人教版數(shù)學八年級下冊平行四邊形單元測試卷（B）

平行四邊形單元測試卷（B）

一、單選題

1.如圖是由“趙爽弦圖”變化得到的，它由八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正

方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面積分別為Si、S2、S3.若S1+S2+S3

=60,則S2的值是（）

K

BFC

A.12B.15C.20D.30

2.如圖，正方形ABCD內(nèi)有兩條相交線段MN,EF,M,N,EF分別在邊AB,CD,

AD,BC上.小明認為：若MN=EF,則MNLEF：小亮認為:若MN_LEF,則MN=

EF,你認為（）

AED

三,

RFC

A.僅小明對B.僅小亮對C.兩人都對D.兩人都不對

3.如圖，在正方形ABC。中，43=9,點E在C￡＞邊上，且。=2CE,點尸是

AC上的一個動點，則PE+PO的最小值是（）

A.3MB.1073C.9D.90

4.如圖所示，已知正方形ABCD的面積是8平方厘米，正方形EFGH的面積是62平

方厘米，BC落在EH上，AACG的面積是4.9平方厘米，則AABE的面積是（）

A.0.5平方厘米B.2平方厘米C.、歷平方厘米D.0.9平方厘米

5.如圖，在△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,P為邊BC上一動點，PE_LAB于E,

PFJ_AC于F,則EF的最小值為（）

A.2B.2.2C.2.4D.2.5

6.已知正方形ABCD的邊長為5,E在BC邊上運動，DE的中點G,EG繞E順時針

旋轉(zhuǎn)90。得EF,問CE為多少時A、C、F在一條直線上（）

7.將矩形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊，恰好得到菱形AECF,若AB=3,則菱

D.4

8.如圖，某劇院舞臺上的照明燈P射出的光線成“錐體”，其"錐體”面圖的“錐角”是60。.

已知舞臺ABCD是邊長為6m的正方形.要使燈光能照射到整個舞臺，則燈P的懸掛

高度是（）

A.3瓜mB.36mC.4GmD.迷m

9.如圖，正方形ABCD的邊長為8,M在DC上，且DM=2,N是AC上的一動點,

則DN+MN的最小值是（）

AD

BC

A.8B.9C.10D.12

10.如圖，正方形ABCD中，點E、F、H分別是AB、BC、CD的中點，CE、DF交于

G,連接AG、HG,下歹ij結(jié)論:①CE_LDF；②AG=AD；③NCHG=NDAG；?HG=-AD.其

2

中正確的有（）

A.①②B.①②④C.①③④D.①②③④

二、填空題

11.如圖，在矩形ABCD中，AB=3,CB=2,點E為線段AB上的動點，將△CBE沿

CE折疊，使點B落在矩形內(nèi)點F處，下列結(jié)論正確的是（寫出所有正確結(jié)論的

序號）

①當E為線段AB中點時，AF〃CE；

9

②當E為線段AB中點時，AF=-;

③當A、F、C三點共線時，AE=立工電；

3

④當A、F、C三點共線時，4CEF絲AAEF.

12.在一張直角三角形紙片的兩直角邊上各取一點，分別沿斜邊中點與這兩點的連線剪

去兩個三角形，剩下的部分是如圖所示的四邊形，AB〃CD,CD_LBC于C,且AB、

BC、CD邊長分別為2,4,3,則原直角三角形紙片的斜邊長是.

13.如圖，M、N是正方形ABCD的邊CD上的兩個動點，滿足AM=BN,連接AC

交BN于點E,連接DE交AM于點F,連接CF,若正方形的邊長為6,則線段CF的

最小值是.

14.如圖，在直線1上擺放著三個三角形：AABC、△HFG.ADCE,己知BC=』CE,

3

F、G分別是BC、CE的中點，F(xiàn)M〃AC〃HG〃DE,GN〃DC〃HF〃AB.設(shè)圖中三個

四邊形的面積依次是Si,S2,S3,若SI+S3=20,則S尸,S2=.

15.如圖，在矩形ABCD中，點E是CD的中點，將△BCE沿BE折疊后得到△BEF、

且點F在矩形ABCD的內(nèi)部，將BF延長交AD于點G.若2—=工，則生=_.

