十四 空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系（解析版）-2021屆高三《新題速遞 數(shù)學(xué)》4月刊（江蘇專用 適用于高考復(fù)習(xí)）

專題十四空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系

一、多選題

1.（2021?全國(guó)高三其他模擬）《九章算術(shù)》成書(shū)于公元一世紀(jì)左右，經(jīng)歷代各家的不斷增補(bǔ)和修訂，而逐漸

成為現(xiàn)今定本，現(xiàn)今流傳的大多是在三國(guó)時(shí)期魏元帝景元四年（263年）劉徽為《九章》所作注本.書(shū)中闡

述：將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”；將底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四

7T

棱錐稱之為“陽(yáng)馬”；將四個(gè)面均為直角三角形的四面體稱為“鱉席”，在“塹堵”ABC—44cl中，NACB=5,

E,F分別為48,AC上的點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）

A.四棱錐a-為“陽(yáng)馬”

B.若AF1A.C,則四面體AAE戶為“鱉牖”

C.當(dāng)E,F分別為AB,4。的中點(diǎn)時(shí)，四面體AAEF為“鱉膈”

D.若C4=CB,則當(dāng)43=3時(shí)，四面體AA3C為“鱉膈”，且體積的最大值為正

2

【答案】ABD

【分析】

對(duì)于選項(xiàng)A.B,C,可以證明幾何體符合或不符合“陽(yáng)馬”“鱉腌”的定義即得解；對(duì)于選項(xiàng)D,可以利用導(dǎo)數(shù)求體

積的最大值，即得解.

【詳解】

對(duì)于選項(xiàng)A,在四棱錐A-B]BCC]中,底面B.BCC,為矩形,且4cl1平面43CG,則四棱錐4—B,BCC,

為“陽(yáng)馬”，所以選項(xiàng)A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B,在四面體AAEF中，因?yàn)?C_L平面AAC,所以平面A3。，平面AAC，又4尸，4。，

AEJ■平面A3C,又所以A3,平面AEF,所以四面體AAER中的四個(gè)面都是直角三角

形，所以四面體A.AEF為“鱉脯”，故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)E,F分別為AB，的中點(diǎn)時(shí)，E/〃BC,因?yàn)锳4,與AC的長(zhǎng)度不確定，所以幺必

TT

不一定為石，所以四面體4%即不一定為“鱉膈”，選項(xiàng)C不正確；

對(duì)于選項(xiàng)D,當(dāng)43=3時(shí)，不妨設(shè)C4=C8=x,

由題意可知，2f+y2=9,則2/=9—V，ye（0,3）.

四面體AABC的體積匕「.Be=gx；Vy='（9-出y=g（-V+9y）,ye（0,3）.

設(shè)函數(shù)”，）=一尸+9/,re（o,3）,則/'（/）=_3入9=_3（尸_3）=-3,+6當(dāng)時(shí)0,6）

時(shí)，/'（。>0,在（0,、回）上單調(diào)遞增，當(dāng)re（G,3）時(shí)，/'⑺<0,/?）在（省,3）上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)1=6時(shí),/（OM==66,

所以四面體AABC的體積的最大值為正，選項(xiàng)D正確.

2

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：最值問(wèn)題的求解常用的方法有：（1）函數(shù)法；（2）導(dǎo)數(shù)法；（3）數(shù)形結(jié)合法；（4）基本不等式

法.要根據(jù)已知條件，靈活選擇合適的方法求解.

2.（2021?全國(guó)高三其他模擬）關(guān)于空間兩條不同直線％和兩個(gè)不同平面。,P,下列命題錯(cuò)誤的是（）

A.aA.a,bLa,則a//〃B.bl。,則“//￡

C.alia,。//a,則a//bD.aLa,a_L△，則a///?

【答案】BC

【分析】

利用空間線線、線面垂直、平行的判定與性質(zhì)以及線線、線面以及面面的位置關(guān)系逐一判斷即可.

【詳解】

由空間線線、線面垂直、平行的判定與性質(zhì)知A選項(xiàng)與D選項(xiàng)正確；

B選項(xiàng)中，可能有au￡,所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)中a,b可能相交或異面，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤，

故選：BC.

3.（2021?全國(guó)高三專題練習(xí)）如圖，正方體ABC。-A4G。中，民尸是線段4G上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF

的長(zhǎng)為定值，下列結(jié)論中正確的是（）

A.BDLCEB.B￡>±CEF

C.三角形BEF和三角形CEF的面積相等D.三棱錐B-CEF的體積為定值

【答案】ABD

【分析】

由正方體的性質(zhì)知BD±面ACC/，由口8臣和XCEF的底邊EF上的高不相等可知它們的面積不相等,

又B點(diǎn)到面CEF的距離為定值，即可判斷各項(xiàng)的正誤.

【詳解】

因?yàn)槊鍭CC/,CEuACGd，面CE/與面ACgA重合，所以48均正確；

3到E尸的距離為△%G的高，C到E尸的距離即為CG，所以口5￡：尸的面積大于^CEF的面積，C錯(cuò)

誤；

B點(diǎn)到面CEF的距離為定值，為"長(zhǎng)，ZXCEF的面積也為定值，故三棱錐B-CEF的體積為定值O正確：

2

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查立體幾何中線線垂直，線面垂直的判定，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；解

答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過(guò)嚴(yán)密推理，同時(shí)對(duì)于

立體幾何中三棱錐體積的計(jì)算問(wèn)題，往往選擇適當(dāng)?shù)酌婧透呤墙忸}的關(guān)鍵.

