上海市徐匯中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末檢測試題含解析

上海市徐匯中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)f(x)=3A． B． C． D．2．根據(jù)歷年氣象統(tǒng)計資料，某地四月份吹東風(fēng)的概率為，下雨的概率為，既吹東風(fēng)又下雨的概率為.則在下雨條件下吹東風(fēng)的概率為（）A． B． C． D．3．曲線與直線及直線所圍成的封閉圖形的面積為()A． B． C． D．4．某教師有相同的語文參考書本，相同的數(shù)學(xué)參考書本，從中取出本贈送給位學(xué)生，每位學(xué)生本，則不同的贈送方法共有（）A．種 B．種 C．種 D．種5．為了調(diào)查學(xué)生每天零花錢的數(shù)量（錢數(shù)取整數(shù)元），以便引導(dǎo)學(xué)生樹立正確的消費觀．樣本容量1000的頻率分布直方圖如圖所示，則樣本數(shù)據(jù)落在［6,14）內(nèi)的頻數(shù)為（）A．780 B．680 C．648 D．4606．函數(shù)f(x)＝3sin(2x－)在區(qū)間[0，]上的值域為()A．[，] B．[，3]C．[，] D．[，3]7．如圖，在三棱錐中，側(cè)面底面BCD，，，，，直線AC與底面BCD所成角的大小為A． B． C． D．8．將一枚質(zhì)地均勻且各面分別有狗，豬，羊，馬圖案的正四面體玩具拋擲兩次，設(shè)事件{兩次擲的玩具底面圖案不相同}，{兩次擲的玩具底面圖案至少出現(xiàn)一次小狗}，則（）A． B． C． D．9．設(shè)i為虛數(shù)單位，則(x＋i)6的展開式中含x4的項為()A．－15x4 B．15x4 C．－20ix4 D．20ix410．在滿分為15分的中招信息技術(shù)考試中，初三學(xué)生的分?jǐn)?shù)，若某班共有54名學(xué)生，則這個班的學(xué)生該科考試中13分以上的人數(shù)大約為（）（附：）A．6 B．7 C．9 D．1011．下圖是某公司10個銷售店某月銷售某產(chǎn)品數(shù)量(單位：臺)的莖葉圖，則數(shù)據(jù)落在區(qū)間[22，30)內(nèi)的概率為()A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.612．函數(shù)的圖象大致為A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．由曲線與直線及所圍成的封閉圖形的面積為__________．14．5人站成一排，若其中甲、乙不相鄰的不同排法共有m種，則m的值為_______．15．已知點在二面角的棱上，點在半平面內(nèi)，且，若對于半平面內(nèi)異于的任意一點，都有，則二面角大小的取值的集合為__________.16．已知將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，若和的圖象都關(guān)于對稱，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）給定橢圓，稱圓為橢圓的“伴隨圓”.已知點是橢圓上的點（1）若過點的直線與橢圓有且只有一個公共點，求被橢圓的伴隨圓所截得的弦長：（2）是橢圓上的兩點，設(shè)是直線的斜率，且滿足，試問：直線是否過定點，如果過定點，求出定點坐標(biāo)，如果不過定點，試說明理由。18．（12分）已知橢圓：的上頂點為，右頂點為，直線與圓相切于點.（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)橢圓的左、右焦點分別為、，過且斜率存在的直線與橢圓相交于，兩點，且，求直線的方程.19．（12分）5G網(wǎng)絡(luò)是第五代移動通信網(wǎng)絡(luò)，其峰值理論傳輸速度可達(dá)每8秒1GB，比4G網(wǎng)絡(luò)的傳輸速度快數(shù)百倍．舉例來說，一部1G的電影可在8秒之內(nèi)下載完成．隨著5G技術(shù)的誕生，用智能終端分享3D電影、游戲以及超高畫質(zhì)（UHD）節(jié)目的時代正向我們走來．某手機(jī)網(wǎng)絡(luò)研發(fā)公司成立一個專業(yè)技術(shù)研發(fā)團(tuán)隊解決各種技術(shù)問題，其中有數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)，物理專業(yè)畢業(yè)，其它專業(yè)畢業(yè)的各類研發(fā)人員共計1200人．現(xiàn)在公司為提高研發(fā)水平，采用分層抽樣抽取400人按分?jǐn)?shù)對工作成績進(jìn)行考核，并整理得如上頻率分布直方圖（每組的頻率視為概率）．（1）從總體的1200名學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計其分?jǐn)?shù)小于50的概率；（2）研發(fā)公司決定對達(dá)到某分?jǐn)?shù)以上的研發(fā)人員進(jìn)行獎勵，要求獎勵研發(fā)人員的人數(shù)達(dá)到30%，請你估計這個分?jǐn)?shù)的值；（3）已知樣本中有三分之二的數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員分?jǐn)?shù)不低于70分，樣本中不低于70分的數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員人數(shù)與物理及其它專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員的人數(shù)和相等，估計總體中數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員的人數(shù)．20．（12分）已知函數(shù)，.（1）若在處的切線與在處的切線平行，求實數(shù)的值；（2）若，討論的單調(diào)性；（3）在（2）的條件下，若，求證：函數(shù)只有一個零點，且．21．（12分）繼共享單車之后，又一種新型的出行方式------“共享汽車”也開始亮相南昌市，一款共享汽車在南昌提供的車型是“吉利”.每次租車收費按行駛里程加用車時間,標(biāo)準(zhǔn)是“1元/公里＋0.1元/分鐘”，李先生家離上班地點10公里，每次租用共享汽車上、下班，由于堵車因素，每次路上開車花費的時間是一個隨機(jī)變量，根據(jù)一段時間統(tǒng)計40次路上開車花費時間在各時間段內(nèi)的情況如下：時間（分鐘）次數(shù)814882以各時間段發(fā)生的頻率視為概率，假設(shè)每次路上開車花費的時間視為用車時間，范圍為分鐘.（1）若李先生上、下班時租用一次共享汽車路上開車不超過45分鐘，便是所有可選擇的交通工具中的一次最優(yōu)選擇，設(shè)是4次使用共享汽車中最優(yōu)選擇的次數(shù)，求的分布列和期望.（2）若李先生每天上、下班均使用共享汽車，一個月（以20天計算）平均用車費用大約是多少（同一時段，用該區(qū)間的中點值作代表）.22．（10分）如圖，菱形的對角線與相交于點，，，點分別在，上，，交于點.將沿折到的位置，.（1）證明：；（2）求二面角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

