2024屆浙江省溫州市龍灣中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測(cè)試試題含解析

2024屆浙江省溫州市龍灣中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測(cè)試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若，則（）A． B．C． D．2．二維空間中圓的一維測(cè)度（周長(zhǎng)），二維測(cè)度（面積），觀察發(fā)現(xiàn)；三維空間中球的二維測(cè)度（表面積），三維測(cè)度（體積），觀察發(fā)現(xiàn).則由四維空間中“超球”的三維測(cè)度，猜想其四維測(cè)度（）A． B． C． D．3．如圖所示正方形，、分別是、的中點(diǎn)，則向正方形內(nèi)隨機(jī)擲一點(diǎn)，該點(diǎn)落在陰影部分內(nèi)的概率為（）A． B． C． D．4．在空間中，設(shè)α，表示平面，m，n表示直線.則下列命題正確的是（）A．若m∥n，n⊥α，則m⊥α B．若m上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在α內(nèi)，則m∥αC．若，則 D．若m∥α，那么m與α內(nèi)的任何直線平行5．在三棱錐中，，，面，，，分別為，，的中點(diǎn)，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．6．甲、乙、丙、丁四名同學(xué)組成一個(gè)4×100米接力隊(duì)，老師要安排他們四人的出場(chǎng)順序，以下是他們四人的要求:甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；?。喝绻也慌艿诙簦揖筒慌艿谝话?老師聽(tīng)了他們四人的對(duì)話，安排了一種合理的出場(chǎng)順序，滿足了他們的所有要求，據(jù)此我們可以斷定在老師安排的出場(chǎng)順序中跑第三棒的人是()A．甲 B．乙 C．丙 D．丁7．在5張撲克牌中有3張“紅心”和2張“方塊”，如果不放回地依次抽取2張牌，則在第一次抽到“紅心”的條件下，第二次抽到“紅心”的概率為A．625 B．310 C．38．下列命題中，假命題是（）A．不是有理數(shù) B．C．方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D．等腰三角形不可能有的角9．某創(chuàng)業(yè)公司共有36名職工，為了了解該公司職工的年齡構(gòu)成情況，隨機(jī)采訪了9位代表，將數(shù)據(jù)制成莖葉圖如圖，若用樣本估計(jì)總體，年齡在內(nèi)的人數(shù)占公司總?cè)藬?shù)的百分比是（精確到）（）A． B． C． D．10．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（）A．128 B．256 C．512 D．102411．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．12．在公差為的等差數(shù)列中，“”是“是遞增數(shù)列”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．三個(gè)同學(xué)猜同一個(gè)謎語(yǔ)，如果每人猜對(duì)的概率都是，并且各人猜對(duì)與否相互獨(dú)立，那么他們同時(shí)猜對(duì)的概率為_(kāi)_________．14．在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_______（結(jié)果用數(shù)值表示）15．設(shè)，則等于___________．16．函數(shù)部分圖象如圖，則函數(shù)解析式為_(kāi)_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，．（1）若不等式對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）記表示中的最小值，若函數(shù)在內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)的取值范圍．18．（12分）已知函數(shù)，.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間與極值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，求的值19．（12分）已知函數(shù).（1）求；（2）求的極值點(diǎn).20．（12分）已知．（1）設(shè)，①求；②若在中，唯一的最大的數(shù)是，試求的值；（2）設(shè)，求．21．（12分）“綠水青山就是金山銀山”，為了保護(hù)環(huán)境，減少空氣污染，某空氣凈化器制造廠，決定投入生產(chǎn)某種惠民型的空氣凈化器．根據(jù)以往的生產(chǎn)銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)得到月生產(chǎn)銷(xiāo)售的統(tǒng)計(jì)規(guī)律如下：①月固定生產(chǎn)成本為2萬(wàn)元；②每生產(chǎn)該型號(hào)空氣凈化器1百臺(tái)，成本增加1萬(wàn)元；③月生產(chǎn)百臺(tái)的銷(xiāo)售收入（萬(wàn)元）．假定生產(chǎn)的該型號(hào)空氣凈化器都能賣(mài)出（利潤(rùn)＝銷(xiāo)售收入﹣生產(chǎn)成本）．（1）為使該產(chǎn)品的生產(chǎn)不虧本，月產(chǎn)量應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？（2）該產(chǎn)品生產(chǎn)多少臺(tái)時(shí)，可使月利潤(rùn)最大？并求出最大值.22．（10分）某縣教育局為了檢查本縣甲、乙兩所學(xué)校的學(xué)生對(duì)安全知識(shí)的學(xué)習(xí)情況，在這兩所學(xué)校進(jìn)行了安全知識(shí)測(cè)試，隨機(jī)在這兩所學(xué)校各抽取20名學(xué)生的考試成績(jī)作為樣本，成績(jī)大于或等于80分的為優(yōu)秀，否則為不優(yōu)秀，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖：甲校乙校（1）從乙校成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生中任選兩名，求這兩名學(xué)生的成績(jī)恰有一個(gè)落在內(nèi)的概率；（2）由以上數(shù)據(jù)完成下面列聯(lián)表，并回答能否在犯錯(cuò)的概率不超過(guò)0.1的前提下認(rèn)為學(xué)生的成績(jī)與兩所學(xué)校的選擇有關(guān)。甲校乙校總計(jì)優(yōu)秀不優(yōu)秀總計(jì)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進(jìn)而判斷大小.【題目詳解】①令，則，∴在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，，即，故A正確．B錯(cuò)誤.②令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，易知C，D不正確，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，考查基本分析判斷能力，屬中檔題.2、A【解題分析】