2乃

4.（2021?廣東高三專題練習(xí)）如圖四棱錐P-A8CO中，底面A8C。為菱形，ZBAD=—,PA=AC=2,

3

R1J_平面A8CO,點(diǎn)片為PO的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（)

A.四棱錐P-ABC。的外接球體積為三

B.異面直線AC與所成角的余弦值為一亞

4

C.PB〃平面ACE

D.BD_L平面B4C

【答案】CD

【分析】

由題意可得四棱錐尸-A8co無(wú)外接球，即可判斷選項(xiàng)A；由尸4〃P。，GH//AC,可得異面直線AC與尸。

所成的角為NF4G或其補(bǔ)角，利用余弦定理求得cosNFHG,即可判斷選項(xiàng)B；由。E〃尸B,可得0E〃尸8,

即可判斷選項(xiàng)C；由抬_LBQ,ACA,BD,可得3D，平面B4C,即可判斷選項(xiàng)D.

【詳解】

27

解：因?yàn)榈酌?WCZ）是菱形，NBAD=—,

3

所以四棱錐P-A8CQ無(wú)外接球，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

取以，CD,AQ的中點(diǎn)尸，G,H,連接FG,FH,GH,

則FH〃尸C,GH//AC,所以異面直線AC與PZ）所成的角為/FHG或其補(bǔ)角，

因?yàn)镚"=，AC=1,FH=5口=血,FG=2,所以cos/FHG=—立，

224

故異面直線AC與尸。所成角的余弦值為變，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;

4

連接8。交4c于點(diǎn)0，連接0E,

因?yàn)楹鬄橄?。的中點(diǎn)，則。E〃P8,

所以〃平面ACE,故選項(xiàng)C正確;

因?yàn)榫W(wǎng)J_平面ABC￡>,所以以

因?yàn)榈酌鍭8C。是菱形，所以ACL8。，

又ACC%=A,所以BQL平面以C,故選項(xiàng)D正確.

故選：CD.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查幾何體外接球問(wèn)題、異面直線所成角的求解、線面平行和垂直的判斷，解題的關(guān)鍵是

正確應(yīng)用已知條件，尋找恰當(dāng)?shù)妮o助線，正確利用判定定理.

5.(2021?全國(guó)高三其他模擬)如圖，已知直三棱柱ABC-的所有棱長(zhǎng)均為3,D,E,F,G分

別在棱A4，AG，AB,AC上，且AO=AE=BF=CG,”是BC的中點(diǎn)，p是A”的中點(diǎn)，則

()

A.OE〃平面PFG

9

B.若M,N分別是平面4AB4和AACG內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則△MNP周長(zhǎng)的最小值為z

C.若=過(guò)p,F,G三點(diǎn)的平面截三棱柱所得截面的面積為拽9

34

D.過(guò)點(diǎn)A且與直線M和BC所成的角都為45。的直線有2條

【答案】BCD

【分析】

直線與平面中的直線平行時(shí)，直線與平面平行，或者直線在平面內(nèi)；利用化曲為直的思想構(gòu)建對(duì)稱平面即

得△MNP周長(zhǎng)的最小值；構(gòu)建圓錐即得異面直線所成的角.

【詳解】

選項(xiàng)A.因?yàn)锳O=4￡=.=CG,所以DE//FG,連接EF,DG,可得EF,OG相交于點(diǎn)P,則

OE在平面PEG內(nèi)，故4錯(cuò)誤.

選項(xiàng)8,平面AAB4和A^ACQ所成的銳二面角為60°,點(diǎn)P到平面AA84和AA^C,的距離均為,

8

分別作點(diǎn)尸關(guān)于平面和A,ACC,的對(duì)稱點(diǎn)M,,N、.易證當(dāng)M，N分別取直線M.NX與平面

9

AA3g和AACG的交點(diǎn)時(shí)，△MNP的周長(zhǎng)最短，目.這個(gè)周長(zhǎng)的最小值為I，故8正確.

選項(xiàng)C,由A選項(xiàng)可知，D,E在過(guò)P，F(xiàn),G三點(diǎn)的平面中，截面面積為之叵，故C正確.

4

選項(xiàng)/）,易知AA_L8C,所以過(guò)點(diǎn)A且與直線AA所成的角都為45。的直線構(gòu)成以A為頂點(diǎn)，以叫為軸

的圓錐，同理和5c所成的角都為45。的直線構(gòu)成以A為頂點(diǎn)，以*C'為軸的圓錐，所以兩個(gè)圓錐的公共

母線即求，故。正確.

故選：BCD

6.（2021?全國(guó)高三專題練習(xí)）已知直線/，平面a,直線〃2U平面/，有下列四個(gè)命題：其中正確命題

的選項(xiàng)是（）.

