2024屆山東省禹城市綜合高中數學高二下期末考試試題含解析

2024屆山東省禹城市綜合高中數學高二下期末考試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在底面為正方形的四棱錐中，平面，，則異面直線與所成的角是（）A． B． C． D．2．設奇函數的最小正周期為，則（）A．在上單調遞減 B．在上單調遞減C．在上單調遞增 D．在上單調遞增3．若關于的一元二次不等式的解集為，則（）A． B． C． D．4．已知函數是函數的導函數，，對任意實數都有，則不等式的解集為（）A． B． C． D．5．函數在區(qū)間上的最大值是2，則常數（）A．-2 B．0 C．2 D．46．已知甲口袋中有個紅球和個白球，乙口袋中有個紅球和個白球，現從甲，乙口袋中各隨機取出一個球并相互交換，記交換后甲口袋中紅球的個數為，則（）A． B． C． D．7．若，則A．10 B．15 C．30 D．608．已知i為虛數單位，復數z滿足(1－i)·z＝2i，是復數z的共軛復數，則下列關于復數z的說法正確的是()A．z＝1－i B．C． D．復數z在復平面內表示的點在第四象限9．如圖1是把二進制數化為十制數的一個程序框圖,則判斷框內應填入的條件是()A.B.C.D.否否開始是10．函數（且）的圖象可能為（）A． B． C． D．11．若角是第四象限角，滿足，則（）A． B． C． D．12．“中國夢”的英文翻譯為“”，其中又可以簡寫為，從“”中取6個不同的字母排成一排，含有“”字母組合（順序不變）的不同排列共有（）A．360種 B．480種 C．600種 D．720種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設函數是定義在上的可導函數，其導函數為，且有，則不等式的解集是______.14．《左傳.僖公十四年》有記載:“皮之不存,毛將焉附?"”這句話的意思是說皮都沒有了,毛往哪里依附呢?比喻事物失去了借以生存的基礎,就不能存在.皮之不存,毛將焉附?則“有毛”是“有皮”的__________條件(將正確的序號填入空格處).①充分條件②必要條件③充要條件④既不充分也不必要條件15．已知向量的夾角為，且，則________.16．已知某商場在一周內某商品日銷售量的莖葉圖如圖所示，那么這一周該商品日銷售量的平均數為________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數（且，e為自然對數的底數.）（1）當時，求函數在處的切線方程；（2）若函數只有一個零點，求a的值.18．（12分）已知函數．（1）當時，判斷函數的單調性；（2）若關于的方程有兩個不同實根，求實數的取值范圍，并證明．19．（12分）（文科學生做）已知數列滿足.（1）求，，的值，猜想并證明的單調性；（2）請用反證法證明數列中任意三項都不能構成等差數列．20．（12分）設，．（Ⅰ）如果存在x1，x2∈[0,2]，使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求滿足上述條件的最大整數M；（Ⅱ）如果對于任意的都有f(s)≥g(t)成立，求實數a的取值范圍．21．（12分）從某班6名學生（其中男生4人，女生2人）中任選3人參加學校組織的社會實踐活動．設所選3人中女生人數為，求的數學期望.22．（10分）已知中，三個內角，，所對的邊分別為，，，滿足.（1）求；（2）若，的面積為，求，的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，分別過P，D點作AD，AP的平行線交于M，連接CM，AM，因為PB∥CM，所以就是異面直線PB與AC所成的角.【題目詳解】解：由題意：底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，分別過P，D點作AD，AP的平行線交于M，連接CM，AM，

.

∴PBCM是平行四邊形，

∴PB∥CM，

所以∠ACM就是異面直線PB與AC所成的角.

設PA＝AB＝，在三角形ACM中，

∴三角形ACM是等邊三角形.

所以∠ACM等于60°，即異面直線PB與AC所成的角為60°.

