2024屆廣東省三校數(shù)學(xué)高二下期末考試試題含解析

2024屆廣東省三校數(shù)學(xué)高二下期末考試試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．計算的值是（）A．72 B．102 C．5070 D．51002．已知、分別為雙曲線的左、右焦點，以原點為圓心，半焦距為半徑的圓交雙曲線右支于、兩點，且為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．3．口袋中放有大小相等的2個紅球和1個白球，有放回地每次摸取一個球，定義數(shù)列，如果為數(shù)列前n項和，則的概率等于（）A． B．C． D．4．設(shè)是兩個不重合的平面，是兩條不重合的直線，則以下結(jié)論錯誤的是（）A．若，，則B．若，則C．若，則D．若，則5．設(shè)集合，則下列結(jié)論正確的是()A． B． C． D．6．定義在上的偶函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞增，設(shè)，，，則，，大小關(guān)系是（）A． B．C． D．7．已知雙曲線的離心率為,過其右焦點作斜率為的直線，交雙曲線的兩條漸近線于兩點（點在軸上方），則（）A． B． C． D．8．已知甲、乙兩車由同一起點同時出發(fā)，并沿同一路線（假定為直線）行駛,甲車、乙車的速度曲線分別為和（如圖所示）,那么對于圖中給定的和，下列判斷中一定正確的是（）A．在時刻，兩車的位置相同B．時刻后，甲車在乙車后面C．在時刻，兩車的位置相同D．在時刻，甲車在乙車前面9．已知，，，則的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)，若集合中含有4個元素，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．11．從裝有5個紅球和3個白球的口袋內(nèi)任取3個球，那么互斥而不對立的事件是（）A．至少有一個紅球與都是紅球B．至少有一個紅球與都是白球C．恰有一個紅球與恰有二個紅球D．至少有一個紅球與至少有一個白球12．若不等式對任意的恒成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．交通部門對某路段公路上行駛的汽車速度實施監(jiān)控，從速度在的汽車中抽取300輛進(jìn)行分析，得到數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示，則速度在以下的汽車有_____輛.14．若與的夾角為，，，則________.15．正方體的邊長為，P是正方體表面上任意一點，集合，滿足的點P在正方體表面覆蓋的面積為_________；16．觀察下列各式：，，，，由此可猜想，若，則__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).（1）若，求的最小值；（2）若，證明：.18．（12分）已知函數(shù)，（其中，且），（1）若，求實數(shù)的值；（2）能否從（1）的結(jié)論中獲得啟示，猜想出一個一般性的結(jié)論并證明你的猜想．19．（12分）一個多面體的三視圖如圖：主視圖和左視圖均為一個正方形上加一個等腰直角三角形，正方形的邊長為，俯視圖中正方形的邊長也為.主視圖和左視圖俯視圖（1）畫出實物的大致直觀圖形；（2）求此物體的表面積；（3）若，一個螞蟻從該物體的最上面的頂點開始爬，要爬到此物體下底面四個項點中的任意一個頂點，最短距離是多少?（精確到個單位）20．（12分）某高科技公司研究開發(fā)了一種新產(chǎn)品，生產(chǎn)這種新產(chǎn)品的每天固定成本為元，每生產(chǎn)件，需另投入成本為元，每件產(chǎn)品售價為元（該新產(chǎn)品在市場上供不應(yīng)求可全部賣完）．（1）寫出每天利潤關(guān)于每天產(chǎn)量的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)每天產(chǎn)量為多少件時，該公司在這一新產(chǎn)品的生產(chǎn)中每天所獲利潤最大．21．（12分）已知的展開式前三項中的系數(shù)成等差數(shù)列．（1）求的值和展開式系數(shù)的和；（2）求展開式中所有的有理項．22．（10分）現(xiàn)有10道題，其中6道甲類題，4道乙類題，張同學(xué)從中任取3道題解答.（=1\*ROMANI）求張同學(xué)至少取到1道乙類題的概率；（=2\*ROMANII）已知所取的3道題中有2道甲類題，1道乙類題.設(shè)張同學(xué)答對甲類題的概率都是，答對每道乙類題的概率都是，且各題答對與否相互獨立.用表示張同學(xué)答對題的個數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

