2024屆廣州市嶺南中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測試試題含解析

2024屆廣州市嶺南中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測試試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足，且，則不等式（為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為（）A． B． C． D．2．平面內(nèi)有兩個(gè)定點(diǎn)和，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是（）．A． B．C． D．3．若的展開式中含有項(xiàng)的系數(shù)為8，則（）A．2 B． C． D．4．集合，，則（）A． B． C． D．5．直線（為參數(shù)）上與點(diǎn)的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo)是A． B．C．或 D．或6．若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對應(yīng)的圖形是（）A．橢圓 B．雙曲線 C．直線 D．線段7．某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．8．設(shè)集合A＝{x|x2－3x＜0}，B＝{x|－2≤x≤2}，則A∩B＝()A．{x|2≤x＜3}B．{x|－2≤x＜0}C．{x|0＜x≤2}D．{x|－2≤x＜3}9．指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，而是指數(shù)函數(shù)，所以是增函數(shù)，關(guān)于上面推理正確的說法是（）A．推理的形式錯(cuò)誤 B．大前提是錯(cuò)誤的 C．小前提是錯(cuò)誤的 D．結(jié)論是真確的10．若將函數(shù)f(x)＝x5表示為f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5為實(shí)數(shù)，則（）A． B． C． D．11．在同一坐標(biāo)系中，將曲線變?yōu)榍€的伸縮變換公式是（）A． B． C． D．12．安排4名志愿者完成5項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的安排方式共有A．120種 B．180種 C．240種 D．480種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)隨機(jī)變量的分布列（其中），則___．14．曲線在P（1，1）處的切線方程為_____．15．=________________。16．設(shè)圓錐的高是，母線長是，用過圓錐的頂點(diǎn)的平面去截圓錐，則截面積的最大值為_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)恰有四個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。18．（12分）某中學(xué)開設(shè)了足球、籃球、乒乓球、排球四門體育課程供學(xué)生選學(xué)，每個(gè)學(xué)生必須且只能選學(xué)其中門課程.假設(shè)每個(gè)學(xué)生選學(xué)每門課程的概率均為，對于該校的甲、乙、丙名學(xué)生，回答下面的問題.（1）求這名學(xué)生選學(xué)課程互不相同的概率；（2）設(shè)名學(xué)生中選學(xué)乒乓球的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.19．（12分）甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)入新華書店購買數(shù)學(xué)課外閱讀書籍，經(jīng)過篩選后，他們都對三種書籍有購買意向，已知甲同學(xué)購買書籍的概率分別為,乙同學(xué)購買書籍的概率分別為,假設(shè)甲、乙是否購買三種書籍相互獨(dú)立.（1）求甲同學(xué)購買3種書籍的概率；（2）設(shè)甲、乙同學(xué)購買2種書籍的人數(shù)為,求的概率分布列和數(shù)學(xué)期望.20．（12分）已知命題:函數(shù)對任意均有;命題在區(qū)間上恒成立.（1）如果命題為真命題，求實(shí)數(shù)的值或取值范圍；（2）命題“”為真命題，“”為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知函數(shù)，且在和處取得極值.（I）求函數(shù)的解析式.（II）設(shè)函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)，使得曲線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.22．（10分）夏天喝冷飲料已成為年輕人的時(shí)尚.某飲品店購進(jìn)某種品牌冷飲料若干瓶，再保鮮.（Ⅰ）飲品成本由進(jìn)價(jià)成本和可變成本（運(yùn)輸、保鮮等其它費(fèi)用）組成.根據(jù)統(tǒng)計(jì)，“可變成本”（元）與飲品數(shù)量（瓶）有關(guān)系.與之間對應(yīng)數(shù)據(jù)如下表：飲品數(shù)量（瓶）24568可變成本（元）34445依據(jù)表中的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程；如果該店購入20瓶該品牌冷飲料，估計(jì)“可變成本”約為多少元？（Ⅱ）該飲品店以每瓶10元的價(jià)格購入該品牌冷飲料若干瓶，再以每瓶15元的價(jià)格賣給顧客。如果當(dāng)天前8小時(shí)賣不完，則通過促銷以每瓶5元的價(jià)格賣給顧客(根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)天能夠把剩余冷飲料都低價(jià)處理完畢，且處理完畢后，當(dāng)天不再購進(jìn))．該店統(tǒng)計(jì)了去年同期100天該飲料在每天的前8小時(shí)內(nèi)的銷售量(單位：瓶)，制成如下表：每日前8個(gè)小時(shí)銷售量（單位：瓶）15161718192021頻數(shù)10151616151315若以100天記錄的頻率作為每日前8小時(shí)銷售量發(fā)生的概率，若當(dāng)天購進(jìn)18瓶，求當(dāng)天利潤的期望值.（注：利潤=銷售額購入成本“可變本成”）參考公式：回歸直線方程為，其中參考數(shù)據(jù)：，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】令所以,選B.點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解抽象函數(shù)不等式，實(shí)質(zhì)是利用導(dǎo)數(shù)研究對應(yīng)函數(shù)單調(diào)性，而對應(yīng)函數(shù)需要構(gòu)造.構(gòu)造輔助函數(shù)常根據(jù)導(dǎo)數(shù)法則進(jìn)行：如構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造等2、D【解題分析】

