四川省廣安市2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

四川省廣安市2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若，滿足約束條件，則的最大值為（）A． B． C．5 D．62．已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且側(cè)棱垂直于底面）高為4，體積為16，則這個球的表面積是（）A． B． C． D．3．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則4．復(fù)數(shù)的實部與虛部之差為（）A．-1 B．1C． D．5．若集合，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B． C． D．6．中，，是的中點，若，則（）.A． B． C． D．7．已知雙曲線，過原點作一條傾斜角為直線分別交雙曲線左、右兩支P，Q兩點，以線段PQ為直徑的圓過右焦點F，則雙曲線離心率為A． B． C．2 D．8．在數(shù)學(xué)興趣課堂上，老師出了一道數(shù)學(xué)思考題，某小組的三人先獨立思考完成，然后一起討論.甲說：“我做錯了！”乙對甲說：“你做對了！”丙說：“我也做錯了！”老師看了他們?nèi)说拇鸢负笳f：“你們?nèi)酥杏星抑挥幸蝗俗鰧α?，有且只有一人說對了.”請問下列說法正確的是（）A．乙做對了 B．甲說對了 C．乙說對了 D．甲做對了9．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：，則從到時，左邊應(yīng)添加的項為（）A． B．C． D．10．若關(guān)于的不等式的解集是，則實數(shù)等于（）A．－1 B．－2 C．1 D．211．設(shè)等差數(shù)列的前項和為．若，，則A．9 B．8 C．7 D．212．已知函數(shù)，若有最小值，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點P在拋物線上，則面積的最小值為________．14．引入隨機變量后，下列說法正確的有：__________（填寫出所有正確的序號）.①隨機事件個數(shù)與隨機變量一一對應(yīng)；②隨機變量與自然數(shù)一一對應(yīng)；③隨機變量的取值是實數(shù).15．隨機變量X～B（3，p），P（X≤2），則E（X）＝__．16．函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前項和，且（）．（1）若數(shù)列是等比數(shù)列，求的值；（2）求數(shù)列的通項公式。18．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）若，求的取值范圍；（Ⅱ）證明：.19．（12分）設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值；（2）若函數(shù)在上有唯一零點，證明：.20．（12分）交通指數(shù)是交通擁堵指數(shù)的簡稱，是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念，記交通指數(shù)為，其范圍為，分為五個級別，暢通；基本暢通；輕度擁堵；中度擁堵；嚴(yán)重?fù)矶?早高峰時段（），從某市交通指揮中心隨機選取了三環(huán)以內(nèi)的50個交通路段，依據(jù)其交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖如圖.（1）這50個路段為中度擁堵的有多少個？（2）據(jù)此估計，早高峰三環(huán)以內(nèi)的三個路段至少有一個是嚴(yán)重?fù)矶碌母怕适嵌嗌?？?）某人上班路上所用時間若暢通時為20分鐘，基本暢通為30分鐘，輕度擁堵為36分鐘，中度擁堵為42分鐘，嚴(yán)重?fù)矶聻?0分鐘，求此人所用時間的數(shù)學(xué)期望.21．（12分）設(shè)為虛數(shù)單位，為正整數(shù)，（1）證明：；（2），利用（1）的結(jié)論計算．22．（10分）設(shè)集合，其中.（1）寫出集合中的所有元素；（2）設(shè)，證明“”的充要條件是“”（3）設(shè)集合，設(shè)，使得，且，試判斷“”是“”的什么條件并說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

畫出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解求解即可【題目詳解】解：變量，滿足約束條件的可行域如圖所示：目標(biāo)函數(shù)是斜率等于1、縱截距為的直線，當(dāng)直線經(jīng)過可行域的點時，縱截距取得最小值，則此時目標(biāo)函數(shù)取得最大值，由可得，目標(biāo)函數(shù)的最大值為：5故選C．【題目點撥】本題考查線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用，考查計算能力以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．2、C【解題分析】

根據(jù)正四棱柱的底面是正方形,高為4,體積為16,求得底面正方形的邊長,再求出其對角線長,然后根據(jù)正四棱柱的體對角線是外接球的直徑可得球的半徑,再根據(jù)球的表面積公式可求得.【題目詳解】依題意正四棱柱的體對角線是其外接球的直徑,的中點是球心,如圖:依題意設(shè),則正四棱柱的體積為:,解得,所以外接球的直徑,所以外接球的半徑,則這個球的表面積是.故選C.【題目點撥】本題考查了球與正四棱柱的組合體,球的表面積公式,正四棱柱的體積公式,屬中檔題.3、D【解題分析】

