2024屆吉安市重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測(cè)試試題含解析

2024屆吉安市重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測(cè)試試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．當(dāng)取三個(gè)不同值時(shí)，正態(tài)曲線的圖象如圖所示，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A． B．C． D．2．已知是虛數(shù)單位，則（）A． B． C． D．3．從裝有形狀大小相同的3個(gè)黑球和2個(gè)白球的盒子中依次不放回地任意抽取3次，若第二次抽得黑球，則第三次抽得白球的概率等于（）A． B． C． D．4．已知，，均為正實(shí)數(shù)，則，，的值（）A．都大于1 B．都小于1C．至多有一個(gè)不小于1 D．至少有一個(gè)不小于15．2019年，河北等8省公布了高考改革綜合方案將采取“3+1+2”模式，即語文、數(shù)學(xué)、英語必考，然后考生先在物理、歷史中選擇1門，再在思想政治、地理、化學(xué)、生物中選擇2門.一名同學(xué)隨機(jī)選擇3門功課，則該同學(xué)選到物理、地理兩門功課的概率為（）A． B． C． D．6．若3x+xn展開式二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，則展開式中含xA．40 B．30 C．20 D．157．在三棱錐中，平面平面ABC，平面PAB，，，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)與分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，則的值為（）A． B． C． D．9．曲線在點(diǎn)處的切線斜率為（）A． B． C． D．10．已知滿足，其中，則的最小值為（）A． B． C． D．111．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．1 B．3 C．4 D．612．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“（，）”的過程中，由推導(dǎo)時(shí)，不等式的左邊增加的式子是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量與的夾角為120°，且，，則__________．14．設(shè)函數(shù)，若，則的取值范圍是_____.15．已知拋物線的焦點(diǎn)為，平行軸的直線與圓交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的上方），與交于點(diǎn)，則周長(zhǎng)的取值范圍是____________16．盒子里有完全相同的6個(gè)球，每次至少取出1個(gè)球(取出不放回)，取完為止，則共有_______種不同的取法（用數(shù)字作答）．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，內(nèi)角對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是，已知，．（Ⅰ）若的面積等于，求；（Ⅱ）若，求的面積．18．（12分）已知正四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，高為，為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）用適當(dāng)方法證明：已知：，，求證：．20．（12分）已知函數(shù)（x≠0，常數(shù)a∈R）．（1）判斷f（x）的奇偶性，并說明理由；（2）若f（1）＝2，試判斷f（x）在[2，＋∞）上的單調(diào)性21．（12分）設(shè)，（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))．（1）記①討論函數(shù)單調(diào)性；②證明當(dāng)時(shí)，恒成立.（2）令設(shè)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求參數(shù)的取值范圍.22．（10分）已知關(guān)于x的不等式（其中）．（1）當(dāng)a=4時(shí)，求不等式的解集；（2）若不等式有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】分析：由題意結(jié)合正態(tài)分布圖象的性質(zhì)可知，越小，曲線越“瘦高”，據(jù)此即可確定的大小.詳解：由正態(tài)曲線的性質(zhì)知，當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由確定，越小，曲線越“瘦高”，所以.本題選擇A選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查正態(tài)分布圖象的性質(zhì)，系數(shù)對(duì)正態(tài)分布圖象的影響等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.2、B【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則，直接計(jì)算，即可得出結(jié)果.【題目詳解】.故選B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的乘法，熟記運(yùn)算法則即可，屬于基礎(chǔ)題型.3、D【解題分析】分析：這是一個(gè)條件概率，可用古典概型概率公式計(jì)算，即從5個(gè)球中取三個(gè)排列，總體事件是第二次是黑球，可在第二次是黑球的條件下抽排第一次和第三次球.詳解：.點(diǎn)睛：此題是一個(gè)條件概率，條件是第二次抽取的是黑球，不能誤以為是求第二次抽到黑球，第三次抽到白球的概率，如果那樣求得錯(cuò)誤結(jié)論為.4、D【解題分析】分析:對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)逐一判斷得解.詳解：對(duì)于選項(xiàng)A,如果a=1,b=2,則，所以選項(xiàng)A是錯(cuò)誤的.對(duì)于選項(xiàng)B,如果a=2,b=1,則，所以選項(xiàng)B是錯(cuò)誤的.對(duì)于選項(xiàng)C,如果a=4,b=2,c=1,則，所以選項(xiàng)C是錯(cuò)誤的.對(duì)于選項(xiàng)D,假設(shè)，則，顯然二者矛盾，所以假設(shè)不成立，所以選項(xiàng)D是正確的.故答案為：D.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查反證法，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平.(2)三個(gè)數(shù)至少有一個(gè)不小于1的否定是5、B【解題分析】

