安徽省巢湖市匯文實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

安徽省巢湖市匯文實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知命題，命題，則（）A．命題是假命題 B．命題是真命題C．命題是真命題 D．命題是假命題2．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且以2為周期，當(dāng)時(shí)，，則的值為（）A． B． C． D．3．中，，且，點(diǎn)滿足，則A． B． C． D．4．已知集合，則等于（）A． B． C． D．5．關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論：①f(x)是偶函數(shù)②f(x)在區(qū)間（,）單調(diào)遞增③f(x)在有4個(gè)零點(diǎn)④f(x)的最大值為2其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③6．已知，，，則（）．A． B． C． D．7．已知的分布列為：設(shè)則的值為（）A． B． C． D．58．若，則直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為（）A． B． C． D．9．參數(shù)方程（為參數(shù)）對(duì)應(yīng)的普通方程為（）A． B．C． D．10．已知函數(shù)，且對(duì)任意的，都有恒成立，則的最大值為（）A． B． C． D．11．在數(shù)學(xué)興趣課堂上，老師出了一道數(shù)學(xué)思考題，某小組的三人先獨(dú)立思考完成，然后一起討論.甲說(shuō)：“我做錯(cuò)了！”乙對(duì)甲說(shuō)：“你做對(duì)了！”丙說(shuō)：“我也做錯(cuò)了！”老師看了他們?nèi)说拇鸢负笳f(shuō)：“你們?nèi)酥杏星抑挥幸蝗俗鰧?duì)了，有且只有一人說(shuō)對(duì)了.”請(qǐng)問(wèn)下列說(shuō)法正確的是（）A．乙做對(duì)了 B．甲說(shuō)對(duì)了 C．乙說(shuō)對(duì)了 D．甲做對(duì)了12．用數(shù)學(xué)歸納法證明，從到，不等式左邊需添加的項(xiàng)是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，若正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是__________．14．若,則在的展開式中,項(xiàng)的系數(shù)為_________15．在的展開式中常數(shù)項(xiàng)是__________．16．現(xiàn)有顏色為紅、黃、藍(lán)的小球各三個(gè)，相同顏色的小球依次編號(hào)、、，從中任取個(gè)小球，顏色編號(hào)均不相同的情況有___________種．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖在直三棱柱中，，為中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面．（Ⅱ）若，且，求二面角的余弦值．18．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，，.（1）求三棱柱的體積；（2）若點(diǎn)M是棱AC的中點(diǎn)，求直線與平面ABC所成的角的大小.19．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性：（Ⅱ）若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，且，求證：.20．（12分）已知橢圓：的離心率，該橢圓中心到直線的距離為.（1）求橢圓的方程；（2）是否存在過(guò)點(diǎn)的直線，使直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)？若存在，求出所有符合條件的直線方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.21．（12分）某種證件的獲取規(guī)則是：參加科目A和科目B的考試，每個(gè)科目考試的成績(jī)分為合格與不合格，每個(gè)科目最多只有2次考試機(jī)會(huì)，且參加科目A考試的成績(jī)?yōu)楹细窈?，才能參加科目B的考試；參加某科目考試的成績(jī)?yōu)楹细窈螅辉賲⒓釉摽颇康目荚?，參加兩個(gè)科目考試的成績(jī)均為合格才能獲得該證件．現(xiàn)有一人想獲取該證件，已知此人每次參加科目A考試的成績(jī)?yōu)楹细竦母怕适?，每次參加科目B考試的成績(jī)?yōu)楹细竦母怕适?，且各次考試的成?jī)?yōu)楹细衽c不合格均互不影響．假設(shè)此人不放棄按規(guī)則所給的所有考試機(jī)會(huì)，記他參加考試的次數(shù)為X.（1）求X的所有可能取的值；（2）求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．22．（10分）已知函數(shù).（1）證明：函數(shù)在區(qū)間與上均有零點(diǎn)；（提示）（2）若關(guān)于的方程存在非負(fù)實(shí)數(shù)解，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】試題分析：先判斷出命題p與q的真假，再由復(fù)合命題真假性的判斷法則，即可得到正確結(jié)論．解：由于x=10時(shí)，x﹣2=8，lgx=lg10=1，故命題p為真命題，令x=0，則x2=0，故命題q為假命題，依據(jù)復(fù)合命題真假性的判斷法則，得到命題p∨q是真命題，命題p∧q是假命題，￢q是真命題，進(jìn)而得到命題p∧（￢q）是真命題，命題p∨（￢q）是真命題．故答案為C．考點(diǎn)：全稱命題；復(fù)合命題的真假．2、A【解題分析】

