2024屆浙江省寧波市奉化高中、三山高中等六校數(shù)學高二第二學期期末調(diào)研試題含解析

2024屆浙江省寧波市奉化高中、三山高中等六校數(shù)學高二第二學期期末調(diào)研試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若函數(shù)至少有1個零點，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．2．甲、乙兩人進行三打二勝制乒乓球賽,已知每局甲取勝的概率為0.6,乙取勝的概率為0.4,那么最終甲勝乙的概率為A．0.36 B．0.216 C．0.432 D．0.6483．在復平面內(nèi)與復數(shù)所對應的點關(guān)于虛軸對稱的點為，則對應的復數(shù)為（）A． B． C． D．4．半徑為2的球的表面積為（）A． B． C． D．5．若均為單位向量，且，則的最小值為（）A． B．1 C． D．6．已知函數(shù)（其中）在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．7．下列說法正確的是（）A．若為真命題，則為真命題B．命題“若，則”的否命題是真命題C．命題“函數(shù)的值域是”的逆否命題是真命題D．命題“，關(guān)于的不等式有解”，則為“，關(guān)于的不等式無解”8．設直線l1，l2分別是函數(shù)f(x)=-lnx,0<x<1,lnx,x>1,圖象上點P1，P2處的切線，l1與l2垂直相交于點P，且l1，l2分別與y軸相交于點A．(0,1)B．(0,2)C．(0,+∞)D．(1,+∞)9．已知集合，則等于()A． B． C． D．10．函數(shù)在上的極大值為（）A． B．0 C． D．11．已知復數(shù)Z滿足：，則（）A． B． C． D．12．關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是()A．是周期函數(shù)，周期為 B．關(guān)于直線對稱C．在上是單調(diào)遞減的 D．在上最大值為二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線與橢圓相切于第一象限的點，且直線與軸、軸分別交于點、，當(為坐標原點)的面積最小時，(、是橢圓的兩個焦點)，若此時在中，的平分線的長度為，則實數(shù)的值是__________．14．若對任意，都有恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_______________.15．已知拋物線的焦點為,準線與軸的交點為為拋物線上的一點,且滿足,則=_____.16．=.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知向量a＝(3sinα，cosα)，b＝(2sinα,5sinα－4cosα)，α∈，且a⊥b.(1)求tanα的值；(2)求cos的值．18．（12分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），已知直線的方程為.（1）設是曲線上的一個動點，當時，求點到直線的距離的最小值；（2）若曲線上的所有點均在直線的右下方，求的取值范圍.19．（12分）已知直線l的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．(1)寫出直線l經(jīng)過的定點的直角坐標，并求曲線的普通方程；(2)若，求直線的極坐標方程，以及直線l與曲線的交點的極坐標．20．（12分）已知.(1)若在上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減,求的極小值;(2)當時,恒有,求實數(shù)a的取值范圍.21．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）若在處有極小值，求實數(shù)的值；（Ⅱ）若在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍．22．（10分）已知數(shù)列的前項和滿足，且。（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和。

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

令，則函數(shù)至少有1個零點等價于函數(shù)至少有1個零點，對函數(shù)求導，討論和時，函數(shù)的單調(diào)性，以及最值的情況，即可求出滿足題意的實數(shù)的取值范圍?！绢}目詳解】由題可得函數(shù)的定義域為；令，則，函數(shù)至少有1個零點等價于函數(shù)至少有1個零點；；（1）當時，則在上恒成立，即函數(shù)在單調(diào)遞增，當時，，當時，，由零點定理可得當時，函數(shù)在有且只有一個零點，滿足題意；（2）當時，令，解得：，令，解得：，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當時，，所以要使函數(shù)至少有1個零點，則，解得：綜上所述：實數(shù)的取值范圍是：故答案選C【題目點撥】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的零點個數(shù)的問題，由導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及最值是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題。2、D【解題分析】分析：由題意，要使得甲勝乙，則包含著甲勝前兩局或甲勝第一、三局或甲勝二、三局三種情況，根據(jù)互斥時間的概率和相互獨立了的計算的公式，即可求解答案.詳解：由題意，每局中甲取勝的概率為，乙取勝的概率為，則使得甲勝乙，則包含著甲勝前兩局或甲勝第一、三局或甲勝二、三局三種情況，根據(jù)互斥時間的概率和相互獨立了的計算的公式得：，故選D.點睛：本題主要考查了相互獨立事件同時發(fā)生的概率和互斥事件的概率的計算，其中根據(jù)題意得出甲取勝的三種情況是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力.3、D【解題分析】

