MBA統(tǒng)計(jì)學(xué)04概率和分布

統(tǒng)計(jì)學(xué)─從數(shù)據(jù)到結(jié)論第四章時(shí)機(jī)的度量：

概率和分布概率是0和1之間的一個(gè)數(shù)目，表示某個(gè)事件發(fā)生的能夠性或經(jīng)常程度。他買彩票中大獎(jiǎng)的時(shí)機(jī)很小(接近0)但有人中大獎(jiǎng)的概率幾乎為1他被流星擊中的概率很小(接近0)但每分鐘有流星擊中地球的概率為1他今天被汽車撞上的概率幾乎是0但在北京每天發(fā)生車禍的概率是1。發(fā)生概率很小的事件稱為小概率事件(smallprobabilityevent)；小概率事件不那么能夠發(fā)生，但它往往比很能夠發(fā)生的事件更值得研討。在某種意義上，新聞媒體的主要留意力大都集中在小概率事件上?！?.1得到概率的幾種途徑1．利用等能夠事件假設(shè)一個(gè)骰子是公平的，那么擲一次骰子會(huì)以等能夠(概率1/6，6種能夠之一)得到1至6點(diǎn)的中的每一個(gè)點(diǎn)。拋一個(gè)公平的硬幣，那么以等能夠(概率1/2)出現(xiàn)正面或反面?！?.1得到概率的幾種途徑再如從52張牌中隨機(jī)抽取一張，那么它是黑桃的概率為抽取黑桃的能夠〔k＝13〕和總能夠性〔n＝52〕之比，即k/n=13/52=1/4；類似地抽到的牌是J、Q、K、A四種〔共有16種能夠〕的概率是16/52=4/13?！?.1得到概率的幾種途徑其實(shí)即使沒有學(xué)過概率，讀者也多半可以算出這些概率。計(jì)算這些概率的根底就是事先知道〔或者假設(shè)〕某些事件是等能夠的。這種事件為等能夠事件(equallylikelyevent)?！?.1得到概率的幾種途徑2．根據(jù)長(zhǎng)期相對(duì)頻數(shù)事件并不一定是等能夠的，或者人們對(duì)于其出現(xiàn)的能夠性一無(wú)所知。這時(shí)就要靠察看它在大量反復(fù)實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率來(lái)估計(jì)它出現(xiàn)的概率。它約等于事件出現(xiàn)的頻數(shù)k除以反復(fù)實(shí)驗(yàn)的次數(shù)n，該比值k/n稱為相對(duì)頻數(shù)〔relativefrequency〕或頻率?！?.1得到概率的幾種途徑例如，刮發(fā)票的中獎(jiǎng)密封時(shí)，大多得到“謝謝〞。假設(shè)他刮了150張發(fā)票，只需3張中獎(jiǎng)，他會(huì)以為，他的中獎(jiǎng)概率大約是3/150=0.02假設(shè)一個(gè)學(xué)生在200次上課時(shí)，無(wú)故曠課10次，那么其曠課的概率能夠被以為接近10/200=0.05§4.1得到概率的幾種途徑實(shí)驗(yàn)次數(shù)n越大那么該值越接近于想得到的概率。很多事件無(wú)法進(jìn)展長(zhǎng)期反復(fù)實(shí)驗(yàn)。因此這種經(jīng)過相對(duì)頻數(shù)獲得概率的方法也并不是萬(wàn)能的。雖然如此，用相對(duì)頻數(shù)來(lái)確定概率的方法是很常用的。他們可以舉出無(wú)數(shù)類似的例子§4.1得到概率的幾種途徑3．客觀概率一些概率既不能由等能夠性來(lái)計(jì)算，也不能夠從實(shí)驗(yàn)得出。比如，他今年想學(xué)開車概率、他五年內(nèi)去歐洲旅游的概率等這種概率稱為客觀概率(subjectiveprobability)?？梢哉f，客觀概率是一次事件的概率?；?yàn)榛谒莆盏男畔?，某人?duì)某事件發(fā)生的自信程度?！?.2概率的運(yùn)算在擲骰子中，得到6點(diǎn)的概率是1/6，而得到5點(diǎn)的概率也是1/6。那么擲一次骰子得到5或者6的概率是多少呢？在擲10次骰子中有一半或以上的次數(shù)得到5或6的概率又是多少呢？