2024屆上海市虹口中學數(shù)學高二第二學期期末學業(yè)水平測試模擬試題含解析

2024屆上海市虹口中學數(shù)學高二第二學期期末學業(yè)水平測試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若,則()A． B． C． D．2．直線與圓有兩個不同交點的充要條件是（）A． B． C． D．3．過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點,點是原點,若;則的面積為（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)在上單調(diào)，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．5．過雙曲線的右焦點作圓的切線（切點為），交軸于點.若為線段的中點，則雙曲線的離心率是（）A． B． C． D．6．的展開式中的系數(shù)是（）A．-1152 B．48 C．1200 D．23527．已知隨機變量,且,則與的值分別為A．16與0.8 B．20與0.4C．12與0.6 D．15與0.88．如果f(n)∈N+),那么f(n+1)-f(n)等于()A． B． C． D．9．隨機變量的分布列如下表，其中，，成等差數(shù)列，且，246則（）A． B． C． D．10．在正四面體中，點，分別在棱，上，若且，，則四面體的體積為（）A． B． C． D．11．如果的展開式中只有第4項的二項式系數(shù)最大，那么展開式中的所有項的系數(shù)和是()A．0 B．256 C．64 D．12．函數(shù)，則在點處的切線方程為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．7個人站成一排，其中甲一定站在最左邊，乙和丙必須相鄰，一共有______種不同排法14．對于，，規(guī)定，集合，則中的元素的個數(shù)為__________．15．若，，則的最小值為__________．16．已知橢圓（a>b>0）的離心率為e，，分別為橢圓的兩個焦點，若橢圓上存在點P使得∠是鈍角，則滿足條件的一個e的值為____________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）1，4，9，16……這些數(shù)可以用圖1中的點陣表示，古希臘畢達哥拉斯學派將其稱為正方形數(shù)，記第個數(shù)為.在圖2的楊輝三角中，第行是展開式的二項式系數(shù)，，…，，記楊輝三角的前行所有數(shù)之和為.（1）求和的通項公式；（2）當時，比較與的大小，并加以證明.18．（12分）設函數(shù)=[]．（1）若曲線在點（1，）處的切線與軸平行，求；（2）若在處取得極小值，求的取值范圍．19．（12分）思南縣第九屆中小學運動會于2019年6月13日在思南中學舉行，組委會在思南中學招募了12名男志愿者和18名女志愿者，將這30名志愿者的身高如圖所示的莖葉圖（單位：cm），身高在175cm以上（包括175cm）定義為“高個子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定義為“非高個子”，且只有“女高個子”才擔任“禮儀小姐”.男女9157789998161245898650172345674211801119（1）如果用分層抽樣的方法從“高個子”和“非高個子”中共抽取5人，再從這5人中選2人，那么至少有一人是“高個子”的概率是多少？（2）若從所有“高個子”中選3名志愿者，用表示所選志愿者中能擔任“禮儀小姐”的人數(shù)，求出的分布列和數(shù)學期望.20．（12分）某手機代工廠對生產(chǎn)線進行升級改造評估，隨機抽取了生產(chǎn)線改造前、后100個生產(chǎn)班次的產(chǎn)量進行對比，改造前、后手機產(chǎn)量（單位：百部）的頻率分布直方圖如下：（1）記表示事件：“改造前手機產(chǎn)量低于5000部”，視頻率為概率，求事件的概率；（2）填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認為手機產(chǎn)量與生產(chǎn)線升級改造有關：手機產(chǎn)量部手機產(chǎn)量部改造前改造后（3）根據(jù)手機產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求改造后手機產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值（精確到0.01）.參考公式：隨機變量的觀測值計算公式：，其中.臨界值表：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82821．（12分）在平面直角坐標系中，橢圓的參數(shù)方程為為參數(shù))．以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為，直線經(jīng)過橢圓的右焦點．（1）求實數(shù)的值；（2）設直線與橢圓相交于兩點，求的值．22．（10分）某儀器配件質(zhì)量采用值進行衡量，某研究所采用不同工藝，開發(fā)甲、乙兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)該配件，為調(diào)查兩條生產(chǎn)線的生產(chǎn)質(zhì)量，檢驗員每隔分別從兩條生產(chǎn)線上隨機抽取一個配件，測量并記錄其值，下面是甲、乙兩條生產(chǎn)線各抽取的30個配件值莖葉圖.經(jīng)計算得，，，，其中分別為甲，乙兩生產(chǎn)線抽取的第個配件的值.（1）若規(guī)定的產(chǎn)品質(zhì)量等級為合格，否則為不合格.已知產(chǎn)品不合格率需低于，生產(chǎn)線才能通過驗收，利用樣本估計總體，分析甲，乙兩條生產(chǎn)線是否可以通過驗收；（2）若規(guī)定時，配件質(zhì)量等級為優(yōu)等，否則為不優(yōu)等，試完成下面的列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認為“配件質(zhì)量等級與生產(chǎn)線有關”？產(chǎn)品質(zhì)量等級優(yōu)等產(chǎn)品質(zhì)量等級不優(yōu)等合計甲生產(chǎn)線乙生產(chǎn)線合計附：0.100.050.010.0012.7063.8416.63510.828