根據(jù)各選項的條件及結(jié)論，可畫出圖形或想象圖形，再結(jié)合平行、垂直的判定定理即可找出正確選項．【題目詳解】選項A錯誤，同時和一個平面平行的兩直線不一定平行，可能相交，可能異面；選項B錯誤，兩平面平行，兩平面內(nèi)的直線不一定平行，可能異面；選項C錯誤，一個平面內(nèi)垂直于兩平面交線的直線，不一定和另一平面垂直，可能斜交；選項D正確，由，便得，又，，即.故選：D.【題目點撥】本題考查空間直線位置關(guān)系的判定，這種位置關(guān)系的判斷題，可以舉反例或者用定理簡單證明，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解題分析】試題分析：,故選B.考點：復(fù)數(shù)的運算.5、C【解題分析】

由題意首先求得集合B，然后逐一考查所給選項是否正確即可．【題目詳解】求解二次不等式可得：，則．據(jù)此可知：，選項A錯誤；，選項B錯誤；且集合A是集合B的子集，選項C正確，選項D錯誤．本題選擇C選項，故選C．【題目點撥】本題主要考查集合的表示方法，集合之間的關(guān)系的判斷等知識，熟記集合的基本運算方法是解答的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力．6、D【解題分析】

作出圖象，設(shè)出未知量，在中，由正弦定理可得，進而可得，在中，還可得，建立等式后可得，再由勾股定理可得，即可得出結(jié)論．【題目詳解】解：如圖，設(shè)，，，，在中，由正弦定理可得，代入數(shù)據(jù)解得，故，而在中，，故可得，化簡可得，解之可得，再由勾股定理可得，聯(lián)立可得，故在中，，故選：D．【題目點撥】本題考查正弦定理的應(yīng)用，涉及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式以及勾股定理的應(yīng)用，屬于中檔題．7、B【解題分析】

求得直線的方程，聯(lián)立直線的方程和雙曲線的方程，求得兩點坐標(biāo)的關(guān)系，根據(jù)列方程，化簡后求得離心率.【題目詳解】設(shè)，依題意直線的方程為，代入雙曲線方程并化簡得，故，設(shè)焦點坐標(biāo)為，由于以為直徑的圓經(jīng)過點，故，即，即，即，兩邊除以得，解得.故，故選B.【題目點撥】本小題主要考查直線和雙曲線的交點，考查圓的直徑有關(guān)的幾何性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于中檔題.8、B【解題分析】

分三種情況討論：甲說法對、乙說法對、丙說法對，通過題意進行推理，可得出正確選項.【題目詳解】分以下三種情況討論：①甲的說法正確，則甲做錯了，乙的說法錯誤，則甲做錯了，丙的說法錯誤，則丙做對了，那么乙做錯了，合乎題意；②乙的說法正確，則甲的說法錯誤，則甲做對了，丙的說法錯誤，則丙做對了，矛盾；③丙的說法正確，則丙做錯了，甲的說法錯誤，則甲做對了，乙的說法錯誤，則甲做錯了，自相矛盾.故選：B.【題目點撥】本題考查簡單的合情推理，解題時可以采用分類討論法進行假設(shè)，考查推理能力，屬于中等題.9、D【解題分析】

將和式子表示出來，相減得到答案.【題目詳解】時：時：觀察知：應(yīng)添加的項為答案選D【題目點撥】本題考查了數(shù)學(xué)歸納法，寫出式子觀察對應(yīng)項是解題的關(guān)鍵.10、C【解題分析】

根據(jù)一元一次不等式與一元一次方程的關(guān)系，列出方程，即可求解.【題目詳解】由題意不等式的解集是，所以方程的解是，則，解得，故選C.【題目點撥】本題主要考查了一元一次不等式與一元一次方程的關(guān)系的應(yīng)用，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解題分析】

利用等差數(shù)列的通項公式及前項和公式，求得和的值，即可求出．【題目詳解】由，，，解得，，則，故選．【題目點撥】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式及前項和公式的應(yīng)用。12、C【解題分析】

求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)有最小值，則導(dǎo)函數(shù)在小于0有解，于是轉(zhuǎn)化為斜率問題求解得到答案.【題目詳解】根據(jù)題意，得，若有最小值，即在上先遞減再遞增，即在先小于0，再大于0，令，得：，令，只需的斜率大于過的的切線的斜率即可，設(shè)切點為，則切線方程為：，將代入切線方程得：，故切點為，切線的斜率為1，只需即可，解得：，故答案為C.【題目點撥】本題主要考查函數(shù)的最值問題，導(dǎo)函數(shù)的幾何意義，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，分析能力及計算能力，難度較大.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】

通過三角形的面積公式可知當(dāng)點P到直線AB的距離最小時面積最小，求出與直線2x﹣y﹣2＝0平行且為拋物線的切線的直線方程，進而利用兩直線間的距離公式及面積公式計算即得結(jié)論．【題目詳解】依題意，A（﹣2，0），B（0，﹣2），設(shè)與直線x+y+2＝0平行且與拋物線相切的直線l方程為：x+y+t＝0，聯(lián)立直線l與拋物線方程，消去y得：y2+4y+4t＝0，則△＝16﹣16t＝0，即t＝1，∵直線x+y+2＝0與直線l之間的距離d，∴Smin|AB|d1．故答案為1．【題目點撥】本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查運算求解能力，數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．14、③【解題分析】