根據(jù)復數(shù)的運算法則求出，即可得到其對應點關(guān)于虛軸對稱點的坐標，寫出復數(shù).【題目詳解】由題，在復平面對應的點為（1,1），關(guān)于虛軸對稱點為（-1,1），所以其對應的復數(shù)為.故選：D【題目點撥】此題考查復數(shù)的幾何意義，關(guān)鍵在于根據(jù)復數(shù)的乘法除法運算準確求解，熟練掌握復數(shù)的幾何意義.4、D【解題分析】

根據(jù)球的表面積公式，可直接得出結(jié)果.【題目詳解】因為球的半徑為，所以該球的表面積為.故選：D【題目點撥】本題主要考查球的表面積，熟記公式即可，屬于基礎題型.5、A【解題分析】

∴則當與同向時最大，最小，此時=，所以=-1，所以的最小值為，故選A點睛：本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算律，考查向量模的求解，考查學生分析問題解決問題的能力，求出，表示出，由表達式可判斷當與同向時，最小.6、D【解題分析】

根據(jù)復合函數(shù)增減性與對數(shù)函數(shù)的增減性來進行判斷求解【題目詳解】，為減函數(shù)，若底數(shù)，根據(jù)復合函數(shù)同增異減的性質(zhì)，可得函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，與題不符，舍去若底數(shù)，根據(jù)復合函數(shù)同增異減的性質(zhì)，可得函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，的定義域滿足，，因在區(qū)間上單調(diào)遞減，故有，所以答案選D【題目點撥】復合函數(shù)的增減性滿足同增異減，對于對數(shù)函數(shù)中底數(shù)不能確定的情況，需對底數(shù)進行分類討論，再進行求解7、C【解題分析】

采用命題的基本判斷法進行判斷，條件能推出結(jié)論為真，推不出為假【題目詳解】A.若為真命題，則中有一個為真命題即可滿足，但推不出為真命題，A錯B.命題“若，則”的否命題是：“若，則”，當時，不滿足，B錯C.原命題與逆否命題真假性相同，的取值大于零，所以值域為，C為真命題D.命題“，關(guān)于的不等式有解”，則為“，關(guān)于的不等式無解”，D錯答案選C【題目點撥】四種常見命題需要熟悉基本改寫方式，原命題與逆否命題為真，逆命題與否命題為真，原命題與逆命題或否命題真假性無法判斷，需改寫之后再進行判斷，命題的否定為只否定結(jié)論，全稱改存在，存在改全稱8、A【解題分析】試題分析：設P1(x1?,?lnx1)?,?P2(x2?,?-lnx2)（不妨設x考點：1.導數(shù)的幾何意義；2.兩直線垂直關(guān)系；3.直線方程的應用；4.三角形面積取值范圍.9、D【解題分析】分析：求出集合，，即可得到.詳解：故選D.點睛：本題考查兩個集合的交集運算，屬基礎題.10、A【解題分析】

先算出，然后求出的單調(diào)性即可【題目詳解】由可得當時，單調(diào)遞增當時，單調(diào)遞減所以函數(shù)在上的極大值為故選：A【題目點撥】本題考查的是利用導數(shù)求函數(shù)的極值，較簡單.11、B【解題分析】

由復數(shù)的四則運算法則求出復數(shù)，由復數(shù)模的計算公式即可得到答案．【題目詳解】因為，則，所以，故選B．【題目點撥】本題考查復數(shù)的化簡以及復數(shù)模的計算公式，屬于基礎題．12、C【解題分析】分析：利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐一判定，即可得到答案．詳解：令，對于A中，因為函數(shù)不是周期函數(shù)，所以函數(shù)不是周期函數(shù)，所以是錯誤的；對于B中，因為，所以點與點關(guān)于直線對稱，又，所以，所以的圖象不關(guān)于對稱，所以是錯誤的；對于C中，當時，，當時，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，所以是正確的；對于D中，時，，所以是錯誤的，綜上可知，正確的為選項C，故選C．點睛：本題主要考查了正弦函數(shù)的對稱性、周期性、單調(diào)性及其函數(shù)的最值問題，其中熟記正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，合理運算是解答此類問題的關(guān)鍵，著重考查了綜合分析與應用能力，以及推理與運算能力，試題有一定難度，屬于中檔試題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：求出切線方程，可得三角形面積，利用基本不等式求出最小值時切點坐標，設，利用余弦定理結(jié)合橢圓的定義，由三角形面積公式可得，，根據(jù)與橢圓的定義即可的結(jié)果.詳解：由題意，切線方程為，直線與軸分別相交于點，，，，，，當且僅當時，為坐標原點）的面積最小，設，由余弦定理可得，，‘，，的內(nèi)角平分線長度為，，，，故答案為.點睛：本題考查橢圓的切線方程、橢圓的定義、橢圓幾何性質(zhì)以及利用基本不等式求最值、三角形面積公式定義域、余弦定理的應用，意在考查學生綜合利用所學知識解決問題的能力，屬于難題.在解答與橢圓兩個焦點有關(guān)的三角形問題時，往往綜合利用橢圓的定義與余弦定理解答.14、【解題分析】

