2024屆廣州市嶺南中學數學高二第二學期期末綜合測試試題含解析

2024屆廣州市嶺南中學數學高二第二學期期末綜合測試試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知定義在上的可導函數的導函數為，滿足，且，則不等式（為自然對數的底數）的解集為（）A． B． C． D．2．平面內有兩個定點和，動點滿足，則動點的軌跡方程是（）．A． B．C． D．3．若的展開式中含有項的系數為8，則（）A．2 B． C． D．4．集合，，則（）A． B． C． D．5．直線（為參數）上與點的距離等于的點的坐標是A． B．C．或 D．或6．若復數滿足，則復數在復平面上所對應的圖形是（）A．橢圓 B．雙曲線 C．直線 D．線段7．某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．8．設集合A＝{x|x2－3x＜0}，B＝{x|－2≤x≤2}，則A∩B＝()A．{x|2≤x＜3}B．{x|－2≤x＜0}C．{x|0＜x≤2}D．{x|－2≤x＜3}9．指數函數是增函數，而是指數函數，所以是增函數，關于上面推理正確的說法是（）A．推理的形式錯誤 B．大前提是錯誤的 C．小前提是錯誤的 D．結論是真確的10．若將函數f(x)＝x5表示為f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5為實數，則（）A． B． C． D．11．在同一坐標系中，將曲線變?yōu)榍€的伸縮變換公式是（）A． B． C． D．12．安排4名志愿者完成5項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有A．120種 B．180種 C．240種 D．480種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設隨機變量的分布列（其中），則___．14．曲線在P（1，1）處的切線方程為_____．15．=________________。16．設圓錐的高是，母線長是，用過圓錐的頂點的平面去截圓錐，則截面積的最大值為_______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數（1）求函數的單調區(qū)間；（2）若函數恰有四個零點，求實數的取值范圍。18．（12分）某中學開設了足球、籃球、乒乓球、排球四門體育課程供學生選學，每個學生必須且只能選學其中門課程.假設每個學生選學每門課程的概率均為，對于該校的甲、乙、丙名學生，回答下面的問題.（1）求這名學生選學課程互不相同的概率；（2）設名學生中選學乒乓球的人數為，求的分布列及數學期望.19．（12分）甲、乙兩位同學進入新華書店購買數學課外閱讀書籍，經過篩選后，他們都對三種書籍有購買意向，已知甲同學購買書籍的概率分別為,乙同學購買書籍的概率分別為,假設甲、乙是否購買三種書籍相互獨立.（1）求甲同學購買3種書籍的概率；（2）設甲、乙同學購買2種書籍的人數為,求的概率分布列和數學期望.20．（12分）已知命題:函數對任意均有;命題在區(qū)間上恒成立.（1）如果命題為真命題，求實數的值或取值范圍；（2）命題“”為真命題，“”為假命題，求實數的取值范圍.21．（12分）已知函數，且在和處取得極值.（I）求函數的解析式.（II）設函數，是否存在實數，使得曲線與軸有兩個交點，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.22．（10分）夏天喝冷飲料已成為年輕人的時尚.某飲品店購進某種品牌冷飲料若干瓶，再保鮮.（Ⅰ）飲品成本由進價成本和可變成本（運輸、保鮮等其它費用）組成.根據統(tǒng)計，“可變成本”（元）與飲品數量（瓶）有關系.與之間對應數據如下表：飲品數量（瓶）24568可變成本（元）34445依據表中的數據，用最小二乘法求出關于的線性回歸方程；如果該店購入20瓶該品牌冷飲料，估計“可變成本”約為多少元？（Ⅱ）該飲品店以每瓶10元的價格購入該品牌冷飲料若干瓶，再以每瓶15元的價格賣給顧客。如果當天前8小時賣不完，則通過促銷以每瓶5元的價格賣給顧客(根據經驗，當天能夠把剩余冷飲料都低價處理完畢，且處理完畢后，當天不再購進)．該店統(tǒng)計了去年同期100天該飲料在每天的前8小時內的銷售量(單位：瓶)，制成如下表：每日前8個小時銷售量（單位：瓶）15161718192021頻數10151616151315若以100天記錄的頻率作為每日前8小時銷售量發(fā)生的概率，若當天購進18瓶，求當天利潤的期望值.（注：利潤=銷售額購入成本“可變本成”）參考公式：回歸直線方程為，其中參考數據：，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】令所以,選B.點睛：利用導數解抽象函數不等式，實質是利用導數研究對應函數單調性，而對應函數需要構造.構造輔助函數常根據導數法則進行：如構造，構造，構造，構造等2、D【解題分析】

