相似三角形篇（解析版）-2023年中考數(shù)學(xué)必考考點總結(jié)+題型專訓(xùn)（全國通用）

專題28相似三角形

考點一：比例

知識回顧

1.比例的性質(zhì):

①基本性質(zhì)：兩內(nèi)項之積等于量外項之積。即若a/=c:d,則從=4。

本X人"MH什。CC+d

②合比性質(zhì)：若:=1，則］一=—―o

bdbcl

八fii/ice什。cp.,1ct—bc-d

③分比性質(zhì)：若：=［，則］一二——o

bdbd

④合分比性質(zhì)：若q=￡,則史史=*

bda-bc-d

Z=XA-A..,=e-H-?cma+c+...+macm

⑤等比?性質(zhì)：若一=-=i=—,則------------=一=一=

bdnb+d+...+nbdn

2.比例線段:

若四條線段a,b,c,d,如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等,

如a:b=c:d（即匕c=ad）,我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段。

3.平行線分線段成比例:

三條平行線被兩條直線所截，所得的對應(yīng)線段成比例。

即如圖：有空=匹

BCEF

ABDE

~AC~~DF

BCEF

~AC~~DF

推論:

①平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例。

②如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行

于三角形的第三邊。

③平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交的直線，所截得的三角形的三

邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例。

微專題

jJ

1.（2022?鎮(zhèn)江）《九章算術(shù)》中記載，戰(zhàn)國時期的銅衡桿，其形式既不同于天平衡桿，也異于稱桿.衡

桿正中有拱肩提紐和穿線孔，一面刻有貫通上、下的十等分線.用該衡桿稱物，可以把被稱物與祛碼放

在提紐兩邊不同位置的刻線上，這樣，用同一個祛碼就可以稱出大于它一倍或幾倍重量的物體.圖為銅

衡桿的使用示意圖，此時被稱物重量是祛碼重量的倍.

被稱物磋碼

【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)解決此題.

【解答】解：由題意得，5〃？被稱物=6m硅碼.

被稱物：加碼=6：5=1.2.

故答案為：1.2.

2.（2022?巴中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，C為03的04邊上一點，AC：OC=1：2,過C作CO

【分析】根據(jù)CO〃O8得出組J1，根據(jù)AC：0c=1：2,得出空■小，根據(jù)C、〃兩點縱坐標(biāo)分別

AOOBA03

為1、3,得出08=6,即可得出答案.

【解答】解.：：C￡）〃OB,

.ACCD

AOOB

VAC：0C=\：2,

.AC1

AO3

VC,。兩點縱坐標(biāo)分別為1、3,

：.CD=3-1=2,

?.?--2--1t

OB3

解得：08=6,

點的縱坐標(biāo)為6,故選：C.

A￡)2

3.(2022?臨沂)如圖，在△ABC中，DE//BC,——=-,若AC=6,則EC=()

DB3

【分析】利用平行線分線段成比例定理解答即可.

【解答】解：???OE〃8C,

.ADAE=2

"DB"EC3"

?..-A-C---E-C--2r

EC3

?.?-6---E-C--2f

EC3

：,EC=—.故選：C.

5

4.（2022?麗水）如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個點A,B,

C都在橫線上.若線段AB=3,則線段BC的長是（）

32

【分析】過點4作平行橫線的垂線，交點8所在的平行橫線于。，交點C所在的平行橫線于E,根據(jù)平

行線分線段成比例定理列出比例式，計算即可.

【解答】解：過點A作平行橫線的垂線，交點8所在的平行橫線于。，交點C所在的平行橫線于E,

則坐=期.，即a=2,

BCDEBC

解得：8c=旦，

2

5.（2022?襄陽）如圖，在△ABC中，。是AC的中點，△A8C的角平分線AE交8力于點尸，若8F：FD

=3：1,AB+BE=36，則△ABC的周長為

【分析】如圖，過點尸作尸于點M,FNLAC于點、N,過點。作。T〃AE交8c于點T.證明A8

=3AZ),設(shè)AD=CC=a,證明E7=C7,設(shè)ET=CT=b,則BE=36,求出a+6可得結(jié)論.

【解答】解：如圖，過點尸作于點M,FNLAC于點N,過點。作OT〃AE交8c于點7.