讀者很快就能夠很快會(huì)得到答案。但再?gòu)?fù)雜一些，也許就不簡(jiǎn)單了?！?.2概率的運(yùn)算我們需求了解怎樣從簡(jiǎn)單的情況計(jì)算略微復(fù)雜情況時(shí)的概率。需求讀者回想一下上中學(xué)時(shí)學(xué)過的集合概念，比如兩個(gè)集合的交和并，互余〔互補(bǔ)〕等概念。在概率論中所說的事件〔event〕相當(dāng)于集合論中的集合〔set〕。而概率那么是事件的某種函數(shù)。為什么會(huì)這么說呢，讓我們看擲兩個(gè)骰子的實(shí)驗(yàn)。§4.2概率的運(yùn)算如所關(guān)懷的是兩骰子點(diǎn)數(shù)之和，那么下表包含了一切36種能夠?qū)嶒?yàn)結(jié)果的搭配和相應(yīng)的點(diǎn)數(shù)和。可以看出，假設(shè)我們思索點(diǎn)數(shù)和等于2的事件，那么僅有一種能夠的實(shí)驗(yàn)結(jié)果〔兩個(gè)骰子均為一點(diǎn)〕；而假設(shè)我們思索點(diǎn)數(shù)和等于7的事件，那么有六種能夠的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)之和總共有2至12等11種能夠，即有11種能夠的事件，而這11種事件相應(yīng)于上面所說的36種能夠的實(shí)驗(yàn)結(jié)果的一些集合。這些事件和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的集合歸納在下面表中：§4.2概率的運(yùn)算:1.互補(bǔ)事件的概率假設(shè)今天下雨的概率是10％，那么今天不下雨的概率就是90％。假設(shè)他中獎(jiǎng)的概率是0.0001，那么不中獎(jiǎng)的概率就是1－0.0001=0.9999。這種假設(shè)一個(gè)不出現(xiàn)，那么另一個(gè)一定出現(xiàn)的兩個(gè)事件稱為互補(bǔ)事件〔complementaryevents，或者互余事件或?qū)α⑹录?。?.2概率的運(yùn)算:1.互補(bǔ)事件的概率按照集合的記號(hào)，假設(shè)一個(gè)事件記為A，那么另一個(gè)記為AC〔稱為A的余集或補(bǔ)集〕。顯然互補(bǔ)事件的概率之和為1，即P(A)+P(AC)=1，或者P(AC)＝1－P(A)。在西方賭博時(shí)經(jīng)常愛用優(yōu)勢(shì)或賠率〔odds〕來(lái)描畫勝負(fù)的能夠。它是互補(bǔ)事件概率之比，即P(A)/P(AC)＝P(A)/[1-P(A)]來(lái)表示?！?.2概率的運(yùn)算:2.概率的加法假設(shè)兩個(gè)事件不能夠同時(shí)發(fā)生，那么至少其中之一發(fā)生的概率為這兩個(gè)概率的和。比如“擲一次骰子得到3或者6點(diǎn)〞的概率是“得到3點(diǎn)〞的概率與“得到6點(diǎn)〞的概率之和，即1/6+1/6=1/3。但是假設(shè)兩個(gè)事件能夠同時(shí)發(fā)生時(shí)這樣做就不對(duì)了?！?.2概率的運(yùn)算:2.概率的加法假定擲骰子時(shí)，一個(gè)事件A為“得到偶數(shù)點(diǎn)〞〔有3種能夠：2、4、6點(diǎn)〕，另一個(gè)事件B為“得到大于或等于3點(diǎn)〞〔有4種能夠：3、4、5、6點(diǎn)〕；這樣，事件A的概率顯然等于3/6=1/2，即P(A)=1/2。而事件B的概率為P(B)=4/6=2/3。但是，“得到大于或等于3點(diǎn)或者偶數(shù)點(diǎn)〞的事件的概率就不是P(A)+P(B)=1/2+2/3=7/6了；§4.2概率的運(yùn)算:2.概率的加法這顯然多出來(lái)了。概率怎樣可以大于1呢？按照中學(xué)時(shí)關(guān)于集合的記號(hào)，該事件稱為A和B的并，記為A∪B。