四川省廣安市2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

四川省廣安市2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若，滿(mǎn)足約束條件，則的最大值為（）A． B． C．5 D．62．已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且側(cè)棱垂直于底面）高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是（）A． B． C． D．3．設(shè)m，n是兩條不同的直線(xiàn)，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則4．復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之差為（）A．-1 B．1C． D．5．若集合，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B． C． D．6．中，，是的中點(diǎn)，若，則（）.A． B． C． D．7．已知雙曲線(xiàn)，過(guò)原點(diǎn)作一條傾斜角為直線(xiàn)分別交雙曲線(xiàn)左、右兩支P，Q兩點(diǎn)，以線(xiàn)段PQ為直徑的圓過(guò)右焦點(diǎn)F，則雙曲線(xiàn)離心率為A． B． C．2 D．8．在數(shù)學(xué)興趣課堂上，老師出了一道數(shù)學(xué)思考題，某小組的三人先獨(dú)立思考完成，然后一起討論.甲說(shuō)：“我做錯(cuò)了！”乙對(duì)甲說(shuō)：“你做對(duì)了！”丙說(shuō)：“我也做錯(cuò)了！”老師看了他們?nèi)说拇鸢负笳f(shuō)：“你們?nèi)酥杏星抑挥幸蝗俗鰧?duì)了，有且只有一人說(shuō)對(duì)了.”請(qǐng)問(wèn)下列說(shuō)法正確的是（）A．乙做對(duì)了 B．甲說(shuō)對(duì)了 C．乙說(shuō)對(duì)了 D．甲做對(duì)了9．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：，則從到時(shí)，左邊應(yīng)添加的項(xiàng)為（）A． B．C． D．10．若關(guān)于的不等式的解集是，則實(shí)數(shù)等于（）A．－1 B．－2 C．1 D．211．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為．若，，則A．9 B．8 C．7 D．212．已知函數(shù)，若有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線(xiàn)分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上，則面積的最小值為_(kāi)_______．14．引入隨機(jī)變量后，下列說(shuō)法正確的有：__________（填寫(xiě)出所有正確的序號(hào)）.①隨機(jī)事件個(gè)數(shù)與隨機(jī)變量一一對(duì)應(yīng)；②隨機(jī)變量與自然數(shù)一一對(duì)應(yīng)；③隨機(jī)變量的取值是實(shí)數(shù).15．隨機(jī)變量X～B（3，p），P（X≤2），則E（X）＝__．16．函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且（）．（1）若數(shù)列是等比數(shù)列，求的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式。18．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）若，求的取值范圍；（Ⅱ）證明：.19．（12分）設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值；（2）若函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，證明：.20．（12分）交通指數(shù)是交通擁堵指數(shù)的簡(jiǎn)稱(chēng)，是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念，記交通指數(shù)為，其范圍為，分為五個(gè)級(jí)別，暢通；基本暢通；輕度擁堵；中度擁堵；嚴(yán)重?fù)矶?早高峰時(shí)段（），從某市交通指揮中心隨機(jī)選取了三環(huán)以?xún)?nèi)的50個(gè)交通路段，依據(jù)其交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖如圖.（1）這50個(gè)路段為中度擁堵的有多少個(gè)？（2）據(jù)此估計(jì)，早高峰三環(huán)以?xún)?nèi)的三個(gè)路段至少有一個(gè)是嚴(yán)重?fù)矶碌母怕适嵌嗌?？?）某人上班路上所用時(shí)間若暢通時(shí)為20分鐘，基本暢通為30分鐘，輕度擁堵為36分鐘，中度擁堵為42分鐘，嚴(yán)重?fù)矶聻?0分鐘，求此人所用時(shí)間的數(shù)學(xué)期望.21．（12分）設(shè)為虛數(shù)單位，為正整數(shù)，（1）證明：；（2），利用（1）的結(jié)論計(jì)算．22．（10分）設(shè)集合，其中.（1）寫(xiě)出集合中的所有元素；（2）設(shè)，證明“”的充要條件是“”（3）設(shè)集合，設(shè)，使得，且，試判斷“”是“”的什么條件并說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