平分NBAC,FM1AB,FNLAC,

：.FM=FN,

eAWK

b卜

>..AABF——_1B11F■■_21________—QD

SAADFdfy-AD-FN

.?.A8=3AQ,

設(shè)AO=DC=〃，則A6=3a,

?；AD=DC,DT//AE.

：.ET=CT,

?BEBF_a

ETDF

設(shè)ET=CT=b,貝ijBE=3b,

；48+8E=3后

，3a+36=3愿，

.'.a+b—^/3^

：./\ABC的周長=4B+AC+8C=5a+5b=5遙，

故答案為：5e.

6.（2022?哈爾濱）如圖，AB//CD,AC,BQ相交于點E,AE=\,EC=2,DE=3,則8。的長為（

【解答】解：：A8〃C￡>,

△ABEsACDE,

.1AE_BEnn1-BE

??—―一■，up,一一一,

CEDE23

:.BE=L5,

：.BD=BE+DE=4.5.

故選：C.

An2DF

7.（2022?雅安）如圖，在△ABC中，D,E分別是A8和AC上的點，DE//BC,若——那么——

BD1BC

）

A

【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理解答即可.

【解答】解：?：DE〃BC,

:.△ADEs/\ABC,

.DE=AD

,"BCAB'

..AD=2

,BDT

?.?AD_2,

AB3

.DEAD2

"BC=AB=3"

故選：D.

AO2

8.（2022?涼山州）如圖，在△48C中，點￡）、E分別在邊A8、AC上，若DE〃BC,——=一，DE=6cm,

BD3

則BC的長為（）

【分析】根據(jù)坦=2,得到坦=2,根據(jù)DE〃8C,得至NAED=NC,得到△AOEs

DB3AB5

△ABC,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例即可得出答案.

【解答】解：?.?迪?=2,

DB3

?..AD_2-,

AB5

,:DE〃BC,

：.NADE=NB,ZAED=ZCf

：./\ADE^AABC9

.DE=AD

"BCAB'

.6_2

BC5

：.BC=\5(an)，

故選：C.

9.(2022?鞍山)如圖，ABHCD,AD,8c相交于點E,若AE：DE=1：2,AB=2.5,則CD的長為

【分析】由平行線的性質(zhì)求出/8=/C,其對應(yīng)角相等得△EABS^EDC,再由相似三角形

的性質(zhì)求出線段C。即可.

【解答】解：,??A8〃CC,

:.NB=/C,ZA^ZD,

:AEABsAEDC,

：.AB：CD=AE：DE=\：2,

又：A8=2.5,

：.CD=5.故答案為：5.

AnDE

10.（2022?上海）如圖，在△ABC中，NA=30°,NB=90°，。為A8中點，E在線段AC上，——=——，

ABBC

【分析】利用平行線截線段成比例解答.

【解答】解：為AB中點，

.AD=2

"AB~2'

當(dāng)?！辍˙C時，^ADE^/XABC,則他=匹=迫=-1

ABBCAC2

當(dāng)OE與2C不平行時，DE=DE',迪一=>1

AC4

故答案是：工或工.

11.（2022?宜賓）如圖，△ABC中，點E、F分別在邊A3、AC上，Z1-Z2.若BC=4,AF=2,CF=3,

則EF=

/A=N4,得出再由相似三角形的性質(zhì)即可得出E/的長度.

【解答】解：=

?.?-E-F--A-F-,

BCAC

VBC=4,AF=2,CF=3,

?.?EF―2*

42+3

；.EF=—,

5

故答案為：1

5

考點二：相似三角形的性質(zhì)

知識回顧

1.相似圖形的概念:

把形狀相同的圖形稱為相似圖形。

2.相似三角形的概念:

如果兩個三角形的對應(yīng)邊的比相等，對應(yīng)角相等，那么這兩個三角形相似。

3.相似三角形的性質(zhì)：

①相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等。對應(yīng)邊的比叫做相似比。

②相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方。相似三角形的對應(yīng)線段（對應(yīng)中

線、對應(yīng)角平分線、對應(yīng)邊上的高）的比也等于相似比。

/----------------\

微專題

AB1

12.（2022?蘭州）已知——=_,若8c=2,則EF=（）

DE2

A.4B.6C.8D.16

【分析】利用相似三角形的性質(zhì)可得包_注，代入即可得出的長.