根據(jù)組合數(shù)和排列數(shù)計算公式，計算出表達(dá)式的值.【題目詳解】依題意，原式，故選B.【題目點撥】本小題主要考查組合數(shù)和排列數(shù)的計算，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解題分析】分析：利用雙曲線的對稱性以及圓的對稱性，求出A的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，然后求解雙曲線的離心率即可.詳解：、分別為雙曲線的左、右焦點，以原點為圓心，半焦距為半徑的圓交雙曲線右支于、兩點，且為等邊三角形，則，代入雙曲線方程可得：，即：，可得，即，可得，.故選：A.點睛：本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力.3、B【解題分析】分析：由題意可得模球的次數(shù)為7次，只有兩次摸到紅球，由于每次摸球的結(jié)果數(shù)之間沒有影響，利用獨立性事件的概率乘法公式求解即可．詳解：由題意說明摸球七次，只有兩次摸到紅球，因為每次摸球的結(jié)果數(shù)之間沒有影響，摸到紅球的概率是，摸到白球的概率是所以只有兩次摸到紅球的概率是，故選B．點睛：本題主要考查了獨立事件的概率乘法公式的應(yīng)用，其中解答中通過確定摸球次數(shù)，且只有兩次摸到紅球是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力．4、C【解題分析】試題分析：選項A可由面面平行的性質(zhì)可以得到；B選項，可由線面平行的性質(zhì)定理和判定定理，通過論證即可得到；C選項，，缺少條件和相交，故不能證明面面平行，C錯誤；D選項，，過作平面，，由線面平行的性質(zhì)可得，，，.D正確.考點：直線與直線，直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系.5、B【解題分析】分析：先根據(jù)解分式不等式得集合N，再根據(jù)數(shù)軸判斷集合M,N之間包含關(guān)系，以及根據(jù)交集定義求交集.詳解：因為，所以,因此，，選B.點睛：集合的基本運算的關(guān)注點(1)看元素組成．集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運算問題的前提．(2)有些集合是可以化簡的，先化簡再研究其關(guān)系并進(jìn)行運算，可使問題簡單明了，易于解決．(3)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標(biāo)系和Venn圖．6、C【解題分析】

試題分析：可知函數(shù)周期為，所以在上單調(diào)遞增，則在單調(diào)遞減，故有.選C考點：函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性．【題目詳解】請在此輸入詳解！7、B【解題分析】

由雙曲線的離心率可得a＝b，求得雙曲線的漸近線方程，設(shè)右焦點為（c，0），過其右焦點F作斜率為2的直線方程為y＝2（x﹣c），聯(lián)立漸近線方程，求得B，C的坐標(biāo)，再由向量共線定理，可得所求比值．【題目詳解】由雙曲線的離心率為，可得ca，即有a＝b，雙曲線的漸近線方程為y＝±x，設(shè)右焦點為（c，0），過其右焦點F作斜率為2的直線方程為y＝2（x﹣c），由y＝x和y＝2（x﹣c），可得B（2c，2c），由y＝﹣x和y＝2（x﹣c）可得C（，），設(shè)λ，即有0﹣2c＝λ（0），解得λ＝1，即則1．故選：B．【題目點撥】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是離心率和漸近線方程，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．8、D【解題分析】

根據(jù)圖象可知在前，甲車的速度高于乙車的速度；根據(jù)路程與速度和時間的關(guān)系可得到甲車的路程多于乙車的路程，從而可知甲車在乙車前面.【題目詳解】由圖象可知，在時刻前，甲車的速度高于乙車的速度由路程可知，甲車走的路程多于乙車走的路程在時刻，甲車在乙車前面本題正確選項：【題目點撥】本題考查函數(shù)圖象的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確選取臨界狀態(tài)，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解題分析】，故答案選10、D【解題分析】

先求出，解方程得直線與曲線在上從左到右的五個交點的橫坐標(biāo)分別為，再解不等式得解.【題目詳解】.由題意，在上有四個不同的實根.令，得或，即或.直線與曲線在上從左到右的五個交點的橫坐標(biāo)分別為.據(jù)題意是，解得.故選D.【題目點撥】本題主要考查三角恒等變換，考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力，屬于中檔題.11、C【解題分析】

從裝有5個紅球和3個白球的口袋內(nèi)任取3個球，不同的取球情況共有以下幾種：3個球全是紅球；2個紅球和1個白球；1個紅球2個白球；3個全是白球.選項A中，事件“都是紅球”是事件“至少有一個紅球”的子事件；選項B中，事件“至少有一個紅球”與事件“都是白球”是對立事件；選項D中，事件“至少有一個紅球”與事件“至少有一個白球”的事件為“2個紅球1個白球”與“1個紅球2個白球”；選項C中，事件“恰有一個紅球”與事件“恰有2個紅球”互斥不對立，故選C.12、B【解題分析】

不等式可整理為，然后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y在（﹣∞，1）上的最小值即可，利用單調(diào)性可求最值．【題目詳解】不等式，即不等式lglg3x﹣1，∴，整理可得，∵y在（﹣∞，1）上單調(diào)遞減，∴∈（﹣∞，1），y1，∴要使原不等式恒成立，只需≤1，即的取值范圍是（﹣∞，1]．故選：B.【題目點撥】本題考查不等式恒成立問題、函數(shù)單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生靈活運用知識解決問題的能力．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、150【解題分析】

先計算出速度在以下的頻率，然后再計算出車輛的數(shù)量【題目詳解】因為速度在以下的頻率為，所以速度在以下的汽車有.【題目點撥】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用求解實際問題，先計算出頻率，然后再計算出結(jié)果，較為簡單14、【解題分析】

