2024屆北京市清華大學(xué)附中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末檢測模擬試題含解析

2024屆北京市清華大學(xué)附中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末檢測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知a=1,b=3-2A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>b C．b>c>a D．c>b>a2．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》對立體幾何也有深入的研究，從其中的一些數(shù)學(xué)用語可見，譬如“塹堵”意指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱，“陽馬”指底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐．現(xiàn)有一如圖所示的“塹堵”即三棱柱，其中，若，當(dāng)“陽馬”即四棱錐體積最大時，“塹堵”即三棱柱的表面積為A． B． C． D．3．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．周末，某高校一學(xué)生宿舍有甲乙丙丁四位同學(xué)分別在做不同的四件事情，看書、寫信、聽音樂、玩游戲，下面是關(guān)于他們各自所做事情的一些判斷：①甲不在看書，也不在寫信；②乙不在寫信，也不在聽音樂；③如果甲不在聽音樂，那么丁也不在寫信；④丙不在看書，也不在寫信.已知這些判斷都是正確的，依據(jù)以上判斷，乙同學(xué)正在做的事情是（）A．玩游戲 B．寫信 C．聽音樂 D．看書5．已知橢圓，點在橢圓上且在第四象限，為左頂點，為上頂點，交軸于點，交軸于點，則面積的最大值為()A． B． C． D．6．甲、乙等五個人排成一排，要求甲和乙不能相鄰，則不同的排法種數(shù)為（）A．48 B．60 C．72 D．1207．設(shè)橢機(jī)變量X～N(3,1)，若P(X＞4)＝p，則P(2＜X＜4)＝A．＋p B．1－p C．1－2p D．－p8．“，”的否定是A．， B．，C．， D．，9．已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），其中是的共軛復(fù)數(shù)，，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A． B． C． D．10．已知一段演繹推理：“因為指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，而是指數(shù)函數(shù)，所以是增函數(shù)”，則這段推理的()A．大前提錯誤 B．小前提錯誤 C．結(jié)論正確 D．推理形式錯誤11．函數(shù)的遞增區(qū)間為（）A．， B．C．， D．12．已知的邊上有一點滿足，則可表示為()A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．觀察下列等式：按此規(guī)律，第個等式可為__________．14．已知是夾角為的兩個單位向量，，則___．15．用數(shù)學(xué)歸納法證明時，由的假設(shè)到證明時，等式左邊應(yīng)添加的式子是__________．16．已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，數(shù)列的前項和為.若，則數(shù)列的通項公式為_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某工廠每年定期對職工進(jìn)行培訓(xùn)以提高工人的生產(chǎn)能力（生產(chǎn)能力是指一天加工的零件數(shù)）．現(xiàn)有、兩類培訓(xùn)，為了比較哪類培訓(xùn)更有利于提高工人的生產(chǎn)能力，工廠決定從同一車間隨機(jī)抽取100名工人平均分成兩個小組分別參加這兩類培訓(xùn)．培訓(xùn)后測試各組工人的生產(chǎn)能力得到如下頻率分布直方圖．（1）記表示事件“參加類培訓(xùn)工人的生產(chǎn)能力不低于130件”，估計事件的概率；（2）填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認(rèn)為工人的生產(chǎn)能力與培訓(xùn)類有關(guān)：生產(chǎn)能力件生產(chǎn)能力件總計類培訓(xùn)50類培訓(xùn)50總計100（3）根據(jù)頻率分布直方圖，判斷哪類培訓(xùn)更有利于提高工人的生產(chǎn)能力，請說明理由．參考數(shù)據(jù)0.150.100.0500.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.879參考公式：，其中.18．（12分）我們稱點到圖形上任意一點距離的最小值為點到圖形的距離，記作（1）求點到拋物線的距離；（2）設(shè)是長為2的線段，求點集所表示圖形的面積；（3）試探究：平面內(nèi)，動點到定圓的距離與到定點的距離相等的點的軌跡．19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點，軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的普通方程及曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線交于，兩點，求.20．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）若在處有極小值，求實數(shù)的值；（Ⅱ）若在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍．21．（12分）已知函數(shù)f(x)=x(1)判斷并證明f(x)在[0,1(2)若x∈[-1,2]，求22．（10分）在銳角中，角所對的邊分別為，已知．證明：；若的面積，且的周長為10，為的中點，求線段的長．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

將b、c進(jìn)行分子有理化，分子均化為1，然后利用分式的基本性質(zhì)可得出三個數(shù)的大小關(guān)系?！绢}目詳解】由3而3+2<6+5，所以b>c，又【題目點撥】本題考查比較大小，在含有根式的數(shù)中，一般采用有理化以及平方的方式來比較大小，考查分析問題的能力，屬于中等題。2、C【解題分析】分析：由四棱錐的體積是三棱柱體積的，知只要三棱柱體積最大，則四棱錐體積也最大，求出三棱柱的體積后用基本不等式求得最大值，及取得最大值時的條件，再求表面積．詳解：四棱錐的體積是三棱柱體積的，，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號．∴．故選C．點睛：本題考查棱柱與棱錐的體積，考查用基本不等式求最值．解題關(guān)鍵是表示出三棱柱的體積．3、D【解題分析】