DEEF

【解答】解：V/\ABC^^DEF,

.ABBC

DEEF

?.?--2-二1,

EF2

：.EF=4,

故選：A.

13.(2022?賀州)如圖，在△ABC中,DE//BC,DE=2,BC=5,則S&WE：S“BC的值是()

【分析】根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方計算即可.

【解答】解：-DE//BC,

:S\ADEsS入ABC，

?:DE=2,BC=5,

SAADE：SMBC的值為,

25

故選：B.

14.（2022?甘肅）若△ABCsaoEF,BC=6,EF=4,則——=（）

DF

4923

A.-B.-C.—D.一

9432

【分析】根據(jù)可以得到叫然后根據(jù)BC=6,EF=4,即可得到3s的值.

EFDFDF

【解答】解：,:△ABCs&DEF,

?.?BC-AC,

EFDF

,:BC=6,M=4,

??.AC=6—_3f

DF42

故選：D.

15.（2022?紹興）將一張以AB為邊的矩形紙片，先沿一條直線剪掉一個直角三角形，在剩下的紙片中，

再沿一條直線剪掉一個直角三角形（剪掉的兩個直角三角形相似），剩下的是如圖所示的四邊形紙片

ABCD,其中/A=90°,A8=9,BC=1,CD=6,A￡>=2,則剪掉的兩個直角三角形的斜邊長不可能是

（）

【分析】根據(jù)題意，畫出相應(yīng)的圖形，然后利用相似三角形的性質(zhì)和分類討論的方法，求出剪掉的兩個

直角三角形的斜邊長，然后即可判斷哪個選項符合題意.

【解答】解：如右圖1所示，

由已知可得，ADFEsAECB,

ECCBEB

設(shè)。尸=x,CE=y,

則三獸生，

y72+x

（27

x=^T-

.?.CE=CD+CE=6+2L=至，故選項8不符合題意;

44

EB=DF+AD=^-+2=—,故選項。不符合題意；

44

如圖2所示，

由已知可得，△DCFsXFEB,

則匹

FEEBFB

設(shè)FC=〃?，F(xiàn)D=",

則旦=私=n,

9n+2m+7

解得M,

ln=10

：.FD^IO,故選項C不符合題意；

BF=FC+BC=S+1=\5t

如圖3所示：

此時兩個直角三角形的斜邊長為6和7：

故選：A.

16.（2022?連云港）△ABC的三邊長分別為2,3,4,另有一個與它相似的三角形其最長邊為12,

則△QEF的周長是（）

A.54B.36C.27D.21

【分析】（1）方法一：設(shè)2對應(yīng)的邊是x,3對應(yīng)的邊是y,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等列等式,

解出即可；

方式二：根據(jù)相似三角形的周長的比等于相似比，列出等式計算.

【解答】解：方法一：設(shè)2對應(yīng)的邊是x,3對應(yīng)的邊是y,

,:△ABCsXDEF,

?.?.2_.3_..4,

xy12

?.x=6,y=9,

??.△QEF的周長是27；

方式二：,:△ABCSXDEF,

./△ABC_4

,△DEF12

.2+3+4_1

??,

,△DEF3

:，CADEF=27；

故選：C.

考點三：相似三角形的判定：

f------------------、

知識回顧

V________________>

1.相似三角形的判定：

①平行線法判定：

平行于三角形一邊的直線與三角形的另兩邊或另兩邊的延長線相交所構(gòu)成的三角形與原三角形相

似。

②對應(yīng)邊判定：

三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似。

③兩邊及其夾角判定法：

兩組對應(yīng)邊的比相等，且這兩組對應(yīng)邊的夾角相等的兩個三角形相似。

④兩角判定：

有兩組角（三組角）對應(yīng)相等的兩個三角形相似。

微專題

17.（2022?邵陽）如圖，在△4BC中，點。在AB邊上，點E在AC邊上，請?zhí)砑右粋€條件

使△A￡>Es/\ABC.