因?yàn)?，，由此?lèi)比可得，，從而可得到結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)槎S空間中圓的一維測(cè)度（周長(zhǎng)），二維測(cè)度（面積），觀察發(fā)現(xiàn)；三維空間中球的二維測(cè)度（表面積），三維測(cè)度（體積），觀察發(fā)現(xiàn).所以由四維空間中“超球”的三維測(cè)度，猜想其四為測(cè)度W，應(yīng)滿足，又因?yàn)椋?，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查類(lèi)比推理以及導(dǎo)數(shù)的計(jì)算.3、D【解題分析】

根據(jù)正方形的對(duì)稱性求得陰影部分面積占總面積的比例，由此求得所求概率.【題目詳解】根據(jù)正方形的對(duì)稱性可知，陰影部分面積占總面積的四分之一，根據(jù)幾何概型概率計(jì)算公式可知點(diǎn)落在陰影部分內(nèi)的概率為，故選D.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查幾何概型的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解題分析】

根據(jù)線面位置關(guān)系的判定定理與性質(zhì)定理，逐一判定，即可求解，得到答案.【題目詳解】對(duì)于A中，若，則，根據(jù)線面垂直的判定定理，可知是正確的；對(duì)于B中，若直線與平面相交，則除了交點(diǎn)以外的無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)都不在平面內(nèi)，所以不正確；對(duì)于C中，若，則或或與相交，所以不正確；對(duì)于D中，若，則與平面內(nèi)的直線平行或異面，所以不正確，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了線面位置關(guān)系的判定與證明，其中解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解題分析】

由題意可知，以B為原點(diǎn)，BC，BA，BP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量坐標(biāo)法求角即可.【題目詳解】∵∴，以B為原點(diǎn)，BC，BA，BP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，∴，設(shè)，則，∵，∴，解得∴∴，∴異面直線與所成角的余弦值為故選B【題目點(diǎn)撥】本題考查了異面直線所成角的余弦值求法問(wèn)題，也考查了推理論證能力和運(yùn)算求解能力，是中檔題．6、C【解題分析】

跑第三棒的只能是乙、丙中的一個(gè)，當(dāng)丙跑第三棒時(shí)，乙只能跑第二棒，這時(shí)丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合題意；當(dāng)乙跑第三棒時(shí)，丙只能跑第二棒，這里四和丁都不跑第一棒，不合題意．【題目詳解】由題意得乙、丙均不跑第一棒和第四棒，∴跑第三棒的只能是乙、丙中的一個(gè)，當(dāng)丙跑第三棒時(shí)，乙只能跑第二棒，這時(shí)丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合題意；當(dāng)乙跑第三棒時(shí)，丙只能跑第二棒，這里四和丁都不跑第一棒，不合題意．故跑第三棒的是丙．故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查推理論證，考查簡(jiǎn)單的合情推理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、分析判斷能力，是基礎(chǔ)題．7、D【解題分析】

