《小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)與教材教學(xué)研究》課件 16.數(shù)學(xué)廣角

綜合與實踐領(lǐng)域－－數(shù)學(xué)廣角（一）搭配（一）（二）推理（三）集合（四）搭配（二）（五）優(yōu)化（六）雞兔同籠（七）植樹問題（八）找次品（九）數(shù)與形（十）鴿巢問題課程內(nèi)容：數(shù)學(xué)廣角1.課標(biāo)要求“數(shù)學(xué)廣角”是小學(xué)數(shù)學(xué)教科書從二年級上冊開始新增設(shè)的一個單元。教材以學(xué)生熟悉而又感興趣的生活場景為依托，向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想方法，將學(xué)習(xí)活動置于模擬情景中，給學(xué)生提供操作和活動的機會，初步培養(yǎng)學(xué)生有順序地、全面地思考問題的意識。1.課標(biāo)要求《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》在第一學(xué)段“學(xué)段目標(biāo)”中提出，在主題活動中嘗試用數(shù)學(xué)方法解決問題,積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗,形成初步的量感和應(yīng)用意識。?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》在第一學(xué)段“課程內(nèi)容”中提出，在簡單的生活情景中，能解決問題，能解釋結(jié)果的實際意義，形成初步的應(yīng)用意識

例1要探索用非0的3個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)。這是一個排列問題(與數(shù)字的排列順序有關(guān))。教材分兩個層次編排:第一個層次是找出所有滿足條件的兩位數(shù)，第二個層次是數(shù)出滿足條件的兩位數(shù)的個數(shù)。其中第一個層次是關(guān)鍵,教材以兩幅連續(xù)的圖加以呈現(xiàn)。第一幅圖呈現(xiàn)了兩名學(xué)生獨立思考、動手尋找的情境:擺數(shù)字卡片無序?qū)ふ?借助數(shù)位表,按照規(guī)律交換兩個數(shù)字的位置尋找。第二幅圖呈現(xiàn)了學(xué)生進行組內(nèi)交流的情況,體現(xiàn)了學(xué)生對于自己解決問題過程的反思,滲透了有序思考問題的方法。第二個層次以一句話呈現(xiàn),同時作為解決問題的結(jié)論。機器人的話體現(xiàn)了全班交流的焦點問題，并再次引導(dǎo)學(xué)生梳理思考過程,進一步感受有序思考的好處,“做一做”與例題思考過程相同，只是所排列的對象發(fā)生變化——3種不同的顏色，一方面鞏固解題方法與思路,同時體會雖然排列的對象不同但解決問題的思路完全相同。2.教材分析二年級上“搭配（一）”

例2緊密結(jié)合學(xué)生已有知識,讓學(xué)生從3個數(shù)中任取2個求和,確定得數(shù)的種類數(shù)。兩個數(shù)相加之和與數(shù)的位置無關(guān)，是組合問題。其編排層次與例1相同，不再贅述。第一幅圖呈現(xiàn)了兩名學(xué)生獨立思考、動手探索的情境：男生用列表的方法有序思考,女生用兩兩連線的方法有序思考。這兩種解決問題的方式，雖然表達方式不同，但思維過程是相同的。從第二幅圖的角度來說,這兩種表達方式都有助于學(xué)生理解組合問題,利于揭示組合的內(nèi)涵:與順序無關(guān)。“做一做”第1題為典型的組合問題，是借助學(xué)生的生活經(jīng)驗,鞏固學(xué)生對于組合的認(rèn)識,同時使學(xué)生感受生活中的組合問題隨處可見。第2題也是組合問題。學(xué)生以前接觸過，當(dāng)時只要會一種付錢方法即可?，F(xiàn)在要求學(xué)生能有序地找出所有的付錢方法。本題一共有4種付錢方法:15角；5個1角；2個2角和1角；1個2角和3個1角。2.教材分析3．教學(xué)建議(1)精心構(gòu)建符合學(xué)生認(rèn)知特點的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，培養(yǎng)學(xué)生從生活中發(fā)現(xiàn)并提出數(shù)學(xué)問題的能力。由于排列與組合的思想方法在現(xiàn)實生活中有著廣泛的運用，教學(xué)時要注意結(jié)合學(xué)生的實際生活引入,使學(xué)生感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的聯(lián)系,逐步培養(yǎng)學(xué)生善于從生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的能力，并積累這方面的經(jīng)驗。(2)注重運用多種形式表征思維過程，幫助學(xué)生形成有序、全面思考問題的方法。這部分內(nèi)容的活動性和操作性比較強,應(yīng)處理好學(xué)生動手實踐與小組合作學(xué)習(xí)的關(guān)系。教學(xué)時先讓學(xué)生獨立思考,然后用自己喜歡的方式表達出來,如可以寫一寫,也可以畫一畫,還可以列舉。還需要讓他人看清楚、看明白,最后通過組內(nèi)交流、全班交流,感受他人的思考,明晰排列、組合的相同點和不同點,感受怎樣才能進行有序、全面地思考,并逐步學(xué)會這種思考方式。(3)注意教學(xué)的層次性，把握好教學(xué)要求。了解了整套教材中關(guān)于排列、組合的編排結(jié)構(gòu)后，教師要把握好教學(xué)要求。這里只要求學(xué)生能根據(jù)實際問題采用羅列、連線、列表等方式,找出最簡單事物的排列數(shù)和組合數(shù),并能感受到有的與排列順序有關(guān)、有的與排列順序無關(guān)即可,教學(xué)時,注意所教內(nèi)容不要超出教材要求的水平。同時,在教學(xué)中也應(yīng)盡量避免出現(xiàn)排列、組合這些術(shù)語,也不需要跟學(xué)生解釋這些術(shù)語的意思。1.課標(biāo)要求

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》在第一學(xué)段“學(xué)段目標(biāo)”中提出，在主題活動中嘗試用數(shù)學(xué)方法解決問題,積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗,形成初步的量感和應(yīng)用意識。。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》在第一學(xué)段“課程內(nèi)容”中提出，在簡單的生活情景中，能解決問題，能解釋結(jié)果的實際意義，形成初步的應(yīng)用意識。