由已知條件知，點的運動軌跡是以，為焦點的雙曲線右支，從而寫出軌跡的方程即可.【題目詳解】解：由可知，點的運動軌跡是以，為焦點的雙曲線右支，，，，.所以動點的軌跡方程是.故選：D.【題目點撥】本題考查雙曲線的定義，求雙曲線的標準方程，屬于基礎題.3、A【解題分析】展開式中含有項的系數,,故選A.4、B【解題分析】由，得，故選B.5、D【解題分析】

直接利用兩點間的距離公式求出t的值，再求出點的坐標.【題目詳解】由，得，則，則所求點的坐標為或.故選D【題目點撥】本題主要考查直線的參數方程和兩點間的距離公式，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.6、D【解題分析】

根據復數的幾何意義知，復數對應的動點P到對應的定點的距離之和為定值2，且，可知動點的軌跡為線段.【題目詳解】設復數，對應的點分別為,則由知：,又，所以動點P的軌跡為線段.故選D【題目點撥】本題主要考查了復數的幾何意義，動點的軌跡，屬于中檔題.7、B【解題分析】

由三視圖可知，該幾何體是由一個四棱錐挖掉半個圓錐所得，故利用棱錐的體積減去半個圓錐的體積，就可求得幾何體的體積.【題目詳解】由三視圖可知，該幾何體是由一個四棱錐挖掉半個圓錐所得，故其體積為.故選B.【題目點撥】本小題主要考查由三視圖判斷幾何體的結構，考查不規(guī)則幾何體體積的求解方法，屬于基礎題.8、C【解題分析】

求出集合A中不等式的解集，結合集合B，得到兩個集合的交集．【題目詳解】A={x|x2﹣3x＜0}={x|0＜x＜3}，∵B={x|﹣2≤x≤2}，∴A∩B={x|0＜x≤2}，故選：C．【題目點撥】求集合的交、并、補時，一般先化簡集合，再由交、并、補的定義求解；在進行集合的運算時要盡可能地借助Venn圖和數軸使抽象問題直觀化．一般地，集合元素離散時用Venn圖表示；集合元素連續(xù)時用數軸表示，用數軸表示時要注意端點值的取舍．9、B【解題分析】分析:指數函數是R上的增函數，這個說法是錯誤的，要根據所給的底數的取值不同分類說出函數的不同單調性，有演繹推理的定義可知，大前提錯誤。詳解：指數函數是R上的增函數，這個說法是錯誤的，若,則是增函數，若,則是減函數所以大前提是錯誤的。所以B選項是正確的。點睛：本題主要考查指數函數的單調性和演繹推理，意在考查三段論的推理形式和指數函數的圖像性質，屬于基礎題。10、B【解題分析】分析：由題意可知，，然后利用二項式定理進行展開，使之與進行比較，可得結果詳解：由題可知：而則故選點睛：本題主要考查了二次項系數的性質，根據題目意思，將轉化為是本題關鍵，然后運用二項式定理展開求出結果11、C【解題分析】

根據新舊兩個坐標的對應關系，求得伸縮變換的公式.【題目詳解】舊的，新的，故，故選C.【題目點撥】本小題主要考查曲線的伸縮變換公式，屬于基礎題，解題關鍵是區(qū)分清楚新舊兩個坐標的對應關系.12、C【解題分析】

根據題意，分兩步進行分析：先將5項工作分成4組，再將分好的4組進行全排，對應4名志愿者，分別求出每一步的情況數，由分步計數原理計算即可得到答案?！绢}目詳解】根據題意，分2步進行分析：（1）先將5項工作分成4組，有種分組方法；（2）將分好的4組進行全排，對應4名志愿者，有種情況；分步計數原理可得：種不同的安排方式。故答案選C【題目點撥】本題考查排列、組合的綜合應用，注意題目中“每人至少完成1項，每項工作由1人完成”的要求，屬于基礎題。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據概率和為列方程，解方程求得的值.【題目詳解】依題意，解得.故填【題目點撥】本小題主要考查隨機變量分布列概率和為，考查方程的思想，屬于基礎題.14、【解題分析】因為曲線y=x3，則，故在點（1，1）切線方程的斜率為3，利用點斜式方程可知切線方程為15、【解題分析】