因?yàn)槭遣环呕爻闃?，故在第一次抽到“紅心”時(shí)，剩下的4張撲克中有2張“紅心”和2張“方塊”，根據(jù)隨機(jī)事件的概率計(jì)算公式，即可計(jì)算第二次抽到“紅心”的概率．【題目詳解】因?yàn)槭遣环呕爻闃?，故在第一次抽到“紅心”的條件下，剩下的4張撲克中有2張“紅心”和2張“方塊”，第二次抽取時(shí)，所有的基本事件有4個(gè)，符合“抽到紅心”的基本事件有2個(gè)，則在第一次抽到“紅心”的條件下，第二次抽到“紅心”的概率為12故答案選D【題目點(diǎn)撥】本題給出無(wú)放回抽樣模型，著重考查抽樣方法的理解和隨機(jī)事件的概率等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．8、D【解題分析】

根據(jù)命題真假的定義，對(duì)各選項(xiàng)逐一判定即可．【題目詳解】解：.為無(wú)理數(shù)，故正確，．，故正確，．因?yàn)?，即方程沒(méi)有實(shí)根，故正確，．等腰三角形可能以為頂角，為底角，故錯(cuò)誤，故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查命題真假的判斷，屬于基礎(chǔ)題．9、A【解題分析】

求出樣本平均值與方差，可得年齡在內(nèi)的人數(shù)有5人，利用古典概型概率公式可得結(jié)果.【題目詳解】,,年齡在內(nèi)，即內(nèi)的人數(shù)有5人，所以年齡在內(nèi)的人數(shù)占公司總?cè)藬?shù)的百分比是等于，故選A.【題目點(diǎn)撥】樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)公式．樣本方差公式，標(biāo)準(zhǔn)差.10、B【解題分析】

Sn+1＝2Sn﹣1（n∈N+），n≥2時(shí)，Sn＝2Sn﹣1﹣1，相減可得an+1＝2an．再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．【題目詳解】∵Sn+1＝2Sn﹣1（n∈N+），n≥2時(shí)，Sn＝2Sn﹣1﹣1，∴an+1＝2an．n＝1時(shí)，a1+a2＝2a1﹣1，a1＝2，a2＝1．∴數(shù)列{an}從第二項(xiàng)開(kāi)始為等比數(shù)列，公比為2．則a101×28＝3．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．11、D【解題分析】

試題分析：，∵函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，∴在區(qū)間上恒成立．∴，而在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴．∴的取值范圍是．故選D．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.12、A【解題分析】試題分析：若，則，，所以，是遞增數(shù)列；若是遞增數(shù)列，則，，推不出，則“”是“是遞增數(shù)列”的充分不必要條件，故選A.考點(diǎn)：充分條件、必要條件的判定.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：直接求即可.詳解：三個(gè)同學(xué)猜同一個(gè)謎語(yǔ)，如果每人猜對(duì)的概率都是，故他們同時(shí)猜對(duì)的概率是.故答案為：.點(diǎn)睛：本題主要考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式.14、【解題分析】

根據(jù)二項(xiàng)式定理展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,即可求得項(xiàng)的系數(shù).【題目詳解】二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為所以當(dāng)時(shí)為項(xiàng)則所以項(xiàng)的系數(shù)為故答案為:【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項(xiàng)式定理展開(kāi)式的應(yīng)用,求指定項(xiàng)的系數(shù),屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

根據(jù)微積分基本定理可得，再結(jié)合函數(shù)解析式，根據(jù)牛頓萊布尼茨定理計(jì)算可得；【題目詳解】解：因?yàn)樗怨蚀鸢笧椋骸绢}目點(diǎn)撥】本題考查利用定積分求曲邊形的面積，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