例1以猜書的游戲活動，讓學(xué)生體驗推理的過程，理解推理的含義，即根據(jù)已知條件推出結(jié)論。同時初步獲得一些簡單推理的經(jīng)驗。題目中包含3個條件，即3本書每人各拿一本、小紅拿的是語文書,小麗拿的不是數(shù)學(xué)書。學(xué)生在理解題意的基礎(chǔ)上需要梳理信息之間的關(guān)系，即左側(cè)學(xué)生所列摘錄的內(nèi)容,其解決問題的關(guān)鍵在于由“小紅拿的是語文書”的條件將問題轉(zhuǎn)化為最簡單的推理問題“小麗和小剛拿數(shù)學(xué)書和品德書,小麗拿的不是數(shù)學(xué)書。”對于推理時采用的輔助方法，教材呈現(xiàn)了摘錄信息再連線的方法和綜合排除法，其中右側(cè)學(xué)生的方法又體現(xiàn)了一定的開放性，“可以肯定”后面可以“可以肯定小麗拿的應(yīng)該是語文或品德與生活書”，也可以是以肯定小剛拿的是數(shù)學(xué)書”。外，這里也可以采用列表的方輔助推理。“做一做”利用現(xiàn)實而有趣的素材使學(xué)生進一步體驗簡單推理的過程。2.教材分析二年級下“推理”