A

【分析】要使兩三角形相似，已知一組角相等，則再添加一組角或公共角的兩邊對應(yīng)成比例即可.

【解答】解：???NA=NA,

當(dāng)NADE=NB或NA￡?=ZC或坦=幽時，/\ADE^^ABC,

ABAC

故答案為:/A。七=/8或/4瓦＞=/。或坦=膽（答案不唯一）.

ABAC

18.（2022?徐州）如圖，若方格紙中每個小正方形的邊長均為1,則陰影部分的面積為（）

【分析】證明求得4氏CE,再根據(jù)三角形的面積關(guān)系求得結(jié)果.

【解答】解：；CO〃AB,

:AABEs^CDE,

?..-A--E-=AB=-4-=yc,

CECD2

，$陰影《S/kABC=fxfx4x4卷,

故選：C.

19.（2022?東營）如圖，點。為△ABC邊AB上任一點，DE"BC交AC于點E,連接BE、CQ相交于點

F,則下列等式中不成立的是（)

A

-A---D--..A...E..B-D---E----D--F--DEAE.E...F..---A--E--

DB~ECBC~FC"BC~EC'BF~AC

【分析】由。E〃8c根據(jù)平行線分線段成比例定理得2D=迪，可判斷A正確：

DBEC

由△￡￡＞尸尸根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例得邁=工工，可判斷B正確；

BCFC

由△ADEs△48C得工些=膽會鯉，可判斷C錯誤；

BCACEC

由更=JE,M=DE,得里；E&,可判斷。正確.

BFBCACBCBFAC

【解答】解：

.AD=AE

,,DBEC"

故A正確：

,:XEDFsABCF,

.DE=DF

*'BC而’

故8正確；

VAADE^AAfiC,

.DE=_^_^AE

*'BCACEC'

故C錯誤；

..EF=DEAE=DE

"BFBC'AC而'

.EF=AE

"BFAC'

故。正確，

故選：c.

20.（2022?攀枝花）如圖，在矩形ABCD中，A5=6,AO=4,點E、尸分別為3C、CD的中點，BF、DE

相交于點G,過點E作EH〃CD,交BF于點、H,則線段G”的長度是（)

AB

555

A.—B.1C.-D.一

643

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出DC=A8=6,8c=4。=4,NC=90°,求出。F=CF=2OC=3,CE=

2

BE=LBC=2,求出FH=BH,根據(jù)勾股定理求出BF,求出FH=BH="根據(jù)三角形的中位線求出

22

EH,根據(jù)相似三角形的判定得出△EHGSADFG,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出里烏，再求出答案即

DFFG

可.

【解答】解：...四邊形A8CQ是矩形，AB=6,AD=4,

.?.〃C=48=6,BC=AO=4,NC=90°,

?.?點E、尸分別為8C、CO的中點，

：.DF^CF^—DC^3,CE=BE=±BC=2,

22

'：EH//CD,

：.FH=BH,

:BE=CE,

.-.EH=^CF'=—,

22

由勾股定理得：BF=VBC24CF2=V42+32=5,

：.BH=FH=-^BF=^-,

22

,JEH//CD,

:./\EHGS/\DFG,

.EHGH

.?一'一二一,

DFFG

3,

kpr

解得：GH=上，

6

故選：A.

21.（2022?衢州）西周數(shù)學(xué)家商高總結(jié)了用“矩”（如圖1）測量物高的方法：把矩的兩邊放置成如圖2

的位置，從矩的一端A（人眼）望點E,使視線通過點C,記人站立的位置為點8,量出BG長，即可算

得物高EG.令BG=xCm),EG=y(zn),若a=30c/w,b—6Gcm,1.6m,則y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)

式為（）

圖1圖2

11

A.y-----xB.y=—x+1.6

22

「c/18000

C.y=2x+1.6D.y=--------+1.6

X

【分析】根據(jù)題意和圖形，可以得到A尸=8G=w?,EF=EG-FG,FG=AB=1.6m,EG=ym,然后根

據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可以得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式.

【解答】解：由圖2可得，

AF=BG=xm,EF—EG-FG,FG=AB=1.6m,EG—ym,

：.EF=(y-1.6)m,

'：CD±AF,EF±AF,

J.CD//EF,

：./\ADC^/\AFE,

?.C*'D'A:=-D,

EFAF

即迎犁，

EFAF

?3060

y-1.6x

化簡，得)，=工方+1.6,

2

故選：B.

