2011年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（大綱版）

2011年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（大綱版）一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1．（5分）設集合U={1，2，3，4}，M={1，2，3}，N={2，3，4}，則?U（M∩N）=（）A．{1，2} B．{2，3} C．{2，4} D．{1，4} 2．（5分）函數(shù)y=（x≥0）的反函數(shù)為（）A．y=（x∈R） B．y=（x≥0） C．y=4x2（x∈R） D．y=4x2（x≥0）3．（5分）設向量、滿足||=||=1，?=﹣，|+2|=（）A．. B． C．、 D．. 4．（5分）若變量x、y滿足約束條件，則z=2x+3y的最小值為（）A．17 B．14 C．5 D．3 5．（5分）下面四個條件中，使a＞b成立的充分而不必要的條件是（）A．a(chǎn)＞b+1 B．a(chǎn)＞b﹣1 C．a(chǎn)2＞b2 D．a(chǎn)3＞b3 6．（5分）設Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1=1，公差d=2，Sk+2﹣Sk=24，則k=（）A．8 B．7 C．6 D．5 7．（5分）設函數(shù)f（x）=cosωx（ω＞0），將y=f（x）的圖象向右平移個單位長度后，所得的圖象與原圖象重合，則ω的最小值等于（）A． B．3 C．6 D．9 8．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，點A∈α，AC⊥l，C為垂足，點B∈β，BD⊥l，D為垂足，若AB=2，AC=BD=1，則CD=（）A．2 B． C． D．1 9．（5分）4位同學每人從甲、乙、丙3門課程中選修1門，則恰有2人選修課程甲的不同選法共有（）A．12種 B．24種 C．30種 D．36種 10．（5分）設f（x）是周期為2的奇函數(shù)，當0≤x≤1時，f（x）=2x（1﹣x），則=（）A．﹣ B．﹣ C． D． 11．（5分）設兩圓C1、C2都和兩坐標軸相切，且都過點（4，1），則兩圓心的距離|C1C2|=（）A．4 B． C．8 D． 12．（5分）已知平面α截一球面得圓M，過圓心M且與α成60°二面角的平面β截該球面得圓N，若該球的半徑為4，圓M的面積為4π，則圓N的面積為（）A．7π B．9π C．11π D．13π 二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）13．（5分）（1﹣x）10的二項展開式中，x的系數(shù)與x9的系數(shù)之差為：．14．（5分）已知a∈（π，），tanα=2，則cosα=．15．（5分）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為C1D1的中點，則異面直線AE與BC所成的角的余弦值為．16．（5分）已知F1、F2分別為雙曲線C：的左、右焦點，點A∈C，點M的坐標為（2，0），AM為∠F1AF2的平分線，則|AF2|=．三、解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a2=6，6a1+a3=30，求an和Sn．18．（12分）△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c．已知asinA+csinC﹣asinC=bsinB，（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若A=75°，b=2，求a，c．19．（12分）根據(jù)以往統(tǒng)計資料，某地車主購買甲種保險的概率為0.5，購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為0.3，設各車主購買保險相互獨立．（Ⅰ）求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種的概率；（Ⅱ）求該地的3位車主中恰有1位車主甲、乙兩種保險都不購買的概率．20．（12分）如圖，四棱錐S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側面SAB為等邊三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）證明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB與平面SBC所成的角的大?。?1．（12分）已知函數(shù)f（x）=x3+3ax2+（3﹣6a）x+12a﹣4（a∈R）（Ⅰ）證明：曲線y=f（x）在x=0處的切線過點（2，2）；（Ⅱ）若f（x）在x=x0處取得極小值，x0∈（1，3），求a的取值范圍．22．（12分）已知O為坐標原點，F(xiàn)為橢圓C：在y軸正半軸上的焦點，過F且斜率為﹣的直線l與C交于A、B兩點，點P滿足．