A.若a〃/，則/_Lm；B.若aLQ,則〃/“；

C.若〃/機(jī)，則D.若/_L"z,則a〃月.

【答案】AC

【分析】

結(jié)合條件，利用線線，線面，面面的位置關(guān)系，判斷選項(xiàng).

【詳解】

己知直線/J?平面直線MU平面4，

對(duì)于選項(xiàng)4,若a〃A，得到直線/J■平面￡,所以/故4正確；

對(duì)于選項(xiàng)8,若a~L￡,直線/在廠內(nèi)或者〃/夕，貝I”與加的位置關(guān)系不確定，故B錯(cuò)誤;

對(duì)了選項(xiàng)C,若/〃加，則直線機(jī)，a,由面面垂直的性質(zhì)定理，可得a_L￡,故C正確;

對(duì)于選項(xiàng)力，若/_L〃？，則a與〃可能相交，故。錯(cuò)誤.

故選:AC.

7.（2021?山東高三專題練習(xí)）已知是不同直線，是不同平面，且a_La,blip,則下列四個(gè)命題

中正確的是（）

A.若；J_力，則?！ㄊ珺.若a//b,則a_L￡

C.若a_L￡,貝ija〃bD.若a〃力，則。_|_力

【答案】BD

【分析】

在正方體中可找到反例說(shuō)明AC錯(cuò)誤；根據(jù)面面垂直的判定可證得B正確；由線面垂直的性質(zhì)可證得D正

確.

【詳解】

對(duì)于A,在正方體ABC。一A4GA中，若直線。為M，直線b為4。，平面Q為平面ABC。，平面￡

為平面3CG4,此時(shí)滿足條件，但an力=BC,A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,???6/尸，.?.在月內(nèi)必存在一條直線c,使得6/C,

又aHb,aLa,則。_La,c_La,又cu0,:.a工。,B正確；

對(duì)于C,在正方體A5CD—A4G。中，若直線。為A4,直線方為AA，平面a為平面A8CD,平面月

為平面5CG4,此時(shí)滿足條件，但“n人=4,C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,?.?0〃/?,bi/。，：.bua或b//a,

當(dāng)匕ua時(shí)，由a_La知：aVb-

當(dāng)Z?〃a時(shí)，在a內(nèi)必存在一條直線c,使得Z?〃c,由a_La知：a_Lc,a_L〃；

l

綜上所述：ax_b，D正確.

故選：BD.

8.（2021?湖南長(zhǎng)沙市?長(zhǎng)沙一中高一月考）點(diǎn)M是正方體ABC。-A4G。中側(cè)面正方形內(nèi)的一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下面結(jié)論正確的是（）

A.滿足CM±ADX的點(diǎn)M的軌跡為線段

B.點(diǎn)M存在無(wú)數(shù)個(gè)位置滿足直線4加//平面

C.在線段AD上存在點(diǎn)M,使異面直線片時(shí)與。。所成的角是30°

D.若正方體的棱長(zhǎng)為1,三棱錐3-GMD的體積的最大值為:

【答案】ABD

【分析】

對(duì)于A,由正方體的性質(zhì)和可得AR，平面從而可得點(diǎn)M在線段A。上時(shí)，有

CMYAD,.對(duì)于B,由正方體的性質(zhì)可得平面〃平面所以當(dāng)點(diǎn)M在上時(shí)，均有

耳M//平面8CQ,從而可判斷；對(duì)于C,異面直線用例與CO所成的角是幺4"，當(dāng)M在線段入。

上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)時(shí)取物的中點(diǎn)時(shí)，幺4M最小，其正切值為也>走，從而可判斷：對(duì)于D,由正方

23

體的性質(zhì)得，平面3G。，若正方體的棱長(zhǎng)為1,則點(diǎn)〃與A重合時(shí)，三棱錐B—GMO的體積取

得最大，從而可求出其體積

【詳解】

解：對(duì)于A,如圖，在正方體A8CD—44GR中，。。_1平面4）。4，AQu平面A￡）AA，所以

CD±ADt,因?yàn)?O_LA。，A,DC\DC=D,所以4A_L平面為。。，所以當(dāng)點(diǎn)M在線段4。匕1寸，

有CM，AR,所以點(diǎn)M的軌跡為線段，所以A正確；

對(duì)于B,在正方體A6C￡>—A4GA中，因?yàn)?2〃8。，BOu平面8CQ,BQi?平面BCQ,所

以平面8c1￡）,同理A2〃平面BC。，而所以平面4〃旦〃平面80。，所以

當(dāng)點(diǎn)M在叫上時(shí)，均有4"http://平面BCQ,所以點(diǎn)M存在無(wú)數(shù)個(gè)位置滿足直線//平面BCQ,

所以B正確；

對(duì)于C,異面直線用M與CO所成的角是幺片/，當(dāng)M在線段卜.運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M取AQ的中點(diǎn)時(shí)，

幺百聞最小，其正切值為交＞走，所以不存在點(diǎn)M,使異面直線與CD所成的角是30。，所以

23

C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由正方體的性質(zhì)得，平面8C。，若正方體的棱長(zhǎng)為1,則點(diǎn)M與A重合時(shí)，三棱錐