由已知條件知，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線右支，從而寫出軌跡的方程即可.【題目詳解】解：由可知，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線右支，，，，.所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線的定義，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解題分析】展開式中含有項(xiàng)的系數(shù),,故選A.4、B【解題分析】由，得，故選B.5、D【解題分析】

直接利用兩點(diǎn)間的距離公式求出t的值，再求出點(diǎn)的坐標(biāo).【題目詳解】由，得，則，則所求點(diǎn)的坐標(biāo)為或.故選D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查直線的參數(shù)方程和兩點(diǎn)間的距離公式，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義知，復(fù)數(shù)對應(yīng)的動(dòng)點(diǎn)P到對應(yīng)的定點(diǎn)的距離之和為定值2，且，可知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡為線段.【題目詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，對應(yīng)的點(diǎn)分別為,則由知：,又，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為線段.故選D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了復(fù)數(shù)的幾何意義，動(dòng)點(diǎn)的軌跡，屬于中檔題.7、B【解題分析】

由三視圖可知，該幾何體是由一個(gè)四棱錐挖掉半個(gè)圓錐所得，故利用棱錐的體積減去半個(gè)圓錐的體積，就可求得幾何體的體積.【題目詳解】由三視圖可知，該幾何體是由一個(gè)四棱錐挖掉半個(gè)圓錐所得，故其體積為.故選B.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查由三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)，考查不規(guī)則幾何體體積的求解方法，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解題分析】

求出集合A中不等式的解集，結(jié)合集合B，得到兩個(gè)集合的交集．【題目詳解】A={x|x2﹣3x＜0}={x|0＜x＜3}，∵B={x|﹣2≤x≤2}，∴A∩B={x|0＜x≤2}，故選：C．【題目點(diǎn)撥】求集合的交、并、補(bǔ)時(shí)，一般先化簡集合，再由交、并、補(bǔ)的定義求解；在進(jìn)行集合的運(yùn)算時(shí)要盡可能地借助Venn圖和數(shù)軸使抽象問題直觀化．一般地，集合元素離散時(shí)用Venn圖表示；集合元素連續(xù)時(shí)用數(shù)軸表示，用數(shù)軸表示時(shí)要注意端點(diǎn)值的取舍．9、B【解題分析】分析:指數(shù)函數(shù)是R上的增函數(shù)，這個(gè)說法是錯(cuò)誤的，要根據(jù)所給的底數(shù)的取值不同分類說出函數(shù)的不同單調(diào)性，有演繹推理的定義可知，大前提錯(cuò)誤。詳解：指數(shù)函數(shù)是R上的增函數(shù)，這個(gè)說法是錯(cuò)誤的，若,則是增函數(shù)，若,則是減函數(shù)所以大前提是錯(cuò)誤的。所以B選項(xiàng)是正確的。點(diǎn)睛：本題主要考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和演繹推理，意在考查三段論的推理形式和指數(shù)函數(shù)的圖像性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題。10、B【解題分析】分析：由題意可知，，然后利用二項(xiàng)式定理進(jìn)行展開，使之與進(jìn)行比較，可得結(jié)果詳解：由題可知：而則故選點(diǎn)睛：本題主要考查了二次項(xiàng)系數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題目意思，將轉(zhuǎn)化為是本題關(guān)鍵，然后運(yùn)用二項(xiàng)式定理展開求出結(jié)果11、C【解題分析】

根據(jù)新舊兩個(gè)坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系，求得伸縮變換的公式.【題目詳解】舊的，新的，故，故選C.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查曲線的伸縮變換公式，屬于基礎(chǔ)題，解題關(guān)鍵是區(qū)分清楚新舊兩個(gè)坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系.12、C【解題分析】

根據(jù)題意，分兩步進(jìn)行分析：先將5項(xiàng)工作分成4組，再將分好的4組進(jìn)行全排，對應(yīng)4名志愿者，分別求出每一步的情況數(shù)，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可得到答案?！绢}目詳解】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：（1）先將5項(xiàng)工作分成4組，有種分組方法；（2）將分好的4組進(jìn)行全排，對應(yīng)4名志愿者，有種情況；分步計(jì)數(shù)原理可得：種不同的安排方式。故答案選C【題目點(diǎn)撥】本題考查排列、組合的綜合應(yīng)用，注意題目中“每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成”的要求，屬于基礎(chǔ)題。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)概率和為列方程，解方程求得的值.【題目詳解】依題意，解得.故填【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查隨機(jī)變量分布列概率和為，考查方程的思想，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】因?yàn)榍€y=x3，則，故在點(diǎn)（1，1）切線方程的斜率為3，利用點(diǎn)斜式方程可知切線方程為15、【解題分析】

利用定積分的幾何意義及其計(jì)算公式，可得結(jié)論．【題目詳解】由題意，可得.故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了定積分的計(jì)算公式，以及定積分的幾何意義的應(yīng)用，其中解答中熟記定積分的計(jì)算公式，合理使用定積分的幾何意義求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、1【解題分析】

