2024屆湖南省邵陽市高二數(shù)學第二學期期末達標檢測試題含解析

2024屆湖南省邵陽市高二數(shù)學第二學期期末達標檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若是關于x的實系數(shù)方程的一個虛數(shù)根，則（）A．， B．， C．， D．，2．在長為的線段上任取一點現(xiàn)作一矩形,領邊長分別等于線段的長,則該矩形面積小于的概率為（）A． B． C． D．3．若不等式對任意的恒成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)的零點為，函數(shù)的零點為，則下列不等式中成立的是（）A． B．C． D．5．已知數(shù)列的前n項和為，滿足，，若，則m的最小值為（）A．6 B．7 C．8 D．96．已知函數(shù)，若對于區(qū)間上的任意，都有，則實數(shù)的最小值是()A．20 B．18C．3 D．07．已知函數(shù)，則（）A．函數(shù)的最大值為，其圖象關于對稱B．函數(shù)的最大值為2，其圖象關于對稱C．函數(shù)的最大值為，其圖象關于直線對稱D．函數(shù)的最大值為2，其圖象關于直線對稱8．已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1，0，1，2，3}，則M∩N＝（）A．{0，1，2} B．{－1，0，1，2} C．{－1，0，2，3} D．{0，1，2，3}9．已知，則不等式的解集為（）A． B． C． D．10．的展開式中的常數(shù)項為（）A． B． C． D．11．若集合，，則有（）A． B． C． D．12．從某高中隨機選取5名高三男生，其身高和體重的數(shù)據(jù)如下表所示：根據(jù)上表可得回歸直線方程y=0.56x+a，據(jù)此模型預報身高為A．70.09kg B．70.12kg C．70.55二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知復數(shù)，則復數(shù)的實部和虛部之和為______.14．把一個大金屬球表面涂漆，共需公斤油漆，若把這個大金屬球融化成個大小都相同的小金屬球，不計損耗，把這些小金屬球表面都涂漆，需要這種油漆_______公斤.15．某校畢業(yè)典禮由6個節(jié)目組成，考慮整體效果，對節(jié)目演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前三位，且節(jié)目丙、丁必須排在一起，則該校畢業(yè)典禮節(jié)目演出順序的編排方案共有______種.16．已知集合，則實數(shù)的取值范圍是_________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知集合U＝R，集合A＝{x|（x－2）（x－3）<0}，函數(shù)y＝lg的定義域為集合B．（1）若a＝，求集合A∩（?UB）；（2）命題p：x∈A，命題q：x∈B，若q是p的必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．18．（12分）已知函數(shù)對任意實數(shù)都有，且.（I）求的值，并猜想的表達式；（II）用數(shù)學歸納法證明（I）中的猜想.19．（12分）在平面直角坐標系中，以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線，極坐標方程分別為，．（Ⅰ）和交點的極坐標；（Ⅱ）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），與軸的交點為，且與交于，兩點，求.20．（12分）已知函數(shù).（1）求曲線在處的切線方程；（2）若方程恰有兩個實數(shù)根，求a的值.21．（12分）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).（1）若，求的最小值；（2）若，證明：.22．（10分）已知數(shù)列滿足．（1）求；（2）求數(shù)列的前n項和；（3）已知是公比q大于1的等比數(shù)列，且，，設，若是遞減數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

利用實系數(shù)一元二次的虛根成對原理、根與系數(shù)的關系即可得出．【題目詳解】解：∵1i是關于x的實系數(shù)方程x2+bx+c＝0的一個復數(shù)根，∴1i是關于x的實系數(shù)方程x2+bx+c＝0的一個復數(shù)根，∴，解得b＝﹣2，c＝1．故選：D．【題目點撥】本題考查了實系數(shù)一元二次的虛根成對原理、根與系數(shù)的關系，屬于基礎題．2、C【解題分析】試題分析：設AC=x，則0＜x＜12，若矩形面積為小于32，則x＞8或x＜4，從而利用幾何概型概率計算公式，所求概率為長度之比解：設AC=x，則BC=12-x，0＜x＜12若矩形面積S=x（12-x）＜32，則x＞8或x＜4,即將線段AB三等分，當C位于首段和尾段時，矩形面積小于32，故該矩形面積小于32cm2的概率為P==故選C考點：幾何概型點評：本題主要考查了幾何概型概率的意義及其計算方法，將此概率轉化為長度之比是解決本題的關鍵，屬基礎題3、B【解題分析】