例2是讓學(xué)生利用推理解決按要求在方格內(nèi)填數(shù)的問題。既可鞏固推理的知識，感受推理的作用,也可培養(yǎng)學(xué)生解決問題、有序思考的能力。在例2的呈現(xiàn)上，教材體現(xiàn)了以下幾個特點：一是通過字母標(biāo)示，對于解決問題的關(guān)鍵步驟進行了提示，降低了問題的難度;二是通過機器人的提示,給出解決問題的關(guān)鍵，降低了思考的難度;三是以兩幅連續(xù)的學(xué)生交流圖呈現(xiàn)了完整的推理思路，突出了學(xué)生對推理過程的體驗和表述。“你能填出其他方格里的數(shù)嗎？”和“做一做”是對例2所學(xué)知識的鞏固與應(yīng)用。“做一做”仍以在方格中標(biāo)示A的方式對學(xué)生的解題思路進行提示。與例題相比，思考題因其中一個條件需要通過推理才能得出,難度稍有增加。供學(xué)有余力的學(xué)生嘗試練習(xí)。2.教材分析3．教學(xué)建議(1)利用學(xué)生熟悉的素材設(shè)計富有趣味性的活動,讓學(xué)生切實理解邏輯推理。在日常的生活與學(xué)習(xí)中,學(xué)生經(jīng)常會自發(fā)地使用三段論法進行推理,只不過常常省略大前提。如一年級利用數(shù)的組成進行猜數(shù)的游戲中，就有推理的運用。只不過學(xué)生沒有明確地意識到。為此,在教學(xué)時,教師應(yīng)利用好教材上的內(nèi)容,設(shè)計有層次的趣味活動,讓學(xué)生切實參與進活動中，體驗用已知條件推出結(jié)論進而解決問題的過程，以此體會邏輯推理的含義，學(xué)會推理的方法。當(dāng)然,除了利用好教材上的相關(guān)素材外,還應(yīng)充分重視本班學(xué)生已有的經(jīng)驗和體驗設(shè)計一些有趣的數(shù)學(xué)活動，如利用數(shù)的組成猜數(shù)的游戲、填豎式中的未知數(shù)的游戲等，既讓學(xué)生在趣味中體驗什么是推理的過程，又能感受推理的重要作用。(2)把握教學(xué)的重點，落實教學(xué)目標(biāo)。本單元的教學(xué)主要是讓學(xué)生在解決問題的過程中理解并體驗什么是邏輯推理，并能用一定方式(如連線、列表等)輔助推理,有條理地表述自己推理的過程。為此,在設(shè)計教學(xué)時就在這些方面加以突出。如例1的教學(xué)就應(yīng)重在讓學(xué)生讀題后梳理信息并提煉出關(guān)鍵信息,后放手讓學(xué)生去解答問題，之后留出充足的時間讓學(xué)生交流,使學(xué)生會借助口頭語言表述自己推理的過程,并在此過程中體驗推理的含義。例2的教學(xué)更是如此,為突出一般的思考過程,教師還可以先簡化題目,改成3×3的方格,在使學(xué)生有所體會后再呈現(xiàn)例題的素材,后續(xù)練習(xí)中還可去掉有提示作用的字母，讓學(xué)生充分體會用推理解決問題的一般思路。(3)注重學(xué)生有條理地闡述推理過程，但要把握好教學(xué)的“度”。二年級的學(xué)生對簡單推理知識的理解難度不是很大，但是用簡潔的語言有條理地表達推理的過程還是有一定難度的，所以推理過程的敘述是本節(jié)課的難點。為此，教師在教學(xué)中要注意引導(dǎo)學(xué)生表述清楚自己的推理過程,如通過“你是怎樣想的?”“通過小紅的話,你能得出什么結(jié)論?”“你是怎樣確定A(或B)是幾的?”等讓學(xué)生進行表述,并在學(xué)生表達不暢的地方加以輔助。但同時要注意對學(xué)生的語言表述要求不要過高,更不要求學(xué)生用嚴(yán)格的選言推理的方式進行敘述。只要學(xué)生能像教材中的學(xué)生那樣,能表達清楚即可。語言是思維的外殼，只有想得清，才能說得明。所以注重數(shù)學(xué)語言表達的條理性,就能有效地培養(yǎng)學(xué)生思維的邏輯性。3．教學(xué)建議1.課標(biāo)要求《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》在第二學(xué)段“學(xué)段目標(biāo)”中提出，在主題活動中,嘗試應(yīng)用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科知識與方法解決問題,積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗,形成量感、推理意識和應(yīng)用意識?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》在第二學(xué)段“課程內(nèi)容”中提出，能解決生活中的簡單問題，并對結(jié)果的實際意義做出解釋，形成初步的模型意識和應(yīng)用意識。2.教材分析例1通過解決生活中的實際問題(求兩個集合的并集的元素個數(shù)),讓學(xué)生體會集合概念的含義及有關(guān)計算,學(xué)習(xí)用集合的思想方法解決簡單的實際問題。用統(tǒng)計表的形式給出三(1)班參加跳繩、踢毽比賽的學(xué)生名單，提出要解決的問題。呈現(xiàn)學(xué)生小組討論如何解決問題的場景，提示教師要讓學(xué)生自主探索,思考解決問題的方法。隨即,呈現(xiàn)了一一列舉出參加兩項比賽的學(xué)生姓名（兩個集合的元素),再把重復(fù)出現(xiàn)的姓名連起來（找到交集的元素）解決問題的方法，讓學(xué)生體會在求兩個集合的并集時，它們的公共元素在并集中只能出現(xiàn)一次。介紹用維恩圖表示集合及其交、并的方法,讓學(xué)生體會集合元素的特性;互異性和無序性,體會集合的交集、并集。提出問題“可以怎樣列式解答”，讓學(xué)生用計算解決兩個集合的并集的元素個數(shù)問題,脫離具體的集合元素,從集合的元素個數(shù)的角度思考解決問題的方法?！白鲆蛔觥钡?題,要求學(xué)生根據(jù)集合元素的特征填寫維恩圖,鞏固對維恩圖的認(rèn)識,進一步體會集合概念的含義和交、并。突出強調(diào)中間部分表示什么,讓學(xué)生用語言表達“既會游泳的,又會飛的”,加深對交集含義的認(rèn)識。"做一做”第2題(1),用表達邏輯關(guān)系的語言“既……又……”提出關(guān)于交集的元素個數(shù)問題，讓學(xué)生體會如何用生活語言表述兩個集合的交集(由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合,稱為集合A與B的交集)。"思考題”滲透利用一一對應(yīng)的思想解決問題的方法。A組和B組的小組賽都需要淘汰15人，都需要進行15場比賽,因此,一共要進行30場比賽。三年級上“集合”3．教學(xué)建議1.關(guān)注“沖突”,激發(fā)學(xué)生主動探究。提出需要解決的問題“參加這兩項比賽的共有多少人”后，學(xué)生的不同答案有可能引發(fā)“沖突”。教師應(yīng)抓住這一“沖突”,在此處追問“你能確定有17人嗎”“你能證明為什么不是17人嗎”。以此激發(fā)學(xué)生探究的欲望，讓學(xué)生積極主動地投入解決問題的活動中去，用個性化的思考和處理問題的方式解決問題,為他們自主建構(gòu)知識的意義提供時空保障。2.重視多元表征，感悟集合思想。在學(xué)生解決“求兩個集合的并集的元素個數(shù)”問題時會用到多種方法，如畫圖示或列算式等。應(yīng)放手讓學(xué)生嘗試解決,并充分展示學(xué)生的方法。學(xué)生畫的圖示并不一定是標(biāo)準(zhǔn)的維恩圖,只要能清楚地表示出兩個集合的關(guān)系,都應(yīng)給予充分的肯定。另外,要注重通過語言描述，讓學(xué)生在圖示與算式這兩種表征之間進行轉(zhuǎn)換，感受集合的知識。當(dāng)讓學(xué)生列式解答時，學(xué)生會有多種算法。應(yīng)讓學(xué)生結(jié)合維恩圖說一說算式所表示的意思,借助直觀深刻理解維恩圖中每一部分的含義，加深對集合知識的理解。例如，當(dāng)學(xué)生列式為9+8-3=14后，讓學(xué)生結(jié)合維恩圖說一說求出的是哪一部分，體會兩個集合的并集，再說一說這樣列式的理由，體會“求兩個集合的并集的元素個數(shù),就是用兩個集合的元素個數(shù)的和減去它們的交集的元素個數(shù)”這一基本方法。再如，學(xué)生列式為8-3=5，9+5=14時，讓學(xué)生說明“8-3表示只參加踢毽比賽的”,在維恩圖上指一指是哪兩部分相減,在說明“9+5表示參加跳繩比賽的加上只參加踢毽比賽的”的同時，在維恩圖上指一指是哪兩部分相加，體會并集。3.把握好教學(xué)要求。集合思想雖然在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有廣泛的滲透,但并不是必須掌握的內(nèi)容。本單元教學(xué)的落腳點不是掌握與集合有關(guān)的概念,也不是熟練掌握計算的方法,而是讓學(xué)生經(jīng)歷探究的過程,在解決問題的過程中理解集合的思想,并獲得有價值的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。因此,在教學(xué)中要注意把握好知識的難度和要求,盡量用通俗易懂的語言滲透集合思想。例如,對于集合的術(shù)語,如集合、元素、交集、并集等,雖然在教學(xué)中可以介紹給學(xué)生,但并不需要讓學(xué)生掌握,只要學(xué)生能用自己的語言表達和交流就可以了。教材中出現(xiàn)的解決問題都是計算集合并集或交集的元素個數(shù),但重點不是熟練計算,而是讓學(xué)生通過解決此類問題,了解、體會集合概念及運算的道理。另外,教材中只給出了利用維恩圖表示兩個集合的交和并的問題,沒有出現(xiàn)三個集合的情況。如果學(xué)生在解答練習(xí)二十三第4題和第6題的時候,嘗試用維恩圖表示三個集合的交、并，應(yīng)給予鼓勵和指導(dǎo)。3．教學(xué)建議1.課標(biāo)要求《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》在第二學(xué)段“學(xué)段目標(biāo)”中提出，在主題活動中,嘗試應(yīng)用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科知識與方法解決問題,積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗,形成量感、推理意識和應(yīng)用意識。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》在第二學(xué)段“課程內(nèi)容”中提出，能解決生活中的簡單問題，并對結(jié)果的實際意義做出解釋，形成初步的模型意識和應(yīng)用意識。