剛剛多出來(lái)的部分就是A和B的共同部分A∩B〔稱為A和B的交〕的概率〔這個(gè)概率算了兩遍〕；它為“得到既是偶數(shù)，又大于等于3〞的部分，即4和6兩點(diǎn)。出現(xiàn)事件4或者6的概率為1/6+1/6=1/3?！?.2概率的運(yùn)算:2.概率的加法于是應(yīng)該把算重了的概率減去。這樣“得到大于或等于3點(diǎn)或者偶數(shù)點(diǎn)〞的事件A∪B的概率就是P(A∪B)＝P(A)+P(B)-P(A∩B)=1/2+2/3-1/3＝5/6。這種P(A∪B)＝P(A)+P(B)-P(A∩B)的公式也適用于兩個(gè)不能夠同時(shí)發(fā)生的事件；但由于那時(shí)P(A∩B)=0，所以只剩下P(A∪B)＝P(A)+P(B)了?！?.2概率的運(yùn)算:2.概率的加法這種交等于空集〔A∩B=F，這里F表示空集或空事件〕的事件為兩個(gè)不能夠同時(shí)發(fā)生的事件，稱為互不相容事件〔mutuallyexclusiveevents〕?！?.2概率的運(yùn)算:3.概率的乘法假設(shè)他有一個(gè)固定和一個(gè)手機(jī)，假定固定出缺陷的概率為0.01，而手機(jī)出問題的概率為0.05，那么，兩個(gè)同時(shí)出缺陷的概率是多少呢？聰明的讀者馬上會(huì)猜出，是0.01×0.05=0.0005。但是這種乘法法那么，即P(A∩B)＝P(A)P(B)，僅僅在兩個(gè)事件獨(dú)立(independent)時(shí)才成立?！?.2概率的運(yùn)算:3.概率的乘法假設(shè)事件不獨(dú)立那么需求引進(jìn)條件概率(conditionalprobability)。比如三個(gè)人抽簽，而只需一個(gè)人可以抽中，因此每個(gè)人抽中的時(shí)機(jī)是1/3。假定用A1、A2和A3分別代表這三個(gè)人抽中的事件，那么，P(A1)=P(A2)=P(A3)=1/3?！?.2概率的運(yùn)算:3.概率的乘法但是由于一個(gè)人抽中，其他人就不能夠抽中，所以，這三個(gè)事件不獨(dú)立。剛剛的乘法規(guī)那么不成立；這時(shí)，P(A1∩A3)＝P(A1∩A2)＝P(A2∩A3)＝0；如錯(cuò)誤照搬乘法規(guī)那么會(huì)得到錯(cuò)誤的(1/3)2=1/9?！?.2概率的運(yùn)算:3.概率的乘法但是可以計(jì)算條件概率，比如第一個(gè)人抽到〔事件A1〕，那么在這個(gè)條件下其他兩個(gè)人抽到的概率都為0；記為P(A2|A1)=P(A3|A1)=0。如第一個(gè)人沒有抽到〔事件A1C〕，那么其他兩人抽到的概率均為1/2，記為P(A2|A1C)=P(A3|A1C)=1/2?！?.2概率的運(yùn)算:3.概率的乘法普通地，在一個(gè)事件B曾經(jīng)發(fā)生的情況下，事件A發(fā)生的條件概率定義為〔貝葉斯公式〕分布隨機(jī)變量取一切能夠值或范圍的概率或概率的規(guī)律稱為概率分布(probabilitydistribution，簡(jiǎn)稱分布)。概率分布可以用各種圖或表來(lái)表示；一些可以用公式來(lái)表示。概率分布是關(guān)于總體的概念。有了概率分布就等于知道了總體。分布前面引見過的樣本均值、樣本規(guī)范差和樣本方差等樣本特征的概念是相應(yīng)的總體特征的反映。我們也有描畫變量“位置〞的總體均值、總體中位數(shù)、總體百分位數(shù)以及描畫變量分散〔集中〕程度的總體規(guī)范差和總體方差等概念。詳細(xì)公式見本章后面小結(jié)§4.3離散變量的分布離散變量只取離散的值，比如骰子的點(diǎn)數(shù)、網(wǎng)站點(diǎn)擊數(shù)、顧客人數(shù)等等。每一種取值都有某種概率。各種取值點(diǎn)的概率總和應(yīng)該是1。當(dāng)然離散變量不不僅僅限于取非負(fù)整數(shù)值。