畫(huà)出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解求解即可【題目詳解】解：變量，滿(mǎn)足約束條件的可行域如圖所示：目標(biāo)函數(shù)是斜率等于1、縱截距為的直線(xiàn)，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)可行域的點(diǎn)時(shí)，縱截距取得最小值，則此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最大值，由可得，目標(biāo)函數(shù)的最大值為：5故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查線(xiàn)性規(guī)劃的簡(jiǎn)單應(yīng)用，考查計(jì)算能力以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．2、C【解題分析】

根據(jù)正四棱柱的底面是正方形,高為4,體積為16,求得底面正方形的邊長(zhǎng),再求出其對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng),然后根據(jù)正四棱柱的體對(duì)角線(xiàn)是外接球的直徑可得球的半徑,再根據(jù)球的表面積公式可求得.【題目詳解】依題意正四棱柱的體對(duì)角線(xiàn)是其外接球的直徑,的中點(diǎn)是球心,如圖:依題意設(shè),則正四棱柱的體積為:,解得,所以外接球的直徑,所以外接球的半徑,則這個(gè)球的表面積是.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了球與正四棱柱的組合體,球的表面積公式,正四棱柱的體積公式,屬中檔題.3、D【解題分析】

根據(jù)各選項(xiàng)的條件及結(jié)論，可畫(huà)出圖形或想象圖形，再結(jié)合平行、垂直的判定定理即可找出正確選項(xiàng)．【題目詳解】選項(xiàng)A錯(cuò)誤，同時(shí)和一個(gè)平面平行的兩直線(xiàn)不一定平行，可能相交，可能異面；選項(xiàng)B錯(cuò)誤，兩平面平行，兩平面內(nèi)的直線(xiàn)不一定平行，可能異面；選項(xiàng)C錯(cuò)誤，一個(gè)平面內(nèi)垂直于兩平面交線(xiàn)的直線(xiàn)，不一定和另一平面垂直，可能斜交；選項(xiàng)D正確，由，便得，又，，即.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查空間直線(xiàn)位置關(guān)系的判定，這種位置關(guān)系的判斷題，可以舉反例或者用定理簡(jiǎn)單證明，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解題分析】試題分析：,故選B.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的運(yùn)算.5、C【解題分析】

由題意首先求得集合B，然后逐一考查所給選項(xiàng)是否正確即可．【題目詳解】求解二次不等式可得：，則．據(jù)此可知：，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；且集合A是集合B的子集，選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．本題選擇C選項(xiàng)，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查集合的表示方法，集合之間的關(guān)系的判斷等知識(shí)，熟記集合的基本運(yùn)算方法是解答的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力．6、D【解題分析】

作出圖象，設(shè)出未知量，在中，由正弦定理可得，進(jìn)而可得，在中，還可得，建立等式后可得，再由勾股定理可得，即可得出結(jié)論．【題目詳解】解：如圖，設(shè)，，，，在中，由正弦定理可得，代入數(shù)據(jù)解得，故，而在中，，故可得，化簡(jiǎn)可得，解之可得，再由勾股定理可得，聯(lián)立可得，故在中，，故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦定理的應(yīng)用，涉及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式以及勾股定理的應(yīng)用，屬于中檔題．7、B【解題分析】

求得直線(xiàn)的方程，聯(lián)立直線(xiàn)的方程和雙曲線(xiàn)的方程，求得兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，根據(jù)列方程，化簡(jiǎn)后求得離心率.【題目詳解】設(shè)，依題意直線(xiàn)的方程為，代入雙曲線(xiàn)方程并化簡(jiǎn)得，故，設(shè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由于以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故，即，即，即，兩邊除以得，解得.故，故選B.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查直線(xiàn)和雙曲線(xiàn)的交點(diǎn)，考查圓的直徑有關(guān)的幾何性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.8、B【解題分析】