故選：B.【題目點撥】本題考查了兩條異面直線所成的角的證明及求法.屬于基礎題.2、B【解題分析】分析：利用輔助角公式將函數進行化簡，根號函數的周期和奇偶性即可得到結論．詳解：，

∵函數的周期是，，

∵）是奇函數，

即∴當時，即則在單調遞減，

故選：B．點睛：本題主要考查三角函數的解析式的求解以及三角函數的圖象和性質，利用輔助角公式是解決本題的關鍵．3、D【解題分析】

根據一元二次不等式與二次函數之間的關系，可得出一元二次不等式的解集為的等價條件.【題目詳解】由于關于的一元二次不等式的解集為，則二次函數的圖象恒在軸的下方，所以其開口向下，且圖象與軸無公共點，所以，故選：D.【題目點撥】本題考查一元不等式在實數集上恒成立，要充分利用二次函數的開口方向和與軸的位置關系進行分析，考查推理能力，屬于中等題.4、B【解題分析】令,,所以函數是減函數，又，所以不等式的解集為本題選擇B選項.5、C【解題分析】分析：求出函數的導數，得到函數的單調區(qū)間，求出函數的最大值是，則值可求．詳解：令，解得：或，

令，解得：

∴在遞增，在遞減，，

故答案為：2點睛：本題考查利用導數求函數在閉區(qū)間上的最值，考查了導數的綜合應用，屬于基礎題．6、A【解題分析】

先求出的可能取值及取各個可能取值時的概率，再利用可求得數學期望.【題目詳解】的可能取值為.表示從甲口袋中取出一個紅球，從乙口袋中取出一個白球，故.表示從甲、乙口袋中各取出一個紅球，或從甲、乙口袋中各取出一個白球，故.表示從甲口袋中取出一個白球，從乙口袋中取出一個紅球，故.所以.故選A.【題目點撥】求離散型隨機變量期望的一般方法是先求分布列，再求期望.如果離散型隨機變量服從二項分布，也可以直接利用公式求期望.7、B【解題分析】

分析：由于，與已知對比可得的值1．詳解：由于，與已知對比可得故選B.點睛：本題考查二項式定理的應用，觀察分析得到是關鍵，考查分析與轉化的能力，屬于中檔題．8、C【解題分析】

把已知等式變形，利用復數代數形式的乘除運算化簡求出z，然后逐一核對四個選項得答案．【題目詳解】復數在復平面內表示的點在第二象限，故選C．【題目點撥】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的基本概念，是基礎題．9、C【解題分析】略10、D【解題分析】因為，故函數是奇函數，所以排除A，B；取，則，故選D.考點：1.函數的基本性質；2.函數的圖象.11、B【解題分析】

由題意利用任意角同角三角函數的基本關系，求得的值．【題目詳解】解：∴角滿足，平方可得1+sin2，∴sin2，故選B．【題目點撥】本題主要考查同角三角函數的基本關系，屬于基礎題．12、C【解題分析】從其他5個字母中任取4個,然后與“”進行全排列,共有,故選B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據題意,構造函數,,利用導數判斷的單調性,再把不等式化為,利用單調性求出不等式的解集.【題目詳解】解:根據題意,令,其導函數為時,,,在上單調遞增;又不等式可化為,即,;解得,該不等式的解集是為.故答案為:.【題目點撥】本題考查了利用導數研究函數的單調性問題,也考查了利用函數的單調性求不等式的解集的問題,是綜合性題目.14、①【解題分析】分析：根據充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．詳解：由題意知“無皮”?“無毛”，所以“有毛”?“有皮”即“有毛”是“有皮”的充分條件．故答案為：①．點睛：本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用充分條件和必要條件的定義是解決本題的關鍵．15、3【解題分析】

運用向量的數量積的定義可得????，再利用向量的平方即為模的平方，計算可得答案.【題目詳解】解：?????????.【題目點撥】本題主要考查平面向量數量積的運算，相對簡單.16、【解題分析】

直接計算平均數得到答案.【題目詳解】.故答案為：.【題目點撥】本題考查了莖葉圖的平均值，意在考查學生的計算能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