GA7AB

16.如圖，在平面直角坐標系中，矩形A8C0的邊C0、。4分別在x軸、y軸上，點E

在邊8c上，將該矩形沿AE折疊，點8恰好落在邊0C上的尸處.若0A=8,CF=4,

則點E的坐標是.

17.如圖，在^ABC中，0是AC上一動點，過點O作直線MN〃BC,設(shè)MN交/BCA

的平分線于點E,交/BCA的外角平分線于點F.若點O運動到AC的中點，則

ZACB=。時，四邊形AECF是正方形.

18.如圖，口ABCD的周長是26cm,對角線AC與BD交于點O,ACLAB,點E是

BC的中點，△AOD的周長比AAOB的周長多3cm,則AE的長度為cm.

三、解答題

19.在。ABCD中，NBAD的平分線交直線BC于點E,交直線DC于點F.

(1)在圖1中證明CE=CF；

(2)若NABC=90。，G是EF的中點(如圖2),直接寫出/BDG的度數(shù)；

(3)若NABC=120。，F(xiàn)G〃CE,FG=CE,分別連接DB、DG(如圖3),求NBDG的

度數(shù).

20.如圖所示，折疊矩形ABCD的一邊40,使點。落在8c邊的點尸處，已知48=

Scm,BC—10cm.求CE的長？

21.如圖，以△ABC的三邊為邊在BC的同一側(cè)分別作三個等邊三角形，即AABD、

△BCE、△ACF,請回答下列問題：

(1)四邊形ADEF是什么四邊形？

(2)當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEF是矩形？

(3)當△ABC滿足什么條件時，以A、D、E、F為頂點的四邊形不存在？

22.已知，點P是正方形ABCD內(nèi)的一點，連PA、PB、PC.

(1)將4PAB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90。到4P，CB的位置(如圖1).

①設(shè)AB的長為a,PB的長為b(b<a),求△PAB旋轉(zhuǎn)到△P，CB的過程中邊PA所掃

過區(qū)域(圖1中陰影部分)的面積；

②若PA=2,PB=4,ZAPB=135°,求PC的長.

(2)如圖2,若PA2+PC2-2PB2,請說明點P必在對角線AC

圖1圖2

23.如圖，在IDABCD中，AB=6,BC=10,對角線AC_LAB,點E,F分別是邊BC,

AD上的點，且BE=DF.

(1)求證：四邊形AECF是平行四邊形；

(2)填空：①當BE的長度為時，四邊形AECF是菱形;

②當BE的長度為時，四邊形AECF是矩形.

24.如圖，正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O,BE〃AC,CE/7DB.

求證：四邊形OBEC是正方形.

25.如圖，四邊形ABCD為矩形，將矩形ABCD沿MN折疊，折痕為MN,點B的對

應(yīng)點B，落在AD邊上，已知AB=6,AD=4.

(1)若點B，與點D重合，連結(jié)DM,BN,求證：四邊形BMB代為菱形;

(2)在(1)問條件下求出折痕MN的長.

26.以四邊形A3。的邊AB、AO為邊分別向外側(cè)作等邊三角形ABF和AOE,連接E8、

FD,交點為G.

圖1圖2圖3

⑴當四邊形ABCO為正方形時(如圖1),EB和FD的數(shù)量關(guān)系是；

(2)當四邊形ABCD為矩形時(如圖2),EB和ED具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請加以證明；

(3)四邊形ABC。由正方形到矩形到一般平行四邊形的變化過程中，NEG。是否發(fā)生變

化？如果改變，請說明理由；如果不變，請在圖3中求出NEG3的度數(shù).

參考答案

1.c【解析】設(shè)每個小直角三角形的面積為m,則Si=4m+S2,S3=S2-4m,

因為SI+S2+S3=60,

所以4m+S2+S2+S2-4m=60,

即3s2=60,

解得S2=20,故選C.

