2024屆共美聯(lián)盟數(shù)學高二下期末聯(lián)考試題含解析

2024屆共美聯(lián)盟數(shù)學高二下期末聯(lián)考試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某中學有高中生3500人，初中生1500人，為了解學生的學習情況，用分層抽樣的方法從該校學生中抽取一個容量為n的樣本，已知從高中生中抽取70人，則n為()A．100 B．150C．200 D．2502．已知隨機變量，的分布列如下表所示，則（）123123A．， B．，C．， D．，3．已知雙曲線過，兩點，點為該雙曲線上除點，外的任意一點，直線，斜率之積為，則雙曲線的方程是（）A． B． C． D．4．我國古代數(shù)學名著九章算術記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無丈芻，草也；甍，屋蓋也”翻譯為：“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱芻甍字面意思為茅草屋頂”如圖，為一芻甍的三視圖，其中正視圖為等腰梯形，側視圖為等腰三角形則它的體積為A． B．160 C． D．645．在等差數(shù)列中，是函數(shù)的兩個零點，則的前10項和等于（）A． B．15 C．30 D．6．已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且側棱垂直于底面）高為4，體積為16，則這個球的表面積是（）A． B． C． D．7．在的展開式中，記項的系數(shù)為，則＋＋＋＝()A．45 B．60 C．120 D．2108．一次數(shù)學考試后，甲說：我是第一名，乙說：我是第一名，丙說:乙是第一名。丁說：我不是第一名，若這四人中只有一個人說的是真話且獲得第一名的只有一人，則第一名的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁9．在上單調遞增，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．10．已知不等式的解集為，點在直線上，其中，則的最小值為（）A．B．8C．9D．1211．若兩個正實數(shù)滿足,且恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．12．設全集為，集合，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．當時，有，則__________.14．已知函數(shù)的圖象上存在點,函數(shù)的圖象上存在點,且點和點關于原點對稱，則實數(shù)的取值范圍是________.15．命題“，”的否定是______.16．設，若，則實數(shù)________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB="A"A1，∠BAA1=60°.（Ⅰ）證明AB⊥A1C;（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值．18．（12分）如圖所示，在以為直徑的半圓周上，有異于的六個點，直徑上有異于的四個點.則：（1）以這12個點（包括）中的4個點為頂點，可作出多少個四邊形？（2）以這10個點（不包括）中的3個點為頂點，可作出多少個三角形？19．（12分）已知正四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，高為，為線段的中點，為線段的中點.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.20．（12分）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是一個菱形，三角形PAD是一個等腰三角形，∠BAD＝∠PAD＝，點E在線段PC上，且PE＝3EC．（1）求證：AD⊥PB；（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求二面角E﹣AB﹣P的余弦值．21．（12分）已知a，，點在矩陣對應的變換下得到點.（1）求a，b的值；（2）求矩陣A的特征值和特征向量；（3）若向量，求.22．（10分）設函數(shù).（1）求函數(shù)的單調區(qū)間及極值；（2）若函數(shù)在上有唯一零點，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】試題分析：根據(jù)已知可得：，故選擇A考點：分層抽樣2、C【解題分析】

由題意分別求出Eξ，Dξ，Eη，Dη，由此能得到Eξ＜Eη，Dξ＞Dη．【題目詳解】由題意得：Eξ，Dξ．Eη，Dη＝（）2（2）2（3）2，∴Eξ＜Eη，Dξ=Dη．故選：C．【題目點撥】本題考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望、方差的求法，考查運算求解能力，是中檔題．3、D【解題分析】分析：根據(jù)兩條直線斜率之積為定值，設出動點P的坐標，即可確定解析式。詳解：因為直線，斜率之積為，即，設P（）則，化簡得所以選D點睛：本題考查了圓錐曲線的簡單應用，根據(jù)斜率乘積為定值確定動點的軌跡方程，屬于簡單題。4、A【解題分析】

分析：由三視圖可知該芻甍是一個組合體，它由成一個直三棱柱和兩個全等的四棱錐組成，根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)可得其體積.詳解：由三視圖可知該芻甍是一個組合體，它由成一個直三棱柱和兩個全等的四棱錐組成，根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)，求出棱錐與棱柱的體積相加即可，，故選A.點睛：本題利用空間幾何體的三視圖重點考查學生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問題是考查學生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點.觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對正，寬相等”，還要特別注意實線與虛線以及相同圖形的不同位置對幾何體直觀圖的影響，對簡單組合體三視圖問題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據(jù)正視圖和側視圖，確定組合體的形狀.5、B【解題分析】由題意得是方程的兩根，∴，∴．選B．6、C【解題分析】