例1教學(xué)排列問題,這是用4個數(shù)字（含0）組成兩位數(shù)的問題。在二年級上冊探索非0的3個數(shù)字組合兩位數(shù)的基礎(chǔ)上，增加了數(shù)字0。通過兩名學(xué)生探索能寫出多少個兩位數(shù)的過程,體現(xiàn)了思維的有序和全面性——從十位寫1開始,按從小到大的順序選擇數(shù)字,“按順序”“不重不漏”是思考的關(guān)鍵。還體現(xiàn)了分類討論的方法，用自己的方式表達思考過程?！白鲆蛔觥?第1題的問題結(jié)構(gòu)與例1相同,鞏固所學(xué)方法.第2題比例1稍復(fù)雜,解決問題的方法也比較多樣.①可以讓學(xué)生思考：先把5塊巧克力分成3份,有兩組分法:(1,1,3)和(1,2,2);再就每組分法分別討論怎樣分給小麗、小明、小紅,有幾種排列的結(jié)果;最后將所有結(jié)果相加。②也可以讓學(xué)生思考:先分給小麗1塊，再將剩下的4塊分給小明和小紅，有3種分法；先分給小麗2塊，剩下的3塊給小明和小紅，有2種分法;先分給小麗3塊,剩下的2塊分給小明和小紅，有1種分法。最后將所有結(jié)果相加。2.教材分析三年級下“搭配（二）”例2選取解決服裝搭配的問題,用以培養(yǎng)學(xué)生有序、全面思考的能力。所創(chuàng)設(shè)的問題情境貼近學(xué)生的生活,且易于理解和探究。女生和男生分別呈現(xiàn)了兩種解決問題的思路及表達方式。兩種方法都脫離了用實物進行操作,而是借助圖形和符號表達思考過程。其中男生的方法既可以看成每件上裝搭配不同下裝（A→B)，也可以看成每件下裝搭配不同上裝(B-→A).為鞏固此類問題的解決方法，“做一做”中編排了兩個與例2結(jié)構(gòu)相同的題目。第1題用“拉動紙條”的方式限定了十位只能從“2、4、9”選擇，個位只能從“3、6、8”選擇，使問題結(jié)構(gòu)與例題相同。2.教材分析3．教學(xué)建議1.創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的情境和活動，經(jīng)歷知識的形成過程，培養(yǎng)“四能”.數(shù)學(xué)教學(xué)要讓學(xué)生經(jīng)歷知識的形成過程，這是新課程所倡導(dǎo)的理念之一。所謂“經(jīng)歷”是指“在特定的數(shù)學(xué)活動中,獲得一些初步的經(jīng)驗。”要“經(jīng)歷”就必須有一個特定的現(xiàn)實的活動情境，因此，要有意識地創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的情境，幫助他們聯(lián)系自己身邊具體的事物發(fā)現(xiàn)并提出問題,通過觀察、操作、猜想等活動,感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系,積累這方面的經(jīng)驗。2.借助多種學(xué)習(xí)方式和關(guān)鍵性問題，引導(dǎo)學(xué)生的思維活動逐步走向深入，掌握有序、全面思考問題的方法。排列和組合是很抽象的數(shù)學(xué)知識，教學(xué)中，需要通過多種活動把這些抽象的知識直觀化、具體化。要用寫一寫、畫一畫、擺一擺等多種形式表示思維過程,在教學(xué)中可以采用獨立思考表達想法、動手實踐體驗思考、同伴互助分享思維、小組合作相互讀懂等多種學(xué)習(xí)方式,促進學(xué)生的思考與交流,展示多種解決問題的方法,在個體與小組、團體的思維碰撞中不斷感受提升,找出排列數(shù)和組合數(shù),最終掌握有序、全面的思考方法。要想引導(dǎo)學(xué)生思維活動逐步深入，在教學(xué)中可提出以下三個問題。第一，同學(xué)們能用自己想到的方法,把找到全部“搭配”的過程表示出來嗎?此問題意在把學(xué)生從僅僅關(guān)注答案引導(dǎo)到關(guān)注尋找答案的過程上,從而生成豐富的教學(xué)資源。第二,同學(xué)們尋找有多少種搭配方法,表達的形式不同(畫圖、文字、符號等等),但是都做到了不重不漏,這中間一定有共同的經(jīng)驗。想一想是什么？此問題意在從不同的方法中揭示出問題的本質(zhì)——有序思考，引導(dǎo)學(xué)生體會有序思考的價值。第三，科學(xué)家們都十分看重有序思考，如愛因斯坦就說過：“對稱和有序是宇宙間的根本大法?！庇行蛩伎荚谖覀兩詈蛯W(xué)習(xí)中也經(jīng)常用到，你能舉個例子說說嗎？此問題意在深化學(xué)生對有序思考的認(rèn)識，并讓學(xué)生經(jīng)歷認(rèn)識的完整過程：“實踐——認(rèn)識——再實踐”。3.把握教學(xué)要求,“到位”而不“越位”。教學(xué)中,既要指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實際問題采取枚舉、連線等形式有序地、不重不漏地找出事物的排列數(shù)和組合數(shù)，還要注意：只要求學(xué)生用圖示的方式把所有的排列或組合情況列舉出來(即有哪些排列或組合),不要求抽象地計算出一共有多少種排列數(shù)或組合數(shù)!不要拔高要求。教學(xué)中應(yīng)鼓勵學(xué)生用自己喜歡的方式表達思維過程和結(jié)果,但是,諸如排列、組合、分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理等名詞，不必出現(xiàn)也不用向?qū)W生進行解釋。3．教學(xué)建議1.課標(biāo)要求《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》在第二學(xué)段“學(xué)段目標(biāo)”中提出，在主題活動中,嘗試應(yīng)用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科知識與方法解決問題,積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗,形成量感、推理意識和應(yīng)用意識。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》在第二學(xué)段“課程內(nèi)容”中提出，能解決生活中的簡單問題，并對結(jié)果的實際意義做出解釋，形成初步的模型意識和應(yīng)用意識。2.教材分析例1結(jié)合沏茶的實際問題，讓學(xué)生體會優(yōu)化思想的作用。提出探究問題。以家里來客人要沏茶為背景，提出“怎樣才能盡快讓客人喝上茶”的問題。呈現(xiàn)信息。在情境圖下教材給出了沏茶所要做的各種工序，以及實施每種工序所需要的時間。提示研究的方法和思路。教材呈現(xiàn)了學(xué)生們討論怎樣安排的場景，提示了解決這一問題的思考方法：沏茶的順序是什么？怎樣安排節(jié)省時間？哪些事情可同時做？教材提示用流程圖的方式表示解決問題的順序或方案，教給學(xué)生設(shè)計方案的具體方法。此外，不完整的流程圖為學(xué)生預(yù)留了思考和創(chuàng)造的空間。四年級上“優(yōu)化”例2討論烙餅時怎樣合理安排操作最節(jié)省時間,讓學(xué)生體會在解決問題中優(yōu)化思想的應(yīng)用,教材呈現(xiàn)了學(xué)習(xí)過程中的學(xué)生想法和問題,反映了學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)起點；烙餅的圖示則凸顯了直觀優(yōu)勢,有助于學(xué)生理解最優(yōu)的烙餅方法?！白鲆蛔觥钡?題與例1配合,讓學(xué)生通過解決小紅吃藥的實際問題進一步體會優(yōu)化思想在現(xiàn)實生活中的作用,第2題與例2配合,問題中的“至少”體現(xiàn)需從優(yōu)化角度來安排3人玩游戲的活動。