22.（2022?貴陽）如圖，在△ABC中，。是AB邊上的點，ZB=ZACD,AC：AB=1：2,則△4。（7與4

A.1：V2B.1：2C.1：3D.1：4

【分析】根據(jù)相似三角形的周長之比等于相似比可以解答本題.

【解答】解：'：ZB=ZACD,ZCAD=ZBAC,

：.^ACD<^/\ABC,

?CAACDAC1

,△ABC蛆2

故選：B.

23.（2022?包頭）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，A,B,C,￡>四個點均在格點上，AC與

8。相交于點E,連接AB,CD,則△ABE與△CQE的周長比為（）

A.1：4B.4：1C.1：2D.2：1

【分析】利用網(wǎng)格圖,勾股定理求得A8,C4的長，利用直角三角形的邊角關(guān)系定理得出

進(jìn)而得到/8AC=NDCA,則A3〃CD,再利用相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可.

【解答】解：如圖所示，

B

廠1

AF

G斗1=7

HA7

D

由網(wǎng)格圖可知:BF=2,AF=4,CH=2,DH=\,

???AB='AF2+BF2,

CD=VCH2+DH2=V5.

"FA//CG,

AZFAC=ZACG.

在RtZXABF中,

3山吁祭=|亭

在RtZXCDH中,

tanN”CD=m」，

CH2

tanZBAF=tanZHCD,

：.ZBAF=ZHCD,

'：NBAC=NBAF+NCAF,ZACD^ZDCH+ZGCA,

：.ZBAC-ZDCA,

：.AB//CD,

△ABEs△COE,

...△4BE與△（；￡）￡的周長比=旭=2先=2：1.故選：D.

CDV5

24.（2022?海南）如圖，菱形ABCD中，點E是邊CQ的中點，EF垂直AB交AB的延長線于點F,若BF：

CE=1：2,EF=5,則菱形ABC。的邊長是（）

A.3B.4C.5D.-77

5

【分析】過點D作DH±AB于點H,則四邊形DHFE為平行四邊形，可得HF=DE,DH=EF=R

設(shè)8F=x,則CE=2%,可得AH=3x,利用勾股定理列出方程，解方程即可求解.

【解答】解：過點D作DHLAB丁點H,如圖，

?.?四邊形A8CC是菱形,

：.AD=AB=CI）,AB//CD.

'：EF±AB,DH1AB,

：.DH//EF,

四邊形DHFE為平行四邊形，

：.HF=DE,DH=EF=41.

:點E是邊CO的中點，

：.DE=—CD,

2

：.HF=-^CD^—AB.

22

'：BF：CE=1：2,

.?.設(shè)8F=x,則CE=2x,

：.CD=4x,DE=HF=2x,

AD=AB=4x,

：.AF=AB+BF^5x.

：.AH=AF-HF=3x.

在RIYADH中，

\'DH2+AH2=AD2,

■（W產(chǎn)+（3x）2=⑷產(chǎn)

解得：x=±l（負(fù)數(shù)不合題意，舍去），

；.x=l.

；.A8=4x=4.

即菱形ABC。的邊長是4,

故選：B.

25.（2022?金華）如圖是一張矩形紙片ABCD,點E為AO中點，點產(chǎn)在8C上，把該紙片沿EF折疊,

BF2

點A,3的對應(yīng)點分別為A',"，A'E與BC相交于點G,B'A1的延長線過點C.若——=—,

GC3

An

則邦的值為（）

AB

8

D.

3

【分析】連接FG,CA',過點G作G兀LA。于點T.設(shè)AB=x,AD^y.設(shè)8尸=2匕CG=3k.則AE

=D￡=A,由翻折的性質(zhì)可知E4=￡A'=A,BF=FB'=2k,ZAEF=ZGEF,因為C,A',B'

2V2y

共線，GA'//FB',推出竺=墮推出一^_=：及2了,可得J-12外+32/=0,推出）=8k或

CFFB'y-2k2k

y=4k（舍去），推出AE=OE=4k,再利用勾股定理求出GT,可得結(jié)論.