8—GMD的體積取得最大，其值為及x0x3x氈=1，所以D正確，

32233

故選：ABD

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查以正方體為模型判斷線線垂直，線面平行，求異面直線所在的角等，解題的關(guān)鍵是

正確利用正方體的性質(zhì)，屬于中檔題

9.（2021?湖南長(zhǎng)沙市?長(zhǎng)沙一中高三月考）在棱長(zhǎng)為2的正四面體ABC。中，點(diǎn)E,F,G分別為棱

BC,CD,D4的中點(diǎn)，則（）

A.AC//平面EFG

B.過(guò)點(diǎn)E,EG的截面的面積為二

C.異面直線EG與AC所成角的大小為3

D.CO與平面GBC所成角的大小為3

6

【答案】ACD

【分析】

對(duì)A,由線面平行的判定定理即可判斷；對(duì)B,可得四邊形EFG”為邊長(zhǎng)為1的正方形，且為截面，即可

判斷；對(duì)C,可得NEG尸即為所求，根據(jù)B選項(xiàng)求出即可；對(duì)D,利用垂直關(guān)系，可得ZQCG即為CO與

平面G8C所成角，求出即可.

【詳解】

對(duì)A,?.?點(diǎn)/，G為棱CO,QA的中點(diǎn)，，/G//AC,TFGu平面EEG,AC<Z平面EfG,，AC/1

平面EEG,故A正確；

對(duì)B,取A8中點(diǎn)H,則可得四邊形EFGH為截面，由A選項(xiàng)可得FG//AC,PG=工AC,同理可得HEIIAC,

2

HE=-ACMHE//HGILHE=FG,故四邊形EFG”為平行四邊形，取8。中點(diǎn)則可得

2

BD±AM,BD±CM,AMr>CM=M,則平面AMC,.?.BO_LAC,則七/，F(xiàn)G,故平行

四邊形EFGH為正方形，且邊長(zhǎng)為1,故截面面積為1,故B錯(cuò)誤；

71

對(duì)C,因?yàn)锳C//FG,所以異面也線EG與AC所成角即NEGF,山B選項(xiàng)可得NEGF=一，故C正

4

確;

A

對(duì)D,如圖，因?yàn)?4_163,￡>4,6。，，04_1平面68。，則ZDCG即為C。與平面GBC所成角，易

71

得NDCG=一,故D正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查線面平行的判定，考查截面面積的計(jì)算，考查線面角的求解，解題的關(guān)鍵是正確理

解判定定理和角的概念，正確利用正四面體的相關(guān)性質(zhì).

10.（202卜廣東高三專題練習(xí)）已知〃?，〃是兩條不同直線，a,6,y是三個(gè)不同的平面，則下列四個(gè)命題

中錯(cuò)誤的是（）

A.若〃z_La,〃_La,則，

B.若a_l_4,則a_Ly

C.若m//a,a邛,則m10

D.若m,〃是異面直線，且mua,n^p,m//p,則“〃a

【答案】BCD

【分析】

由線面垂直的性質(zhì)定理可判斷選項(xiàng)A；舉墻角處的三個(gè)平面的位置關(guān)系，即可判斷B；若〃?〃a,a邛,直

線〃?與平面￡的位置關(guān)系不確定，由此可判斷C；若，〃，〃是異面直線，且〃7Ua,"U/?,〃?〃￡,則直線〃

與平面a可能相交、平行，可判斷選項(xiàng)D.

【詳解】

解：對(duì)于選項(xiàng)A,由線面垂直的性質(zhì)定理知選項(xiàng)A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B,平面a與平面y有可能平行、相交，比如墻角處的三個(gè)平面的位置關(guān)系，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C,直線，"與平面￡可能平行、相交或直線加在平面夕內(nèi)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D,直線〃與平面a可能相交，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：BCD.

11.（2021?廣東高三專題練習(xí)）已知a,4是兩個(gè)不重合的平面，m,"是兩條不重合的直線，則下列命題正

確的是（）

A.若〃?〃〃，則"J_aB.若，w〃a,aflP=〃，則膽〃“

C.若zn_La,w_L夕，則a〃夕D.若，w_La,，*〃"，n//fi,則a〃夕

【答案】AC

【分析】

利用空間線面、面面位置關(guān)系的判定選項(xiàng)A,C正確；通過(guò)空間想象舉反例判斷選項(xiàng)B.D不正確.

【詳解】

A.m//n,"?_La,則"_La,所以該選項(xiàng)正確；

B.由〃z〃a,anp=n,則，"與”的位置關(guān)系不確定，可能平行或異面，所以該選項(xiàng)不正確：

C./n±a,則a〃。正確，所以該選項(xiàng)正確；

D."?_La,m//n,則a_L0,所以該選項(xiàng)不正確.

故選：AC.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：空間直線平面位置關(guān)系的判斷，常用的方法有：（1）舉反例；（2）證明.要根據(jù)已知條件靈活選

擇方法求解.