普通來(lái)說，某離散隨機(jī)變量的每一個(gè)能夠取值xi都相應(yīng)于取該值的概率p(xi)，這些概率應(yīng)該滿足關(guān)系§4.3.1二項(xiàng)分布最簡(jiǎn)單的離散分布應(yīng)該是基于可反復(fù)的有兩結(jié)果〔比如勝利和失敗〕的一樣獨(dú)立實(shí)驗(yàn)〔每次實(shí)驗(yàn)勝利概率一樣〕的分布，例如拋硬幣。比如用p代表得到硬幣正面的概率，那么1－p那么是得到反面的概率。假設(shè)知道p，這個(gè)拋硬幣的實(shí)驗(yàn)的概率分布也就都知道了?！?.3.1二項(xiàng)分布這種有兩個(gè)能夠結(jié)果的實(shí)驗(yàn)有兩個(gè)特點(diǎn)：一是各次實(shí)驗(yàn)相互獨(dú)立，二是每次實(shí)驗(yàn)得到一種結(jié)果的概率不變〔這里是得到正面的概率總是p〕。類似于拋硬幣的僅有兩種結(jié)果的反復(fù)獨(dú)立實(shí)驗(yàn)被稱為Bernoulli實(shí)驗(yàn)〔Bernoullitrials〕?！?.3.1二項(xiàng)分布下面實(shí)驗(yàn)可看成為Bernoulli實(shí)驗(yàn)：每一個(gè)進(jìn)入某商場(chǎng)的顧客能否購(gòu)買某商品每個(gè)被調(diào)查者能否認(rèn)可某種產(chǎn)品每一個(gè)新出嬰兒的性別。根據(jù)這種簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn)的分布，可以得到基于這個(gè)實(shí)驗(yàn)的更加復(fù)雜事件的概率?！?.3.1二項(xiàng)分布為了方便，人們通常稱Bernoulli實(shí)驗(yàn)的兩種結(jié)果為“勝利〞和“失敗〞。和Bernoulli實(shí)驗(yàn)相關(guān)的最常見的問題是：假設(shè)進(jìn)展n次Bernoulli實(shí)驗(yàn)，每次勝利的概率為p，那么勝利k次的概率是多少？這個(gè)概率的分布就是所謂的二項(xiàng)分布(binomialdistribution)?！?.3.1二項(xiàng)分布這個(gè)分布有兩個(gè)參數(shù)，一個(gè)是實(shí)驗(yàn)次數(shù)n，另一個(gè)是每次實(shí)驗(yàn)勝利的概率p?；诖?，二項(xiàng)分布用符號(hào)B(n,p)或Bin(n,p)表示。由于n和p可以根據(jù)實(shí)踐情況取各種不同的值，因此二項(xiàng)分布是一族分布，族內(nèi)的分布以這兩個(gè)參數(shù)來(lái)區(qū)分?！?.3.1二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布的概率通常用二項(xiàng)分布表來(lái)查出。但普通統(tǒng)計(jì)軟件可以很容易得到這個(gè)概率。在目前統(tǒng)計(jì)軟件興隆的情況下，涉及的二項(xiàng)分布普通都自動(dòng)處置了；在處置實(shí)踐問題中很少會(huì)遇到直接計(jì)算二項(xiàng)分布概率的情況?！?.3.1二項(xiàng)分布但這里還是給出其普通公式。下面p(k)代表在n次Bernoulli實(shí)驗(yàn)中勝利的次數(shù)的概率，p為每次實(shí)驗(yàn)勝利的概率。有這里為二項(xiàng)式系數(shù)，或記為圖4.1九個(gè)二項(xiàng)分布B(5,p)(p＝0.1到0.9)的概率分布圖§4.3.2多項(xiàng)分布和二項(xiàng)分布最類似的是多項(xiàng)分布〔multinomialdistribution〕。二項(xiàng)分布的每次實(shí)驗(yàn)中只需兩種能夠的結(jié)果，而多項(xiàng)分布那么在每次實(shí)驗(yàn)中有多種能夠的結(jié)果?！?.3.2多項(xiàng)分布比如在調(diào)查顧客對(duì)5個(gè)品牌的飲料的選擇中，每種品牌都會(huì)以一定的概率中選，假定這些概率為p1，p2，p3，p4，p5。