（Ⅰ）證明：點P在C上；（Ⅱ）設點P關于點O的對稱點為Q，證明：A、P、B、Q四點在同一圓上．2011年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（大綱版）參考答案與試題解析一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1．（5分）設集合U={1，2，3，4}，M={1，2，3}，N={2，3，4}，則?U（M∩N）=（）A．{1，2} B．{2，3} C．{2，4} D．{1，4} 【考點】1H：交、并、補集的混合運算．【專題】11：計算題．【分析】先根據(jù)交集的定義求出M∩N，再依據(jù)補集的定義求出?U（M∩N）．【解答】解：∵M={1，2，3}，N={2，3，4}，∴M∩N={2，3}，則?U（M∩N）={1，4}，故選：D．【點評】本題考查兩個集合的交集、補集的定義，以及求兩個集合的交集、補集的方法．2．（5分）函數(shù)y=（x≥0）的反函數(shù)為（）A．y=（x∈R） B．y=（x≥0） C．y=4x2（x∈R） D．y=4x2（x≥0） 【考點】4R：反函數(shù)．【專題】11：計算題．【分析】由原函數(shù)的解析式解出自變量x的解析式，再把x和y交換位置，注明反函數(shù)的定義域（即原函數(shù)的值域）．【解答】解：∵y=（x≥0），∴x=，y≥0，故反函數(shù)為y=（x≥0）．故選：B．【點評】本題考查函數(shù)與反函數(shù)的定義，求反函數(shù)的方法和步驟，注意反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域．3．（5分）設向量、滿足||=||=1，?=﹣，|+2|=（）A．. B． C．、 D．. 【考點】91：向量的概念與向量的模；9O：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算．【專題】11：計算題．【分析】由|+2|==，代入已知可求【解答】解：∵||=||=1，?=﹣，|+2|===故選：B．【點評】本題主要考查了向量的數(shù)量積性質(zhì)的基本應用，屬于基礎試題4．（5分）若變量x、y滿足約束條件，則z=2x+3y的最小值為（）A．17 B．14 C．5 D．3 【考點】7C：簡單線性規(guī)劃．【專題】31：數(shù)形結合．【分析】我們先畫出滿足約束條件的平面區(qū)域，然后求出平面區(qū)域內(nèi)各個頂點的坐標，再將各個頂點的坐標代入目標函數(shù)，比較后即可得到目標函數(shù)的最值．【解答】解：約束條件的平面區(qū)域如圖所示：由圖可知，當x=1，y=1時，目標函數(shù)z=2x+3y有最小值為5故選：C．【點評】本題考查的知識點是線性規(guī)劃，其中畫出滿足約束條件的平面區(qū)域是解答本題的關鍵．5．（5分）下面四個條件中，使a＞b成立的充分而不必要的條件是（）A．a(chǎn)＞b+1 B．a(chǎn)＞b﹣1 C．a(chǎn)2＞b2 D．a(chǎn)3＞b3 【考點】29：充分條件、必要條件、充要條件．【專題】5L：簡易邏輯．【分析】利用不等式的性質(zhì)得到a＞b+1?a＞b；反之，通過舉反例判斷出a＞b推不出a＞b+1；利用條件的定義判斷出選項．【解答】解：a＞b+1?a＞b；反之，例如a=2，b=1滿足a＞b，但a=b+1即a＞b推不出a＞b+1，故a＞b+1是a＞b成立的充分而不必要的條件．故選：A．【點評】本題考查不等式的性質(zhì)、考查通過舉反例說明某命題不成立是常用方法．6．（5分）設Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1=1，公差d=2，Sk+2﹣Sk=24，則k=（）A．8 B．7 C．6 D．5 【考點】85：等差數(shù)列的前n項和．【專題】11：計算題．【分析】先由等差數(shù)列前n項和公式求得Sk+2，Sk，將Sk+2﹣Sk=24轉(zhuǎn)化為關于k的方程求解．【解答】解：根據(jù)題意：Sk+2=（k+2）2，Sk=k2∴Sk+2﹣Sk=24轉(zhuǎn)化為：（k+2）2﹣k2=24∴k=5故選：D．【點評】本題主要考查等差數(shù)列的前n項和公式及其應用，同時還考查了方程思想，屬中檔題．7．（5分）設函數(shù)f（x）=cosωx（ω＞0），將y=f（x）的圖象向右平移個單位長度后，所得的圖象與原圖象重合，則ω的最小值等于（）A． B．3 C．6 D．9 【考點】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【專題】56：三角函數(shù)的求值．【分析】函數(shù)圖象平移個單位長度后，所得的圖象與原圖象重合，說明函數(shù)平移整數(shù)個周期，容易得到結果．【解答】解：f（x）的周期T=，函數(shù)圖象平移個單位長度后，所得的圖象與原圖象重合，說明函數(shù)平移整數(shù)個周期，所以，k∈Z．令k=1，可得ω=6．故選：C．【點評】本題是基礎題，考查三角函數(shù)的圖象的平移，三角函數(shù)的周期定義的理解，考查技術能力，?？