不等式可整理為，然后轉化為求函數(shù)y在（﹣∞，1）上的最小值即可，利用單調性可求最值．【題目詳解】不等式，即不等式lglg3x﹣1，∴，整理可得，∵y在（﹣∞，1）上單調遞減，∴∈（﹣∞，1），y1，∴要使原不等式恒成立，只需≤1，即的取值范圍是（﹣∞，1]．故選：B.【題目點撥】本題考查不等式恒成立問題、函數(shù)單調性，考查轉化思想，考查學生靈活運用知識解決問題的能力．4、C【解題分析】

根據(jù)零點存在性定理，可得，然后比較大小，利用函數(shù)的單調性，可得結果.【題目詳解】由題意可知函數(shù)在上單調遞增，，，∴函數(shù)的零點，又函數(shù)的零點，，故選：C【題目點撥】本題考查零點存在性定理以及利用函數(shù)的單調性比較式子大小，難點在于判斷的范圍，屬基礎題.5、C【解題分析】

根據(jù)an＝sn﹣sn﹣1可以求出{an}的通項公式，再利用裂項相消法求出sm，最后根據(jù)已知，解出m即可．【題目詳解】由已知可得，，，，（n≥2），1，即，解之得，或7.5，故選：C．【題目點撥】本題考查前n項和求通項公式以及裂項相消法求和，考查了分式不等式的解法，屬于中等難度．6、A【解題分析】

對于區(qū)間[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，等價于對于區(qū)間[﹣3，2]上的任意x，都有f（x）max﹣f（x）min≤t，利用導數(shù)確定函數(shù)的單調性，求最值，即可得出結論．【題目詳解】對于區(qū)間[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，等價于對于區(qū)間[﹣3，2]上的任意x，都有f（x）max﹣f（x）min≤t，∵f（x）=x3﹣3x﹣1，∴f′（x）=3x2﹣3=3（x﹣1）（x+1），∵x∈[﹣3，2]，∴函數(shù)在[﹣3，﹣1]、[1，2]上單調遞增，在[﹣1，1]上單調遞減，∴f（x）max=f（2）=f（﹣1）=1，f（x）min=f（﹣3）=﹣19，∴f（x）max﹣f（x）min=20，∴t≥20，∴實數(shù)t的最小值是20，故答案為A【題目點撥】本題考查導數(shù)知識的運用，考查恒成立問題，正確求導，確定函數(shù)的最值是關鍵．7、D【解題分析】分析：由誘導公式化簡函數(shù)，再根據(jù)三角函數(shù)圖象與性質，即可逐一判斷各選項.詳解：由誘導公式得，，排除A，C.將代入，得，為函數(shù)圖象的對稱軸，排除B.故選D.點睛：本題考查誘導公式與余弦函數(shù)的圖象與性質，考查利用余弦函數(shù)的性質綜合分析判斷的能力.8、A【解題分析】試題分析：求出集合M中不等式的解集，確定出M，找出M與N的公共元素，即可確定出兩集合的交集．解：由（x﹣1）2＜4，解得：﹣1＜x＜3，即M={x|﹣1＜x＜3}，∵N={﹣1，0，1，2，3}，∴M∩N={0，1，2}．故選A點評：此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關鍵．9、A【解題分析】

利用導數(shù)判斷出在上遞增，而，由此將不等式轉化為，然后利用單調性列不等式，解不等式求得的取值范圍.【題目詳解】由，故函數(shù)在上單調遞增，又由，故不等式可化為，，得，解得．故選A.【題目點撥】本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查對數(shù)不等式的解法，屬于基礎題.10、C【解題分析】

化簡二項式的展開式，令的指數(shù)為零，求得常數(shù)項.【題目詳解】二項式展開式的通項為，令，故常數(shù)項為，故選C.【題目點撥】本小題主要考查二項式展開式的通項公式，考查二項式展開式中的常數(shù)項，屬于基礎題.11、B【解題分析】分析：先分別求出集合M和N，由此能求出M和N的關系.詳解：，，故.故選：B.點睛：本題考查兩個集合的包含關系的判斷，考查指數(shù)函數(shù)、一元二次函數(shù)等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎題.12、B【解題分析】試題分析：由上表知x=170，y=69，所以a=y=0.56×172-26.2=70.12，所以男生體重約為70.12kg考點：線性回歸方程．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、0【解題分析】

先化簡求得再計算實部和虛部的和即可.【題目詳解】,故實部和虛部之和為.故答案為：0【題目點撥】本題主要考查復數(shù)的基本運算與實部虛部的概念,屬于基礎題型.14、【解題分析】

