華東師范大學-茆詩松-概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程

匯報人：AA2024-01-20華東師范大學-茆詩松-概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程目錄課程簡介與學習目標概率論基本概念隨機變量及其分布數(shù)理統(tǒng)計基礎參數(shù)估計方法目錄假設檢驗原理及應用方差分析與回歸分析初步課程總結(jié)與拓展延伸01課程簡介與學習目標概率論與數(shù)理統(tǒng)計概述概率論研究隨機現(xiàn)象的數(shù)學分支，提供了一套系統(tǒng)的理論和方法來描述、分析和預測隨機現(xiàn)象。數(shù)理統(tǒng)計以概率論為基礎，研究如何從數(shù)據(jù)中獲取有用信息，并對未知參數(shù)進行估計和假設檢驗。課程目標與要求01掌握概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念、理論和方法。02能夠運用所學知識解決實際問題，具備初步的數(shù)據(jù)分析能力和統(tǒng)計思維。培養(yǎng)嚴謹?shù)臄?shù)學邏輯思維和創(chuàng)新能力。03教材結(jié)構(gòu)包括概率論基礎、數(shù)理統(tǒng)計基礎、參數(shù)估計、假設檢驗、回歸分析等章節(jié)。內(nèi)容安排從基本概念入手，逐步深入講解概率論與數(shù)理統(tǒng)計的理論和方法，通過大量例題和習題加強理解和應用。教材結(jié)構(gòu)與內(nèi)容安排02概率論基本概念隨機事件在一定條件下，并不總是發(fā)生，也不總是不發(fā)生的現(xiàn)象。概率定義描述隨機事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值，常用P(A)表示。概率的性質(zhì)非負性、規(guī)范性、可加性。隨機事件與概率定義條件概率在已知另一隨機事件發(fā)生與否的條件下，某一隨機事件發(fā)生的概率。乘法公式用于計算兩個相互獨立事件的交事件的概率。事件的獨立性兩個事件相互獨立，當且僅當其中一個事件的發(fā)生不影響另一個事件的發(fā)生概率。條件概率與獨立性全概率公式如果事件B1，B2，…Bn構(gòu)成一個完備事件組，即它們兩兩互不相容，其和為全集；并且P(Bi)大于0，則對任一事件A有P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(Bn)。貝葉斯公式描述了兩個條件概率之間的關(guān)系，也稱為逆概率公式。常用于根據(jù)已知結(jié)果推測未知原因的場景。貝葉斯定理的應用包括垃圾郵件分類、疾病診斷、自然語言處理等領(lǐng)域。全概率公式與貝葉斯公式03隨機變量及其分布隨機變量是定義在樣本空間上的實值函數(shù)，它將樣本空間中的每一個樣本點映射到一個實數(shù)。定義隨機變量可分為離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量。離散型隨機變量的取值是有限個或可列個，而連續(xù)型隨機變量的取值則是充滿一個區(qū)間。分類隨機變量定義及分類二項分布n重伯努利試驗中成功次數(shù)X的分布，記作B(n,p)。泊松分布一種描述單位時間內(nèi)隨機事件發(fā)生的次數(shù)的概率分布，常用于描述稀有事件的概率分布。0-1分布隨機變量只取0和1兩個值，其分布律由成功概率p決定。常見離散型隨機變量分布均勻分布在某一區(qū)間內(nèi)，隨機變量的取值概率相等。指數(shù)分布描述兩次相繼發(fā)生的隨機事件的時間間隔的概率分布，常用于可靠性理論和排隊論中。正態(tài)分布一種連續(xù)型概率分布，其概率密度函數(shù)呈鐘形曲線，具有對稱性、單峰性和可加性等特點。