碱}型．8．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，點A∈α，AC⊥l，C為垂足，點B∈β，BD⊥l，D為垂足，若AB=2，AC=BD=1，則CD=（）A．2 B． C． D．1 【考點】MK：點、線、面間的距離計算．【專題】11：計算題．【分析】根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)，可得AC⊥CB，△ACB為直角三角形，利用勾股定理可得BC的值；進而在Rt△BCD中，由勾股定理可得CD的值，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，直二面角α﹣l﹣β，點A∈α，AC⊥l，可得AC⊥面β，則AC⊥CB，△ACB為Rt△，且AB=2，AC=1，由勾股定理可得，BC=；在Rt△BCD中，BC=，BD=1，由勾股定理可得，CD=；故選：C．【點評】本題考查兩點間距離的計算，計算時，一般要把空間圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，進而構造直角三角形，在直角三角形中，利用勾股定理計算求解．9．（5分）4位同學每人從甲、乙、丙3門課程中選修1門，則恰有2人選修課程甲的不同選法共有（）A．12種 B．24種 C．30種 D．36種 【考點】D3：計數(shù)原理的應用．【專題】11：計算題．【分析】本題是一個分步計數(shù)問題，恰有2人選修課程甲，共有C42種結果，余下的兩個人各有兩種選法，共有2×2種結果，根據(jù)分步計數(shù)原理得到結果．【解答】解：由題意知本題是一個分步計數(shù)問題，∵恰有2人選修課程甲，共有C42=6種結果，∴余下的兩個人各有兩種選法，共有2×2=4種結果，根據(jù)分步計數(shù)原理知共有6×4=24種結果故選：B．【點評】本題考查分步計數(shù)問題，解題時注意本題需要分步來解，觀察做完這件事一共有幾步，每一步包括幾種方法，這樣看清楚把結果數(shù)相乘得到結果．10．（5分）設f（x）是周期為2的奇函數(shù)，當0≤x≤1時，f（x）=2x（1﹣x），則=（）A．﹣ B．﹣ C． D． 【考點】3I：奇函數(shù)、偶函數(shù)；3Q：函數(shù)的周期性．【專題】11：計算題．【分析】由題意得=f（﹣）=﹣f（），代入已知條件進行運算．【解答】解：∵f（x）是周期為2的奇函數(shù)，當0≤x≤1時，f（x）=2x（1﹣x），∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，故選：A．【點評】本題考查函數(shù)的周期性和奇偶性的應用，以及求函數(shù)的值．11．（5分）設兩圓C1、C2都和兩坐標軸相切，且都過點（4，1），則兩圓心的距離|C1C2|=（）A．4 B． C．8 D． 【考點】J1：圓的標準方程．【專題】5B：直線與圓．【分析】圓在第一象限內(nèi)，設圓心的坐標為（a，a），（b，b），利用條件可得a和b分別為x2﹣10x+17=0的兩個實數(shù)根，再利用韋達定理求得兩圓心的距離|C1C2|=?的值．【解答】解：∵兩圓C1、C2都和兩坐標軸相切，且都過點（4，1），故圓在第一象限內(nèi)，設兩個圓的圓心的坐標分別為（a，a），（b，b），由于兩圓都過點（4，1），則有=|a|，|=|b|，故a和b分別為（x﹣4）2+（x﹣1）2=x2的兩個實數(shù)根，即a和b分別為x2﹣10x+17=0的兩個實數(shù)根，∴a+b=10，ab=17，∴（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=32，∴兩圓心的距離|C1C2|=?=8，故選：C．【點評】本題考查直線和圓相切的性質(zhì)，兩點間的距離公式、韋達定理的應用，屬于基礎題．12．（5分）已知平面α截一球面得圓M，過圓心M且與α成60°二面角的平面β截該球面得圓N，若該球的半徑為4，圓M的面積為4π，則圓N的面積為（）A．7π B．9π C．11π D．13π 【考點】MJ：二面角的平面角及求法．【專題】11：計算題；16：壓軸題．【分析】先求出圓M的半徑，然后根據(jù)勾股定理求出求出OM的長，找出二面角的平面角，從而求出ON的長，最后利用垂徑定理即可求出圓N的半徑，從而求出面積．【解答】解：∵圓M的面積為4π∴圓M的半徑為2根據(jù)勾股定理可知OM=∵過圓心M且與α成60°二面角的平面β截該球面得圓N∴∠OMN=30°，在直角三角形OMN中，ON=∴圓N的半徑為則圓的面積為13π故選：D．【點評】本題主要考查了二面角的平面角，以及解三角形知識，同時考查空間想象能力，分析問題解決問題的能力，屬于基礎題．二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）13．（5分）（1﹣x）10的二項展開式中，x的系數(shù)與x9的系數(shù)之差為：0．【考點】DA：二項式定理．【專題】11：計算題．【分析】利用二項展開式的通項公式求出展開式的通項，令x的指數(shù)分別取1；9求出展開式的x的系數(shù)與x9的系數(shù)；求出兩個系數(shù)的差．