分三種情況討論：甲說(shuō)法對(duì)、乙說(shuō)法對(duì)、丙說(shuō)法對(duì)，通過(guò)題意進(jìn)行推理，可得出正確選項(xiàng).【題目詳解】分以下三種情況討論：①甲的說(shuō)法正確，則甲做錯(cuò)了，乙的說(shuō)法錯(cuò)誤，則甲做錯(cuò)了，丙的說(shuō)法錯(cuò)誤，則丙做對(duì)了，那么乙做錯(cuò)了，合乎題意；②乙的說(shuō)法正確，則甲的說(shuō)法錯(cuò)誤，則甲做對(duì)了，丙的說(shuō)法錯(cuò)誤，則丙做對(duì)了，矛盾；③丙的說(shuō)法正確，則丙做錯(cuò)了，甲的說(shuō)法錯(cuò)誤，則甲做對(duì)了，乙的說(shuō)法錯(cuò)誤，則甲做錯(cuò)了，自相矛盾.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查簡(jiǎn)單的合情推理，解題時(shí)可以采用分類(lèi)討論法進(jìn)行假設(shè)，考查推理能力，屬于中等題.9、D【解題分析】

將和式子表示出來(lái)，相減得到答案.【題目詳解】時(shí)：時(shí)：觀察知：應(yīng)添加的項(xiàng)為答案選D【題目點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)學(xué)歸納法，寫(xiě)出式子觀察對(duì)應(yīng)項(xiàng)是解題的關(guān)鍵.10、C【解題分析】

根據(jù)一元一次不等式與一元一次方程的關(guān)系，列出方程，即可求解.【題目詳解】由題意不等式的解集是，所以方程的解是，則，解得，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了一元一次不等式與一元一次方程的關(guān)系的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解題分析】

利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式，求得和的值，即可求出．【題目詳解】由，，，解得，，則，故選．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式的應(yīng)用。12、C【解題分析】

求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)有最小值，則導(dǎo)函數(shù)在小于0有解，于是轉(zhuǎn)化為斜率問(wèn)題求解得到答案.【題目詳解】根據(jù)題意，得，若有最小值，即在上先遞減再遞增，即在先小于0，再大于0，令，得：，令，只需的斜率大于過(guò)的的切線(xiàn)的斜率即可，設(shè)切點(diǎn)為，則切線(xiàn)方程為：，將代入切線(xiàn)方程得：，故切點(diǎn)為，切線(xiàn)的斜率為1，只需即可，解得：，故答案為C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的最值問(wèn)題，導(dǎo)函數(shù)的幾何意義，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，分析能力及計(jì)算能力，難度較大.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】

通過(guò)三角形的面積公式可知當(dāng)點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的距離最小時(shí)面積最小，求出與直線(xiàn)2x﹣y﹣2＝0平行且為拋物線(xiàn)的切線(xiàn)的直線(xiàn)方程，進(jìn)而利用兩直線(xiàn)間的距離公式及面積公式計(jì)算即得結(jié)論．【題目詳解】依題意，A（﹣2，0），B（0，﹣2），設(shè)與直線(xiàn)x+y+2＝0平行且與拋物線(xiàn)相切的直線(xiàn)l方程為：x+y+t＝0，聯(lián)立直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)方程，消去y得：y2+4y+4t＝0，則△＝16﹣16t＝0，即t＝1，∵直線(xiàn)x+y+2＝0與直線(xiàn)l之間的距離d，∴Smin|AB|d1．故答案為1．【題目點(diǎn)撥】本題考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．14、③【解題分析】

要判斷各項(xiàng)中對(duì)隨機(jī)變量描述的正誤，需要牢記隨機(jī)變量的定義.【題目詳解】引入隨機(jī)變量,使我們可以研究一個(gè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中的所有可能結(jié)果，所以隨機(jī)變量的取值是實(shí)數(shù)，故③正確.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查隨機(jī)變量的相關(guān)定義，難度不大.15、1．【解題分析】

推導(dǎo)解得，再根據(jù)二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望公式，可得的值.【題目詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量，所以解得所以.【題目點(diǎn)撥】本題考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的求法，考查二項(xiàng)分布等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．16、【解題分析】