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

由于兩個對數(shù)值均為正，故m和n一定都小于1，再利用對數(shù)換底公式，將不等式等價變形為以10為底的對數(shù)不等式，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較m、n的大小即可【題目詳解】∵∴0＜n＜1，0＜m＜1且即lg0.5（）>0?lg0.5（）>0∵lg0.5<0，lgm＜0，lgn＜0∴l(xiāng)gn﹣lgm<0即lgn<lgm?n<m∴1＞m＞n＞0故選D．【題目點撥】本題考查了對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對數(shù)的運算法則及其換底公式的應用，利用圖象和性質(zhì)比較大小的方法2、A【解題分析】

由已知條件計算圓心到直線的距離和半徑進行比較，即可求出結(jié)果【題目詳解】圓，圓心到直線的距離小于半徑，由點到直線的距離公式：，，故選【題目點撥】本題考查了直線與圓的位置關系，根據(jù)題意將其轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離，然后和半徑進行比較，較為基礎．3、C【解題分析】

試題分析：拋物線焦點為，準線方程為，由得或所以，故答案為C．考點：1、拋物線的定義；2、直線與拋物線的位置關系．4、D【解題分析】

求得導數(shù)，根據(jù)在上單調(diào)，得出或在上恒成立，分離參數(shù)構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)求得新函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解?！绢}目詳解】由題意，函數(shù)，則，因為，在上單調(diào)，所以①當在上恒成立時，在上單調(diào)遞增，即在上恒成立，則在上恒成立，令，，則在為增函數(shù)，∴．②當在上恒成立時，在上單調(diào)遞減，即在上恒成立，則在上恒成立，同①可得，綜上，可得或．故選：D．【題目點撥】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值問題，用到了分離參數(shù)法求參數(shù)的范圍，恒成立問題的處理及轉(zhuǎn)化與化歸思想是本題的靈魂，著重考查了推理與運算能力，屬于偏難題．5、B【解題分析】

在中，為線段的中點，又，得到等腰三角形，利用邊的關系得到離心率.【題目詳解】在中，為線段的中點，又，則為等腰直角三角形.故答案選B【題目點撥】本題考查了雙曲線的離心率，屬于?？碱}型.6、B【解題分析】

先把多項式化簡，再用二項式定理展開式中的通項求出特定項的系數(shù)，求出對應項的系數(shù)即可.【題目詳解】解：，的二項式定理展開式的通項公式為，的二項式定理展開式的通項公式為，所以的展開式中的系數(shù)為.故選：B.【題目點撥】本題主要考查了二項式定理的應用以及利用二項式展開式的通項公式求展開式中某項的系數(shù)問題，是基礎題目.7、D【解題分析】因為隨機變量，且，且，解得，故選D.8、D【解題分析】分析：直接計算f(n+1)-f(n).詳解：f(n+1)-f(n)故答案為D.點睛：（1）本題主要考查函數(shù)求值，意在考查學生對該知識的掌握水平.（2）不能等于，因為前面還有項沒有減掉.9、A【解題分析】

根據(jù)a,b,c成等差數(shù)列，a+b+c=1，可解得a,b,c，進而求出.【題目詳解】由，得.則，故選A.【題目點撥】本題考查根據(jù)隨機變量X的分布列求概率，分析題目條件易求出．10、C【解題分析】