【解答】解：展開式的通項為Tr+1=（﹣1）rC10rxr所以展開式的x的系數(shù)﹣10x9的系數(shù)﹣10x的系數(shù)與x9的系數(shù)之差為（﹣10）﹣（﹣10）=0故答案為：0【點評】本題考查利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項問題．14．（5分）已知a∈（π，），tanα=2，則cosα=﹣．【考點】GG：同角三角函數(shù)間的基本關系．【專題】11：計算題．【分析】先利用α的范圍確定cosα的范圍，進而利用同腳三角函數(shù)的基本關系，求得cosα的值．【解答】解：∵a∈（π，），∴cosα＜0∴cosα=﹣=﹣故答案為：﹣【點評】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關系的應用．解題的關鍵是利用那個角的范圍確定三角函數(shù)符號．15．（5分）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為C1D1的中點，則異面直線AE與BC所成的角的余弦值為．【考點】LM：異面直線及其所成的角．【專題】11：計算題；16：壓軸題；31：數(shù)形結合；35：轉(zhuǎn)化思想．【分析】根據(jù)題意知AD∥BC，∴∠DAE就是異面直線AE與BC所成角，解三角形即可求得結果．【解答】解：連接DE，設AD=2易知AD∥BC，∴∠DAE就是異面直線AE與BC所成角，在△RtADE中，由于DE=，AD=2，可得AE=3∴cos∠DAE==，故答案為：．【點評】此題是個基礎題．考查異面直線所成角問題，求解方法一般是平移法，轉(zhuǎn)化為平面角問題來解決，體現(xiàn)了數(shù)形結合和轉(zhuǎn)化的思想．16．（5分）已知F1、F2分別為雙曲線C：的左、右焦點，點A∈C，點M的坐標為（2，0），AM為∠F1AF2的平分線，則|AF2|=6．【考點】KC：雙曲線的性質(zhì)．【專題】16：壓軸題．【分析】利用雙曲線的方程求出雙曲線的參數(shù)值；利用內(nèi)角平分線定理得到兩條焦半徑的關系，再利用雙曲線的定義得到兩條焦半徑的另一條關系，聯(lián)立求出焦半徑．【解答】解：不妨設A在雙曲線的右支上∵AM為∠F1AF2的平分線∴=又∵|AF1|﹣|AF2|=2a=6解得|AF2|=6故答案為6【點評】本題考查內(nèi)角平分線定理；考查雙曲線的定義：解有關焦半徑問題常用雙曲線的定義．三、解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a2=6，6a1+a3=30，求an和Sn．【考點】88：等比數(shù)列的通項公式；89：等比數(shù)列的前n項和．【專題】54：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】設出等比數(shù)列的公比為q，然后根據(jù)等比數(shù)列的通項公式化簡已知得兩等式，得到關于首項與公比的二元一次方程組，求出方程組的解即可得到首項和公比的值，根據(jù)首項和公比寫出相應的通項公式及前n項和的公式即可．【解答】解：設{an}的公比為q，由題意得：，解得：或，當a1=3，q=2時：an=3×2n﹣1，Sn=3×（2n﹣1）；當a1=2，q=3時：an=2×3n﹣1，Sn=3n﹣1．【點評】此題考查學生靈活運用等比數(shù)列的通項公式及前n項和的公式化簡求值，是一道基礎題．18．（12分）△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c．已知asinA+csinC﹣asinC=bsinB，（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若A=75°，b=2，求a，c．【考點】HU：解三角形．【專題】11：計算題．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理把題設等式中的角的正弦轉(zhuǎn)換成邊的關系，代入余弦定理中求得cosB的值，進而求得B．（Ⅱ）利用兩角和公式先求得sinA的值，進而利用正弦定理分別求得a和c．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得a2+c2﹣ac=b2，由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB，故cosB=，B=45°（Ⅱ）sinA=sin（30°+45°）=sin30°cos45°+cos30°sin45°=故a=b×==1+∴c=b×=2×=【點評】本題主要考查了解三角形問題．考查了對正弦定理和余弦定理的靈活運用．19．（12分）根據(jù)以往統(tǒng)計資料，某地車主購買甲種保險的概率為0.5，購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為0.3，設各車主購買保險相互獨立．