12.（2020?湖南長(zhǎng)沙市?長(zhǎng)沙一中高一月考）已知機(jī)，〃表示兩條不同直線，a,/?是兩個(gè)不同的平面，下

列說(shuō)法正確的是（）

A.若加//a,〃//a,則加〃〃B.若加J_a,nca,則加_L〃

C.若機(jī)_L￡,nLp,nLa,則m_LaD.若nJ-/?,0工a,則機(jī)_La

【答案】BC

【分析】

采用逐一驗(yàn)證，根據(jù)線線、線面相關(guān)的判定定理以及性質(zhì)定理進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

對(duì)于選項(xiàng)A,若m//a,n!la,則機(jī)與〃可能相交、平行或異面，4錯(cuò)誤；

由直線與平面垂直的性質(zhì)得選項(xiàng)B正確：

依據(jù)直線與平面垂直的性質(zhì)定理得C正確；

選項(xiàng)。中m可能與平面a平行、垂直、斜交或在平面a內(nèi).

故選：BC

二、單選題

13.（2021?全國(guó)高三專題練習(xí)）已知四棱錐S-48C。的底面是正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，E是線段A8上的點(diǎn)

（不含端點(diǎn)），設(shè)SE與BC所成的角為0\,SE與平面ABCD所成的角為伍,二面角S-AB-C的平面角為仇,

則（）

A.B.0i<01<6\C.D.02<fe<0i

【答案】D

【分析】

設(shè)O為正方形ABCD的中心，例為AB中點(diǎn)，過(guò)E作BC的平行線EF,過(guò)。作ONIEF于N,得到

NSEN=9\,4SEO=仇,NSMO=%然后利用正切函數(shù)判斷.

【詳解】

如圖所示：

設(shè)。為正方形A8C。的中心，歷為A8中點(diǎn)，

過(guò)E作BC的平行線EF,交CD于F,

過(guò)。作ON1EF于N,連接SO,SN,OM,則SOJ.底面ABC。，OM1AB,

所以NSEN=q,NSEO=%,ASMO=ev

SNSNcSOcSO

從而tan。n==----,tan6）,=,tan6）,=----,

ENOM2EO3OM

因?yàn)镾N2S0,EO>OM,

所以tanq>tan4>tan%

即GNg,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：幾何法求線面角、二面角的常用方法：

（1）線面角的求法，找出斜線在平面上的射影，關(guān)鍵是作垂線，找垂足，要把線面角轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中

求解.

（2）二面角的求法，二面角的大小用它的平面角來(lái)度量.平面角的作法常見(jiàn)的有①定義法；②垂面法.注

意利用等腰、等邊三角形的性質(zhì).

14.（2021?全國(guó)高三其他模擬）在三棱錐P—ABC中，8CL平面PAB,APAB,。是8c的中點(diǎn).若

NAP5=45。，NAPC=60。，則直線與平面ABC所成角的正弦值為（）

A.&B.立

32

「

Mn715

55

【答案】C

【分析】

根據(jù)線面角的定義找到宜線與平面ABC所成角的平面角，法一：應(yīng)用幾何法，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)、

勾股定理求對(duì)應(yīng)邊，在直角三角形中求線面角的正弦值；法二：應(yīng)用向量法，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，并確

定線面角兩邊所在直線的方向向量坐標(biāo)，進(jìn)而求其余弦值，由同角三角函數(shù)關(guān)系求正弦值.

【詳解】

在三棱錐P—ABC中，BC1■平面PA8,APu面PA8,

BC1AP,乂APJ.A8,ABcBC=B,

：.PA_L平面ABC,即NPOA即直線尸。與平面ABC所成角.

法一：設(shè)PA=a,由NAPB=45°,ZAPC=60°,得AS=%=a，

____6

???AC=J5a，BC=yl3cr-(r=>/2?-又。是BC的中點(diǎn)，則芋

...在中，AD=

又易知PA_LAO,在RtVPA。中,

法二：過(guò)點(diǎn)A在平面ABC內(nèi)作Ar//BC.易知直線AP,AB,Ax兩兩垂直，可建立如圖所示的空間直

角坐標(biāo)系A(chǔ)一型.

不妨設(shè)PA=1,則AB=1,AC=6BC=V2>80=當(dāng)，有4(0,0,0),P(O,O,l),Dy-,1,0,

(V2)一(夜1

：-—,-1,0,

.DA=I2JDP

Asin(DA,DP)=^--

故選：c.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)定義找到線面角的平面角，幾何法：線面垂直的性質(zhì)、勾股定理求邊，在直角三角形中

求其正弦值；向量法：構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，確定線面角兩邊的方向向量坐標(biāo)并求余弦值，寫(xiě)出其正弦值.

15.（2021?山東高三專題練習(xí)）已知直三棱柱A8C-44G的側(cè)棱長(zhǎng)為2,且AB=BC=2.

過(guò)A3的中點(diǎn)E,的中點(diǎn)F作平面a與平面AAGC垂直，則平面a截直三棱柱ABC-44儲(chǔ)所得截

面的面積為（）

A3/R2由「30nV3

2342

【答案】A

【分析】

結(jié)合面面垂直的判定定理和線面乖直的判定定理和性質(zhì)定理，以及三角形的中位線定理，作出平面。與直

三棱柱ABC-A4G所得截面為五邊形EFH”,再運(yùn)用勾股定理，計(jì)算所求值.