根據(jù)正四棱柱的底面是正方形,高為4,體積為16,求得底面正方形的邊長,再求出其對角線長,然后根據(jù)正四棱柱的體對角線是外接球的直徑可得球的半徑,再根據(jù)球的表面積公式可求得.【題目詳解】依題意正四棱柱的體對角線是其外接球的直徑,的中點是球心,如圖:依題意設,則正四棱柱的體積為:,解得,所以外接球的直徑,所以外接球的半徑,則這個球的表面積是.故選C.【題目點撥】本題考查了球與正四棱柱的組合體,球的表面積公式,正四棱柱的體積公式,屬中檔題.7、C【解題分析】

由題意依次求出x3y0，x2y1，x1y2，x0y3，項的系數(shù)，求和即可．【題目詳解】（1+x）6（1+y）4的展開式中，含x3y0的系數(shù)是：=1．f（3，0）=1；含x2y1的系數(shù)是=60，f（2，1）=60；含x1y2的系數(shù)是=36，f（1，2）=36；含x0y3的系數(shù)是=4，f（0，3）=4；∴f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=11．故選C．【題目點撥】本題考查二項式定理系數(shù)的性質，二項式定理的應用，考查計算能力．8、C【解題分析】

通過假設法來進行判斷?！绢}目詳解】假設甲說的是真話，則第一名是甲，那么乙說謊，丙也說謊，而丁說的是真話，而已知只有一個人說的是真話，故甲說的不是真話，第一名不是甲；假設乙說的是真話，則第一名是乙，那么甲說謊，丙說真話，丁也說真話，而已知只有一個人說的是真話，故乙說謊，第一名也不是乙；假設丙說的是真話，則第一名是乙，所以乙說真話，甲說謊，丁說的是真話，而已知只有一個人說的是真話，故丙在說謊，第一名也不是乙；假設丁說的是真話，則第一名不是丁，而已知只有一個人說的是真話，那么甲也說謊，說明甲也不是第一名，同時乙也說謊，說明乙也不是第一名，第一名只有一人，所以只有丙才是第一名，故假設成立，第一名是丙。本題選C。【題目點撥】本題考查了推理能力。解決此類問題的基本方法就是假設法。9、D【解題分析】

利用函數(shù)在連續(xù)可導且單調遞增，可得導函數(shù)在大于等于0恒成立即可得到的取值范圍．【題目詳解】因為函數(shù)在連續(xù)可導且單調遞增，所以在恒成立，分離參數(shù)得恒成立，即，故選D．【題目點撥】本題考查函數(shù)在區(qū)間內單調遞增等價于在該區(qū)間內恒成立．10、C【解題分析】試題解析：依題可得不等式的解集為，故，所以即，又，則當且僅當時上式取等號，故選C考點：分式不等式的解法，基本不等式的應用11、D【解題分析】

將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式求出的最小值，然后解不等式，可得出實數(shù)的取值范圍．【題目詳解】由基本不等式得，當且僅當，由于，，即當時，等號成立，所以，的最小值為，由題意可得，即，解得，因此，實數(shù)的取值范圍是，故選D.【題目點撥】本題考查不等式恒成立問題，考查利用基本不等式求最值，對于不等式成立的問題，需要結合量詞來決定所選擇的最值，考查計算能力，屬于中等題．12、C【解題分析】

利用分式不等式的解法求出集合，求出兩個集合的公共部分即為兩個集合的交集.【題目詳解】由集合可知；因為，,故選C.【題目點撥】研究集合問題，一定要抓住元素，看元素應滿足的屬性.研究兩集合的關系時，關鍵是將兩集合的關系轉化為元素間的關系，本題實質求滿足屬于集合且屬于集合的元素的集合.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】

利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，復數(shù)相等的條件列式求解a值．【題目詳解】∵（1﹣i）（a+i）＝（a+1）+（1﹣a）i，∴1﹣a=0，即a＝1．故答案為1．【題目點撥】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)的分類，是基礎題．14、【解題分析】

由題可以轉化為函數(shù)y＝a+2lnx（x∈[，e]）的圖象與函數(shù)y＝x2+2的圖象有交點，即方程a+2lnx＝x2+2（x∈[，e]）有解，即a＝x2+2﹣2lnx（x∈[，e]）有解，令f（x）＝x2+2﹣2lnx，利用導數(shù)法求出函數(shù)的值域，可得答案．【題目詳解】函數(shù)y＝﹣x2﹣2的圖象與函數(shù)y＝x2+2的圖象關于原點對稱，若函數(shù)y＝a+2lnx（x∈[，e]）的圖象上存在點P，函數(shù)y＝﹣x2﹣2的圖象上存在點Q，且P，Q關于原點對稱，則函數(shù)y＝a+2lnx（x∈[，e]）的圖象與函數(shù)y＝x2+2的圖象有交點，即方程a+2lnx＝x2+2（x∈[，e]）有解，即a＝x2+2﹣2lnx（x∈[，e]）有解，令f（x）＝x2+2﹣2lnx，則f′（x），當x∈[，1）時，f′（x）＜0，當x∈（1，e]時，f′（x）＞0，故當x＝1時，f（x）取最小值3，由f（）4，f（e）＝e2，故當x＝e時，f（x）取最大值e2，故a∈[3，e2]，故答案為【題目點撥】本題考查的知識點是函數(shù)圖象的對稱性，函數(shù)的值域，難度中檔．15、【解題分析】