根據(jù)（）代入中求得的最大值，進而得到實數(shù)的取值范圍。【題目詳解】因為，所以（當且僅當時取等號）；所以，即的最大值為，即實數(shù)的取值范圍是；故答案為：【題目點撥】本題考查不等式恒成立問題的解題方法，解題關(guān)鍵是利用基本不等式求出的最大值，屬于中檔題。15、【解題分析】分析：利用拋物線的性質(zhì)，過作準線的垂線交準線于，則，則，在中可表示出，計算即可得到答案詳解：過作準線的垂線交準線于則故點睛：本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是記清拋物線上點到焦點距離等于到準線距離，靈活運用拋物線的定義來解題16、【解題分析】令=y≥0，則（y≥0），∴表示的是上半圓在第一象限的部分的面積，其值等于，，所以=+=.考點：定積分.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）－（2）【解題分析】(1)∵a⊥b，∴a·b＝0.而a＝(3sinα，cosα)，b＝(2sinα，5sinα－4cosα)，故a·b＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0，即＝0.由于cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4＝0.解得tanα＝－或tanα＝.∵α∈，∴tanα＜0，∴tanα＝－.(2)∵α∈，∴∈.由tanα＝－，求得tan＝－或tan＝2(舍去)．∴sin＝，cos＝－，∴cos＝coscos－sin·sin＝－×－×＝－18、（1）.（2）.【解題分析】試題分析：（1）求出直線的普通方程，設，則點到直線的距離的距離，即可求點到直線的距離的最小值；

（Ⅱ）若曲線上的所有點均在直線的右下方則，有恒成立，即恒成立，恒成立，即可求的取值范圍．試題解析：（Ⅰ）依題意，設，則點到直線的距離，當，即，時，，故點到直線的距離的最小值為.（Ⅱ）因為曲線上的所有點均在直線的右下方，所以對，有恒成立，即恒成立，所以，又，所以.故的取值范圍為.【題目點撥】本題考查極坐標方程與普通方程的互化，考查參數(shù)方程的運用，考查學生轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于中檔題．19、（1）；（2）【解題分析】試題分析：⑴由題意可知當時直線經(jīng)過定點，設，即可求出曲線的普通方程；⑵將代入直線的參數(shù)方程，可求出直線的普通方程，將代入即可求得直線的極坐標方程，然后聯(lián)立曲線：，即可求出直線與曲線的交點的極坐標解析：（1）直線經(jīng)過定點，由得，得曲線的普通方程為，化簡得；（2）若，得的普通方程為，則直線的極坐標方程為，聯(lián)立曲線：.∵得，取，得，所以直線與曲線的交點為.20、（1）（2）【解題分析】

（1）先求導，再由題意可得f′（﹣1）＝0，從而求得2a＝1，從而化簡f′（x）＝（x+1）（ex﹣1），從而確定極小值點及極小值．（2）對f（x）的導函數(shù)進行分析，當時，可得f（x）單增，求得f（x）的最小值為0，當a>1時，可得f（x）在（0，lna）上單減，且f（0）=0，不滿足題意，綜合可得實數(shù)a的取值范圍．【題目詳解】（1）因為在上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減,所以.因為,所以,.所以,所以在上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,所以的極小值為.(2),令,則.若,則時，,為增函數(shù),而,所以當時,,從而.若,則時,,為減函數(shù),,故時,,從而,不符合題意.綜上,實數(shù)a的取值范圍是.【題目點撥】本題考查了單調(diào)性的應用及函數(shù)極值的概念，考查了恒成立問題的轉(zhuǎn)化，考查了分類討論的數(shù)學思想，屬于難題．21、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解題分析】

（Ⅰ）由題可得，解方程組求得答案；（Ⅱ）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增即在上恒成立，所以恒