利用定積分的幾何意義及其計算公式，可得結論．【題目詳解】由題意，可得.故答案為．【題目點撥】本題主要考查了定積分的計算公式，以及定積分的幾何意義的應用，其中解答中熟記定積分的計算公式，合理使用定積分的幾何意義求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.16、1【解題分析】

求出圓錐的底面半徑，假設截面與圓錐底面交于，用表示出截面三角形的高，得出截面三角形的面積關于的表達式，利用基本不等式求出面積的最大值．【題目詳解】解：∵圓錐的高是，母線長是，

∴底面半徑，設過圓錐頂點的平面SCD與圓錐底面交于CD，過底面中心O作OA⊥CD于E，

設，則，，∴截面SCD的面積，故答案為：1．【題目點撥】本題考查了圓錐的結構特征，基本不等式的應用，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）單調增區(qū)間，單調減區(qū)間或；（2）.【解題分析】

(1)求導數，根據導數的正負確定函數單調性.(2)設轉換為二次方程，確定二次方程有兩個不同解，根據方程的兩個解與極值關系得到范圍.【題目詳解】解：(1)令，得，故函數的單調增區(qū)間為單調減區(qū)間為或（2）令因為關于的方程至多有兩個實根，①當顯然無零點，此時不滿足題意；②當有且只有一個實根，結合函數的圖像，可得此時至多上零點也不滿足題意③當，此時有兩個不等實根設若要有四個零點則而，所以解得又故【題目點撥】本題考查了函數的單調性，函數的零點問題，綜合性大，計算較難，意在考查學生對于函數導數知識的綜合靈活運用和計算能力.18、（1）；（2）分布列見解析，期望為．【解題分析】分析：（1）每個學生必須且只能選學其中門課程，每一個人都有4種選擇，共有，名學生選學課程互不相同，則有種，從而求解；（2）的所有可能取值為，，，，分別算出對應的概率，再利用期望公式求解.詳解：（1）名學生選學的課程互不相同的概率.（2）的所有可能取值為，，，，，，，，∴的分布列為：.點睛：求隨機變量及其分布列的一般步驟(1)明確隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義．(2)利用排列、組合知識或互斥事件、獨立事件的概率公式求出隨機變量取每個可能值的概率；(3)按規(guī)范形式寫出隨機變量的分布列，并用分布列的性質驗證．19、（1）；（2）分布列見解析，.【解題分析】

（1）這是相互獨立事件，所以甲購買書籍的概率直接相乘即可.（2）基本事件為甲購買兩本書和乙購買兩本書的概率，所以先求出基本事件的概率，然后再求分布列.【題目詳解】（1）記“甲同學購買3種書籍”為事件A，則.答：甲同學購買3種書籍的概率為.（2）設甲、乙同學購買2種書籍的概率分別為，.則，，所以，所以.，，.所以X的概率分布為X012P.答：所求數學期望為.【題目點撥】本題考查相互獨立事件的概率，考查二項分布獨立重復事件的概率的求法，解題的關鍵是找出基本事件的概率，屬于中檔題.20、（1）（2）【解題分析】

（1）根據為真命題先判斷出的單調性，然后利用分析的取值或取值范圍；（2）先分別求解出為真時的取值范圍，然后根據含邏輯聯結詞的復合命題的真假判斷出的真假，從而求解出的取值范圍.【題目詳解】（1）在上單調遞增則對恒成立∴；（2）在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，命題為真命題：即，所以，由命題“”為真命題，“”為假命題知一真一假若真假，若假真，則綜上所述，.【題目點撥】本題考查利用導數研究函數的單調性以及根據含邏輯聯結詞的復合命題真假求解參數范圍，其中涉及到用分離參數法解決恒成立問題，屬于綜合型問題，難度一般.（1）注意定義法判斷函數單調性的轉換：在定義域內單調遞增，在定義域內單調遞減；（2）根據含邏輯聯結詞的復合命題的真假求解參數范圍時，注意先判斷各命題的真假.21、(1)（2）存在，且或時，使得曲線與軸有兩個交點.【解題分析】試題分析：解：（1），因為在和處取得極值，所以和是＝0的兩個根，則解得經檢驗符合已知條件故（2）由題意知，令得，或，隨著變化情況如下表所示：

1

（1，3）

3

－

0

+

0

－

遞