2.C【解析】如圖，過點E作EGLBC于點G,過點M作MPLCD于點P,設(shè)EF與MN相交于點

O,MP與EF相交于點Q,

RGFC

???四邊形ABCD是正方形，

AEG=MP,

對于小明的說法：

在RtAEFG和RtAMNP中，

'MN=EF

EG=MP'

ARtAEFG^RtAMNP(HL),

AZMNP=ZEFG,

VMP1CD,ZC=90°,

???MP〃BC,

???ZEQM=ZEFG=ZMNP,

XVZMNP+ZNMP=90°,

???NEQM+/NMP=90。，

在aMOQ中，ZMOQ=180°-(ZEQM+ZNMP)=180°-90o=90°,

AMN1EF,

故甲正確.

對小亮的說法：

VMP±CD,ZC=90°,

???MP〃BC,

???ZEQM=ZEFG,

VMN1EF,

NNMP+NEQM=90。，

XVMP1CD,

.\ZNMP+ZMNP=90°,

/EQM=/MNP,

NEFG=NMNP,

在4EFG和△MNP中，

4EFG=NMNP

<NEGF=NMPN=90。,

EG=MP

.?.△EFG絲△MNP(AAS),

??.MN=EF,故小亮的說法正確，

綜上所述，兩個人的說法都正確.故選C.

3.A【解析】如圖，連接BE,設(shè)BE與AC交于點P,?.?四邊形ABC。是正方形，.?.點B與。關(guān)于

AC對稱，：.P'D=P'B,：.P'D+P'E=P'B+P'E=BE>/J'.即P在4c與8E的交點上時，PD+PE最小，

為8E的長度.?.?直角ACBE中，ZBCE=90°,BC=9,CE=；CD=3,BE=存存=3JI6.故選

4.D【解析】延長AB與FG交于點M,如圖所示:

設(shè)正方形ABCD的邊長為a厘米，EB=b厘米，CH=c厘米，

貝ljAB=BC=a厘米，BM=EH=EB+BC+CH=(a+b+c)厘米，MG=BH=(a+c)厘米,

般思強=%您嚼詈霸-跟財即=

1II

整理得色產(chǎn)北士蟾=4嶙，

售害

又正方形ABCD的面積為8平方厘米，即:產(chǎn)=需，

:?，葭〃吧=1/朦,,豳=三選=現(xiàn)嚼一工超=1既粵（平方厘米）?故選D。

5.C【解析】連接AP,如圖所示.

?..在AABC中，ZA=90°,AB=3,AC=4,

，BC=5.

；PEJ_AB于E,PF_LAC于F,

四邊形AEPF是矩形，

，EF=AP.

VAP的最小值即為RtAABC斜邊上的高，

；AB=3,ACM,BC=5,

/.3X4=5XAP,

；.AP=2.4,

；.EF的最小值為2.4.故選C.

6.D

【解析】

過F作FNLBC,交BC延長線于N點，連接AC,如圖所示:

VZDCE=ZENF=90°,ZDEC+ZNEF=90°,ZNEF+ZEFN=90°,

.,.ZDEC=ZEFN,

/.RtAFNE0°RtAECD,

DE的中點G,EG繞E順時針旋轉(zhuǎn)90。得EF,

/.DE：EF=2：1,

ACE：FN=DE：EF=DC：NE=2：1,

.，.CE=2NF,NE=-CD=-,

22

VZACB=45°,

...當NNCF=45。時，A、C、F在一條直線上.

則^CNF是等腰直角三角形，

，CN=NF,

，CE=2CN,

:.CE=2-NE=2—又5一5=一,

3323

，CE=g時，A、C、F在一條直線上；

故選D.

7.C【解析】；四邊形AECF是菱形，AB=3,

二假設(shè)BE=x,則AE=3-x,CE=3-x,

；四邊形AECF是菱形，

.".ZFCO=ZECO,

VZECO=ZECB,

???ZECO=ZECB=ZFCO=30°,

2BE=CE,

/.CE=2x,

/.2x=3-x,

解得：x=l,

???CE=2,利用勾股定理得出：

BC2+BE2=EC2,BC=_§爐=打_產(chǎn)=6,又?.?AE=AB-BE=3-1=2,則菱形的面積是:

AEBC=2V3.故選C.

8.A【解析】連接AC,

60。、

/D\

R

"：ZAPC=60°,

NPAC=NPCA=60。，

VABCD是邊長為6m的正方形,

:.AC=6尬,OC=30

，PC=6a,，PO=3",故選A.