先計(jì)算出基本事件的總數(shù)，然后再求出該同學(xué)選到物理、地理兩門功課的基本事件的個(gè)數(shù)，應(yīng)用古典概型公式求出概率.【題目詳解】解:由題意可知總共情況為，滿足情況為，該同學(xué)選到物理、地理兩門功課的概率為.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了古典概型公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.6、D【解題分析】

先根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求得n＝5，可得二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，再令x的冪指數(shù)等于3，求得r的值，即可求得結(jié)果．【題目詳解】由3x+xn展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n＝32，求得可得3x+x5展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=C5r?3x5-r?xr令5-r2＝3，求得r＝4，則展開式中含x3故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．7、B【解題分析】

如圖，由題意知，，的中點(diǎn)是球心在平面內(nèi)的射影，設(shè)點(diǎn)間距離為，球心在平面中的射影在線段的高上，則有，可得球的半徑，即可求出三棱錐的外接球的表面積.【題目詳解】由題意知，，的中點(diǎn)是球心在平面中的射影，設(shè)點(diǎn)間距離為，球心在平面中的射影在線段的高上，，，，又平面平面ABC，，則平面，，到平面的距離為3，，解得：，所以三棱錐的外接球的半徑，故可得外接球的表面積為.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了棱錐的外接球的表面積的求解，考查了學(xué)生直觀想象和運(yùn)算求解能力，確定三棱錐的外接球的半徑是關(guān)鍵.8、C【解題分析】

根據(jù)條件可得，與聯(lián)立便可解出和，從而得到的值?！绢}目詳解】①；；又函數(shù)與分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)；，；②；聯(lián)立①②，解得所以；故答案選C【題目點(diǎn)撥】本題考查奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是通過建立關(guān)于與的方程組求出和的解析式，屬于中檔題。9、C【解題分析】分析：先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，就可求出切線的斜率．詳解：∴函數(shù)圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為1．

故選：C．點(diǎn)睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．10、C【解題分析】

令，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，確定，進(jìn)而得到結(jié)果.【題目詳解】令，則.，由得：；由得：，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即的最小值為.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)最值的求解問題，關(guān)鍵是能夠利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定最值點(diǎn).11、C【解題分析】

令,可得,解方程,結(jié)合函數(shù)的圖象,可求出答案.【題目詳解】令,則,令,若,解得或,符合;若,解得,符合.作出函數(shù)的圖象,如下圖,時(shí),;時(shí),;時(shí),.結(jié)合圖象,若,有3個(gè)解;若,無解;若,有1個(gè)解.所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè).故選:C.【題目點(diǎn)撥】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì),考查了函數(shù)的零點(diǎn),考查了學(xué)生的推理能力,屬于中檔題.12、D【解題分析】

把用替換后兩者比較可知增加的式子．【題目詳解】當(dāng)時(shí)，左邊，當(dāng)時(shí)，左邊，所以由推導(dǎo)時(shí)，不等式的左邊增加的式子是，故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)學(xué)歸納法，掌握數(shù)學(xué)歸納法的概念是解題基礎(chǔ)．從到時(shí)，式子的變化是數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、7【解題分析】由題意得，則714、【解題分析】分析：，即，再分類討論求得的范圍，綜合可得結(jié)論．詳解：函數(shù)函數(shù)，

由，可得，其中，

下面對(duì)進(jìn)行分類討論，

①時(shí)，，可以解得

②時(shí)，，可以解得綜上，即答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．15、【解題分析】