3.教學(xué)建議本單元教學(xué)難點在于如何讓學(xué)生在具體問題的解決中感悟抽象的數(shù)學(xué)思想。解決這個難點的關(guān)鍵就是將“做”與“思”有機結(jié)合,循序漸進,發(fā)展學(xué)生的抽象能力和推理能力。如何讓學(xué)生經(jīng)歷由具體到抽象這一循序漸進的過程呢？一方面，為學(xué)生營造實踐感悟的空間，實踐中體驗解決問題的多種策略，比較中尋求最優(yōu)策略，體驗中感悟優(yōu)化思想，避免只有直觀沒有抽象,或直接闡述數(shù)學(xué)思想而疏漏體驗感悟的過程。另一方面可利用圖表將外化的“做”濃縮為內(nèi)隱的“思”,在動手操作中提升思維活動,將行為的感知升華為理性的思維認(rèn)知,使學(xué)生發(fā)展思維能力的同時理解抽象的數(shù)學(xué)思想。（六）雞兔同籠1.課標(biāo)要求《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》在第三學(xué)段“學(xué)段目標(biāo)”中提出，在主題活動中,應(yīng)用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科知識與方法解決問題,積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗,形成數(shù)感、量感、模型意識、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》在第二學(xué)段“課程內(nèi)容”中提出，能解決生活中的簡單問題，并對結(jié)果的實際意義做出解釋，形成初步的模型意識和應(yīng)用意識。2.教材分析

“雞兔同籠”問題是我國古代著名的數(shù)學(xué)問題,主題圖借助古代課堂的情境對《孫子算經(jīng)》中記載的“雞兔同籠”原題進行了介紹,并通過呈現(xiàn)課堂上學(xué)生冥思苦想的畫面激發(fā)學(xué)生解決該類問題的興趣?！半u兔同籠”原題的數(shù)據(jù)較大,為學(xué)生經(jīng)歷猜測、驗證的過程提出了挑戰(zhàn),從而使學(xué)生體會到化繁為簡是探究解決問題策略的有效途徑之一。

例

1

是在古代趣題的基礎(chǔ)上呈現(xiàn)了一道數(shù)據(jù)較小的“雞兔同籠”問題，在引導(dǎo)學(xué)生探索解決問題方法的過程中，呈現(xiàn)了猜測、列表、假設(shè)等方法。首先呈現(xiàn)學(xué)生最“樸素”的想法——猜測。分別猜測雞、兔各有多少只,然后驗證腳的只數(shù)是否能對應(yīng)題目的條件。通過這種不斷的猜測、嘗試最終找到答案。接著呈現(xiàn)了列表法，不僅滲透了有序思考,而且還是運用假設(shè)法解決問題的基礎(chǔ)。以上兩種方法體現(xiàn)了讓學(xué)生經(jīng)歷直覺猜測和有序思考的過程,可使學(xué)生對這一問題有較為深刻的理解和認(rèn)識。假設(shè)法是更具邏輯性和一般性的解法，是解決此類問題的算術(shù)解法中較為普遍的一種解法。解題過程要經(jīng)歷:假設(shè)--計算推理--解答的過程。例1就是通過假設(shè)籠子里都是雞，然后通過計算實際與假設(shè)情況下總腳數(shù)之差,進而推理得出雞、兔的只數(shù)。

3.教學(xué)建議（1）注意滲透化繁為簡的思想?！半u兔同籠”的原題數(shù)據(jù)比較大，不利于首次接觸該類問題的學(xué)生進行探究，因此教材先編排了例1,通過化繁為簡的思想、幫助學(xué)生先探索出解決該問題的一般方法后,再解決《孫子算經(jīng)》中的原題。教學(xué)時，教師應(yīng)注意使學(xué)生體會到這一點。(2)引導(dǎo)學(xué)生探索解決問題的策略和方法。在解決“雞兔同籠”問題的方法中,猜測是探究解決此類問題的基礎(chǔ),列表法則有助于通過有序思考找到問題的答案，假設(shè)法則有利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，且是解決此類問題的一般方法。教學(xué)中,教師要給學(xué)生充分的空間,足夠的時間探究、討論解決此類問題的方法,并在小組交流、合作學(xué)習(xí)的過程中了解不同方法的特點,積累解決問題的經(jīng)驗。當(dāng)然,解決這類問題，學(xué)生選用哪種方法均可，不強求用某一種方法。（七）植樹問題1.課標(biāo)要求《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》在第三學(xué)段“學(xué)段目標(biāo)”中提出，在主題活動中,應(yīng)用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科知識與方法解決問題,積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗,形成數(shù)感、量感、模型意識、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》在第三學(xué)段“課程內(nèi)容”中提出，能運用常見的數(shù)學(xué)關(guān)系解決實際問題，能合理解決結(jié)果的實際意義，逐步形成模型意識和幾何直觀。2.教材分析例1是關(guān)于一條線段上的植樹問題并且兩端都要栽樹的情況，讓學(xué)生在解決這個問題的過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，找到解決問題的有效方法，經(jīng)歷解決問題的過程。教材從具體到抽象，從特殊到一般,呈現(xiàn)分析、思考、解決問題的全過程。教材先由一個男孩說出容易出錯的想法“每隔5m栽一棵，共栽100÷5=20（棵）”，接著由“對嗎？檢驗一下”引出解決問題常用的方法——從簡單的情況入手解決復(fù)雜的問題，滲透簡單的化歸思想。然后，呈現(xiàn)同學(xué)們用示意圖和線段圖分析問題的過程。通過畫圖先解決20m和25m的植樹情況,并從中發(fā)現(xiàn)它們共同的規(guī)律：栽樹的棵數(shù)比間隔數(shù)多1，接下來應(yīng)用所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律猜想30m和35m的植樹情況，并加以驗證。最后,引導(dǎo)學(xué)生概括出一條線段兩端栽樹的植樹問題的一般規(guī)律，并據(jù)此解決數(shù)據(jù)更大的問題。