每次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果只能夠有一個(gè)，因此這些概率的和為1，即p1+p2+p3+p4+p5=1。在多項(xiàng)分布問題中〔用上面5個(gè)品牌的例子闡明〕，所關(guān)懷的是在n次實(shí)驗(yàn)中〔這里是調(diào)查〕，選擇5個(gè)品牌的人數(shù)分別為m1，m2，m3，m4，m5的概率。自然m1+m2+m3+m4+m5＝n。§4.3.2多項(xiàng)分布類似于二項(xiàng)分布，多項(xiàng)分布的符號(hào)可以為M〔n；p1，p2，p3，p4，p5〕，也有用“MN〞或“Multi〞來(lái)表示；§4.3.3Poisson分布另一個(gè)常用離散分布是Poisson分布〔翻譯成“泊松分布〞或“普阿松分布〞〕。它可以以為是衡量某種事件在一定期間出現(xiàn)的數(shù)目的概率。比如說在一定時(shí)間內(nèi)顧客的人數(shù)、打入總機(jī)的個(gè)數(shù)、放射性物質(zhì)放射出來(lái)并到達(dá)某區(qū)域的粒子數(shù)等等?！?.3.3Poisson分布在不同條件下，同樣事件在單位時(shí)間中出現(xiàn)同等數(shù)目的概率不盡一樣。比如中午和晚上某商店在10分鐘內(nèi)出現(xiàn)5個(gè)顧客的概率就不一定一樣。因此，Poisson分布也是一個(gè)分布族。族中不同成員的區(qū)別在于事件出現(xiàn)數(shù)目的均值l不一樣。§4.3.3Poisson分布參數(shù)為l的Poisson分布變量的概率分布為〔p(k)表示Poisson變量等于k的概率〕參數(shù)為3、6、10的Poisson分布〔只標(biāo)出了20之內(nèi)的部分〕

這里點(diǎn)間的連線沒有意義，僅僅為讀者容易識(shí)別而畫，由于Poisson變量?jī)H取非負(fù)整數(shù)值§4.3.4超幾何分布假定有一批500個(gè)產(chǎn)品，而其中有5個(gè)次品。假定該產(chǎn)品的質(zhì)量檢查采取隨機(jī)抽取20個(gè)產(chǎn)品進(jìn)展檢查。假設(shè)抽到的20個(gè)產(chǎn)品中含有2個(gè)或更多不合格產(chǎn)品，那么整個(gè)500個(gè)產(chǎn)品將會(huì)被退回。這時(shí)，人們想知道，該批產(chǎn)品被退回的概率是多少？這種概率就滿足超幾何分布〔hypergeometricdistribution〕?！?.3.4超幾何分布這是一種所謂的“不放回抽樣〞，也就是說，一次抽取假設(shè)干物品，每檢查一個(gè)之后并不放回；超幾何分布族的成員被三個(gè)參數(shù)決議，這里相應(yīng)于產(chǎn)品總個(gè)數(shù)n，其中不合格產(chǎn)品數(shù)目m，不放回抽樣的數(shù)目t；而樣本中有x個(gè)不合格產(chǎn)品的概率為§4.4延續(xù)變量的分布取延續(xù)值的變量，如高度、長(zhǎng)度、分量、時(shí)間、間隔等等；它們被稱為延續(xù)變量(continuousvariable)。換言之，一個(gè)隨機(jī)變量假設(shè)可以在一區(qū)間〔無(wú)論這個(gè)區(qū)間多么小〕內(nèi)取任何值，那么該變量稱為在此區(qū)間內(nèi)是延續(xù)的，其分布稱為延續(xù)型概率分布。它們的概率分布很難準(zhǔn)確地用離散變量概率的條形圖表示?！?.4延續(xù)變量的分布想象延續(xù)變量觀測(cè)值的直方圖；假設(shè)其縱坐標(biāo)為相對(duì)頻數(shù)，那么一切這些矩形條的高度和為1；完全可以重新設(shè)置量綱，使得這些矩形條的面積和為1。不斷添加觀測(cè)值及直方圖的矩形條的數(shù)目，直方圖就會(huì)越來(lái)越像一條光滑曲線，其下面的面積和為1。