扇形的面積.故答案為：4.5．（2023下·上海奉賢·高一上海市奉賢中學(xué)校考期中）已知扇形的半徑為10，圓心角為，則扇形的弧長(zhǎng)為．【答案】20【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算.【詳解】弧長(zhǎng)；故答案為：20.6．（2023下·上海青浦·高一上海市朱家角中學(xué)校考期中）已知扇形的弧長(zhǎng)為2cm，半徑為2cm，則該扇形的圓心角【答案】【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式直接求解.【詳解】設(shè)弧長(zhǎng)為，半徑為,則cm，2cm，.故答案為:.7．（2023下·上海青浦·高一上海市青浦高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎襞c的終邊相同，且，則【答案】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合終邊相同的角的定義，即可求解.【詳解】因?yàn)榕c的終邊相同，且，即，所以，故答案為：或8．（2023下·上海徐匯·高一上海市第二中學(xué)?？计谥校┮粋€(gè)扇形的圓心角為弧度，扇形面積是1平方厘米，扇形半徑是1厘米，則圓心角是弧度.【答案】2【分析】由扇形的面積公式求解即可.【詳解】已知扇形面積是1平方厘米，扇形半徑是1厘米，所以，即，即，故圓心角是弧度.故答案為：.9．（2023上·上海·高一上海市建平中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其中，則角的余弦值為.【答案】【分析】根據(jù)余弦的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意知，故答案為：10．（2023下·上海黃浦·高一上海市大同中學(xué)校考期末）若，則點(diǎn)必在第象限．【答案】三【分析】由可求出的正負(fù)，從而可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以點(diǎn)必在第三象限．故答案為：三11．（2022上·上海徐匯·高一上海市第二中學(xué)?？计谀⒔堑慕K邊按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得角，寫(xiě)出所有終邊與相同的角的集合．【答案】【分析】先求出，再由終邊相同的角求解即可．【詳解】因?yàn)榘错槙r(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所得的角為負(fù)角，所以所求的角為．則，故終邊與相同的角的集合.故答案為：.12．（2023下·上海靜安·高一?？计谥校┙堑捻旤c(diǎn)在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，始邊與x軸的正半軸重合，點(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)，若，則．【答案】【分析】根據(jù)角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合三角函數(shù)的定義，列式計(jì)算，即得答案.【詳解】由題意得點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離為，故由得，解得，故答案為：二、單選題13．（2023下·上海靜安·高一統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，以下命題中所表述的角都是頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的正半軸重合的角.①小于的角一定是銳角；

②第二象限的角一定是鈍角；③終邊重合的角一定相等；

④相等的角終邊一定重合.其中真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】對(duì)于①②③舉例判斷，對(duì)于④利用角的定義分析判斷【詳解】對(duì)于①，的角是小于的角，但不是銳角，所以①錯(cuò)誤，對(duì)于②，的角是第二象限的角，但不是鈍角，所以②錯(cuò)誤，對(duì)于③，的角和的角終邊相同，但不相等，所以③錯(cuò)誤，對(duì)于④，因?yàn)榻嵌际琼旤c(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的正半軸重合的角，所以若角相等，則終邊一定重合，所以④正確，所以真命題的個(gè)數(shù)是1，故選：A14．（2020下·上海靜安·高一統(tǒng)考期末）的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)計(jì)算【詳解】，故選：D15．（2023上·上?！じ咭簧虾Ｊ薪ㄆ街袑W(xué)校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，給出下列命題：①小于的角一定是銳角；②鈍角一定是第二象限的角；③終邊不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命題的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】結(jié)合任意角的概念分析即可.【詳解】因?yàn)殇J角，所以小于的角不一定是銳角，故①不成立；因?yàn)殁g角，第二象限角，，所以鈍角一定是第二象限角，故②成立；若兩個(gè)角的終邊不重合，則這兩個(gè)角一定不相等，故③成立；例如，，但，故④不成立.故選：B.16．（2023下·上海嘉定·高一?？计谥校┤羰堑谝幌笙藿?，則下列各角是第三象限角的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)象限角的概念判斷即可.【詳解】若是第一象限角，則，，則是第四象限角，故D錯(cuò)誤；，則是第一象限角，故A錯(cuò)誤；，則是第二象限角，故B錯(cuò)誤；，則是第三象限角，故C錯(cuò)誤.故選：C.三、解答題17．（2021下·高一課時(shí)練習(xí)）已知角的集合為，回答下列問(wèn)題：(1)集合M中有幾類(lèi)終邊不相同的角？(2)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪幾個(gè)？(3)求集合M中的第二象限角．【答案】(1)四類(lèi)(2)－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°(3)，【分析】集合M中的角分為第一、二、三、四象限的四類(lèi)終邊不相同的角；取適當(dāng)?shù)恼麛?shù)即可得到指定范圍內(nèi)的角；找到集合中的一個(gè)第二象限角，寫(xiě)出與它終邊相同的角即可.【詳解】（1）集合M中的角可以分成四類(lèi)，即終邊分別與－150°，－60°，30°，120°的終邊相同的角．（2）令，得，又，所以終邊不相同的角，所以集合M中大于－360°且小于360°的角共有8個(gè)，分別是:－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°．（3）集合M中的第二象限角與120°角的終邊相同，所以，.18．（2023下·上海浦東新·高一上海市進(jìn)才中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，求及的值．【答案】答案見(jiàn)解析【分析】利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)即可.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