根據(jù)題意可得：，代入中計(jì)算即可得到答案?！绢}目詳解】由于；因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，且以2為周期；所以又因?yàn)?，所以；故答案選A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，奇偶性、周期性，以及對(duì)數(shù)的有關(guān)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題。3、D【解題分析】分析：以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解．詳解：由題意，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)點(diǎn)，則，又由，所以，即，所以，所以，故選D．點(diǎn)睛：本題主要考查了向量的坐標(biāo)表示與向量的坐標(biāo)運(yùn)算問(wèn)題，其中恰當(dāng)?shù)慕⒅苯亲鴺?biāo)系，求得向量的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，以及推理與計(jì)算能力．4、C【解題分析】

由不等式性質(zhì)求出集合A、B，由交集的定義求出可得答案.【題目詳解】解：可得；，可得=故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了交集及其運(yùn)算，求出集合A、B并熟練掌握交集的定義是解題的關(guān)鍵.5、C【解題分析】

化簡(jiǎn)函數(shù)，研究它的性質(zhì)從而得出正確答案．【題目詳解】為偶函數(shù)，故①正確．當(dāng)時(shí)，，它在區(qū)間單調(diào)遞減，故②錯(cuò)誤．當(dāng)時(shí)，，它有兩個(gè)零點(diǎn)：；當(dāng)時(shí)，，它有一個(gè)零點(diǎn)：，故在有個(gè)零點(diǎn)：，故③錯(cuò)誤．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，又為偶函數(shù)，的最大值為，故④正確．綜上所述，①④正確，故選C．【題目點(diǎn)撥】畫出函數(shù)的圖象，由圖象可得①④正確，故選C．6、C【解題分析】試題分析：因?yàn)樗赃xC．考點(diǎn)：比較大小7、A【解題分析】

求出η的期望，然后利用，求解即可．【題目詳解】由題意可知E（η）＝﹣101．∵，所以＝E（1η﹣2）＝1E（η）﹣21．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)學(xué)期望的運(yùn)算性質(zhì)，也可根據(jù)兩個(gè)變量之間的關(guān)系寫出ξ的分布列，再由ξ分布列求出期望．8、B【解題分析】因?yàn)?，所以圓心到直線的距離，所以，應(yīng)選答案B。9、C【解題分析】

將參數(shù)方程消參后，可得普通方程，結(jié)合三角函數(shù)值域即可判斷定義域.【題目詳解】參數(shù)方程（為參數(shù)），消參后可得，因?yàn)樗约垂蔬x：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，注意自變量取值范圍，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解題分析】

先求出導(dǎo)函數(shù)，再分別討論，，的情況，從而得出的最大值【題目詳解】由題可得：；（1）當(dāng)時(shí)，則，由于，所以不可能恒大于等于零；（2）當(dāng)時(shí)，則在恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故不可能恒有；（3）當(dāng)時(shí)，令，解得：，令，解得：，令，解得：，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，對(duì)任意的，都有恒成立，即，得，所以；先求的最大值：由，令，解得：，令，解得：，令，解得，則在上所以單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以；所以的最大值為；綜述所述，的最大值為；故答案選B【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，滲透了分類討論思想，屬于中檔題。11、B【解題分析】

分三種情況討論：甲說(shuō)法對(duì)、乙說(shuō)法對(duì)、丙說(shuō)法對(duì)，通過(guò)題意進(jìn)行推理，可得出正確選項(xiàng).【題目詳解】分以下三種情況討論：①甲的說(shuō)法正確，則甲做錯(cuò)了，乙的說(shuō)法錯(cuò)誤，則甲做錯(cuò)了，丙的說(shuō)法錯(cuò)誤，則丙做對(duì)了，那么乙做錯(cuò)了，合乎題意；②乙的說(shuō)法正確，則甲的說(shuō)法錯(cuò)誤，則甲做對(duì)了，丙的說(shuō)法錯(cuò)誤，則丙做對(duì)了，矛盾；③丙的說(shuō)法正確，則丙做錯(cuò)了，甲的說(shuō)法錯(cuò)誤，則甲做對(duì)了，乙的說(shuō)法錯(cuò)誤，則甲做錯(cuò)了，自相矛盾.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查簡(jiǎn)單的合情推理，解題時(shí)可以采用分類討論法進(jìn)行假設(shè)，考查推理能力，屬于中等題.12、B【解題分析】分析：分析，時(shí)，左邊起始項(xiàng)與終止項(xiàng)，比較差距，得結(jié)果.詳解：時(shí)，左邊為,時(shí)，左邊為,所以左邊需添加的項(xiàng)是，選B.點(diǎn)睛：研究到項(xiàng)的變化，實(shí)質(zhì)是研究式子變化的規(guī)律，起始項(xiàng)與終止項(xiàng)是什么，中間項(xiàng)是如何變化的.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】因?yàn)?，所以函?shù)為單調(diào)遞增奇函數(shù)，因此由，得因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).點(diǎn)睛：在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.14、【解題分析】分析：由定積分求得，寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為，進(jìn)而可求解的系數(shù).詳解：由，所以二項(xiàng)式為，則二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，，即的系數(shù)為.點(diǎn)睛：本題主要考查了定積分的計(jì)算和二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，其中熟記微積分基本定理和二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)的合理運(yùn)用是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理和運(yùn)算能力.15、14【解題分析】，令，則展開式中得常數(shù)項(xiàng)為.【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式定理，利用通項(xiàng)公式求二項(xiàng)展開式中的指定項(xiàng).根據(jù)通項(xiàng)公式,根據(jù)所求項(xiàng)的要求，解出，再給出所求答案.16、【解題分析】