該曲線即所謂概率密度函數(shù)(probabilitydensityfunction，pdf)，簡(jiǎn)稱密度函數(shù)或密度。以下圖為這樣構(gòu)成的密度曲線。逐漸添加矩形條數(shù)目的直方圖和一個(gè)外形類似的密度曲線。§4.4延續(xù)變量的分布延續(xù)變量落入某個(gè)區(qū)間的概率就是概率密度函數(shù)的曲線在這個(gè)區(qū)間上所覆蓋的面積；因此，實(shí)際上，這個(gè)概率就是密度函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上的積分。對(duì)于延續(xù)變量，取某個(gè)特定值的概率都是零，而只需變量取值于某個(gè)〔或假設(shè)干個(gè)〕區(qū)間的概率才能夠大于0。延續(xù)變量密度函數(shù)曲線〔這里用f表示〕下面覆蓋的總面積為1，即§4.4.1正態(tài)分布在北京市場(chǎng)上的精制鹽很多是一公斤袋裝，上面標(biāo)有“凈含量1kg〞的字樣。但當(dāng)他用略微準(zhǔn)確一些的天平稱那些袋裝鹽的分量時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)有些能夠會(huì)重些，有些能夠會(huì)輕些；但都是在1kg左右。多數(shù)離1kg不遠(yuǎn)，離1kg越近就越能夠出現(xiàn)，離1kg越遠(yuǎn)就越不能夠。普通以為這種分量分布近似地服從最常用的正態(tài)分布(normaldistribution，又叫高斯分布，Gaussiandistribution)?！?.4.1正態(tài)分布近似地服從正態(tài)分布的變量很常見，象丈量誤差、商品的分量或尺寸、某年齡人群的身高和體重等等。在一定條件下，許多不是正態(tài)分布的樣本均值在樣本量很大時(shí)，也可用正態(tài)分布來(lái)近似。§4.4.1正態(tài)分布正態(tài)分布的密度曲線是一個(gè)對(duì)稱的鐘型曲線〔最高點(diǎn)在均值處〕。正態(tài)分布也是一族分布，各種正態(tài)分布根據(jù)它們的均值和規(guī)范差不同而有區(qū)別。一個(gè)正態(tài)分布用N(m,s)表示；其中m為均值，而s為規(guī)范差。也常用N(m,s2)來(lái)表示，這里s2為方差〔規(guī)范差的平方〕?！?.4.1正態(tài)分布規(guī)范差為1的正態(tài)分布N(0,1)稱為規(guī)范正態(tài)分布(standardnormaldistribution)。規(guī)范正態(tài)分布的密度函數(shù)用f(x)表示。任何具有正態(tài)分布N(m,s)的隨機(jī)變量X都可以用簡(jiǎn)單的變換〔減去其均值m，再除以規(guī)范差s〕：Z=(X-m)/s，而成為規(guī)范正態(tài)隨機(jī)變量。這種變換和規(guī)范得分的意義類似。兩條正態(tài)分布的密度曲線。左邊是N(-2,0.5)分布，右邊是N(0,1)分布§4.4.1正態(tài)分布當(dāng)然，和一切延續(xù)變量一樣，正態(tài)變量落在某個(gè)區(qū)間的概率就等于在這個(gè)區(qū)間上，密度曲線下面的面積。比如，規(guī)范正態(tài)分布變量落在區(qū)間(0.51,1.57)中的概率，就是在規(guī)范正態(tài)密度曲線下面在0.51和1.57之間的面積。很容易得到這個(gè)面積等于0.24682；也就是說，規(guī)范正態(tài)變量在區(qū)間(0.51,1.57)中的概率等于0.24682。假設(shè)密度函數(shù)為f(x)，那么這個(gè)面積為積分規(guī)范正態(tài)變量在區(qū)間(0.51,1.57)中的概率§4.4.1正態(tài)分布我們有必要引進(jìn)總體的下側(cè)分位數(shù)、上側(cè)分位數(shù)以及相應(yīng)的尾概率的概念。