過點(diǎn)作垂直與拋物線的準(zhǔn)線，垂足為點(diǎn)，由拋物線的定義得，從而得出的周長(zhǎng)為，考查直線與圓相切和過圓心，得出、、不共線時(shí)的范圍，進(jìn)而得出周長(zhǎng)的取值范圍?！绢}目詳解】如下圖所示：拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，由拋物線的定義得，圓的圓心為點(diǎn)，半徑長(zhǎng)為，則的周長(zhǎng)，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，則點(diǎn)、重合，此時(shí)，；當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)、、三點(diǎn)共線，則。由于、、不能共線，則，所以，，即，因此，的周長(zhǎng)的取值范圍是，故答案為：?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查拋物線的定義，考查三角形周長(zhǎng)的取值范圍，在處理直線與拋物線的綜合問題時(shí)，若問題中出現(xiàn)焦點(diǎn)，一般要將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離利用定義轉(zhuǎn)化，利用共線求最值，有時(shí)也要注意利用臨界位置得出取值范圍，考查邏輯推理能力與運(yùn)算求解能力，屬于難題。16、32【解題分析】分析：根據(jù)題意，按6個(gè)球取出的數(shù)目分6種情況討論，分析求出每一種情況的取法數(shù)目，由加法原理計(jì)算可得答案.詳解：由題意，一次可以取球的個(gè)數(shù)為1，2，3，4，5，6個(gè)，則若一次取完可由1個(gè)6組成，有1種；二次取完可由1與5，2與4，3與3組成共5種；三次取完由1，1，4或1，2，3或2，2，2組成共10種；四次取完有1，1，1，3或1，1，2，2組成共10種；五次取完，由1，1，1，1，2個(gè)組成共5種；六次取完由6個(gè)1組成共有1種，綜上得，共有32種，故答案為32.點(diǎn)睛：此題主要考查數(shù)學(xué)中計(jì)數(shù)原理在實(shí)際問題中的應(yīng)用，屬于中檔題型，也是?？伎键c(diǎn).計(jì)數(shù)原理是數(shù)學(xué)中的重要研究對(duì)象之一，分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理是解計(jì)數(shù)問題最基本、最重要的方法，也稱為基本計(jì)數(shù)原理，它們?yōu)榻鉀Q很多實(shí)際問題提供了思想和工具.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ），．（Ⅱ）的面積．【解題分析】試題分析：（1）由余弦定理及已知條件得，a2＋b2－ab＝4，…………2分又因?yàn)椤鰽BC的面積等于，所以absinC＝，得ab＝4.…………4分聯(lián)立方程組解得a＝2，b＝2.…………5分（2）由題意得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，即sinBcosA＝2sinAcosA，…………7分當(dāng)cosA＝0時(shí)，A＝，B＝，a＝，b＝，…………8分當(dāng)cosA≠0時(shí)，得sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a，聯(lián)立方程組解得a＝，b＝.…………10分所以△ABC的面積S＝absinC＝.…………11分考點(diǎn)：本題主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，三角形內(nèi)角和定理，兩角和差的三角函數(shù)．點(diǎn)評(píng)：典型題，本題在考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，三角形內(nèi)角和定理，兩角和差的三角函數(shù)的同時(shí)，考查了函數(shù)方程思想，在兩道小題中，均通過建立方程組，以便求的a,b,c等．18、（1）見證明；（2）【解題分析】

（1）要證明平面，利用中位線可先證明即可；（2）找出直線與平面所成角為，利用正弦定理即可得到所成角的正弦值.【題目詳解】解：（1）證明：在四棱錐中，連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)樵谥?，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以為的中位線，得，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．?）設(shè)，由題意得，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，故平面．所以直線在平面內(nèi)的射影為直線，為直線與平面所成的角，又因?yàn)?，所以．由條件可得，，，，所以．在中，，，所以所以，故直線與平面所成角的正弦值為．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查線面平行的判定，線面所成角的相關(guān)計(jì)算，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，分析能力及計(jì)算能力，難度中等.19、見解析【解題分析】分析：直接利用作差法比較和的大小得解.詳解：.所以.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查不等式的證明，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平.(2)不等式的證明常用的有比較法、綜合法、分析法、放縮法、反證法等，本題運(yùn)用的是比較法，也可以利用綜合法.20、（1）見解析；（1）見解析【解題分析】試題分析：（1）利用函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷，要對(duì)進(jìn)行分類討論；（1）由，確定的值，然后用單調(diào)性的定義進(jìn)行判斷和證明即可.試題解析：（1）當(dāng)a＝0時(shí)，f（x）＝x1，f（－x）＝f（x），函數(shù)是偶函數(shù)．當(dāng)a≠0時(shí)，f（x）＝x1＋（x≠0，常數(shù)a∈R），取x＝±1，得f（－1）＋f（1）＝1≠0；f（－1）－f（1）＝－1a≠0，即f（－1）≠－f（1），f（－1）≠f（1）．故函數(shù)f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．（1）若f（1）＝1，即1＋a＝1，解得a＝1，這時(shí)f（x）＝x1＋．任取x1，x1∈[1，＋∞），且x1<x1，則f（x1）－f（x1）＝＝（x1＋x1）（x1－x1）＋（注：若用導(dǎo)數(shù)論證，同樣給分）＝（x1－x1）．由于x1≥1，x1≥1，且x1<