根據(jù)大金屬球和64個小金屬球體積相同，求半徑的比值，再求大金屬球和64個小金屬球的表面積比值，最后求油漆數(shù)量.【題目詳解】，，，.故答案為：【題目點撥】本題考查球的體積和表面積的實際應用問題，重點考查表面積和體積公式，關鍵是利用前后體積相等求半徑的比值，屬于基礎題型.15、1【解題分析】分析：把丙丁捆綁在一起，作為一個元素排列，然后把甲插入，注意丙丁這個元素的位置不同決定著甲插入的方法數(shù)的不同．詳解：．故答案為1．點睛：本題考查排列組合的應用．排列組合中如果有元素相鄰，則可用捆綁法，即相鄰的元素捆綁在一起作為一個元素進行排列，當然它們之間也要全排列，特殊元素可優(yōu)先考慮．注意分類與分步結合，不重不漏．16、【解題分析】

通過，即可得到答案.【題目詳解】根據(jù)題意，，則，所以實數(shù)的取值范圍是.【題目點撥】本題主要集合交的運算，難度較小.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）;（2）【解題分析】

（1）由一元二次不等式可解得集合．根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于0可得,將其轉化為一元二次不等式可解得集合,從而可得．畫數(shù)軸分析可得．（2）將是的必要條件轉化為．分析可得關于的不等式組,從而可解得的范圍．【題目詳解】（1）集合，因為．所以函數(shù)，由，可得集合．或，故．（2）因為是的必要條件等價于是的充分條件，即，由，而集合應滿足>0，因為，故，依題意就有：，即或，所以實數(shù)的取值范圍是．考點：1集合的運算;2充分必要條件．18、（I）；（II）證明見解析.【解題分析】

（I）根據(jù)的值猜想的表達式；（II）分和兩步證明.【題目詳解】（I），，，，猜想.（II）證明：當時，，猜想成立；假設時，猜想成立，即，則當時，，即當時猜想成立.綜上，對于一切均成立.【題目點撥】本題考查抽象函數(shù)求值與歸納猜想.19、（1）（2）見解析【解題分析】試題分析：（1）聯(lián)立，極坐標方程，解出，反代得，即得和交點的極坐標；（2）先利用將極坐標方程化為直接坐標方程，再由直線參數(shù)方程幾何意義得，因此將直線的參數(shù)方程代入直角坐標方程，利用韋達定理得，且，因此.試題解析：（Ⅰ）（方法一）由，極坐標方程分別為，’化為平面直角坐標系方程分為.得交點坐標為.即和交點的極坐標分別為.（方法二）解方程組所以，化解得，即，所以和交點的極坐標分別為.（II）（方法一）化成普通方程解得因為，所以.（方法二）把直線的參數(shù)方程：（為參數(shù)），代入得，，所以.20、（1）（2）【解題分析】

（1）根據(jù)已知求得，可求得曲線在處的切線方程;（2）由方程恰有兩個實數(shù)根，進行參變分離得，構造函數(shù)，對所構造的函數(shù)求導,分析出其導函數(shù)的正負,得出所構造的函數(shù)的單調性和圖象趨勢,極值,從而可得出a的值.【題目詳解】（1）函數(shù)，，，曲線在處的切線方程為，即.（2）方程恰有兩個實數(shù)根，即恰有兩個實數(shù)根，∵，所以可得，顯然時，上式不成立；設，則，當或時，，單調遞增；當時，，單調遞減；，，又當時，，當時，，，得.【題目點撥】本題考查求在函數(shù)上的一點的切線方程,和根據(jù)方程的根的情況求參數(shù)的值,解決的關鍵在于進行參變分離,構造合適的函數(shù),并對所構造的函數(shù)求導,分析其導函數(shù)的正負,得所構造的函數(shù)的單調性和圖象趨勢和極值,屬于?？碱},難度題.21、（1）；（2）證明見解析.【解題分析】分析：（1）先利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，再求的最小值.(2)先求的最小值為,再證明＞0.詳解：（1）若，,所以,設，則所以在上為增函數(shù)，又，所以當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.所以的最小值為.（2）由題意知當時，顯然成立.當時，由（1）知在上為增函數(shù)，因為,所以存在唯一的使得，即,所以當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.所以的最小值為,,,當且僅當，即時取等號.代入得，矛盾，所以等號不能成立.所以，所以.點睛：（1）本題主要考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間和最值，考查利用導數(shù)證明不等式，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理轉化能力.(2)解答本題有兩個難點，其一是求得的最小值為,其二是證明＞0，用到了基本不等式，同時要注意取等的問題.22、