例2是關(guān)于一條線段上的植樹問題的另一種情況,即兩端都不栽樹的情況。教材繼續(xù)通過畫線段圖的方法幫助學(xué)生分析、理解,找出一般規(guī)律來解決例題提出的問題。教材以文字配情境圖的方式呈現(xiàn)問題,以幫助學(xué)生理解題意。由于有了前面探索的經(jīng)驗,學(xué)生自然會想到借助線段圖來分析,所以教材呈現(xiàn)了3位同學(xué)的分析和思考過程,引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)畫線段圖進行分析,從而發(fā)現(xiàn)當(dāng)兩端都不載樹時,植樹的棵數(shù)比間隔數(shù)少1,然后利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決例題的問題?！白鲆蛔觥钡?題和例1對應(yīng),主要是幫助學(xué)生利用規(guī)律解決生活中“兩端都栽樹”的實際問題?！白鲆蛔觥钡?題仍是植樹問題,是一端栽另一端不栽的情況。通過畫線段圖,再與例1、例2對比來獲得對這一基本模型的理解，并運用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決要求的問題。2.教材分析例3是在一條首尾封閉的曲線上植樹的問題,進一步培養(yǎng)學(xué)生在解決實際問題中探索規(guī)律，找出解決問題的有效方法的能力,以及抽取數(shù)學(xué)模型的能力。和前面的編排類似，教材呈現(xiàn)了4位同學(xué)探索解決問題的過程。首先，通過女孩的話“先畫圖試試看。假設(shè)周長是40m……”,引導(dǎo)學(xué)生從簡單的情況入手進行探究。接著,通過機器人的問題“如果把圓拉直成線段,你能發(fā)現(xiàn)什么”,啟發(fā)學(xué)生聯(lián)系已有的知識找出這種植樹問題的規(guī)律，即栽樹的棵樹正好等于間隔數(shù),并滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。“做一做”是對例3的鞏固,同時使學(xué)生體會到用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律能很方便地解決生活中的植樹問題。2.教材分析

1.讓學(xué)生經(jīng)歷和體驗知識的形成過程，感悟重要的數(shù)學(xué)思想和方法?！皵?shù)學(xué)廣角”的教學(xué)目的主要是讓學(xué)生體驗知識的形成過程和感悟數(shù)學(xué)思想方法。具體到本單元,教學(xué)時,教師應(yīng)從實際問題入手,引導(dǎo)學(xué)生在解決問題的分析、思考過程中逐步發(fā)現(xiàn)隱含于不同的情形中的規(guī)律,經(jīng)歷抽取出數(shù)學(xué)模型的過程,體驗數(shù)學(xué)思想方法在解決實際問題中的應(yīng)用。以例1為例，教科書以“對嗎？檢驗一下”“可以畫線段圖來驗證”為線索，讓學(xué)生經(jīng)歷猜想、試驗、歸納、推理的過程，先后向?qū)W生滲透簡單的化歸、數(shù)形結(jié)合、一一對應(yīng)、模型、推理等數(shù)學(xué)思想,激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的好奇心和求知欲,增強學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

2.強調(diào)畫圖的策略，引導(dǎo)學(xué)生有效地解決生活中的植樹問題。標(biāo)準(zhǔn)把幾何直觀作為核心概念之一,并且指出:在日常教學(xué)中,在指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中，幫助學(xué)生養(yǎng)成畫圖的習(xí)慣是非常重要的。因此，在教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生用畫圖的方法解決植樹問題,如“公共汽車站”“架設(shè)電線桿”“敲鐘問題”“設(shè)置飲水點”“鋸木頭”“項鏈上的水晶”等問題,可以引導(dǎo)學(xué)生借助示意圖或線段圖進行分析,在直觀理解的基礎(chǔ)上解答。3.把握好教學(xué)的度?！皵?shù)學(xué)廣角”主要是通過簡單的事例滲透一些重要的數(shù)學(xué)思想方法。因此，在教學(xué)時注意對例題不要進行過多的變式,或者提高問題的難度。3.教學(xué)建議（八）找次品1.課標(biāo)要求