【解答】解：連接FG,CA',過點G作GTLAZ）于點T.設(shè)48=x,AD^y.

.,.可以假設(shè)8尸=2攵，CG=3k.

'：AE^DE=^y,

由翻折的性質(zhì)可知E4=E4'=」)，，BF=FB'=2k,NAEF=NGEF,

2

'JAD//CB,

ZAEF=ZEFG,

：.NGEF=4GFE,

；.EG=FG=y-5k,

：.GA'=—y-(y-5A:)=5k"y,

2-2

VC,A1,B1共線，GA'//FB',

.CG_GAy

"CFFB，，

.3k=5等

y-2k2k

]26+323=0,

.,.y=8Z或y=4*（舍去），

：.AE=DE=4k,

：四邊形CDTG是矩形，

:.CG=DT=3k,

：.ET=k,

'：EG=Sk-5k=3k,

：.AB=-（3k）2_k2=2揚，

.?.他='=2&.

AB2V2k

解法二；不妨設(shè)8尸=2,CG=3,連接CE,則RtZXCA'EgRtZXCOE,推出#C=C0=4B=AE,絲=

GF

卬=],推出GF=CG=3,BC=8,在RlZkCB'尸，勾股得C8=4弧則AB'=2近，

A，B

故選：A.

26.（2022?遂寧）如圖，正方形ABC。與正方形8EFG有公共頂點8,連接EC、GA,交于點O,GA與

BC交于點P,連接0￡＞、OB,則下列結(jié)論一定正確的是（）

①EC_LAG；?/XOBP^/XCAP-,③OB平分NCBG；?ZAOD=45°；

【分析】由四邊形A8C。、四邊形8EFG是正方形，可得aASG嶺△C8E(SAS),即得N8AG=/8CE,

即可證明/POC=90°,可判斷①正確；取AC的中點K,可得AK=CK=OK=BK,即可得NBOA=/

BCA,從而AOBPsACAP,判斷②正確，由NAOC=/ADC=90°,可得4、0、C、。四點共圓，而

AD=CD,故NAOO=/OOC=45°,判斷④正確，不能證明08平分/CBG,即可得答案.

【解答】解：?.?四邊形A8C。、四邊形8EFG是正方形，

：.AB=BC,BG=BE,NABC=90°=AGBE,

NABC+NCBG=NGBE+NCBG,即NABG=NEBC,

:.叢ABG9/\CBE(SAS),

：.NBAG=/BCE,

"：^BAG+ZAPB=90°,

：.ZBCE+ZAPB=W0,

：.ZBCE+ZOPC=90Q,

AZPOC=90",

：.ECLAG,故①正確；

取AC的中點K,如圖：

E

?MK=CK=OK,

在RlZVlBC中，K為斜邊AC上的中點,

:.AK=CK=BK,

：.AK=CK=OK=BK,

；.A、B、0、C四點共圓，

：.ZBOA=ZBCA,

"：ZBPO=ZCPA,

：./\OBP^/\CAP,故②正確，

VZAOC^ZADC=90°,

...NAOC+NADC=180°,

.?.4、。、C、力四點共圓，

'：AD=CD,

：.ZAOD^ZDOC^45°,故④正確，

由已知不能證明08平分NC8G,故③錯誤,

故正確的有：①②④,

故選：D.

27.（2022?淮安）如圖，在RtZ^ABC中，ZC=90°,AC=3,8c=4,點。是AC邊上的一點，過點。

DE

作。尸〃AB,交BC于點F,作N8AC的平分線交。F于點E,連接BE.若△A8E的面積是2,則——的

EF

值是.

【分析】首先由勾股定理求出A3的長，由面積法得點C到OF的距離為反，點E到A8的距離為自，從

55

而得出CQ=2,再根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)得AD=OE=1,從而解決問題.

【解答】解：在RtZVIBC中，由勾股定理得，48=5,

「△ABE的面積是2,

.?.點E到的距離為?，

5

在RtAABC中，點C到AB的距離為蛆'里J2,

AB5

...點C到。尸的距離為反,

5

\'DF//AB,

：./\CDF^/\CAB,

.CD2=DF

"CK"3AB'

:.CD=2,。尸=也,

3

平分NCAB,

：.^BAE^ZCAE,

'：DF//AB,

：.ZAED=ZBAE,

：.ZDAE=ZDEA,

；.ZM=￡)E=1,

:.EF=DF-。￡=也-1=工，

33

.DE3

EF7

故答案為：—.

