高考二輪復(fù)習(xí)文科數(shù)學(xué)課件（老高考舊教材）增分3利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點問題

增分3利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點問題考點一討論或證明函數(shù)零點個數(shù)(1)若f(x)存在唯一極值點,且極值為0,求a的值;(2)討論函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e]上的零點個數(shù).【教師講評—觸類旁通】

分析1:在(1)中,一要明確若f'(x0)=0,x0不一定是極值點,但若x0是函數(shù)f(x)的極值點,則一定有f'(x0)=0,二要明確x0為f(x)極值點的充要條件是f'(x0)=0且x0左右兩側(cè)的導(dǎo)函數(shù)值異號;分析2:在(2)中,通過分離參數(shù)然后利用數(shù)形結(jié)合的思想,將討論函數(shù)f(x)零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為直線與曲線交點個數(shù)問題.對點訓(xùn)練1(12分)(2023四川綿陽三模)已知函數(shù)f(x)=(a-2)lnx+x2-ax.(1)當(dāng)a=3時,求曲線f(x)在x=1處切線的方程;(2)討論函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e]上的零點個數(shù).對點訓(xùn)練2(2023安徽合肥二模)已知函數(shù)f(x)=2lnx+mx2-(2m+1)x,其中m∈R.(1)若函數(shù)y=f(x)圖象僅有一條垂直于y軸的切線,求m的取值范圍;(2)討論函數(shù)f(x)的零點個數(shù).①當(dāng)m≤0時,∵x>0,∴mx-1<0,∴當(dāng)x∈(0,2)時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(2,+∞)時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,此時f(x)的最大值f(2)=2ln

2+2m-2(2m+1)=2ln

2-2m-2,當(dāng)f(2)=0,m=ln

2-1時,f(x)只有一個零點x=2;當(dāng)f(2)<0,ln

2-1<m≤0時,f(x)沒有零點;當(dāng)f(2)>0,m<ln

2-1<0時,∵當(dāng)x>0且x→0或x→+∞時,f(x)→-∞,∴f(x)分別在(0,2)和(2,+∞)上各有唯一零點,此時f(x)有兩個零點.考點二已知函數(shù)零點情況求參數(shù)范圍例2(2022全國乙,文20)已知函數(shù)f(x)=ax--(a+1)lnx.(1)當(dāng)a=0時,求f(x)的最大值;(2)若f(x)恰有一個零點,求a的取值范圍.由(1)知,當(dāng)a=0時,f(x)max=-1<0,故f(x)無零點.當(dāng)a<0時,ax-1<0.f'(x),f(x)的變化情況如下表所示.x(0,1)1(1,+∞)f'(x)+0-f(x)單調(diào)遞增a-1單調(diào)遞減對點訓(xùn)練3對點訓(xùn)練4(2023山東濟(jì)寧二模)已知函數(shù)f(x)=

,g(x)=3e1-x+1,a為實數(shù).(1)若f(x)≤e恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;(2)若方程f(x)=g(x)恰有3個不同的實數(shù)根,求實數(shù)a的值.考點三與函數(shù)零點有關(guān)的證明問題例3(2023廣西玉林三模改編)已知函數(shù)f(x)=alnx-

.(1)當(dāng)a=1時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若g(x)=a(x2-1)lnx-(x-1)2(a≠0)有3個零點x1,x2,x3,其中x1<x2<x3.求證:(3a-1)(x1+x3+2)<2.解題技巧與函數(shù)零點有關(guān)問題的證明要點:在證明與函數(shù)零點有關(guān)問題時,一般要根據(jù)題設(shè)條件結(jié)合零點存在定理把零點的范圍限制出來,找出已知與所求之間的聯(lián)系紐帶,運用轉(zhuǎn)化的思想,化歸的方法將數(shù)學(xué)命題由一種形式向另一種形式轉(zhuǎn)換,從轉(zhuǎn)換的最終命題中構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù),通過導(dǎo)數(shù)的方法得出結(jié)論.對點訓(xùn)練5(2021浙江,22)設(shè)a,b為實數(shù),且a>1,函數(shù)f(x)=ax-bx+e2(x∈R).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若對任意b>2e2,函數(shù)f(x)有兩個不同的零點,求a的取值范圍;(3)當(dāng)a=e時,證明:對任意b>e4,函數(shù)f(x)有兩個不同的零點x1,x2(x2>x1),滿足(注:e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))(3)證明

(方法一)a=e,f(x)=ex-bx+e2,f'(x)=ex-b,令f'(x)=0,解得x=ln

b>4,所以當(dāng)x∈(-∞,ln

b)時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(ln

b,+∞)時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,所以f(x)min=f(ln

b)=eln

b-bln