正態(tài)分布是概率論和數(shù)理統(tǒng)計中最重要的分布之一，廣泛應用于自然科學和社會科學的各個領(lǐng)域。常見連續(xù)型隨機變量分布04數(shù)理統(tǒng)計基礎研究對象的全體個體組成的集合，通常用一個概率分布來描述?？傮w從總體中隨機抽取的一部分個體組成的集合，用于推斷總體的性質(zhì)。樣本樣本中包含的個體數(shù)目，通常用$n$表示。樣本容量總體與樣本概念介紹統(tǒng)計量樣本的函數(shù)，用于描述樣本的特征，如樣本均值、樣本方差等。統(tǒng)計量的性質(zhì)包括無偏性、有效性、一致性等，用于評價統(tǒng)計量的優(yōu)劣。常用統(tǒng)計量樣本均值、樣本方差、樣本矩、樣本分位數(shù)等。統(tǒng)計量及其性質(zhì)大數(shù)定律當樣本容量足夠大時，樣本均值趨近于總體均值。中心極限定理當樣本容量足夠大時，不論總體分布如何，樣本均值的分布近似于正態(tài)分布。$chi^2$分布、$t$分布和$F$分布在正態(tài)總體下，樣本方差、樣本均值之差和樣本方差之比的分布分別服從$chi^2$分布、$t$分布和$F$分布。抽樣分布定理05參數(shù)估計方法VS點估計是用樣本統(tǒng)計量來估計總體參數(shù)，因為樣本統(tǒng)計量為數(shù)軸上某一點值，估計結(jié)果也以一個點的數(shù)值表示，所以稱為點估計。評價標準點估計的評價標準包括無偏性、有效性和一致性。無偏性是指估計量的期望值等于被估計的總體參數(shù)；有效性是指對于同一總體參數(shù)的兩個無偏點估計量，有更小方差的估計量更有效；一致性是指隨著樣本量的增加，點估計量的值越來越接近被估總體的參數(shù)。點估計原理點估計原理及評價標準區(qū)間估計是在點估計的基礎上，給出總體參數(shù)估計的一個區(qū)間范圍，該區(qū)間通常由樣本統(tǒng)計量加減估計誤差得到。區(qū)間估計原理區(qū)間估計的計算方法包括確定置信水平、查找或計算臨界值、構(gòu)造置信區(qū)間等步驟。其中，置信水平通常根據(jù)實際需要選擇，臨界值可以通過查表或計算得到，而置信區(qū)間的構(gòu)造則需要根據(jù)樣本統(tǒng)計量的分布特性進行。計算方法區(qū)間估計原理及計算方法最大似然估計法是一種在總體分布類型已知條件下，用來估計總體分布中未知參數(shù)的一種有效的方法。它基于這樣的思想：在一次試驗中，如果出現(xiàn)了某個事件A，則認為在相同條件下進行大量重復試驗時，事件A出現(xiàn)的頻率應該接近其發(fā)生的概率。因此，當總體分布類型已知時，我們可以通過最大化樣本數(shù)據(jù)的聯(lián)合概率密度函數(shù)（或聯(lián)合概率分布列）來求解總體參數(shù)的估計值。最大似然估計法原理首先，根據(jù)總體分布類型和樣本數(shù)據(jù)構(gòu)造似然函數(shù)；其次，對似然函數(shù)取對數(shù)并整理；然后，求導數(shù)并令其為0，解得似然方程；最后，解似然方程得到參數(shù)的最大似然估計值。需要注意的是，在某些情況下，最大似然估計可能不存在或唯一，此時需要結(jié)合實際情況進行分析和處理。最大似然估計法步驟最大似然估計法06假設檢驗原理及應用原假設與備擇假設原假設通常是研究者想要推翻的假設，而備擇假設則是研究者希望證實的假設。顯著性水平與P值顯著性水平是事先設定的用于判斷原假設是否成立的標準，而P值則是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算出的原假設成立時觀察到當前樣本或更極端樣本的概率。檢驗步驟包括提出原假設和備擇假設、確定檢驗統(tǒng)計量和拒絕域、計算P值并作出決策等步驟。