取特殊值排除得到答案.【題目詳解】f(x)=3x故答案選B【題目點撥】本題考查了函數(shù)圖像的判斷，特殊值可以簡化運算.2、C【解題分析】

在下雨條件下吹東風(fēng)的概率=既吹東風(fēng)又下雨的概率下雨的概率【題目詳解】在下雨條件下吹東風(fēng)的概率為，選C【題目點撥】本題考查條件概率的計算，屬于簡單題．3、D【解題分析】聯(lián)立曲線與兩條直線的方程組成的方程組可得三個交點分別為，結(jié)合圖形可得封閉圖形的面積為，應(yīng)選答案D．4、B【解題分析】若本中有本語文和本數(shù)學(xué)參考，則有種方法，若本中有本語文和本參考，則有種方法，若本中有語文和本參考，則有種方法，若本都是數(shù)學(xué)參考書，則有一種方法，所以不同的贈送方法共有有，故選B.5、B【解題分析】試題分析：頻率分布直方圖中每個小方塊的面積就是相應(yīng)的頻率，因此所求結(jié)論為.考點：頻率分布直方圖.6、B【解題分析】

分析：由，求出的取值范圍，從而求出的范圍，從而可得的值域.詳解：，，，，即在區(qū)間上的值域為，故選B.點睛：本題考查了求三角函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問題，意在考查解題時應(yīng)考慮三角函數(shù)的單調(diào)性與最值，屬于簡單題.7、A【解題分析】

取BD中點,可證，為直線AC與底面BCD所成角?！绢}目詳解】取BD中點，由，，又側(cè)面底面BCD，所以。所以為直線AC與底面BCD所成角。,所以。選A.【題目點撥】本題考查線面角，用幾何法求線面角要一作、二證、三求，要有線面垂直才有線面角。8、C【解題分析】

利用條件概率公式得到答案.【題目詳解】故答案選C【題目點撥】本題考查了條件概率的計算，意在考查學(xué)生的計算能力.9、A【解題分析】試題分析：二項式(x+i)6的展開式的通項為Tr+1=C6rx6-ri【考點】二項展開式，復(fù)數(shù)的運算【名師點睛】本題考查二項式定理及復(fù)數(shù)的運算，復(fù)數(shù)的概念及運算也是高考的熱點，幾乎是每年必考的內(nèi)容，屬于容易題.一般來說，掌握復(fù)數(shù)的基本概念及四則運算即可．二項式(x+i)6可以寫為(i+x)6，則其通項為C6ri10、C【解題分析】

