2024屆甘肅省師范大學附屬中學高二數學第二學期期末教學質量檢測試題含解析

2024屆甘肅省師范大學附屬中學高二數學第二學期期末教學質量檢測試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．對任意復數，為虛數單位，則下列結論中正確的是（）A． B． C． D．2．下列命題中真命題的個數是（）①若樣本數據，，…，的方差為16，則數據，，…，的方差為64；②“平面向量，夾角為銳角，則”的逆命題為真命題；③命題“，”的否定是“，”；④若：，：，則是的充分不必要條件.A．1 B．2 C．3 D．43．用數學歸納法證明：“”，由到時，等式左邊需要添加的項是（）A． B．C． D．4．已知全集，則A． B． C． D．5．設a＝log54，b＝（log53）2，c＝log45，則（）A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c6．已知是離散型隨機變量，，則（）A． B． C． D．7．已知函數（為自然對數的底數），，若對于任意的，總存在，使得成立，則實數的取值范圍為（）A．B．C．D．8．如果的展開式中各項系數之和為128，則展開式中的系數是（）A．21 B． C．7 D．9．已知橢圓的左右焦點分別，，焦距為4，若以原點為圓心，為直徑的圓恰好與橢圓有兩個公共點，則此橢圓的方程為（）A． B．C． D．10．如圖所示，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同的染色方法種數是()A．420 B．210 C．70 D．3511．設實數a,b,c滿足a+b+c=1,則a,b,c中至少有一個數不小于()A．0 B． C． D．112．已知奇函數是定義在上的減函數，且，，，則的大小關系為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若實數、滿足，則的取值范圍是_________.14．已知等比數列的前項和為，若，，則________.15．組合恒等式，可以利用“算兩次”的方法來證明：分別求和的展開式中的系數．前者的展開式中的系數為；后者的展開式中的系數為.因為，則兩個展開式中的系數也相等，即．請用“算兩次”的方法化簡下列式子：______．16．某校畢業(yè)典禮由6個節(jié)目組成，考慮整體效果，對節(jié)目演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前三位，且節(jié)目丙、丁必須排在一起，則該校畢業(yè)典禮節(jié)目演出順序的編排方案共有______種.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，p：；q：不等式對任意實數x恒成立.（1）若q為真命題，求實數m的取值范圍；（2）如果“”為真命題，且“”為假命題，求實數m的取值范圍.18．（12分）隨著資本市場的強勢進入，互聯(lián)網共享單車“忽如一夜春風來”，遍布了一二線城市的大街小巷.為了解共享單車在市的使用情況，某調查機構借助網絡進行了問卷調查，并從參與調查的網友中抽取了200人進行抽樣分析，得到下表（單位：人）：經常使用偶爾或不用合計30歲及以下703010030歲以上6040100合計13070200（Ⅰ）根據以上數據，能否在犯錯誤的概率不超過0.15的前提下認為市使用共享單車情況與年齡有關？（Ⅱ）現(xiàn)從所抽取的30歲以上的網友中利用分層抽樣的方法再抽取5人.（1）分別求這5人中經常使用、偶爾或不用共享單車的人數；（2）從這5人中，再隨機選出2人贈送一件禮品，求選出的2人中至少有1人經常使用共享單車的概率.參考公式：，其中.參考數據：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.63519．（12分）已知函數.(1)當時,討論的單調性；(2)設，當時,若對任意,存在使,求實數取值.20．（12分）已知函數在與時都取得極值．（1）求的值；（2）求函數的單調區(qū)間.21．（12分）設點為坐標原點，橢圓：的右頂點為，上頂點為，過點且斜率為的直線與直線相交于點，且.（1）求橢圓的離心率；（2）是圓：的一條直徑，若橢圓經過，兩點，求橢圓的方程.22．（10分）甲、乙兩人進行某項對抗性游戲，采用“七局四勝”制，即先贏四局者為勝，若甲、乙兩人水平相當，且已知甲先贏了前兩局．(Ⅰ)求乙取勝的概率；(Ⅱ)記比賽局數為X，求X的分布列及數學期望E(X)．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】分析：由題可知，然后根據復數的運算性質及基本概念逐一核對四個選項得到正確答案.詳解：已知則選項A，，錯誤.選項B，，正確.選項C，，錯誤.選項D，，不恒成立，錯誤.故選B.點睛：本題考查了復數的運算法則、共軛復數的定義、復數模的計算.2、C【解題分析】分析：對四個命題逐一分析即可.詳解：對于①，由方差的性質得：則數據，，…，的方差為，故正確；對于②，逆命題為平面向量，滿足，則向量，夾角為銳角，是假命題，故錯誤；對于③，命題“，”的否定是“，”，正確；對于④，，，是的充分不必要條件，故正確.故選C.點睛：本題主要考查命題的真假判斷，涉及知識點較多，綜合性較強，但難度不大.3、D【解題分析】