9.C【解析】?.?正方形是軸對稱圖形，點B與點D是關(guān)于直線AC為對稱軸的對稱點,

二連接BN,BD,則直線AC即為BD的垂直平分線,

.?.BN=ND；.DN+MN=BN+MN連接BM交AC于點P,

:點N為AC上的動點，

由三角形兩邊和大于第三邊，

知當點N運動到點P時，

BN+MN=BP+PM=BM,

BN+MN的最小值為BM的長度，

???四邊形ABCD為正方形，

；.BC=CD=8,CM=8-2=6,BCM=90°,

.,.BM=5/聲一8：=10,

???DN+MN的最小值是10.故選：C.

10.D【解析】

???四邊形ABCD是正方形,

，AB=BC=CD=AD,ZB=ZBCD=90°,

?.?點E、F、H分別是AB、BC、CD的中點,

.'.△BCE^ACDF,

，NECB=NCDF,

VZBCE+ZECD=90°,

:.ZECD+ZCDF=90°,

/.ZCGD=90°,

.-.CE±DF,故①正確；

在RSCGD中，H是CD邊的中點，

.*.HG=-CD=-AD,故④正確；

22

連接AH,

同理可得：AH1DF,

VHG=HD=-CD,

/.DK=GK,

.?.AH垂直平分DG,

，AG=AD,故②正確；

/.ZDAG=2ZDAH,

同理：ZkADH@ZiDCF,

，NDAH=NCDF,

VGH=DH,

:.NHDG=NHGD,

:.ZGHC=ZHDG+ZHGD=2ZCDF,

AZCHG=ZDAG.故③正確.故選D.

11.①②③【解析】如圖1中，當AE=EB時,

Dr

VAE=EB=EF,

，ZEAF=ZEFA,

VZCEF=ZCEB,ZBEF=ZEAF+ZEFA,

，NBEC=NEAF,

...AF〃EC,故①正確,

作EM±AF,則AM=FM,

5

在RtAECB中，EC=

2

VZAME=ZB=90°,ZEAM=ZCEB,

/.△CEB^-AEAM,

.EBEC

,?而一瓦’

35

.1=2

"AM

2

9

??AM=—，

10

9

Z.AF=2AM=-,故②正確，

如圖2中，當A、F、C共線時，設(shè)AE=x.

在RSAEF中，,/AE2=AF2+EF2,

/.x2=(^/13-2)2+(3-x)2,

.?.xJ3-29,AAE=13-2^,故③正確，如果，△CEF絲ZXAEF,則NEAF=NECF=/ECB=30。,

33

顯然不符合題意，故④錯誤，故答案為①②③.

12.4右或10【解析】①如圖：因為AC=,22-戶2仔

點A是斜邊EF的中點,

所以EF=2AC=4H，

②如圖：

因為BD=V3：-夕亮,

點D是斜邊EF的中點,

所以EF=2BD=10,

綜上所述，原直角三角形紙片的斜邊長是或10,

故答案是：4百或10.

13.3亞-3

【解析】如圖，

在正方形ABCD中，AD=BC=CD,/ADC=NBCD,NDCE=/BCE,

在Rt^ADM和Rt^BCN中，

AD=BC

(AM=BN,

RIAADM絲RtABCN(HL),

??."AM=/CBN,

在ADCE和ABCE中，

BC=CD

</DCE=/BCE,

CE=CE

.-.△DCE絲△BCE(SAS),

.?./CDE=/CBE,

.?.^DCM=/CDE,

/ADF+/CDE=/ADC=90，

"AM+NADF=90)

...NAFD=180-900=90'，

取AD的中點O,連接OF、OC,

則OF=DO=—AD=3,

2

在Rt?)DC中，OC=，DC)2+DC2=36,

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，OF+CF>OC，

；.當O、F、C三點共線時，CF的長度最小,

最小值=OC-OF=3逐—3，

故答案為3指-3.

14.26.

【解析】根據(jù)正三角形的性質(zhì)，ZABC=ZHFG=ZDCE=60°,：.AB//HF//DC//GN,設(shè)AC與切交

于P,CD與HG交于Q,:ZFC、△QCG和△NGE是正三角形.