【詳解】

取AC的中點(diǎn)。，連接8。，取AC的中點(diǎn)。，連接4。、叫取AD的中點(diǎn)J,連接即，連接EF,

并延長(zhǎng)與A4交于M,取GA的中點(diǎn)/，連接M/，交4G于”，連接FH、u,

可得EJ〃BD,BD"BQ、,HI//B}Dt,

：.EJ//HI

又AB^BC

：.BD1AC

;MJ_面ABC,3￡>u面ABC

A4,1BD

BO_L面A4|C|C,

由面面垂直的判定定理，可得到平面EJIHFJ.平面AAGC

則平面E//H/7即為平面。

1__________1

由〃=〃4+2=瓜印=；A。|=三，HF=也,FE=立,

由EJLJI,

Xx

，所求截面的面積為S丘邊彩EFH"=S4FFH+S矩形修〃='X~~+~~

jUiLi\>c.rnljLsc.rn坦*匕〃”?、22、2

故選:A.

BEA

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：

畫(huà)截面常用的根據(jù)是以下幾個(gè)定理：

（1）三個(gè)平面兩兩相交,那么它們的交線交于一點(diǎn)或者兩兩平行；

（2）兩個(gè)平行平面與第三平面相交，則它們的交線平行

（3）（公理）兩個(gè)平面如果有?個(gè)公共點(diǎn)，則它們有且只有一條通過(guò)該點(diǎn)的公共直線.

16.（2021?遼寧高三二模（文））設(shè)。，b為兩條直線，a,尸為兩個(gè)平面，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若a//a,bua,則a//bB.若a//》，alia,則"http://a

C.若a_La,al//3,則a_L￡D.若a_La,aA.b'則匕//a

【答案】C

【分析】

根據(jù)直線與直線，平面與平面的位置關(guān)系，依次判斷選項(xiàng)即可.

【詳解】

由a,b為兩條直線，a,/7為兩個(gè)平面，

在A中，巖alia,8ua,則a,b平行或異面，故A錯(cuò)誤；

在B中，若a//b,alia,則卜在。內(nèi)或b/la,故B錯(cuò)誤；

在C中，若a，。，alip,則故C正確；

在D中，若a_Lc,alb,則方在a內(nèi)或Z?//a,故D錯(cuò)誤.

故選：C.

17.（2021?遼寧高三二模（理））己知下列四個(gè)命題，其中真命題的個(gè)數(shù)為（）

①空間三條互相平行的直線a,b,c,都與直線4相交，則a,b,c三條直線共面;

②若直線m±平面a,直線nil平面a,則/”_!.〃；

③平面ap|平面，=直線加，直線a〃平面a，直線?！ㄆ矫媸?，則a〃加：

④垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面互相平行.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】

①應(yīng)用反證法，假設(shè)。，b,c三條直線不共面證明矛盾結(jié)論即可；②利用線面垂直的性質(zhì)及平行的推論證

明結(jié)論；③利用平面的基本性質(zhì)，結(jié)合線面平行的性質(zhì)、平行的推論證明結(jié)論；④根據(jù)平面基本性質(zhì)判斷

正誤即可.

【詳解】

①若a,b,c三條直線不共面，由平行的直線。，力與直.線d相交，即a,b、d共面，而b,c平行，

則c、“不可能相交，與題設(shè)矛盾，正確；

②〃〃面a,若/u面a且〃///,又mJ.面夕即/，機(jī)，則"_L機(jī)，正確；

③過(guò)直線a作面7,若面///面/?,面/1面a=/,而?！鎍,則有I〃面0,aHI,又面af|面￡=

tn,即/〃M,所以alIm,正確；

④垂直于同一平面的兩個(gè)平面不一定平行，錯(cuò)誤：

故選：C.

18.（2021?全國(guó)高三其他模擬（理））已知機(jī)，“，/是三條不同的直線，Q,，是兩個(gè)不同的平面，則下

列結(jié)論一定正確的是（）

A.若nua,/ua,m±n,mH,則加_La

B.若加/〃，Illa,則機(jī)//a

C.若加"L",nil,則機(jī)_L〃

D.若加//a,nA./3,alIP,則/〃_L”

【答案】D

【分析】

根據(jù)空間中的線線，線面，面面關(guān)系一一分析即可.

【詳解】

對(duì)于A項(xiàng)，需要加上〃與/相交才符合線面垂直的判定定理，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B項(xiàng)，有可能mua,故8錯(cuò)誤；

對(duì)于C項(xiàng)，與/沒(méi)有關(guān)系，斜交、垂直平行都有可能，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D項(xiàng)，若〃_L￡,all/3,則"_La,而tn〃a,故/“J_”，故D正確.

故選：D.

19.（2021?四川成都市?高三二模（理））已知四面體ABC。的所有棱長(zhǎng)均為0,M,N分別為棱AD,

BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱A8上異于A,8的動(dòng)點(diǎn).有下列結(jié)論：

①線段MN的長(zhǎng)度為1；

②若點(diǎn)G為線段MN上的動(dòng)點(diǎn)，則無(wú)論點(diǎn)尸與G如何運(yùn)動(dòng)，直線尸G與直線CO都是異面直線；

③NMFN的余弦值的取值范圍為［。，乎）；

④口尸MN周長(zhǎng)的最小值為及+l.