先計(jì)算出，結(jié)合圖象得出該函數(shù)的周期，可得出，然后將點(diǎn)代入函數(shù)解析式，結(jié)合條件可求出的值，由此得出所求函數(shù)的解析式.【題目詳解】由圖象可得，且該函數(shù)的最小正周期為，，所以，.將點(diǎn)代入函數(shù)解析式得，得.，即，，所以，得.因此，所求函數(shù)解析式為，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)的解析式的求解，求解步驟如下：（1）求、：，；（2）求：根據(jù)題中信息求出最小正周期，利用公式求出的值；（3）求：將對(duì)稱中心點(diǎn)和最高、最低點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，若選擇對(duì)稱中心點(diǎn)，還要注意函數(shù)在該點(diǎn)附近的單調(diào)性.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】

（1）利用分離參數(shù)，并構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，并求最值，可得結(jié)果.（2）利用對(duì)的分類(lèi)討論，可得，然后判斷函數(shù)單調(diào)性以及根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，可得結(jié)果.【題目詳解】（1）由，得，令，當(dāng)時(shí)，，，；當(dāng)時(shí)，，，，∴函數(shù)在上遞減，在上遞增，，，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是（2）①由（1）得當(dāng)時(shí)，，，，函數(shù)在內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，符合題意②當(dāng)時(shí)，i．若，，，故函數(shù)在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)ii．若，，，，不是函數(shù)的零點(diǎn)；iii．若時(shí)，，故只考慮函數(shù)在的零點(diǎn)，，若時(shí)，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，∴函數(shù)在上恰有一個(gè)零點(diǎn)若時(shí)，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，，∴函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)，若時(shí)，，，∴函數(shù)在上遞減，在上遞增，要使在上恰有一個(gè)零點(diǎn)，只需，．綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難點(diǎn)在于對(duì)參數(shù)的分類(lèi)討論，考驗(yàn)理解能力以及對(duì)問(wèn)題的分析能力，屬難題.18、（Ⅰ）的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.極大值是，無(wú)極小值.（Ⅱ）1【解題分析】

（Ⅰ）把代入，令，求出極值點(diǎn)，再求出的單調(diào)區(qū)間，確定函數(shù)的極值；（Ⅱ）函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，等價(jià)于的極小值等于0，列出等式，可求得t.【題目詳解】解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，則，令，得，∴的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.∴的極大值是，無(wú)極小值.（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，由，得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴的極小值是，∴只要，即，令，則，∴在上單調(diào)遞增.∵，∴的值是1.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查利用導(dǎo)函數(shù)求增減區(qū)間和極值；以及根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，確定參數(shù)的取值，數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵.19、（1）；（2）極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為.【解題分析】

（1）求出，將代入即可．（2）先在定義域內(nèi)求出的值，再討論滿足的點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)的變化情況，來(lái)確定極值；【題目詳解】解：（1）因?yàn)?，所?（2）的零點(diǎn)為或，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在，上單調(diào)遞增，所以的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)計(jì)算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及函數(shù)的零點(diǎn)等有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．20、（1）①；②或；（2）.【解題分析】

（1）根據(jù)題意，得到；①令，即可求出結(jié)果；②根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，先得到通項(xiàng)為，再由題意，得到，求解，即可得出結(jié)果；（2）先由題意，得到，進(jìn)而得出，化簡(jiǎn)，再根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)之和的公式，即可求出結(jié)果.【題目詳解】（1）因?yàn)?，①令，則；②因?yàn)槎?xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為：，又在中，唯一的最大的數(shù)是，所以，即，解得，即，又，所以或；（2）因?yàn)?，根?jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，可得，，所以，則.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，熟記二項(xiàng)公式定理即可，屬于?？碱}型.21、（1）1百臺(tái)到5.5百臺(tái)范圍內(nèi).（2）產(chǎn)量300臺(tái)時(shí)，利潤(rùn)最大，最大值為2萬(wàn)元.【解題分析】

(1)先利用銷(xiāo)售收入減去成本得到利潤(rùn)的解析式，解分段函數(shù)不等式即可得結(jié)果；（2）結(jié)合(1)中解析式，分別求出兩段函數(shù)利潤(rùn)的取值范圍，綜合兩種情況可得當(dāng)產(chǎn)量3