求出圓錐的底面半徑，假設(shè)截面與圓錐底面交于，用表示出截面三角形的高，得出截面三角形的面積關(guān)于的表達(dá)式，利用基本不等式求出面積的最大值．【題目詳解】解：∵圓錐的高是，母線長是，

∴底面半徑，設(shè)過圓錐頂點(diǎn)的平面SCD與圓錐底面交于CD，過底面中心O作OA⊥CD于E，

設(shè)，則，，∴截面SCD的面積，故答案為：1．【題目點(diǎn)撥】本題考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）單調(diào)增區(qū)間，單調(diào)減區(qū)間或；（2）.【解題分析】

(1)求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)單調(diào)性.(2)設(shè)轉(zhuǎn)換為二次方程，確定二次方程有兩個(gè)不同解，根據(jù)方程的兩個(gè)解與極值關(guān)系得到范圍.【題目詳解】解：(1)令，得，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間為或（2）令因?yàn)殛P(guān)于的方程至多有兩個(gè)實(shí)根，①當(dāng)顯然無零點(diǎn)，此時(shí)不滿足題意；②當(dāng)有且只有一個(gè)實(shí)根，結(jié)合函數(shù)的圖像，可得此時(shí)至多上零點(diǎn)也不滿足題意③當(dāng)，此時(shí)有兩個(gè)不等實(shí)根設(shè)若要有四個(gè)零點(diǎn)則而，所以解得又故【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的零點(diǎn)問題，綜合性大，計(jì)算較難，意在考查學(xué)生對于函數(shù)導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合靈活運(yùn)用和計(jì)算能力.18、（1）；（2）分布列見解析，期望為．【解題分析】分析：（1）每個(gè)學(xué)生必須且只能選學(xué)其中門課程，每一個(gè)人都有4種選擇，共有，名學(xué)生選學(xué)課程互不相同，則有種，從而求解；（2）的所有可能取值為，，，，分別算出對應(yīng)的概率，再利用期望公式求解.詳解：（1）名學(xué)生選學(xué)的課程互不相同的概率.（2）的所有可能取值為，，，，，，，，∴的分布列為：.點(diǎn)睛：求隨機(jī)變量及其分布列的一般步驟(1)明確隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每個(gè)值所表示的意義．(2)利用排列、組合知識(shí)或互斥事件、獨(dú)立事件的概率公式求出隨機(jī)變量取每個(gè)可能值的概率；(3)按規(guī)范形式寫出隨機(jī)變量的分布列，并用分布列的性質(zhì)驗(yàn)證．19、（1）；（2）分布列見解析，.【解題分析】

（1）這是相互獨(dú)立事件，所以甲購買書籍的概率直接相乘即可.（2）基本事件為甲購買兩本書和乙購買兩本書的概率，所以先求出基本事件的概率，然后再求分布列.【題目詳解】（1）記“甲同學(xué)購買3種書籍”為事件A，則.答：甲同學(xué)購買3種書籍的概率為.（2）設(shè)甲、乙同學(xué)購買2種書籍的概率分別為，.則，，所以，所以.，，.所以X的概率分布為X012P.答：所求數(shù)學(xué)期望為.【題目點(diǎn)撥】本題考查相互獨(dú)立事件的概率，考查二項(xiàng)分布獨(dú)立重復(fù)事件的概率的求法，解題的關(guān)鍵是找出基本事件的概率，屬于中檔題.20、（1）（2）【解題分析】

（1）根據(jù)為真命題先判斷出的單調(diào)性，然后利用分析的取值或取值范圍；（2）先分別求解出為真時(shí)的取值范圍，然后根據(jù)含邏輯聯(lián)結(jié)詞的復(fù)合命題的真假判斷出的真假，從而求解出的取值范圍.【題目詳解】（1）在上單調(diào)遞增則對恒成立∴；（2）在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，命題為真命題：即，所以，由命題“”為真命題，“”為假命題知一真一假若真假，若假真，則綜上所述，.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及根據(jù)含邏輯聯(lián)結(jié)詞的復(fù)合命題真假求解參數(shù)范圍，其中涉及到用分離參數(shù)法解決恒成立問題，屬于綜合型問題，難度一般.（1）注意定義法判斷函數(shù)單調(diào)性的轉(zhuǎn)換：在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，在定義域內(nèi)單調(diào)遞減；（2）根據(jù)含邏輯聯(lián)結(jié)詞的復(fù)合命題的真假求解參數(shù)范圍時(shí)，注意先判斷各命題的真假.21、(1)（2）存在，且或時(shí)，使得曲線與軸有兩個(gè)交點(diǎn).【解題分析】試題分析：解：（1），因?yàn)樵诤吞幦〉脴O值，所以和是＝0的兩個(gè)根，則解得經(jīng)檢驗(yàn)符合已知條件故（2）由題意知，令得，或，隨著變化情況如下表所示：

1

（1，3）

3

－

0

+

0

－

遞