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》在第三學(xué)段“學(xué)段目標(biāo)”中提出，在主題活動中,應(yīng)用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科知識與方法解決問題,積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗,形成數(shù)感、量感、模型意識、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》在第三學(xué)段“課程內(nèi)容”中提出，能運用常見的數(shù)學(xué)關(guān)系解決實際問題，能合理解決結(jié)果的實際意義，逐步形成模型意識和幾何直觀。2.教材分析例1主要目的是讓學(xué)生從最簡單的問題入手、初步理解“找次品”的含義，明確找次品的基本思路。教材先讓學(xué)生討論找次品的方法，通過交流聚焦到用天平來找次品的方法上來，通過用天平直觀演示，說明基本推理過程：如果天平平衡……如果天平不平衡……為后面探索“找次品”問題的策略提供依據(jù)。為了便于溝通和交流，教材通過機器人提出用適當(dāng)?shù)姆绞桨颜掖纹返倪^程清楚地表示出來的要求,引導(dǎo)學(xué)生用直觀的方式記錄找次品的思維過程，為后面利用形式化的天平進行推理作好鋪墊。這里，可以讓學(xué)生初步體會：天平稱一次，可以判斷出次品在兩個托盤上或者是天平外的那個。也就是說,通過推理,可以將次品確定在這三份中的一份中。這就為分三份提供了直觀的經(jīng)驗,為后面的探索作準(zhǔn)備。例2，教學(xué)找次品的一般方法。由8個零件開始探索,再用9個研究,發(fā)現(xiàn)稱的次數(shù)最少的方法的特點；然后用10個、11個驗證，最后總結(jié)出找次品的最優(yōu)策略。有了例1的基礎(chǔ)，學(xué)生已經(jīng)知道找次品的基本推理思路,這里教材在讓學(xué)生理解了“至少稱幾次能保證找出次品”的含義后，直接提出“你們打算怎樣表示找次品的過程”，讓學(xué)生自己探索。為引導(dǎo)學(xué)生探索，教材采取了下面一些措施:一是讓學(xué)生將推理的過程用直觀、簡潔的方式表示出來,并給出“直觀圖”示例加以引導(dǎo);二是讓學(xué)生把不同的方案記錄在表格中,以便進行分析、猜測;三是通過表格下面的問題,給出探究的線索:通過第(1)題,找出稱的次數(shù)最少的方法,通過第(2)題并結(jié)合第(1)題,歸納出方法,最后用10個、11個驗證,進一步明確找次品的最優(yōu)方法?！白鲆蛔觥边M一步鞏固和應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的最優(yōu)方法解決找次品問題。1.重視小組合作與交流。本單元內(nèi)容的探究性比較強,可以采取小組討論探究的方式教學(xué)。教學(xué)時,可先給學(xué)生充足的探究時間和空間，讓他們充分地比較、觀察、討論，找到解決問題的多種策略。在探索中教師應(yīng)提醒學(xué)生把所有的可能性都考慮進去。小組討論后,教師可要求學(xué)生分組匯報結(jié)果,并在黑板(投影屏幕)上逐一展示,讓學(xué)生感受到同一問題有多種解決方案,為后面尋求最優(yōu)的解決策略打下研究、分析的基礎(chǔ)。2.讓學(xué)生充分經(jīng)歷“比較—猜想一驗證”的過程，尋求找次品的方法?！罢掖纹贰钡淖顑?yōu)策略有兩個要點:一是把待測物品分成3份;二是盡量平均分。這是本單元教學(xué)的重點也是難點。如何遵循學(xué)生的認(rèn)知特點,引導(dǎo)學(xué)生突破這一難點呢？教學(xué)中可以按照教材的編排，通過有層次的、豐富的探究活動，讓學(xué)生在自主探索中體會，逐步地進行歸納。如先通過例1，研究“3個”的情形，讓學(xué)生感知基本的推理過程：如果天平平衡……如果天平不平衡……;再通過例2研究“8個”“9個”的情形,對比分析,尋找出規(guī)律,最后用“10個、11個”進行驗證，概括出找次品的最優(yōu)方法。也可以在教材提供的基本教學(xué)思路的前提下，進行一些調(diào)整。如，可以從2個開始，再重點探究3、8、9個的情形。通過解決“2個”的情形與“3個”形成次數(shù)的對比：為什么數(shù)量多了1個，而次數(shù)沒有增加？讓學(xué)生感受到找次品并不是都要稱，可以通過推理將其找出，為“分組推理”的研究埋下伏筆。再如，將“8個”“9個”的情形結(jié)合起來研究,通過對比分析總結(jié)分組的優(yōu)化方法:分三組,盡可能平均分，如不能平均分，讓每組數(shù)量盡可能接近，且3份中有兩份的數(shù)量相等。3.教學(xué)建議3.有意識地進行數(shù)學(xué)思維過程表達的教學(xué)。邏輯推理是貫穿本節(jié)課始終的重要的思想方法。在“找次品”的過程中，為了使別人明白自己是怎么解決問題的，學(xué)生需要清晰、有條理地表示出邏輯推理的過程。而這點也正是本單元的重點和難點。雖然口頭和文字表達可以說明思維過程，但如前所述，當(dāng)零件總量增多，推理的步驟也相應(yīng)增加,再用這種方式表述會冗長煩瑣,因此,要有意識地引導(dǎo)學(xué)生嘗試用畫直觀圖、流程圖,并配以文字說明的方式表示邏輯推理的過程,使學(xué)生逐步學(xué)會用數(shù)學(xué)化的方式表達思維過程。3.教學(xué)建議（九）數(shù)與形1.課標(biāo)要求