由題意畫出圖形，設，，，由余弦定理得到關于，，的方程組，求解可得，的值，然后分別求出三角形的面積及A到平面的高，代入棱錐體積公式得答案．【題目詳解】如圖，設，，，∵，，∴由余弦定理得，①②③③-①得，，即，∵，則，代入③，得，又，得，，∴．∴A到平面PEF的距離．∴，故選C．【題目點撥】本題考查棱柱、棱錐、棱臺體積的求法，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，考查計算能力，是中檔題．11、D【解題分析】分析：先確定n值，再根據(jù)賦值法求所有項的系數(shù)和.詳解：因為展開式中只有第4項的二項式系數(shù)最大，所以n＝6.令x＝1，則展開式中所有項的系數(shù)和是,選D.點睛：二項式系數(shù)最大項的確定方法①如果是偶數(shù)，則中間一項(第項)的二項式系數(shù)最大；②如果是奇數(shù)，則中間兩項第項與第項的二項式系數(shù)相等并最大.12、A【解題分析】分析：先求導數(shù)，根據(jù)導數(shù)幾何意義得切線斜率，再根據(jù)點斜式求切線方程.詳解：因為，所以所以切線方程為選A.點睛：求曲線的切線要注意“過點P的切線”與“在點P處的切線”的差異，過點P的切線中，點P不一定是切點，點P也不一定在已知曲線上，而在點P處的切線，必以點P為切點.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、240.【解題分析】分析：本題是一個排列組合及簡單計數(shù)問題，甲要站在最左邊，剩下6個位置，6個人排列，乙和丙必須相鄰，把乙和丙看成一個元素，同另外4個人排列，乙和丙之間也有一個排列，相乘得到結(jié)果．詳解：由題意知本題是一個排列組合及簡單計數(shù)問題，甲要站在最左邊，剩下6個位置，6個人排列，∵乙和丙必須相鄰，∴把乙和丙看成一個元素，同另外4個人排列，乙和丙之間也有一個排列，根據(jù)乘法原理知共有A55A22=240種結(jié)果，故答案為240點睛：站隊問題是排列組合中的典型問題，解題時要先排限制條件多的元素，把限制條件比較多的元素排列后，再排沒有限制條件的元素，最后要用計數(shù)原理得到結(jié)果，本題的甲不影響排列．14、2【解題分析】分析：由⊕的定義，ab=1分兩類進行考慮：a和b一奇一偶，則ab=1；a和b同奇偶，則a+b=1．由a、b∈N*列出滿足條件的所有可能情況，再考慮點（a，b）的個數(shù)即可詳解：ab=1，a、b∈N*，若a和b一奇一偶，則ab=1，滿足此條件的有1×1=3×12=4×9，故點（a，b）有6個；若a和b同奇偶，則a+b=1，滿足此條件的有1+35=2+34=3+33=4+32=…=18+18共18組，故點（a，b）有35個，所以滿足條件的個數(shù)為2個．故答案為2．點睛：本題考查的知識要點：列舉法在排列組合中的應用，正確理解新定義的含義是解決本題的關鍵．15、【解題分析】

由題可得，，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出結(jié)果.【題目詳解】因為，所以，當且僅當時取等號，所以的最小值為4.故答案為:4.【題目點撥】本題主要考查利用“整體乘1”的方法和基本不等式的性質(zhì)來求最值，注意基本不等式的前提是正數(shù).16、（答案不唯一，<e<1）【解題分析】

當為短軸端點時，最大，因此滿足題意時，此角必為鈍角．【題目詳解】由題意當為短軸端點時，為鈍角，∴，∴，，，∴．答案可為．【題目點撥】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)．解題中注意性質(zhì)：是橢圓上任意一點，是橢圓的兩個焦點，當為短軸端點時，最大．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ），（Ⅱ），證明見解析【解題分析】