首先將題意轉(zhuǎn)化為函數(shù)與恰有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)和時(shí)，利用函數(shù)的圖象易得交點(diǎn)個(gè)數(shù).當(dāng)，利用表示直線(xiàn)的斜率，結(jié)合圖象即可求出的范圍.【題目詳解】由題知：函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn).等價(jià)于函數(shù)與恰有兩個(gè)交點(diǎn).當(dāng)時(shí)，函數(shù)與恰有一個(gè)交點(diǎn)，舍去.當(dāng)時(shí)，函數(shù)與恰有兩個(gè)交點(diǎn).當(dāng)時(shí)，如圖設(shè)與的切點(diǎn)為，，，，則切線(xiàn)方程為，原點(diǎn)代入，解得，.因?yàn)楹瘮?shù)與恰有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖知.綜上所述：或.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，分類(lèi)討論和數(shù)形結(jié)合為解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）1；（2）（）【解題分析】分析：（1）由可得，∴a2=3，a3=7，依題意，得（3+t）2=（1+t）（7+t），解得t=1；（2）由（1），知當(dāng)n≥2時(shí)，，即數(shù)列{an+1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，得，即可求通項(xiàng)．詳解：（1）當(dāng)時(shí)，由，得．當(dāng)時(shí)，，即，∴，．依題意，得，解得，當(dāng)時(shí)，，，即為等比數(shù)列成立，故實(shí)數(shù)的值為1；（2）由（1），知當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)?，所以?shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．所以，∴（）.點(diǎn)睛：（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列時(shí)，常運(yùn)用等比數(shù)列的定義去證明，在證明過(guò)程中，容易忽視驗(yàn)證首項(xiàng)不為零這一步驟。（2）數(shù)列通項(xiàng)的求法方法多樣，解題時(shí)要根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式的特點(diǎn)去選擇。常用的方法有：公式法、累加法、累乘法、待定系數(shù)法、取倒數(shù)等。18、（Ⅰ）[-1,+∞）．（Ⅱ）見(jiàn)解析【解題分析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用，以及利用導(dǎo)數(shù)求解不等式，或者參數(shù)范圍的運(yùn)用．解：（Ⅰ），,題設(shè)等價(jià)于.令，則當(dāng)，；當(dāng)時(shí)，，是的最大值點(diǎn)，綜上，的取值范圍是.(Ⅱ)由（Ⅰ）知，即.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以19、（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為，極小值為，無(wú)極大值（2）見(jiàn)解析【解題分析】

（1）求出函數(shù)的定義域以及導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并由單調(diào)性得出函數(shù)的極值；（2）利用參變量分離法得出關(guān)于的方程在上有唯一解，構(gòu)造函數(shù)，得出，構(gòu)造函數(shù)，求出該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，得出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值轉(zhuǎn)化即可?！绢}目詳解】（1）的定義域?yàn)?，∵，?dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，∴有極小值，無(wú)極大值，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為，極小值為，無(wú)極大值；（2）函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，方程有唯一解，∴有唯一解，令，則令，則，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)為增函數(shù)，又，，∴在上存在唯一零點(diǎn)，則，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴在上有最小值.ly，∴.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，構(gòu)造新函數(shù)是難點(diǎn)，也是解題的關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)思想，屬于難題.20、（1）18（2）39.96【解題分析】試題分析：（1）頻率直方圖中小矩形的面積等于該段的概率，由此可以得出中度擁堵的概率，繼而得出這50個(gè)路段中中度擁擠的有多少個(gè)；記事件為一個(gè)路段嚴(yán)重?fù)矶?，其概率，則，所以三個(gè)路段至少有一個(gè)嚴(yán)重?fù)矶碌母怕蕿?；?）根據(jù)頻率分布直方圖列出分布列，即可求得數(shù)學(xué)期望.試題解析：（1），這50路段為中度擁堵的有18個(gè).（2）設(shè)事件“一個(gè)路段嚴(yán)重?fù)矶隆?，則，事件三個(gè)都未出現(xiàn)路段嚴(yán)重?fù)矶拢瑒t所以三個(gè)路段至少有一個(gè)是嚴(yán)重?fù)矶碌母怕适?（3）由頻率分布直方圖可得：分布列如下表：303642600.10.440.360.1.此人經(jīng)過(guò)該路段所用時(shí)間的數(shù)學(xué)期望是39.96分鐘.21、(1)證明見(jiàn)解析.(2).【解題分析】分析：（1）利用數(shù)