寫出時，左邊最后一項，時，左邊最后一項，由此即可得到結論【題目詳解】解：∵時，左邊最后一項為，時，左邊最后一項為，∴從到，等式左邊需要添加的項為一項為故選：D．【題目點撥】本題考查數學歸納法的概念，考查學生分析解決問題的能力，屬于基礎題．4、C【解題分析】

根據補集定義直接求得結果.【題目詳解】由補集定義得：本題正確選項：【題目點撥】本題考查集合運算中的補集運算，屬于基礎題.5、D【解題分析】

∵a＝log54＜log55＝1，b＝（log53）2＜（log55）2＝1，c＝log45＞log44＝1，所以c最大單調增，所以又因為所以b<a所以b<a<c.故選D．6、B【解題分析】

根據題意，由隨機變量的分布列的性質可得則只有兩個變量，進而可得，解得，又由方差公式可得的值，又由方差的性質計算可得答案.【題目詳解】根據題意，，則則只有兩個變量，則，得，即，則，則.故選：B【題目點撥】本題考查了離散型隨機變量分布列的性質、數學期望以及方差與方差性質，屬于基礎題.7、A【解題分析】，在區(qū)間上為增函數，在區(qū)間上為減函數.，，又，則函數在區(qū)間上的值域為.當時，函數在區(qū)間上的值域為.依題意有，則有，得.當時，函數在區(qū)間上的值域為，不符合題意.當時，函數在區(qū)間上的值域為.依題意有，則有，得.綜合有實數的取值范圍為.選A.點睛：利用導數研究不等式恒成立或存在型問題，首先要構造函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數的取值范圍；也可分離變量，構造函數，直接把問題轉化為函數的最值問題.8、A【解題分析】

令，則該式等于系數之和，可求出n，由二項展開式公式即可求得展開式中某項的系數.【題目詳解】令，則，解得：，由二項展開式公式可得項為：，所以系數為21.故選A.【題目點撥】本題考查二項展開式系數之和與某項系數的求法，求系數之和時，一般令，注意區(qū)分二項式系數與系數，二項式系數之和為.9、A【解題分析】

已知，又以原點為圓心，為直徑的圓恰好與橢圓有兩個公共點，這兩個公共點只能是橢圓短軸的頂點，從而有，于是可得，從而得橢圓方程?！绢}目詳解】∵以原點為圓心，為直徑的圓恰好與橢圓有兩個公共點，∴這兩個公共點只能是橢圓短軸的頂點，∴，又即，∴，∴橢圓方程為。故選：A?！绢}目點撥】本題考查橢圓的標準方程，解題關鍵時確定的值，本題中注意橢圓的對稱軸，從而確定關系。10、A【解題分析】

將不同的染色方案分為：相同和不同兩種情況，相加得到答案.【題目詳解】按照的順序：當相同時：染色方案為當不同時：染色方案為不同的染色方案為：種故答案為A【題目點撥】本題考查了加法原理和乘法原理，把染色方案分為相同和不同兩種情況是解題的關鍵.11、B【解題分析】∵三個數，，的和為1，其平均數為∴三個數中至少有一個大于或等于假設，，都小于，則∴，，中至少有一個數不小于故選B.12、C【解題分析】

根據對數運算性質和對數函數單調性可得，根據指數函數單調性可知；利用為減函數可知，結合為奇函數可得大小關系.【題目詳解】，即：又是定義在上的減函數又為奇函數，即：本題正確選項：【題目點撥】本題考查根據指數函數、對數函數單調性，結合奇偶性比較函數值的大小關系，關鍵是能夠通過函數得單調性，利用臨界值的方式得到自變量之間的大小關系.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解題分析】

利用橢圓的參數方程，設，，代入所求代數式，換元，可得出，將代數式轉化為關于的二次函數在區(qū)間上的值域來處理.【題目詳解】設，，則，設，則，，，其中，由于二次函數，，當時，；當時，.因此，的取值范圍是，故答案為.【題目點撥】本題考查橢圓參數方程的應用，考查三角函數的值域問題以及二次函數的值域，本題用到了兩次換元，同時要注意關系式的應用，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.14、【解題分析】

設等比數列的公比為，根據題中條件求出的值，再由計算出的值.【題目詳解】設等比數列的公比為，則，化簡得，，故答案為：.【題目點撥】本題考查等比數列求和，對于等比數列，一般要建立首項和公比的方程組，利用方程思想求解，考查計算能力，屬于中等題.15、【解題分析】

結合所給信息，構造，利用系數相等可求.【題目詳解】因為，則兩個展開式中的系數也相等，在中的系數為，而在中的系數為，所以可得.【題目點撥】本題主要考查二項式定理的應用，精準理解題目所給信息是求解關鍵，側重考查數學抽象和數學建模的核心素養(yǎng).16、1【解題分析】分析：把丙丁捆綁在一起，作為一個元素排列，然后把甲插入，注意丙丁這個元素的位置不同決定著甲插入的方法數的不同．詳解：．故答案為1．點睛：本題考查排列組合的應用．排列組合中如果有元素相鄰，則可用捆綁法，即相鄰的元素捆綁在一起作為一個元素進行排列，當然它們之間也要全排列，特殊元素可優(yōu)先考慮．注意分類與分步結合，不重不漏．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