對(duì)于延續(xù)型隨機(jī)變量X，a下側(cè)分位數(shù)〔又稱為a分位數(shù)，a-quantile〕定義為數(shù)xa，它滿足關(guān)系這里的a又稱為下〔左〕側(cè)尾概率〔lower/lefttailprobability〕§4.4.1正態(tài)分布而a上側(cè)分位數(shù)〔又稱a上分位數(shù)，a-upperquantile〕定義為數(shù)xa，它滿足關(guān)系這里的a也稱為上〔右〕側(cè)尾概率〔upper/righttailprobability〕?！?.4.1正態(tài)分布對(duì)于非延續(xù)型的分布，分位數(shù)的定義略微復(fù)雜一些；顯然，對(duì)于延續(xù)分布，a上側(cè)分位數(shù)等于(1－a)下側(cè)分位數(shù)，而(1－a)下側(cè)分位數(shù)等于a上側(cè)分位數(shù)?！?.4.1正態(tài)分布通常用za表示規(guī)范正態(tài)分布的a上側(cè)分位數(shù)，即對(duì)于規(guī)范正態(tài)分布變量Z，有P(Z>za)=a。圖4.6表示了0.05上側(cè)分位數(shù)za=z0.05及相應(yīng)的尾概率〔a=0.05〕。有些書用符號(hào)z1－a而不是za；因此在看參考文獻(xiàn)時(shí)要留意符號(hào)的定義。N(0,1)分布右側(cè)尾概率P(z>za)=a的表示圖§4.4.2c2-分布一個(gè)由正態(tài)變量導(dǎo)出的分布是c2-分布(chi-squaredistribution，也翻譯為卡方分布)。該分布在一些檢驗(yàn)中會(huì)用到。n個(gè)獨(dú)立正態(tài)變量平方和稱為有n個(gè)自在度的c2-分布,記為c2(n)。c2-分布為一族分布,成員由自在度區(qū)分。由于c2-分布變量為正態(tài)變量的平方和，它不會(huì)取負(fù)值。自在度為2、3、5的c2-分布密度曲線圖§4.4.3t-分布正態(tài)變量的樣本均值也是正態(tài)變量，能利用減去其均值再除以其(總體)規(guī)范差來(lái)得到規(guī)范正態(tài)變量。但用樣本規(guī)范差來(lái)替代未知的總體規(guī)范差時(shí)，得到的結(jié)果分布就不再是規(guī)范正態(tài)分布了。它的密度曲線看上去有些象規(guī)范正態(tài)分布，但是中間瘦一些，而且尾巴長(zhǎng)一些。這種分布稱為t-分布(t-distribution，或?qū)W生分布，Student’st)?！?.4.3t-分布不同的樣本量經(jīng)過規(guī)范化所產(chǎn)生的t分布也不同,這樣就構(gòu)成一族分布。t分布族中的成員是以自在度來(lái)區(qū)分的。這里的自在度等于樣本量減去1〔假設(shè)樣本量為n，剛剛定義的t分布的自在度為n-1〕。由于產(chǎn)生t分布的方式很多，簡(jiǎn)單說自在度就是樣本量減1是不準(zhǔn)確的。自在度甚至不一定是整數(shù)。規(guī)范正態(tài)分布和t(1)分布的密度圖§4.4.3t-分布通常用ta表示t分布相應(yīng)于右側(cè)尾概率a的t變量的a上側(cè)分位數(shù)，即對(duì)于t分布變量T，有P(T>ta)=a。在突出自在度時(shí)，也用tn，a，也有用t1－a或tn，1－a表示的。圖4.9表示了自在度為2的t(2)分布右邊的尾概率〔a=0.05〕。t(2)分布右側(cè)尾概率P(t>ta)=a的表示圖§4.4.4F-分布F-分布變量為兩個(gè)c2-分布變量〔在除以它們各自自在度之后〕的比；而兩個(gè)c2-分布的自在度那么為F-分布的自在度，因此，F(xiàn)-分布有兩個(gè)自在度；第一個(gè)自在度等于在分子上的c2-分布的自在度，第二個(gè)自在度等于在分母的c2-分布的自在度。自在度為〔3，20〕和〔50，20〕的F-分布密度曲線圖§4.5累積分布函數(shù)在前面離散分布的情況可以用p(x)表示該變量取值