設(shè)紅色的三個(gè)球分別為、、，黃色的三個(gè)球分別為、、，藍(lán)色的三個(gè)球分別為、、，列出所有符合條件的選法組合，可得出結(jié)果.【題目詳解】設(shè)紅色的三個(gè)球分別為、、，黃色的三個(gè)球分別為、、，藍(lán)色的三個(gè)球分別為、、，現(xiàn)從中任取個(gè)小球，顏色編號(hào)均不相同的情況有：、、、、、，因此，從中任取個(gè)小球，顏色編號(hào)均不相同的情況有種，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，在求解排列組合問(wèn)題時(shí)，若符合條件的基本事件數(shù)較少時(shí)，可采用列舉法求解，考查分類討論數(shù)學(xué)思想，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）【解題分析】試題分析：（I）連結(jié)，由題意可證得，從而得為中點(diǎn)，所以，又由題意得得，所以得．（也可通過(guò)面面垂直證線面垂直）（II）由題意可得兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面和平面的法向量分別為，，由法向量夾角的余弦值可得二面角的余弦值．試題解析：（I）證明：連結(jié)，∵平面平面，平面，∴，∵為中點(diǎn)，∴為中點(diǎn)，∵，∴①，法一：由平面，平面，得，②，由①②及，所以平面．法二：由平面，平面，∴平面平面，又平面平面,所以平面．（II）解：由，得，由（I）知，又，得，∵，∴，∴兩兩垂直，以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，得，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，由，得,令，得，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，由，得.令，得，∴根據(jù)題意知二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為．點(diǎn)睛：向量法求二面角大小的兩種方法（1）分別求出二面角的兩個(gè)面所在平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，解題時(shí)要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求二面角為銳角還是鈍角．（2）分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大?。?8、（1）（2）【解題分析】

（1）由直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝60°，BB1＝3，AB＝1，BC＝1．能求出三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積．（2）點(diǎn)M是棱AC的中點(diǎn)，B1M在平面ABC的射影為直線MB，則∠B1MB就是直線B1M與平面ABC所成的角的大小，由此能求出直線B1M與平面ABC所成的角的大?。绢}目詳解】（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝60°，BB1＝3，AB＝1，BC＝1．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積：V12．（2）點(diǎn)M是棱AC的中點(diǎn)，B1M在平面ABC的射影為直線MB，則∠B1MB就是直線B1M與平面ABC所成的角的大小，tan∠B1MB，∴∠B1MB＝arctan．∴直線B1M與平面ABC所成的角的大小為arctan．【題目點(diǎn)撥】本題考查三棱錐的體積的求法，考查線面角的大小的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．19、(Ⅰ)見解析(Ⅱ)見解析【解題分析】試題分析：（Ⅰ）由,可得在上單調(diào)增；在上單調(diào)增；在上單調(diào)減；（Ⅱ）根據(jù)有,由此可得,令,可以確定根據(jù)在上單調(diào)增,所以試題解析：（Ⅰ）函數(shù),的定義域?yàn)?在上單調(diào)增；在上單調(diào)增；在上單調(diào)減.（Ⅱ）令,令,則令,令,則在上單調(diào)增,考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.20、(1).(2)存在直線：或：，使得以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).【解題分析】分析：由，該橢圓中心到直線的距離為，求出橢圓方程；（2）先假設(shè)存在這樣的直線，設(shè)出直線方程（注意考慮斜率），與橢圓聯(lián)立，考慮然后設(shè)，，利用韋達(dá)定理，利用為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)，轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化坐標(biāo)構(gòu)造方程進(jìn)行求解．詳解：（1）直線的一般方程為，依題意得，解得，所以橢圓的方程為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線即為軸，此時(shí)，為橢圓的短軸端點(diǎn)，以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為，由，得.所以，得.設(shè)，，則，①而.因?yàn)橐詾橹睆降膱A過(guò)定點(diǎn)，所以，則，即.所以.②將①式代入②式整理解得.綜上可知，存在直線：或：，使得以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).點(diǎn)晴：本題考查直線與橢圓