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】

將正四面體放在正方體中觀察

對(duì)于①，可根據(jù)M,N分別為正方體前后兩個(gè)面的中心可得出結(jié)論；

對(duì)于②，F(xiàn)取為A8的中點(diǎn)，G取為MN的中點(diǎn)，此時(shí)FG與CD相交；

對(duì)于③，計(jì)算可得COS/M8N=3＞且，由逼近思想可作出判斷；

35

對(duì)于④，空間問(wèn)題平面化的技巧，將三角形ABC與題放在同一平面上，可計(jì)算出Nr+引0?V2

【詳解】

A

在棱長(zhǎng)為1的正方體上取如圖所示的四個(gè)頂點(diǎn)依次連接，即可得到棱長(zhǎng)為&四面體ABCD,

顯然，分別為正方體前后兩個(gè)面的中心，故線段MN的長(zhǎng)度為正方體棱長(zhǎng)1,故①對(duì)

對(duì)于②：

如圖，尸取為A5的中點(diǎn),G取為"N的中點(diǎn)，/取為”,的中點(diǎn)，則由正方體的性質(zhì)易知，該三點(diǎn)在一

條直線上，故此時(shí)尸G與CO相交于/,故②錯(cuò)：

對(duì)于③，

BN=~=~'BM=4BD2-MD-乂有MN=1

1+3—1

故cos/MBN=2/——=—>—

。行而35

L*,

22

故F點(diǎn)無(wú)限接近8點(diǎn)時(shí)，cosNM/W會(huì)無(wú)限接近乎，故NMFN的余弦值的取值范圍不為［。，乎），③

錯(cuò)誤；

對(duì)于④，如圖將等邊三角形ABC與ABD鋪平，放在同一平面上，故有N'F+FM'?MNJL當(dāng)且

僅當(dāng)F為AB中點(diǎn)時(shí)取最小值

故在正方體中Nb+FM?O

故□FMN周長(zhǎng)的最小值為V2+1

故④對(duì)

故選：B

【點(diǎn)睛】

把空間中的最短路線問(wèn)題利用展開(kāi)圖轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間距離最短的問(wèn)題，從而使問(wèn)題得到解決，這是求

空間中最短路線的一種常用方法

20.（2021.全國(guó)高三二模（理））已知/,m,場(chǎng)為空間里不重合的三條直線，。，方為空間里不重合的兩

個(gè)平面，則下列判斷正確的是（）

A.若,mlIn,nua,則〃/a

B.若/_Lm，/In,mua,nua,則/J.a

C.若Um,m±n,mua,rzua,貝”_La

D.若=l,mua,nu0,aL（3,mH,則

【答案】D

【分析】

利用線線，線面，面面的位置關(guān)系，判斷選項(xiàng).

【詳解】

A有可能是/ua,故A不對(duì)；B不知道加，〃是否是相交的位置關(guān)系，故B不正確；C可能是/ua,故C

不正確；根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理和線面垂直的性質(zhì)，可知D正確.

故選：D.

21.（2021?淮北市樹(shù)人高級(jí)中學(xué)高二期末（文））設(shè)加，〃是兩條不同的直線，a,0,7是三個(gè)不同的

平面，給出下列四個(gè)命題：①若加J_a,nila,則②若a〃分，/7///,mLa,則加，九③

若加〃tz,nila,則加〃〃.其中正確命題的序號(hào)是（）

A.①和②B.②和③C.①和③D.①②③

【答案】A

【分析】

根據(jù)線面平行性質(zhì)定理，結(jié)合線面垂直的定義，可得①是真命題；根據(jù)面面平行的性質(zhì)結(jié)合線面垂直的性

質(zhì)，可得②是真命題；在正方體中舉出反例，可得平行于同一個(gè)平面的兩條直線不一定平行，垂直于同一

個(gè)平面和兩個(gè)平面也不一定平行，可得③不正確.由此可得本題的答案.

【詳解】

對(duì)于①，因?yàn)椤?/a,所以經(jīng)過(guò)〃作平面/?,使〃ca=/,可得"/〃，

又因?yàn)閚i_La，Iua，所以〃?_!_/,結(jié)合〃/〃得/〃_L〃.由此可得①是真命題；

時(shí)于②，因?yàn)椤?/￡且￡//7,所以。///,結(jié)合加la,可得加_Ly,故②是真命題；

對(duì)于③，設(shè)直線機(jī)、〃是位于正方體上底面所在平面內(nèi)的相交直線，

而平面a是正方體下底面所在的平面，

則有〃?//a且成立，但不能推出加〃〃，故③不正確;

故選：A

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：線面平行、面面平行的性質(zhì)和線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，屬于中

檔題.

22.（2021?山東高三專題練習(xí)）若a,b是兩條不同的直線，a,￡是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確

的是（）

A.若:_|_力,bla,aA./3,則a_L/7

B.若aLa,加電,則二_L,

C.若a〃a,alip,a^\p=b,貝！]a//b

D.若a〃5,aVa,blip,則a///?