（Ⅰ）由正方形數(shù)的特點知，由二項式定理的性質(zhì)，求出楊輝三角形第行個數(shù)的和，由此能求出和的通項公式；（Ⅱ）由時，，時，，證明：時，時，可以逐個驗證；證明時，時，可以用數(shù)學歸納法證明．【題目詳解】（Ⅰ）由正方形數(shù)的特點可知；由二項式定理的性質(zhì)，楊輝三角第行個數(shù)的和為，所以.（Ⅱ），，所以；，，所以；，，所以；，，所以；，所以；猜想：當時，；當時，.證明如下：證法1：當時，已證.下面用數(shù)學歸納法證明：當時，.①當時，已證：②假設時，猜想成立，即，所以；那么，，所以，當時，猜想也成立．根據(jù)①②，可知當時，.【題目點撥】本題主要考查了數(shù)列的通項公式的求法，以及數(shù)學歸納法不等式的證明，其中解答中要認真審題，注意二項式定理和數(shù)學歸納法的合理運用，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題．18、(1)1(2)（，）【解題分析】分析：（1）先求導數(shù)，再根據(jù)得a；（2）先求導數(shù)的零點：，2；再分類討論，根據(jù)是否滿足在x=2處取得極小值，進行取舍，最后可得a的取值范圍．詳解：解：（Ⅰ）因為=[]，所以f′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex（x∈R）=［ax2–（2a+1）x+2］ex．f′(1)=(1–a)e．由題設知f′(1)=2，即(1–a)e=2，解得a=1．此時f(1)=3e≠2．所以a的值為1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］ex=（ax–1）(x–2)ex．若a>，則當x∈(，2)時，f′(x)<2；當x∈(2，+∞)時，f′(x)>2．所以f(x)<2在x=2處取得極小值．若a≤，則當x∈(2，2)時，x–2<2，ax–1≤x–1<2，所以f′(x)>2．所以2不是f(x)的極小值點．綜上可知，a的取值范圍是（，+∞）．點睛：利用導數(shù)的幾何意義解題，主要是利用導數(shù)、切點坐標、切線斜率之間的關系來進行轉(zhuǎn)化.以平行、垂直直線斜率間的關系為載體求參數(shù)的值，則要求掌握平行、垂直與斜率之間的關系，進而和導數(shù)聯(lián)系起來求解.19、（1）；（2）詳見解析.【解題分析】

(1)由題意及莖葉圖,有“高個子”12人,“非高個子”18人,利用用分層抽樣的方法,每個人被抽中的概率是,利用對立事件即可（2）由于從所有“高個子”中選3名志愿者,用表示所選志愿者中能擔任“禮儀小姐”的人數(shù),利用離散型隨機變量的定義及題意可知的取值為0,1,2,3,利用古典概型的概率公式求出每一個值對應事件的概率,有期望的公式求出即可【題目詳解】（1）根據(jù)莖葉圖,有“高個子”12人,“非高個子”18人,用分層抽樣的方法,每個人被抽中的概率是,所以選中的“高個子”有人,“非高個子”有人.用事件A表示“至少有一名“高個子”被選中”,則它的對立事件表示“沒有一名“高個子”被選中”,則因此,至少有一人是“高個子”的概率是.（2）依題意,的取值為0,1,2,3.

的分布列為:0123P所以【題目點撥】本題考查概率的求法,考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法,是中檔題.解題時要注意莖葉圖的合理運用.20、（1）0.1（2）有的把握認為手機產(chǎn)量與生產(chǎn)線升級改造有關，詳見解析（3）（百部）【解題分析】

（1）由改造前的頻率分布直方圖計算前五個小長方形的面積即可得到答案．（2）由頻率分布直方圖補充表格，計算隨機變量的觀測值與臨界值表中的數(shù)據(jù)比較即可得結(jié)論．（3）先估計中位數(shù)所在區(qū)間，然后利用中位數(shù)左右兩側(cè)長方形面積相等列式計算即可．【題目詳解】解：（1）改造前手機產(chǎn)量低于5000部的頻率為，因此，事件的概率估計值為0.1．（2）根據(jù)手機產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表：手機產(chǎn)量部手機產(chǎn)量部改造前138改造后3466由于，故有的把握認為手機產(chǎn)量與生產(chǎn)線升級改造有關．（3）因為改造后手機產(chǎn)量的頻率分布直方圖中，手機產(chǎn)量低于5000部的直方圖面積為，手機產(chǎn)量低于5500部的直方圖面積為，所以中位數(shù)在之間，設改造后手機產(chǎn)量的中位數(shù)為，則故改造后手機產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值為（百部）．【題