（Ⅰ）求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種的概率；（Ⅱ）求該地的3位車主中恰有1位車主甲、乙兩種保險都不購買的概率．【考點】C5：互斥事件的概率加法公式；CN：二項分布與n次獨立重復試驗的模型．【專題】5I：概率與統(tǒng)計．【分析】（I）設該車主購買乙種保險的概率為P，由相互獨立事件概率公式可得P（1﹣0.5）=0.3，解可得p，先求出該車主甲、乙兩種保險都不購買的概率，由對立事件的概率性質(zhì)計算可得答案．（II）該地的3位車主中恰有1位車主甲、乙兩種保險都不購買，是一個n次獨立重復試驗恰好發(fā)生k次的概率，根據(jù)上一問的結果得到該地的一位車主甲、乙兩種保險都不購買的概率，代入公式得到結果．【解答】解：（I）設該車主購買乙種保險的概率為p，根據(jù)題意可得p×（1﹣0.5）=0.3，解可得p=0.6，該車主甲、乙兩種保險都不購買的概率為（1﹣0.5）（1﹣0.6）=0.2，由對立事件的概率該車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種的概率1﹣0.2=0.8（II）每位車主甲、乙兩種保險都不購買的概率為0.2，則該地的3位車主中恰有1位車主甲、乙兩種保險都不購買的概率P=C31×0.2×0.82=0.384．【點評】本題考查互斥事件的概率公式加法公式，考查n次獨立重復試驗恰好發(fā)生k次的概率，考查對立事件的概率公式，是一個綜合題目．20．（12分）如圖，四棱錐S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側面SAB為等邊三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）證明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB與平面SBC所成的角的大小．【考點】LW：直線與平面垂直；MI：直線與平面所成的角．【專題】11：計算題；14：證明題．【分析】（1）利用線面垂直的判定定理，即證明SD垂直于面SAB中兩條相交的直線SA，SB；在證明SD與SA，SB的過程中運用勾股定理即可（Ⅱ）求AB與平面SBC所成的角的大小即利用平面SBC的法向量，當為銳角時，所求的角即為它的余角；當為鈍角時，所求的角為【解答】（Ⅰ）證明：在直角梯形ABCD中，∵AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=1∴AD==∵側面SAB為等邊三角形，AB=2∴SA=2∵SD=1∴AD2=SA2+SD2∴SD⊥SA同理：SD⊥SB∵SA∩SB=S，SA，SB?面SAB∴SD⊥平面SAB（Ⅱ）建立如圖所示的空間坐標系則A（2，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），作出S在底面上的投影M，則由四棱錐S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側面SAB為等邊三角形知，M點一定在x軸上，又AB=BC=2，CD=SD=1．可解得MD=，從而解得SM=，故可得S（，0，）則設平面SBC的一個法向量為則，即取x=0，y=，z=1即平面SBC的一個法向量為=（0，，1）又=（0，2，0）cos＜，＞===∴＜，＞=arccos即AB與平面SBC所成的角的大小為arcsin【點評】本題考查了直線與平面垂直的判定，直線與平面所成的角以及空間向量的基本知識，屬于中檔題．21．（12分）已知函數(shù)f（x）=x3+3ax2+（3﹣6a）x+12a﹣4（a∈R）（Ⅰ）證明：曲線y=f（x）在x=0處的切線過點（2，2）；（Ⅱ）若f（x）在x=x0處取得極小值，x0∈（1，3），求a的取值范圍．【考點】6E：利用導數(shù)研究函數(shù)的最值；6H：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【專題】11：計算題；16：壓軸題．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)f（x）在x=0處的導數(shù)和f（0）的值，結合直線方程的點斜式方程，可求切線方程；（Ⅱ）f（x）在x=x0處取得最小值必是函數(shù)的極小值，可以先通過討論導數(shù)的零點存在性，得出函數(shù)有極小值的a的大致取值范圍，然后通過極小值對應的x0∈（1，3），解關于a的不等式，從而得出取值范圍【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2+6ax+3﹣6a由f（0）=12a﹣4，f′（0）=3﹣6a，可得曲線y=f（x）在x=0處的切線方程為y=（3﹣6a）x+12a﹣4，當x=2時，y=2（3﹣6a）+12a﹣4=2，可得點（2，2）在切線上∴曲線y=f（x）在x=0的切線過點（2，2）（Ⅱ）由f′（x）=0得x2+2ax+1﹣2a=0…（1）方程（1）的根的判別式①當時，函數(shù)f（x）沒有極小值②當或時，由f′（x）=0得故x0=x2，由題設可知（i）當時，不等式?jīng)]有實數(shù)