【答案】C

【分析】

對(duì)于ABD,根據(jù)給定的條件可得與結(jié)論不相符合的情形，對(duì)于C,利用線面平行的性質(zhì)定理和判定定理可

證其正確性，從而可得正確的選項(xiàng).

【詳解】

對(duì)于A,若二j_，，b±a,ak/3,則a與4可能平行，或相交或。在戶內(nèi)，故A錯(cuò).

對(duì)于B,若。_1￡,ala,blip,則a//b也可能成立，故B錯(cuò)誤.

對(duì)于C,若?！╝，all（3,ar\/3=b,如圖：

過(guò)a作平面了,使得yla=〃，過(guò)a作平面。，使得6c/7=機(jī)，

因?yàn)榧?a,auy,所以勿/〃，同理?！C(jī)，故〃〃加，

而〃?，，muB,故〃〃/，nua,a[\p=b,故〃〃人故a//B,故C正確.

對(duì)于D,若a〃八ala,blip,則a,尸，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

23.（2021?全國(guó)高三專題練習(xí)（文））如圖，三棱錐P—ABC中，PA1PB,PAYPC,且PA=3,

PB=PC=4,BC=2,M是PC中點(diǎn)，DB=-PB,E是A8的中點(diǎn)，則異面直線力E與所成

4

角的余弦值為（）

A1R9778「4765D6

2156654

【答案】B

【分析】

取PB的中點(diǎn)N,PM的中點(diǎn)G,連接AG、NG、AN,則異面直線DE與BM所成角的平面角為NANG,

然后利用題目所給數(shù)據(jù)計(jì)算出AN,AG,NG,然后利用余弦定理求解出NANG的余弦值大小，得到異

面宜線DE與8M所成角的余弦值大小.

【詳解】

取尸B的中點(diǎn)N,PM的中點(diǎn)G,連接AG、NG、AN,則NG//BM,

。是N8的中點(diǎn)，

4

又「E是AB的中點(diǎn)，

BMIIGN,

NANG為異面直線DE與BM所成的角或其補(bǔ)角，

VPALPB,PALPC,且PBcPC=P,PB,PC面PBC,所以PAL面PBC.

又,：PN=1pB=2,PG=\,

2

...在放AP4V中，AN=1P#+PM=打+*=屈，

在HrAPAG中，AG=yJPA^+PG2=^32+12=710-

PB2+PC2-BC242+42-227

在ABPC中由余弦定理得cosNBPC=~—=-―-~—=-，

2PBPC2x4x48

在kNPG中由余弦定理得NG=J22+12-2X2X1X-=—,

V82

（Vi^）2+（^-）2-（Vio）2

...cos/ANGhM上性一延

2-AN-NG156

2,屈吟

.??異面直線OE與3M所成角的余弦值為竺8.

156

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查異面直線夾角的計(jì)算，一般地計(jì)算異面直線間的夾角的方法如下：

（I）定義法：利用異面直線間夾角的定義，通過(guò)作平行線轉(zhuǎn)化，找到兩條異面直線間夾角的平面角，然后

通過(guò)解三角形得到夾角的余弦值；

（2）空間向量法：根據(jù)題目條件，建立空間直角坐標(biāo)系，標(biāo)出各點(diǎn)的坐標(biāo)，分別計(jì)算兩條直線的方向向量，

計(jì)算方向向量間的夾角從而得出異面宜線間的夾角，注意異面直線夾角的取值范圍.

24.（2021?全國(guó)高三專題練習(xí)（文））已知M是正方體的棱。。的中點(diǎn)，則下列是假命題

的是（）

A.過(guò)點(diǎn)M有且只有一條直線與直線A8,BiG都相交

B.過(guò)點(diǎn)M有且只有一條直線與直線48,BiG都垂直

C.過(guò)點(diǎn)M有且只有一個(gè)平面與直線4B,BiG都相交

D.過(guò)點(diǎn)M有且只有一個(gè)平面與直線AB,8cl都平行

【答案】C

【分析】

根據(jù)題意作出圖形，取C。的中點(diǎn)N,設(shè)BN交于H,則點(diǎn)A、B、M、N、H共面，直線，M必

與直.線相交于某點(diǎn)。，根據(jù)線線關(guān)系和線面關(guān)系逐一判斷即可.

【詳解】

直線A8與4G是兩條互相垂直的異面直線，點(diǎn)M不在這兩異面直線中的任何一條匕如圖所示:

取￡C的中點(diǎn)N,則MN〃AB，B.MN=AB,

設(shè)BN與4G交于“，則點(diǎn)A、B、M、N、”共面，

直線HM必與AB直線相交于某點(diǎn)。，

過(guò)M點(diǎn)有且只有一條直線”0與直線AB、4G都相交，故A正確；

過(guò)M點(diǎn)有且只有一條直線與直線AB、4G都垂直，此垂線就是棱故B正確；

凡是過(guò)0H的面均和AB、4G都相交，即過(guò)M點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)平面與直線A3、4G都相交，故C不正確;

過(guò)M點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線AB、4G都平行，此平面就是過(guò)M點(diǎn)與正方體的上下底都平行的平面，

故D正確.

故選：C.

25.（2021?四川成都市?高三二模（文））已知四面體ABC。