化簡復(fù)數(shù)，再判斷對應(yīng)象限.【題目詳解】，對應(yīng)點位于第四象限.故答案選D【題目點撥】本題考查了復(fù)數(shù)的計算，屬于簡單題.4、D【解題分析】

根據(jù)事情判斷其對應(yīng)關(guān)系進(jìn)行合情推理進(jìn)而得以正確分析【題目詳解】由于判斷都是正確的，那么由①知甲在聽音樂或玩游戲；由②知乙在看書或玩游戲；由③知甲聽音樂時丁在寫信；由④知丙在聽音樂或玩游戲，那么甲在聽音樂，丙在玩游戲，丁在寫信，由此可知乙肯定在看書故選：D．【題目點撥】本題考查了合情推理，考查分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題．5、C【解題分析】

若設(shè)，其中，則，求出直線，的方程，從而可得，兩點的坐標(biāo)，表示的面積，設(shè)出點處的切線方程，與橢圓方程聯(lián)立成方程組，消元后判別式等于零，求出點的坐標(biāo)可得答案.【題目詳解】解：由題意得，設(shè)，其中，則，所以直線為，直線為，可得，所以，所以，設(shè)處的切線方程為由，得，，解得，此時方程組的解為，即點時，面積取最大值故選：C【題目點撥】此題考查了橢圓的性質(zhì)，三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題.6、C【解題分析】

因為甲和乙不能相鄰，利用插空法列出不同的排法的算式，得到答案.【題目詳解】甲、乙等五個人排成一排，要求甲和乙不能相鄰，故先安排除甲、乙外的3人，然后安排甲、乙在這3人之間的4個空里，所以不同的排法種數(shù)為，故選C項.【題目點撥】本題考查排列問題，利用插空法解決不相鄰問題，屬于簡單題.7、C【解題分析】分析：根據(jù)題目中：“正態(tài)分布N（3，1）”，畫出其正態(tài)密度曲線圖：根據(jù)對稱性，由P（X＞4）=p的概率可求出P（2＜X＜4）．詳解：∵隨機(jī)變量X～N（3，1），觀察圖得，P（2＜X＜4）=1﹣2P（X＞4）=1﹣2p．故選：C．點睛：本題主要考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，注意根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性解決問題．8、D【解題分析】

通過命題的否定的形式進(jìn)行判斷．【題目詳解】因為全稱命題的否定是特稱命題，故“，”的否定是“，”.故選D.【題目點撥】本題考查全稱命題的否定，屬基礎(chǔ)題.9、A【解題分析】分析：設(shè)，利用的共軛復(fù)數(shù)是，列出方程組求a、b的值即可.詳解：設(shè)，的共軛復(fù)數(shù)是，又，，又，，.故選：A.點睛：本題主要考查了復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)與代數(shù)運算的應(yīng)用問題.10、A【解題分析】

分析該演繹推理的大前提、小前提和結(jié)論，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)判斷正誤，可以得出正確的答案．【題目詳解】該演繹推理的大前提是：指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，小前提是：是指數(shù)函數(shù)，結(jié)論是：是增函數(shù)．其中，大前提是錯誤的，因為時，函數(shù)是減函數(shù)，致使得出的結(jié)論錯誤．故選：A．【題目點撥】本題考查了演繹推理的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)根據(jù)演繹推理的三段論是什么，進(jìn)行逐一判定，得出正確的結(jié)論，是基礎(chǔ)題．11、A【解題分析】分析：直接對函數(shù)求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)大于0，即可求得增區(qū)間.詳解：，，增區(qū)間為.故答案為A.點睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性中的應(yīng)用，需要注意的是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間一定是函數(shù)的定義域的子集，因此求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間一般下，先求定義域；或者直接求導(dǎo)，在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間.12、D【解題分析】

由，結(jié)合題中條件即可得解.【題目詳解】由題意可知.故選D.【題目點撥】本題主要考查了平面向量的基本定理，熟練掌握向量的加減法及數(shù)乘運算是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)【解題分析】

試題分析：題目中給出的前三個等式的特點是第一個等式的左邊僅含一項，第二個等式的左邊含有兩項相乘，第三個等式的左邊含有三項相乘，由此歸納第n個等式的左邊含有n項相乘，由括號內(nèi)數(shù)的特點歸納第n個等式的左邊應(yīng)為：（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n），每個等式的右邊都是2的幾次冪乘以從1開始幾個相鄰奇數(shù)乘積的形式，且2的指數(shù)與奇數(shù)的個數(shù)等于左邊的括號數(shù)，由此可知第n個等式的右邊為?1?3?5…（2n-1）．所以第n個等式可為（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=?1?3?5…（2n-1）．故答案為14、【解題分析】

先計算得到，再計算，然后計算.【題目詳解】是夾角為的兩個單位向量故答案為【題目點撥】本題考查了向量的計算和模，屬于向量的常考題型，意在考查學(xué)生的計算能力.15、【解題分析】分析：根據(jù)等式左邊的特點，各項數(shù)字先遞增再遞減，分別寫出與的結(jié)論，即可得到答案.詳解：根據(jù)等式左邊的特點，各項數(shù)字先遞增再遞減，得時，左邊時，左邊比較兩式，等式左邊應(yīng)添加的式子是故答案為點睛：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法，由的假設(shè)到證明時，等式左邊應(yīng)添加的式子.16、【解題分析】