（1）解不等式即得解；（2）由“”為真，且“”為假知p，q一真假，再分兩種情況分析討論得解.【題目詳解】（1）由“不等式對任意實數x恒成立”為真得，解得，故實數m的取值范圍為.（2）由“”為真得m的取值范圍為，由“”為真，且“”為假知p，q一真假，當p真q假時，有，此時m無解；當p假q真時，有，解得或；綜上所述，m的取值范圍為.【題目點撥】本題主要考查二次不等式的恒成立問題，考查復合命題真假的判斷，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.18、（1）能在犯錯誤的概率不超過0.15的前提下認為市使用共享單車情況與年齡有關；（2）選出的2人中至少有1人經常使用共享單車的概率.【解題分析】試題分析：（1）計算k2，與2.027比較大小得出結論，（2）（i）根據分層抽樣即可求出，（ii）設這5人中，經常使用共享單車的3人分別為a，b，c；偶爾或不用共享單車的2人分別為d，e，根據古典概率公式計算即可．試題解析：（1）由列聯(lián)表可知，.因為，所以能在犯錯誤的概率不超過0.15的前提下認為市使用共享單車情況與年齡有關.（2）（i）依題意可知，所抽取的5名30歲以上的網友中，經常使用共享單車的有（人），偶爾或不用共享單車的有（人）.（ii）設這5人中，經常使用共享單車的3人分別為，，；偶爾或不用共享單車的2人分別為，.則從5人中選出2人的所有可能結果為，，，，，，，，，共10種.其中沒有1人經常使用共享單車的可能結果為共1種，故選出的2人中至少有1人經常使用共享單車的概率.點睛：古典概型中基本事件數的探求方法(1)列舉法.(2)樹狀圖法：適合于較為復雜的問題中的基本事件的探求.對于基本事件有“有序”與“無序”區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復雜的題目簡單化、抽象的題目具體化.(4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素數目較多的題目.19、（1）當時,函數在上單調遞減；函數在上單調遞增；當時,函數在上單調遞減；當時,函數在上單調遞減；函數在上單調遞增;函數在上單調遞減；（2）．【解題分析】分析：（1）先求定義域，再對函數求導，，令，分，，，，四種情況考慮h(x)零點情況及正負情況，得函數f(x)的單調區(qū)間。（2）因為,由于(I)知,在上的最小值為，由題意可知“對任意,存在,使”等價于“在上的最小值不大于在上的最小值”，由一元二次函數的“三點一軸”分類討論求得g(x)的最小值，再求得b范圍。詳解：(1)定義域因為所以令(i)當時,所以當時,,此時,函數單調遞增;當時,,此時,函數單調遞增(ii)當時,由,即,解得①當時,，恒成立,此時,函數在上單調遞減;②當時,時,,此時,函數單調遞減；時,,此時,函數單調遞增；時,,此時,函數單調遞減；③當時,由于時,,此時,函數單調遞減；時,,此時,函數單調遞增；綜上所述:當時,函數在上單調遞減；函數在上單調遞增；當時,函數在上單調遞減；當時,函數在上單調遞減；函數在上單調遞增;函數在上單調遞減(2)因為,由于(I)知,,當時,,函數單調遞減:當時,,函數單調遞增,所以在上的最小值為由于“對任意,存在,使”等價于“在上的最小值不大于在上的最小值”又,,所以①當時,因為,此時與矛盾②當時,因為,同樣與矛盾③當時,因為，解不等式可得綜上,的取值范圍是．點睛：本題綜合考查用導數結合分類討論思想求含參函數的單調區(qū)間，及恒成立問題與存在性問題的理解，即轉化為最值問題，同時也考查了一元二次函數“三點一軸”求最值問題，題目綜合性較強，分類較多，對學生的能力要求較高。20、（1）；（2）增區(qū)間是和，減區(qū)間是．【解題分析】

⑴求出，并令其為得到方程，把與代入求出的值⑵求出，分別令，，求出的范圍，即可得到函數的單調區(qū)間【題目詳解】⑴，由解得⑵由⑴可知令，解得令，解得或的增區(qū)間是和，減區(qū)間為【題目點撥】本題考查的是函數在某點取得極值的條件以及利用導數研究函數的單調性，較為基礎，只要運用法則來求解即可。21、(1).（2）.【解題分析】分析：（1）運用向量的坐標運算，可得M的坐標，進而得到直線OM的斜率，進而得證；（2）由（1）知，橢圓方程設為，設PQ的方程，與橢圓聯(lián)立，運用韋達定理和中點坐標公式，以及弦長公式，解方程即可