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》在第三學(xué)段“學(xué)段目標(biāo)”中提出，在主題活動中,應(yīng)用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科知識與方法解決問題,積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗,形成數(shù)感、量感、模型意識、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》在第三學(xué)段“課程內(nèi)容”中提出，能運用常見的數(shù)學(xué)關(guān)系解決實際問題，能合理解決結(jié)果的實際意義，逐步形成模型意識和幾何直觀。例1是通過數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生探索從1開始的連續(xù)奇數(shù)之和與“正方形數(shù)”（即平方數(shù))之間的關(guān)系。教材引導(dǎo)學(xué)生觀察正方形圖中的小正方形數(shù)的規(guī)律，并把正方形圖與下面的算式對照，尋找它們之間的關(guān)系。使學(xué)生通過觀察，發(fā)現(xiàn)算式左邊的加數(shù)正好與正方形圖中以顏色區(qū)分的“”形圖形中的小正方形數(shù)相對應(yīng)。把這些加數(shù)加起來，和就是正方形圖中包含的小正方形數(shù)，即每邊小正方形數(shù)的平方。有幾個奇數(shù)相加，每邊的小正方形數(shù)就是幾在學(xué)生發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律以后,讓學(xué)生學(xué)會應(yīng)用這一規(guī)律繼續(xù)填下去,即從1開始,幾個連續(xù)奇數(shù)相加，和即是幾的平方。例2中,先觀察發(fā)現(xiàn)加數(shù)的規(guī)律，即第一個加數(shù)是1/2，后面每個加數(shù)是前一個加數(shù)的1/2。接下來，讓學(xué)生通過計算，發(fā)現(xiàn)和的規(guī)律,即和為1減去最后一個加數(shù),隨著加數(shù)越來越多，和越來越接近于1。2.教材分析1.引導(dǎo)學(xué)生數(shù)形結(jié)合，相互印證。形的問題中包含著數(shù)的規(guī)律,數(shù)的問題也可以用形來幫助解決,教學(xué)時,要讓學(xué)生通過解決問題體會到數(shù)與形的這種完美結(jié)合。既可以從數(shù)的角度出發(fā),讓學(xué)生看看可以怎樣用圖形來表示數(shù)的規(guī)律,也可以讓學(xué)生尋找圖形中所包含的數(shù)的規(guī)律。通過數(shù)與形的對應(yīng)關(guān)系,互相印證結(jié)果，感受數(shù)學(xué)的魅力。例如，在例1中可以先讓學(xué)生計算1+3+5+…的得數(shù)，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)得到的和都是“平方數(shù)”,再通過圖形的規(guī)律理解“平方數(shù)”和“正方形數(shù)”的含義。也就是說，如果用1個小正方形、3個小正方形、5個小正方形……可以共同拼出一些大小不一的大正方形圖。也可以有規(guī)律地呈現(xiàn)由小正方形拼成的大小不一的大正方形圖，讓學(xué)生看看前后兩個大正方形圖相差多少個小正方形,例如,邊長是2的大正方形和邊長是1的大正方形,相差的是3個小正方形;邊長是3的大正方形和邊長是2的大正方形,相差的是5個小正方形…相差的小正方形數(shù)正好是“7”形中的小正方形數(shù)。因此,每個大正方形圖中都隱藏著一個算式，即1+3+5+…+(2n-1)=n22.使學(xué)生感受用形來解決數(shù)的有關(guān)問題的直觀性與簡捷性。圖形的直觀、形象的特點,決定了化數(shù)為形往往能夠達到以簡馭繁的目的。例如,例2中,用舉例的方法求出等比數(shù)列的有限和,都不能證明無限多項相加的結(jié)果為1。但是如果用圓或線段的圖形加以說明,學(xué)生則比較容易理解當(dāng)一個數(shù)無限趨近于1時,其結(jié)果就是1,一個極其抽象的極限問題，由于用圖形來解決，就變得十分直觀和便捷了。3.教學(xué)建議3.引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度探索數(shù)與形的通用模式。小學(xué)階段，雖然不要求寫出一個數(shù)列的通式，但可以通過數(shù)形結(jié)合的方法，利用圖形的規(guī)律，從不同的角度，用自己的語言描述出數(shù)列的通用模式。例如，第109頁第1題，根據(jù)例1的結(jié)論,很容易得到第n個圖形中最外圍的小正方形數(shù)為:(2n+1)2-(2n-1)2,也可以從結(jié)果看到第一個圖最外圈有8個小正方形，第二個圖最外圈有8×2個小正方形，第三個圖最外圖有8×3個小正方形……通過推理，可知第n個圖最外圈就有8×n個小正方形，每次都是在前一個圖的基礎(chǔ)上增加8個小正方形。還可以引導(dǎo)學(xué)生進一步思考:每次多的這8個小正方形都是怎么來的?使學(xué)生觀察到是由于每邊增加2個小正方形所產(chǎn)生的。3.教學(xué)建議（十）鴿巢問題1.課標(biāo)要求《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》在第三學(xué)段“學(xué)段目標(biāo)”中提出，在主題活動中,應(yīng)用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科知識與方法解決問題,積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗,形成數(shù)感、量感、模型意識、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》在第三學(xué)段“課程內(nèi)容”中提出，能運用常見的數(shù)學(xué)關(guān)系解決實際問題，能合理解決結(jié)果的實際意義，逐步形成模型意識和幾何直觀。例1抽撲克牌“魔術(shù)”是為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引出新知。例1借助把4支鉛筆放進3個筆筒中的操作情境，介紹“抽屈原理”的最基本形式。教材呈現(xiàn)了兩種思考方法。第一種方法是用操作的方法進行枚舉。通過直觀地擺鉛筆,發(fā)現(xiàn)把4支鉛筆放進3個筆筒中一共只有四種情況。在每一種情況中,都一定有一個筆筒中至少有2支鉛筆。通過羅列實驗的所有結(jié)果，就可以得出結(jié)論。第二種方法,采用“假設(shè)”的思路進行推理：先放3支，假設(shè)沒有任何筆筒里有2支，即每個筆筒里只放1支，剩下1支放入任意一個筆筒中,這個筆筒中就有2支鉛筆了。這種方法比第一種方法更為抽象,更具一般性。例如,如果要回答“為什么把(n+1)支鉛筆放進n個筆筒里,總有一個筆筒里至少放進2支鉛筆”的問題,用枚舉的方法就很難解釋,但用“假設(shè)法”來說明就很容易了?！白鲆蛔觥?，安排了一個“鴿巢問題”,以此呼應(yīng)單元標(biāo)題。此題是例1的擴展,引導(dǎo)學(xué)生理解余數(shù)大于1時該怎么思考。2.教材分析

例2介紹了另一種類型的“抽屜問題”,即“把多于kn(k是正整數(shù))個的物體任意分放進n個空抽屜,那么一定有一個抽屜中放進了至少(k+1)個物體”。教材提供了讓學(xué)生把7本書放進3個抽屜的情境。學(xué)生仍然可以采用圖示、分解數(shù)、假設(shè)等方法,理解并確認(rèn)“總有一個抽屜至少放進3本書”的結(jié)論,教材呈現(xiàn)的“如果每個抽屜最多放2本……”的提示，實際上已是反證法的形式了,但僅僅是“就事論事”式的“說理”。教材還以算式7÷3=2…1,引導(dǎo)學(xué)生更數(shù)學(xué)化地理解假設(shè)法的核心思路，加深對思考過程的理