先設(shè)數(shù)列的前項和為，先令，得出求出的值，再令，得出，結(jié)合的值和的通項的結(jié)構(gòu)得出數(shù)列的通項公式?！绢}目詳解】設(shè)數(shù)列的前項和為，則.當(dāng)時，，，；當(dāng)時，.也適合上式，.由于數(shù)列是等差數(shù)列，則是關(guān)于的一次函數(shù)，且數(shù)列是等比數(shù)列，，可設(shè)，則，，因此，。故答案為：?！绢}目點撥】本題考查利用前項和公式求數(shù)列的通項，一般利用作差法求解，即，在計算時要對是否滿足通項進(jìn)行檢驗，考查計算能力，屬于中等題。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)見解析；(3)見解析【解題分析】

（1）由頻率分布直方圖用頻率估計概率，求得對應(yīng)的頻率值，用頻率估計概率即可；（2）根據(jù)題意填寫列聯(lián)表，計算觀測值，對照臨界值得出結(jié)論；（3）根據(jù)頻率分布直方圖，判斷、類生產(chǎn)能力在130以上的頻率值，比較得出結(jié)論．【題目詳解】解：（1）由頻率分布直方圖，用頻率估計概率得，所求的頻率為，估計事件的概率為；（2）根據(jù)題意填寫列聯(lián)表如下，類培訓(xùn)生產(chǎn)能力件的人數(shù)為，類培訓(xùn)生產(chǎn)能力件的人數(shù)為，類培訓(xùn)生產(chǎn)能力件的人數(shù)為，類培訓(xùn)生產(chǎn)能力件的人數(shù)為，生產(chǎn)能力件生產(chǎn)能力件總計類培訓(xùn)361450類培訓(xùn)123850總計4852100由列聯(lián)表計算，所以有的把握認(rèn)為工人的生產(chǎn)能力與培訓(xùn)類有關(guān)；（3）根據(jù)頻率分布直方圖知，類生產(chǎn)能力在130以上的頻率為0.28，類培訓(xùn)生產(chǎn)能力在130以上的頻率為0.76，判斷類培訓(xùn)更有利于提高工人的生產(chǎn)能力．【題目點撥】本題考查了頻率分布直方圖與獨立性檢驗的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．18、（1）（2）（3）見解析【解題分析】

(1)設(shè)A是拋物線上任意一點，先求出|PA|的函數(shù)表達(dá)式，再求函數(shù)的最小值得解；(2）由題意知集合所表示的圖形是一個邊長為2的正方形和兩個半徑是1的半圓，再求出面積；(3)將平面內(nèi)到定圓的距離轉(zhuǎn)化為到圓上動點的距離，再分點現(xiàn)圓的位置關(guān)系，結(jié)合圓錐曲線的定義即可解決．【題目詳解】(1)設(shè)A是拋物線上任意一點，則，因為,所以當(dāng)時，.點到拋物線的距離.（2）設(shè)線段的端點分別為，，以直線為軸，的中點為原點建立直角坐標(biāo)系，則，，點集由如下曲線圍成：，，，，，，，，集合所表示的圖形是一個邊長為2的正方形和兩個半徑是1的半圓，其面積為．(3)設(shè)動點為，當(dāng)點在圓內(nèi)不與圓心重合，連接并延長，交于圓上一點，由題意知，，所以，即的軌跡為一橢圓；如圖．如果是點在圓外，由，得，為一定值，即的軌跡為雙曲線的一支；當(dāng)點與圓心重合，要使，則必然在與圓的同心圓，即的軌跡為一圓.【題目點撥】本題主要考查新定義的理解和應(yīng)用，考查拋物線中的最值問題，考查軌跡問題，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.19、(1)(2)【解題分析】分析：（1）由參數(shù)方程消去參數(shù)t即可得直線的普通方程，利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化公式即可得曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）由（1）求出圓心坐標(biāo)和半徑，由點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，代入弦長公式求出.詳解：（1）直線：（為參數(shù)）的普通方程為.因為，所以，所以，又，，故曲線的普通方程為.（2）據(jù)（1）求解知，直線的普通方程為，曲線：為以點為圓心，半徑長為的圓，所以點到直線的距離，所以直線被曲線截得線段的長為.點睛：轉(zhuǎn)化與化歸思想在參數(shù)方程、極坐標(biāo)問題中的運用在對坐標(biāo)系與參數(shù)方程的考查中，最能體現(xiàn)坐標(biāo)法的解題優(yōu)勢，靈活地利用坐標(biāo)法可以使問題得到簡捷的解答．例如，將題設(shè)條件中涉及的極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程等價轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，然后在直角坐標(biāo)系下對問題進(jìn)行求解就是一種常見的解題方法，對應(yīng)數(shù)學(xué)問題求解的“化生為熟”原則，充分體現(xiàn)了