特稱命題的否定為全稱命題，即可求解.【題目詳解】解：由題意知，原命題的否定是：.故答案為:.【題目點撥】本題考查了命題的否定.易錯點是混淆了命題的否定和否命題的概念.這類問題的常見錯誤是沒有改變量詞，或者對于大于的否定變成了小于.16、【解題分析】

將左右兩邊的函數(shù)分別求導，取代入導函數(shù)得到答案.【題目詳解】兩邊分別求導：取故答案為【題目點撥】本題考查了二項式定理的計算，對兩邊求導是解題的關鍵.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）.【解題分析】

試題分析：（Ⅰ）取AB的中點O，連接OC，OA1，A1B，由已知可證OA1⊥AB，AB⊥平面OA1C，進而可得AB⊥A1C；（Ⅱ）易證OA，OA1，OC兩兩垂直．以O為坐標原點，的方向為x軸的正向，||為單位長，建立坐標系，可得，，的坐標，設=（x，y，z）為平面BB1C1C的法向量，則，可解得=（，1，﹣1），可求|cos＜，＞|，即為所求正弦值．解：（Ⅰ）取AB的中點O，連接OC，OA1，A1B，因為CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°，所以△AA1B為等邊三角形，所以OA1⊥AB，又因為OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交線為AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC兩兩垂直．以O為坐標原點，的方向為x軸的正向，||為單位長，建立如圖所示的坐標系，可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），則=（1，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣，），設=（x，y，z）為平面BB1C1C的法向量，則，即，可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞==，又因為直線與法向量的余弦值的絕對值等于直線與平面的正弦值，故直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值為：．考點：用空間向量求直線與平面的夾角；直線與平面垂直的性質；平面與平面垂直的判定；直線與平面所成的角．18、（1）360；（2）116.【解題分析】分析：（1）構成四邊形，需要四個點，且無三點共線，可以分成三類，將三類情況加到一起即可；（2）類似于（1）可分三種情況討論得三角形個數(shù)為.詳解：（1）構成四邊形，需要四個點，且無三點共線，可以分成三類：①四個點從中取出，有個四邊形；②三個點從中取出，另一個點從，中取出，有個四邊形；③二個點從中取出，另外二個點從，中取出，有個四邊形．故滿足條件的四邊形共有(個)．（2）類似于（1）可分三種情況討論得三角形個數(shù)為(個)．點睛:排列與組合問題要區(qū)分開，若題目要求元素的順序則是排列問題，排列問題要做到不重不漏，有些題目帶有一定的約束條件，解題時要先考慮有限制條件的元素,高考中常見的排列組合問題還有分組分配問題，即不同元素分到不同組內時，通常先分組后分配.19、（1）見證明；（2）【解題分析】

（1）要證明平面，利用中位線可先證明即可；（2）找出直線與平面所成角為，利用正弦定理即可得到所成角的正弦值.【題目詳解】解：（1）證明：在四棱錐中，連結交于點，連結，因為在中，為的中點，為的中點，所以為的中位線，得，又因為平面，平面，所以平面．（2）設，由題意得，因為為的中點，所以，，故平面．所以直線在平面內的射影為直線，為直線與平面所成的角，又因為，所以．由條件可得，，，，所以．在中，，，所以所以，故直線與平面所成角的正弦值為．【題目點撥】本題主要考查線面平行的判定，線面所成角的相關計算，意在考查學生的轉化能力，分析能力及計算能力，難度中等.20、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）取中點,連接,根據(jù)等邊三角形的性質證得平面，由此證得.（2）以分別為軸建立空間直角坐標系，通過計算平面和平面的法向量，計算出二面角的余弦值.【題目詳解】（1）取中點,連接,由條件知均為等邊三角形，因此,而由線面垂直定理可證,又即證（2）由（1）知，從而；以建立空間直角坐標系，如圖所示：設，則，，，,，設面的法向量為則可得；設面的法向量為則可得由圖知二面角為銳角，故二面角的余弦值為.【題目點撥】本小題主要考查線線垂直、線面垂直的證明，考查利用空間向量計算二面角的余弦值，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.21、（1）