7

28.（2022?阜新）如圖，在矩形ABCD中，E是A。邊上一點，且AE=2￡>E,BQ與CE相交于點尸，若^

QEF的面積是3,則△8CF的面積是.

【分析】根據(jù)矩形ABC。的性質(zhì)，很容易證明△力EFsaBCF,相似三角形之比等于對應(yīng)邊比的平方，

即可求出△BC尸的面積.

【解答】解：..?四邊形A8C。是矩形，

:.ADJLBC,

：.NEDF=ZCBF,

ZEFD^ZCFB,

：.2DEFs叢BCF,

"：AE=2DE,AD=BC,

:.DE：BC=1：3,

1

.'.SADEF：SABCF=DE1：BC,即3：SABCF=1：9,

:，S&BCF=27.

故答案為：27.

29.（2022?婁底）如圖，已知等腰△ABC的頂角NBAC的大小為0,點。為邊8C上的動點（與8、C不

重合），將4。繞點A沿順時針方向旋轉(zhuǎn)。角度時點。落在處，連接8力’.給出下列結(jié)論：

①△AC￡）空△AB。'；

?/^ACB<^/\ADD'；

③當(dāng)BO=CQ時，△AQ?！拿娣e取得最小值.

其中正確的結(jié)論有（填結(jié)論對應(yīng)的應(yīng)號）.

c

4

D'

【分析】由題意可知AC=A8,AD=AD',ZCAD=ZBAD',即可根據(jù)SAS判斷△4C￡＞芻：

根據(jù)N2AC=N。'AD=Q,—=-^-,即可判斷△ACBS/XA。。'；由△ACBS/\AD。'，得出

ADAD'

S△陋=（觸/，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，當(dāng)BD=CD,則AC8c時，最小，△A。。'

S&ICBAC

的面積取得最小值.

【解答】解：由題意可知AC=A8,AD=AD',ZCAD=ZBAD',

：.^ACD^Z\ABD',故①正確；

'：AC^AB,AD=AD',ZBAC^ZD'A￡＞=0,

?AC_AB

"ADAD，，

：./\ACB^/\ADD',故②正確；

.SAADDZ（AD）2,

AC

：當(dāng)AD_L8C時，A￡＞最小，△A。?！拿娣e取得最小值.

而AB=AC,

:.BD=CD,

.?.當(dāng)BC=C￡＞時，的面積取得最小值，故③正確；

故答案為：①②③.

30.（2022?東營）如圖，已知菱形ABC。的邊長為2,對角線AC、8。相交于點。，點M,N分別是邊BC、

CD上的動點，N8AC=NMAN=60°,連接MMOM.以下四個結(jié)論正確的是（）

①△AMN是等邊三角形；

②MN的最小值是百：

③當(dāng)MN最小時S^CMN=-S菱形ABC。；

④當(dāng)OM_LBC時，O斛=DN?AB.

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

【分析】由四邊形A8C。是菱形得A8=C8=AD=C。，AB//CD,ACA.BD,OA=OC,而ZBAC=/ACO

=60°,則△A8C和△AOC都是等邊三角形，再證明△BAM四△CAN,得而/MAN=60°,

則是等邊三角形，可判斷①正確；

當(dāng)AM_LBC時，AM的值最小，此時MN的值也最小，由NAMB=90°,乙48M=60°,A8=2可求得

可判斷②正確；

當(dāng)MN的值最小，則BM=CM,可證明DV=CM根據(jù)三角形的中位線定理得則△CMNs4

CBD,S^CMN——S^CBD——S^ABCD,可判斷③正確；

48'

由CB=CD,BM=CN得CM=DN,再證明△0CMs/\8C0,得生=匹，所以O(shè)C2=CAf?C8,即。4?

0CCB

=DN-AB,可判斷④正確.