分析：現(xiàn)利用正態(tài)分布的意義和原則結(jié)合正態(tài)分布曲線的對稱性，計算大于的概率，即可求解得到其人數(shù)．詳解：因為其中數(shù)學(xué)考試成績服從正態(tài)分布，因為，即根據(jù)正態(tài)分布圖象的對稱性，可得，所以這個班級中數(shù)學(xué)考試成績在分以上的人數(shù)大約為人，故選C．點睛：本題主要考查了隨機(jī)變量的概率分布中正態(tài)分布的意義和應(yīng)用，其中熟記正態(tài)分布圖象的對稱性是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想方法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．11、B【解題分析】區(qū)間[22,31)內(nèi)的數(shù)據(jù)共有4個，總的數(shù)據(jù)共有11個，所以頻率為1．4,故選B．12、B【解題分析】由于,故排除選項.,所以函數(shù)為奇函數(shù),圖象關(guān)于原點對稱,排除選項.,排除選項,故選B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

轉(zhuǎn)化為定積分求解.【題目詳解】如圖：,曲線與直線及所圍成的封閉圖形的為曲邊形,因為,曲線與直線及的交點分別為，且，，所以，.由曲線與直線及所圍成的封閉圖形的面積為.【題目點撥】本題考查定積分的意義及計算.14、1【解題分析】

根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析，先安排甲乙之外的三人，形成了4個空位，再從這4個間隔選2個插入甲乙，由分步計數(shù)原理計算即可答案．【題目詳解】根據(jù)題意，分2步分析：先安排除甲乙之外的3人，有種不同的順序，排好后，形成4個空位，在4個空位中，選2個安排甲乙，有種選法，則甲乙不相鄰的排法有種，即；故答案為：1．【題目點撥】本題考查排列、組合的應(yīng)用，本題是不能相鄰問題，處理此類問題，需要運用插空法．15、【解題分析】

畫出圖形，利用斜線與平面內(nèi)直線所成的角中，斜線與它的射影所成的角是最小的，判斷二面角的大小即可.【題目詳解】如下圖所示，過點在平面內(nèi)作，垂直為點，點在二面角的棱上，點在平面內(nèi)，且，若對于平面內(nèi)異于點的任意一點，都有.因為斜線與平面內(nèi)直線所成角中，斜線與它的射影所成的角是最小的，即是直線與平面所成的角，平面，平面，所以，平面平面，所以，二面角的大小是.故答案為：.【題目點撥】本題考查二面角平面角的求解，以及直線與平面所成角的定義，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想和空間想象能力，屬于中等題.16、【解題分析】

根據(jù)左右平移可得解析式；利用對稱性可得關(guān)于和的方程組；結(jié)合和的取值范圍可分別求出和的值，從而得到結(jié)果.【題目詳解】由題意知：和的圖象都關(guān)于對稱，解得：，又本題正確結(jié)果：【題目點撥】本題考查三角函數(shù)的平移變換、根據(jù)三角函數(shù)對稱性求解函數(shù)解析式的問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)正弦型函數(shù)對稱軸的求解方法構(gòu)造出方程組.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）見解析【解題分析】試題分析：（1）分析直線的斜率是否存在，若不存在不符合題意，當(dāng)存在時設(shè)直線，根據(jù)直線與圓的關(guān)系中弦心距，半徑，半弦長構(gòu)成的直角三角形求解即可；（2）設(shè)直線的方程分別為，設(shè)點，聯(lián)立得得同理，計算，同理因為，可得，從而可證.試題解析：（1）因為點是橢圓上的點.即橢圓伴隨圓得同理，計算當(dāng)直線的斜率不存在時：顯然不滿足與橢圓有且只有一個公共點當(dāng)直接的斜率存在時：設(shè)直線與橢圓聯(lián)立得由直線與橢圓有且只有一個公共點得解得，由對稱性取直線即圓心到直線的距離為直線被橢圓的伴隨圓所截得的弦長（2）設(shè)直線的方程分別為設(shè)點聯(lián)立得則得同理斜率同理因為所以三點共線點睛：本題主要考查了橢圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系，是高考的必考點，屬于難題．求橢圓方程的方法一般就是根據(jù)條件建立的方程，求出即可，注意的應(yīng)用；涉及直線與圓錐曲線相交時，未給出直線時需要自己根據(jù)題目條件設(shè)直線方程，要特別注意直線斜率是否存在的問題，避免不分類討論造成遺漏，然后要聯(lián)立方程組，得一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系寫出，再根據(jù)具體問題應(yīng)用上式，其中要注意判別式條件的約束作用．18、（Ⅰ）；（Ⅱ）或.【解題分析】