VF,G分別是BC、CE的中點，：.MF=-AC=-BC,PF^-AB=-BC.

2222

122331

XBC=-CE=-CG=-GE:?CP=MF,CQ=-BC=3PF,QG=GC=CQ=-AB=3CP,/.51=-5,

333f2232

S?=352.

???SI+S3=20,-S+35=20,AS2=6,ASI=2.

322

故答案為2；6.

D

■:點E是CD的中點，EC=DE,

?.?將△BCE沿BE折疊后得到△BEF、且點F在矩形ABCD的內(nèi)部，

/.EF=DE,ZBFE=90°,

\GE=GE

在RtAEDG和RtAEFG中《，

DE=EF

DG1

EDG絲RtAEFG(HL),；.FG=DG,:——=一，

GA7

.?.設(shè)DG=FG=a,貝ijAG=7a,故AD=BC=8a,則BG=BF+FG=9a,

?**AB=-(a)?=40a，故=r-=母，故答案為V2.

16.(-10,3)【解析】根據(jù)題意可知ACEFs^OFA,可根據(jù)相似三角形的性質(zhì)對應(yīng)邊成比例，可求

得OF=2CE,設(shè)CE=x，則BE=8-x,然后根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得EF=8-x,根據(jù)勾股定理可得

X2+42=(8-X)2,解得X=3,則OF=6,所以O(shè)C=10,由此可得點E的坐標為(-10,3).

故答案為：(-10,3)

17.90

【解析】

(1)'：MN//BC,

：.ZOEC=ZECB,ZOFC=ZFCD.

又平分NACB,FC平分NACD

：.ZECB=ZOCE,ZOCF=ZFCD,

：?/OEC=/OCE,/OFC=/OCF,

：.EO=OC,FO=OC,

：.EO=FO；

OE=OC=OF,

當0C=Q4,即點。為AC的中點時，

:.OE=OC=OF=OAf

???四邊形AECF是平行四邊形，AC=EFf

，這時四邊形4EC尸是矩形，

??.當點O運動到AC中點時，

四邊形AEC尸是矩形，

由正方形AECF可知，AC.LEF,

又,：EF〃BC,

：.NAC8=90。，

I.△ABC是NAC8=90。.

18.4【解析】??,□ABCD的周長為26cm,

AB+AD=13cm,OB=OD,

VAAOD的周長比^AOB的周長多3cm,

(OA+OD+AD)-(OA+OB+AB)=AD-AB=3cm,

/.AB=5cm,AD=8cm.BC=AD=8cm.

VAC1AB,E是BC中點，/.AE=-BC=4cm：故答案為4.

2

19.⑴見解析;⑵45。；(3)見解析.

【解析】(1)證明：如圖1,

：AF平分/BAD,AZBAF=ZDAF,?四邊形ABCD是平行四邊形，；.AD〃BC,AB//CD,

AZDAF=ZCEF,ZBAF=ZF,：.ZCEF=ZF..,.CE=CF.

(2)解：連接GC、BG,

D

,：四邊形ABCD為平行四邊形，ZABC=90°,

，四邊形ABCD為矩形，

VAF^^-ZBAD,

,ZDAF=ZBAF=45°,

VZDCB=90°,DF〃AB,

；.NDFA=45°,ZECF=90°

...△ECF為等腰直角三角形，

?；G為EF中點，

，EG=CG=FG,CG1EF,

???△ABE為等腰直角三角形，AB=DC,

；.BE=DC,

,?ZCEF=ZGCF=45°,

.?.NBEG=NDCG=135°

在^BEG與ADCG中，

EG=CG

V<NBEG=ZDCG,

BE=DC

.".△BEG^ADCG,

；.BG=DG,

VCG1EF,

.,.ZDGC+ZDGA=90°,

又；NDGC=NBGA,

；./BGA+/DGA=90。，

...△DGB為等腰直角三角形，

ZBDG=45°.

(3)解：延長AB、FG交于H,連接HD.