【解答】解：：四邊形A8CO是菱形，

：.AB=CB=AD^CD,AB//CD,ACLBD,OA=OC,

.?./8AC=/ACO=60",

/./\AHC和△4OC都是等邊三角形，

.,./A3M=/ACN=60°,AB=AC,

；/M4V=60°,

/54M=/C4N=600-ZCAM,

.?.△8AM絲△CAN(ASA),

'：AM=AN,

...△AMN是等邊三角形，

故①正確；

當(dāng)AMJ_8C時，AM的值最小，此時的值也最小，

ZAMB=90°,ZABM=60°,AB=2,

.?.MN=4M=A8?sin60°=2義追=?,

2

...MN的最小值是

故②正確；

：AM_L8C時，MN的值最小，此時BM=CM,

:.CN=BM=LCB=LCD,

22

:.DN=CN,

:.MN〃BD,

:.△CMNsXCBD,

S

.ACMN（CM）2=2=工

??S^CMN~--S/\CBDt

4

S^CHD^—S變形ABC。，

2

SACMN——X—5^n-ABCD——S差彩A8CD,

428

故③正確；

:CB=CD,BM=CN,

:.CB-BM=CD-CN,

：.CM=DN,

：OM_LBC,

：.ZCMO=ZCOB=90°,

'：ZOCM^ZBCO,

.?.△OCMS/XBCO,

.CM=OC

"ocCB'

：.OC2=CM'CB,

：.O^=DN'AB,

故④正確，

故選：D.

31.（2022?黑龍江）如圖，正方形A5CO的對角線AC,8。相交于點。，點尸是CD上一點，OELO尸交

BC于點E,連接AE,BF交于點P,連接。P.則下列結(jié)論：?AE±BF；②/。出=45°；③AP-6P

=4i0P；④若BE：CE=2：3,則tan/C4E=±；⑤四邊形OECF的面積是正方形ABC。面積的L其

74

中正確的結(jié)論是（）

A.①②④⑤B.①②③⑤C.①②③④D.①③④⑤

【分析】利用全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，圓周角定理，直角三角形的邊角關(guān)系定理對每

個選項的結(jié)論進(jìn)行判斷即可得出結(jié)論.

【解答】解：①：四邊形48CO是正方形，

：.AB=BC=CD,AC±BD,ZABD=ZDBC=ZACD=45°.

:.NBOE+NEOC=90°,

,：OEVOF,

：.ZFOC+ZEOC=90°.

：.ZBOE=ACOF.

在aBOE和△COF中，

2OBE=/OCF=45°

'OB=OC，

ZB0E=ZC0F

:.ABOEWACOF(ASA),

:.BE=CF.

在△84E和△CBF中，

'AB=BC

<ZABC=ZBCF=90°-

BE=CF

.?.△BAE絲△C8F(SAS),

:.NBAE=NCBF.

VZABP+ZCBF=90°,

:.NABP+NBAE=9Q°，

：.ZAPB=90Q.

：.AEYBF.

.?.①的結(jié)論正確；

②；乙4尸8=90°,408=90°,

...點A,B,P,。四點共圓，

2480=45°,

.?.②的結(jié)論正確；

③過點。作OHJ-OP,交4P于點，，如圖,

：.HP=y/2OP.

'：OH±OP,

：.ZPOB+ZHOB=9Q0,

,：OAVOB,

：.ZAOH+ZHOB=90°.

ZAOH=ZBOP.

'：ZOAH+BAE=^45°,ZOBP+ZCBF^45°,NBAE=NCBF,

：.ZOAH=ZOBP.

在△AO”和△80P中，

<ZOAH=ZOBP

<OA=OB，

ZAOH=ZBOP

:.AAOHdBOP(4SA),

：.AH=BP.

：.AP-BP=AP-AH=HP=?OP.

...③的結(jié)論正確；

@'：BE：CE=2：3,

.,.設(shè)8E=2x,則CE=3x,

.\AB=BC=5xf

?，M￡=VAB2+BE2=V29-'--

過點E作EG,AC于點G,如圖,

VZACB=45°,

EG=GC=亞EC=

22

.*.AG=A/AE2_GE2=2^.V,

在RtAAfiG中，

；tanNC4E=殷，

AG

372

2X3

?.tunNCAE=~