，由此求出結(jié)果.【題目詳解】解：與的夾角為，，，.故答案為：.【題目點撥】本題考查向量的模的求法，考查向量的數(shù)量積公式，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

分別在六個側(cè)面上找到滿足到點的距離小于等于的點的集合，可大致分為兩類；從而確定滿足集合的點構(gòu)成的圖形，通過計算圖形面積加和得到結(jié)果.【題目詳解】在正方形、、上，滿足集合的點構(gòu)成下圖的陰影部分：在側(cè)面、、覆蓋的面積：在正方形、、上，滿足集合的點構(gòu)成下圖的陰影部分：在側(cè)面、、覆蓋的面積：滿足的點在正方體表面覆蓋的面積為：本題正確結(jié)果：【題目點撥】本題考查立體幾何中的距離類問題的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠通過給定集合的含義，確定在正方體側(cè)面上滿足題意的點所構(gòu)成的圖形，對于學(xué)生的空間想象能力有一定要求.16、.【解題分析】分析：觀察下列式子，右邊分母組成以為首項，為公差的對稱數(shù)列，分子組成以為首項，以為公差的等差數(shù)列，即可得到答案.詳解：由題意，，，，可得，所以.點睛：本題主要考查了歸納推理的應(yīng)用，其中歸納推理的步驟是：（1）通過觀察給定的式子，發(fā)現(xiàn)其運算的相同性或運算規(guī)律，（2）從已知的相同性或運算規(guī)律中推出一個明企鵝的一般性的題，著重考查了考生的推理與論證能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析.【解題分析】分析：（1）先利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再求的最小值.(2)先求的最小值為,再證明＞0.詳解：（1）若，,所以,設(shè)，則所以在上為增函數(shù)，又，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.所以的最小值為.（2）由題意知當(dāng)時，顯然成立.當(dāng)時，由（1）知在上為增函數(shù)，因為,所以存在唯一的使得，即,所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.所以的最小值為,,,當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.代入得，矛盾，所以等號不能成立.所以，所以.點睛：（1）本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理轉(zhuǎn)化能力.(2)解答本題有兩個難點，其一是求得的最小值為,其二是證明＞0，用到了基本不等式，同時要注意取等的問題.18、（1）（2）猜想：；證明見解析【解題分析】

（1）分別代入并化簡，可得，即可求出答案；（2）猜想：；分別代入表達(dá)式，化簡并整理即可證明.【題目詳解】解：（1）.因為函數(shù)與具有相同的單調(diào)性，且都是單調(diào)函數(shù)，所以是單調(diào)函數(shù)..（2）由，猜想：.證明:.所以.【題目點撥】本題考查了歸納推理，考查了學(xué)生的推理能力，屬于中檔題.19、（1）見解析；（2）；（2）【解題分析】

（1）根據(jù)三視圖可知幾何體的下部分是正方體，上部分是正四棱錐，畫出幾何體；（2）根據(jù)（1）所畫的幾何體，幾何體的表面積包含5個正方形和4個三角形的面積；（3）根據(jù)數(shù)形結(jié)合，先畫出展開圖的平面圖形，最短距離就是，根據(jù)余弦定理求邊長.【題目詳解】（1）（2）正視圖中等腰三角形的直角邊是幾何體正四棱錐的斜高，，（3）一個三角形和下面的正方形的的展開圖，如圖所示，當(dāng)時，，，設(shè)，,而，,根據(jù)數(shù)形結(jié)合可知最短距離就是,,【題目點撥】本題考查根據(jù)三視圖求幾何體的直觀圖，以及計算表面積，意在考查空間想象能力和計算求解能力，本題第二問需注意三視圖中等腰三角形的腰是正四棱錐的斜高，等腰三角形斜邊上的高是錐體的高，求解表面積時需注意這點.20、（1）；（2）每天產(chǎn)量為件時，該公司在這一新產(chǎn)品的生產(chǎn)中每天所獲利潤最大為.【解題分析】

（1）根據(jù)（利潤）（總售價）（總成本），將利潤寫成分段函數(shù)的形式；（2）計算利潤的分段函數(shù)的每一段的最值，然后再進(jìn)行比較求得利潤最大值.【題目詳解】（1）因為每件產(chǎn)品售價為元，所以件產(chǎn)品售價為元；當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以：；（2）當(dāng)時，，當(dāng)時有最大值；當(dāng)時，，取等號時，即時，有最大值；且，所以當(dāng)每天產(chǎn)量為件時，該公司在這一新產(chǎn)品的生產(chǎn)中每天所獲利潤最大.【題目點撥】本題考查函數(shù)的實際應(yīng)用，難度一般.求解分段函數(shù)的最值時，必須要考慮到每一段函數(shù)的最值，然后再