（1）代入，得，所以，求出，由直線方程的點斜式，即可得到切線方程；（2）分和兩種情況，考慮函數的最小值，令最小值等于0，即可得到a的值.【題目詳解】解：（1）當時，，，，∴切線方程為;（2），，令，得，1）當時，，x－0＋極小值所以當時，有最小值，.因為函數只有一個零點，且當和時，都有，所以，即，因為當時，，所以此方程無解.2）當時，，x－0＋極小值所以當時，有最小值，.因為函數只有一個零點，且當和時，都有，所以，即（）（*），設（），則，令，得，當時，；當時，；所以當時，，所以方程（*）有且只有一解.綜上，時函數只有一個零點.【題目點撥】本題主要考查在曲線上一點的切線方程的求法，以及利用導數研究含參函數的零點問題，考查學生的運算求解能力，體現了分類討論的數學思想.18、（1）在上單調遞增；（2）詳見解析.【解題分析】

（1）對求導，根據的符號得出的單調性；（2）由題意可知有兩解，求出的過原點的切線斜率即可得出的范圍，設，根據分析法構造關于的不等式，利用函數單調性證明不等式恒成立即可．【題目詳解】解：（1）時，，故，在上單調遞增．（2）由題意可知有兩解，設直線與相切，切點坐標為，則，解得，，即．∴實數的取值范圍是．不妨設，則，兩式相加得：，兩式相減得：，，故，要證，只需證，即證，令，故只需證在恒成立即可．令，則，∴在上單調遞增，，即在恒成立．．【題目點撥】本題考查了導數與函數單調性的關系，函數單調性與不等式的關系，構造關于的不等式是證明的難點，屬于難題．19、(1)，猜想該數列為單調遞減數列，證明見解析.(2)見解析.【解題分析】分析：（1）由題可直接計算，，的值，根據數值的增減性可猜想單調性；（2）反證法證明，先假設結論的反面成立，然后根據假設結合題設找出矛盾即可得原命題正確.詳解：（1）計算得，猜想該數列為單調遞減數列.下面給出證明：，因為，故，所以恒成立，即數列為單調遞減數列.（2）假設中存在三項成等差數列，不妨設為這三項，由（1）證得數列為單調遞減數列，則，即，兩邊同時乘以，則等式可以化為，（※）因為，所以均為正整數，故與為偶數，而為奇數，因此等式（※）兩邊的奇偶性不同，故等式（※）不可能成立，所以假設不成立，故數列中任意三項都不能構成等差數列．點睛：考查反證法，對反證法的運用難點在于矛盾的得出，通常等式的矛盾一般根據奇數偶數，有理數無理數，整數小數等矛盾進行研究，屬于常規(guī)題.20、（Ⅰ）M＝4；（Ⅱ）[1，＋∞).【解題分析】分析：（I）存在x1、x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立等價于g（x）max﹣g（x）min≥M；（II）對于任意的s、t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立等價于f（x）≥g（x）max，進一步利用分離參數法，即可求得實數a的取值范圍；詳解：（I）存在x1、x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立等價于g（x）max﹣g（x）min≥M∵g（x）=x3﹣x2﹣3，∴∴g（x）在（0，）上單調遞減，在（，2）上單調遞增∴g（x）min=g（）=﹣，g（x）max=g（2）=1∴g（x）max﹣g（x）min=∴滿足的最大整數M為4；（II）對于任意的s、t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立等價于f（x）≥g（x）max．由（I）知，在[，2]上，g（x）max=g（2）=1∴在[，2]上，f（x）=+xlnx≥1恒成立，等價于a≥x﹣x2lnx恒成立記h（x）=x﹣x2lnx，則h′（x）=1﹣2xlnx﹣x且h′（1）=0∴當時，h′（x）＞0；當1＜x＜2時，h′（x）＜0∴函數h（x）在（，1）上單調遞增，在（1，2）上單調遞減，∴h（x）max=h（1）=1∴a≥1點睛：導數問題經常會遇見恒成立的問題：（1）根據參變分離，轉化為不含參數的函數的最值問題；（2）若就可討論參數不同取值下的函數的單調性和極值以及最值，最終轉化為，若恒成立