（Ⅰ）根據(jù)題中條件得知可求出直線的斜率，結(jié)合點在直線上，利用點斜式可寫出直線的方程，于是可得出點、的坐標(biāo)，進(jìn)而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）可知直線的斜率不為零，由橢圓定義得出，設(shè)該直線方程為，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，并列出韋達(dá)定理，利用弦長公式以及，并結(jié)合韋達(dá)定理可求出的值，于此可得出直線的方程．【題目詳解】（Ⅰ）∵直線與圓相切于點，∴，∴直線的方程為，∴，，即，，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（Ⅱ）易知直線的斜率不為零，設(shè)直線的方程為，代入橢圓的方程中，得：，由橢圓定義知，又，從而，設(shè)，，則，.∴，代入并整理得，∴.故直線的方程為或.【題目點撥】本題考查橢圓方程的求解、直線與圓的位置關(guān)系，考查直線與橢圓中弦長的計算，解決這類問題的常規(guī)方法就是將直線與圓錐曲線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理與弦長公式計算，難點在于計算，屬于中等題．19、（1）0.1；（2）77.5；（3）540人.【解題分析】

（1）由題意可知,樣本中隨機(jī)抽取一人,分?jǐn)?shù)小于50的概率是0.1,由此能估計總體中分?jǐn)?shù)小于50的概率；（2）根據(jù)頻率分布直方圖,第六組的頻率為0.4,第七組頻率為0.2,由此能求出這個分?jǐn)?shù)；（3）樣本中不低于70分的研發(fā)人員人數(shù)為240人,從而樣本中不低于70分的數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員為120人,樣本中有三分之二的數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員分?jǐn)?shù)不低于70分,從而樣本中的是數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員的人數(shù)為180人,由此能估計總體中數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員的人數(shù)【題目詳解】解：（1）由題意可知,樣本中隨機(jī)抽取一人,分?jǐn)?shù)小于50的概率是,所以估計總體中分?jǐn)?shù)小于50的概率0.1（2）根據(jù)頻率分布直方圖，第六組的頻率為0.04×10=0.4,第七組頻率為0.02×10=0.2,此分?jǐn)?shù)為（3）因為樣本中不低于70分的研發(fā)人員人數(shù)為400×（0.4+0.2）=240人,所以樣本中不低于70分的數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員為120人,又因為樣本中有三分之二的數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員分?jǐn)?shù)不低于70分,所以樣本中的是數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員的人數(shù)120÷=180人,故估計總體中數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員的人數(shù)為：1200×=540人【題目點撥】本題考查概率、頻數(shù)的求法,考查頻率分布直方圖的性質(zhì),考查運算求解能力,是基礎(chǔ)題．20、(1)(2)見解析（3）見解析【解題分析】分析：（1）先求一階導(dǎo)函數(shù)，，用點斜式寫出切線方程（2）先求一階導(dǎo)函數(shù)的根，求解或的解集，判斷單調(diào)性。（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，求出極值畫出函數(shù)的示意圖，分析函數(shù)只有一個零點的等價條件是極小值大于零，函數(shù)在是減函數(shù)，故必然有一個零點。詳解：（1）因為，所以；又。由題意得，解得（2），其定義域為，又，令或。①當(dāng)即時，函數(shù)與隨的變化情況如下：當(dāng)時，，當(dāng)時，。所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在和單調(diào)遞減②當(dāng)即時，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減③當(dāng)即時，函數(shù)與隨的變化情況如下：當(dāng)時，，當(dāng)時，。所以函數(shù)在單調(diào)遞增在和上單調(diào)遞減（3）證明：當(dāng)時，由①知，的極小值為，極大值為.因為且又由函數(shù)在是減函數(shù)，