檢驗統(tǒng)計量與拒絕域檢驗統(tǒng)計量是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算出的用于判斷原假設是否成立的統(tǒng)計量，而拒絕域則是檢驗統(tǒng)計量取值的范圍，當檢驗統(tǒng)計量落入拒絕域時，我們拒絕原假設。假設檢驗基本概念和步驟Z檢驗當總體標準差已知時，可以使用Z檢驗對單個正態(tài)總體均值進行檢驗。Z檢驗統(tǒng)計量服從標準正態(tài)分布。t檢驗當總體標準差未知時，可以使用t檢驗對單個正態(tài)總體均值進行檢驗。t檢驗統(tǒng)計量服從t分布，其中自由度為樣本量減1。單個正態(tài)總體均值檢驗兩個正態(tài)總體均值比較檢驗當兩個樣本相互獨立時，可以使用獨立樣本t檢驗對兩個正態(tài)總體均值進行比較。獨立樣本t檢驗的檢驗統(tǒng)計量服從t分布，其中自由度為兩個樣本量之和減2。獨立樣本t檢驗當兩個樣本存在配對關(guān)系時，可以使用配對樣本t檢驗對兩個正態(tài)總體均值進行比較。配對樣本t檢驗的檢驗統(tǒng)計量也服從t分布，其中自由度為樣本量減1。配對樣本t檢驗07方差分析與回歸分析初步ABCD方差分析原理及應用實例方差分析基本原理通過比較不同組別間的方差，判斷各因素對結(jié)果的影響是否顯著。多因素方差分析研究多個因素對結(jié)果的影響，以及因素間的交互作用，如溫度、濕度對植物生長的影響。單因素方差分析研究單一因素對結(jié)果的影響，如不同施肥量對作物產(chǎn)量的影響。應用實例在醫(yī)學、農(nóng)業(yè)、工業(yè)等領(lǐng)域中廣泛應用，如新藥療效評估、農(nóng)作物品種改良等。一元線性回歸模型建立與檢驗一元線性回歸模型建立通過最小二乘法等方法，建立自變量與因變量之間的線性關(guān)系模型。模型檢驗對建立的模型進行統(tǒng)計檢驗，包括擬合優(yōu)度檢驗、回歸系數(shù)顯著性檢驗等，以評估模型的可靠性。預測與控制利用建立的模型進行預測和控制，如根據(jù)歷史數(shù)據(jù)預測未來趨勢，或通過調(diào)整自變量實現(xiàn)對因變量的控制。應用實例在經(jīng)濟學、金融學、社會學等領(lǐng)域中廣泛應用，如股票價格預測、消費者行為分析等。研究多個自變量與因變量之間的線性關(guān)系，建立多元線性回歸方程。多元線性回歸模型概念在醫(yī)學、環(huán)境科學、社會科學等領(lǐng)域中廣泛應用，如疾病風險預測、環(huán)境質(zhì)量評估等。應用實例與一元線性回歸模型類似，通過最小二乘法等方法建立模型，并進行統(tǒng)計檢驗。模型建立與檢驗在多元線性回歸中，需要選擇合適的自變量，并考慮自變量間的共線性問題，以提高模型的預測精度和穩(wěn)定性。變量選擇與優(yōu)化多元線性回歸模型簡介08課程總結(jié)與拓展延伸03概率論與數(shù)理統(tǒng)計的應用如金融風險管理、生物醫(yī)學統(tǒng)計、社會科學統(tǒng)計等領(lǐng)域中的案例分析和實踐應用。01概率論基礎包括事件與概率、條件概率與獨立性、隨機變量及其分布等基本概念和方法。02數(shù)理統(tǒng)計基礎包括參數(shù)估計、假設檢驗、方差分析等統(tǒng)計推斷方法，以及回歸分析、時間序列分析等數(shù)據(jù)處理技術(shù)。課程重點回顧與總結(jié)高維統(tǒng)計學習針對高維數(shù)據(jù)的統(tǒng)計學習方法，如稀疏表示、降維技術(shù)等，在圖像處理、基因測序等領(lǐng)域有廣泛應用。深度學習中的概率模型結(jié)合深度學習技術(shù)，構(gòu)建更復雜的概率模型，如生成對抗網(wǎng)絡（GAN）、變分自編碼器（VAE）等，在人工智能領(lǐng)域取得重要突破。強化學習中的概率論與數(shù)理統(tǒng)計利用概率論和數(shù)理統(tǒng)計方法，對強化學習算法進行改進和優(yōu)化，提高智能體的學習效率和性能。010203相關(guān)領(lǐng)域前沿