要判斷各項中對隨機變量描述的正誤，需要牢記隨機變量的定義.【題目詳解】引入隨機變量,使我們可以研究一個隨機實驗中的所有可能結(jié)果，所以隨機變量的取值是實數(shù)，故③正確.【題目點撥】本題主要考查隨機變量的相關(guān)定義，難度不大.15、1．【解題分析】

推導(dǎo)解得，再根據(jù)二項分布的數(shù)學(xué)期望公式，可得的值.【題目詳解】因為隨機變量，所以解得所以.【題目點撥】本題考查離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的求法，考查二項分布等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．16、【解題分析】

首先將題意轉(zhuǎn)化為函數(shù)與恰有兩個交點，當(dāng)和時，利用函數(shù)的圖象易得交點個數(shù).當(dāng)，利用表示直線的斜率，結(jié)合圖象即可求出的范圍.【題目詳解】由題知：函數(shù)恰有兩個零點.等價于函數(shù)與恰有兩個交點.當(dāng)時，函數(shù)與恰有一個交點，舍去.當(dāng)時，函數(shù)與恰有兩個交點.當(dāng)時，如圖設(shè)與的切點為，，，，則切線方程為，原點代入，解得，.因為函數(shù)與恰有兩個交點，由圖知.綜上所述：或.故答案為：.【題目點撥】本題主要考查函數(shù)的零點問題，分類討論和數(shù)形結(jié)合為解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）1；（2）（）【解題分析】分析：（1）由可得，∴a2=3，a3=7，依題意，得（3+t）2=（1+t）（7+t），解得t=1；（2）由（1），知當(dāng)n≥2時，，即數(shù)列{an+1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，得，即可求通項．詳解：（1）當(dāng)時，由，得．當(dāng)時，，即，∴，．依題意，得，解得，當(dāng)時，，，即為等比數(shù)列成立，故實數(shù)的值為1；（2）由（1），知當(dāng)時，，又因為，所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列．所以，∴（）.點睛：（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列時，常運用等比數(shù)列的定義去證明，在證明過程中，容易忽視驗證首項不為零這一步驟。（2）數(shù)列通項的求法方法多樣，解題時要根據(jù)數(shù)列通項公式的特點去選擇。常用的方法有：公式法、累加法、累乘法、待定系數(shù)法、取倒數(shù)等。18、（Ⅰ）[-1,+∞）．（Ⅱ）見解析【解題分析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用，以及利用導(dǎo)數(shù)求解不等式，或者參數(shù)范圍的運用．解：（Ⅰ），,題設(shè)等價于.令，則當(dāng)，；當(dāng)時，，是的最大值點，綜上，的取值范圍是.(Ⅱ)由（Ⅰ）知，即.當(dāng)時，；當(dāng)時，所以19、（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為，極小值為，無極大值（2）見解析【解題分析】

（1）求出函數(shù)的定義域以及導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并由單調(diào)性得出函數(shù)的極值；（2）利用參變量分離法得出關(guān)于的方程在上有唯一解，構(gòu)造函數(shù)，得出，構(gòu)造函數(shù)，求出該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)的符號，得出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值轉(zhuǎn)化即可?！绢}目詳解】（1）的定義域為，∵，當(dāng)時，，為減函數(shù)；當(dāng)時，，為增函數(shù)，∴有極小值，無極大值，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為，極小值為，無極大值；（2）函數(shù)在上有唯一零點，即當(dāng)時，方程有唯一解，∴有唯一解，令，則令，則，當(dāng)時，，故函數(shù)為增函數(shù)，又，，∴在上存在唯一零點，則，且，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴在上有最小值.ly，∴.【題目點撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點問題，構(gòu)造新函數(shù)是難點，也是解題的關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)思想，屬于難題.20、（1）18（2）39.96【解題分析】試題分析：（1）頻率直方圖中小矩形的面積等于該段的概率，由此可以得出中度擁堵的概率，繼而得出這50個路段中中度擁擠的有多少個；記事件為一個路段嚴(yán)重?fù)矶?，其概率，則，所以三個路段至少有一個嚴(yán)重?fù)矶碌母怕蕿?；?）根據(jù)頻率分布直方圖列出分布列，即可求得數(shù)學(xué)期望.試題解析：（1），這50路段為中度擁堵的有18個.（2）設(shè)事件“一個路段嚴(yán)重?fù)矶隆?，則，事件三個都未出現(xiàn)路段嚴(yán)重?fù)矶?，則所以三個路段至少有一個是嚴(yán)重?fù)矶碌母怕适?（3）由頻率分布直方圖可得：分布列如下表：303642600.10.440.360.1.此人經(jīng)過該路段所用時間的數(shù)學(xué)期望是39.96分鐘.21、(1)證明見解析.(2).【解題分析】分析：（1）利用數(shù)