AD

??，AD〃GF,AB〃DF,

???四邊形AHFD為平行四邊形

VZABC=120°,AF平分NBAD

AZDAF=30°,ZADC=120°,ZDFA=30°

???△DAF為等腰三角形

AAD=DF,

ACE=CF,

???平行四邊形AHFD為菱形

AAADH,aDLIF為全等的等邊三角形

???DH=DF,ZBHD=ZGFD=60°

VFG=CE,CE=CF,CF=BH,

，BH=GF

在4BHD-^AGFD中，

DH=DF

,.?</BHD=ZGFD,.?.ABHD^AGFD,ZBDH=ZGDF

BH=GF

：.ZBDG=ZBDH+ZHDG=ZGDF+ZHDG=60°.

20.CE=3cm.

【解析】由折疊的性質(zhì)可得：AD=AF=BC=\0f

在R3ABF中可得：BF=[AF?_AB2=6,

：.FC=BC-BF=4,

設(shè)CE=x,EF=DE=8-x,則在RsEC尸中，

EFqnEC+C產(chǎn),即f+16=(8-x)2,

解可得冗=3,

故CE=3cm.

21.(1)四邊形ADEF是平行四邊形；

(2)/BAC=150。時，四邊形ADEF是矩形；

(3)當NBAC=60。時，以A,D,E,F為頂點的四邊形不存在.

【解析】(1)四邊形AOEF是平行四邊形.理由如下：

V/\ABD,AEBC者K是等邊三角形，：.AD=BD=AB,BC=BE=EC,ZDBA=ZEBC=60°,

：.NDBE+NEBA=NABC+NEBA,：.NDBE=NABC.

在△OBE和AABC中，?.?8O=BA,NDBE=NABC,BE=BC,；.△3BE四△ABC,：.DE=AC.

又???△4(7/是等邊三角形，：.AC=AF,：.DE=AF.

同理可證：AD=EF,四邊形AOEF平行四邊形.

(2)當/8AC=150。時，四邊形4OE尸是矩形.理由如下：

,/四邊形ADEF是矩形，；.ZMD=90°,，ZBAC=360°-ZDAF-ZDAB-ZMC=360°-90°-60°

-60°=150°,.,.NBAC=150°時，四邊形AOEF是矩形.

(3)當/A4C=60。時，以A,D,E,尸為頂點的四邊形不存在.理由如下：

若/BAC=60°,貝I」/DAF=360°-ABAC-/DAB-ZMC=360°-60°-60°-60°=180°.

此時，點A、D、E、尸四點共線，，以A、。、E、尸為頂點的四邊形不存在.

22.⑴①S陰影="￡一")

4

②PC=6;(2)證明見解析.

【解析】(1)如圖1,①S陰影二S圖形ABC+SaBP9-S閑形PBP」SAABP

=S扇形ABC-S扇形PBP'

360

_7r(a2-b2)

4

②連接PP',

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：

BP=BP\ZPBPr=90°；

即：△PBP，為等腰直角三角形，

???NBPP』45。，

VZBPA=ZBPrC=135°,ZBPrP=45°,

???NBPA+NBPP'=180°,

即A、P、P，共線，

，ZPP'C=135°-45°=90°；

在RSPPC中，PP，=4夜,P，C=PA=2,根據(jù)勾股定理可得PC=6.

(2)如圖2,將APAB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90。到4P-CB的位置，連接PP'.

同⑴①可知：△BPP，是等腰直角三角形，即PP@=2PB2；

VPA2+PC2=2PB2=PP，2,

/.PC2+P,C2=PP，2,

ZP,CP=90°；

?.,/PBP，=NPCP，=90。，在四邊形BPCP，中，ZBP'C+ZBPC=180°；

?.,/BPA=/BPC

.".ZBPC+ZAPB=180°,即點P在對角線AC上.

23.(1)見解析(2)①5②3.6

【解析】(1)???四邊形ABCD是平行四邊形,

；.AD〃BC,AD=BC,VBE=DF,

.?.AF=EC,...四邊形AECF是平行四邊形；

(2)①當EB=5時，四邊形AECF是菱形；

理由：當四邊形AECF是菱形時，

貝I」AE=EC,

/.ZEAC=ZECA.

VZEAC+ZB