2024屆天津市濱海新區(qū)大港八中數(shù)學高二第二學期期末學業(yè)水平測試試題含解析

2024屆天津市濱海新區(qū)大港八中數(shù)學高二第二學期期末學業(yè)水平測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，且的圖象關于對稱，當時，，則的值為A． B． C．0 D．12．若a|a|＞b|b|，則下列判斷正確的是（）A．a(chǎn)＞b B．|a|＞|b|C．a(chǎn)+b＞0 D．以上都有可能3．若焦點在軸上的雙曲線的離心率為，則該雙曲線的一個頂點到其中一條漸近線的距離為()A． B． C． D．4．已知函數(shù)，若，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．5．若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．6．設雙曲線：的左、右焦點分別為、，點在上，且滿足.若滿足條件的點只在的左支上，則的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．7．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的S值為()A． B．C． D．8．是虛數(shù)單位，若，則的值是（）A． B． C． D．9．若圓和圓相切，則等于()A．6 B．7 C．8 D．910．已知．則（）A． B． C． D．11．我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈A．1盞 B．3盞C．5盞 D．9盞12．已知函數(shù)，且，則曲線在處的切線方程為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某種活性細胞的存活率（%）與存放溫度（℃）之間具有線性相關關系，樣本數(shù)據(jù)如下表所示存放溫度（℃）104-2-8存活率（%）20445680經(jīng)計算得回歸直線方程的斜率為-3.2，若存放溫度為6℃，則這種細胞存活的預報值為_____%．14．用1,2,3,4,5,6組成沒有重復數(shù)字，且至少有一個數(shù)字是奇數(shù)的三位偶數(shù)，這樣的三位數(shù)一共有______個.15．已知實數(shù)滿足約束條件，則的最大值為_____________.16．設各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和為，若,則數(shù)列的通項公式為____________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知（1）求及的值；（2）求證：（），并求的值.（3）求的值.18．（12分）設函數(shù)．(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間和極值；(Ⅱ)若當時，恒有，試確定的取值范圍；(Ⅲ)當時，關于x的方程f(x)＝0在區(qū)間[1,3]上恒有兩個相異的實根，求實數(shù)b的取值范圍．19．（12分）如圖，菱形的對角線與相交于點，，，點分別在，上，，交于點.將沿折到的位置，.（1）證明：；（2）求二面角的正弦值.20．（12分）在平面直角坐標系中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為.（1）求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程；（2）設直線l與曲線C交于A，B兩點，求線段的長.21．（12分）已知函數(shù)（1）求的最小值（2）若不等式的解集為M，且，證明：.22．（10分）“微信運動”是由騰訊開發(fā)的一個類似計步數(shù)據(jù)庫的公眾賬號.用戶可以通過關注“微信運動”公眾號查看自己及好友每日行走的步數(shù)、排行榜，也可以與其他用戶進行運動量的或點贊.現(xiàn)從某用戶的“微信運動”朋友圈中隨機選取40人，記錄他們某一天的行走步數(shù)，并將數(shù)據(jù)整理如下：步數(shù)/步0～20002001～50005001～80008001～1000010000以上男性人數(shù)/人16954女性人數(shù)/人03642規(guī)定：用戶一天行走的步數(shù)超過8000步時為“運動型”，否則為“懈怠型”.（1）將這40人中“運動型”用戶的頻率看作隨機抽取1人為“運動型”用戶的概率.從該用戶的“微信運動”朋友圈中隨機抽取4人，記為“運動型”用戶的人數(shù)，求和的數(shù)學期望；（2）現(xiàn)從這40人中選定8人（男性5人，女性3人），其中男性中“運動型”有3人，“懈怠型”有2人，女性中“運動型”有2人，“懈怠型”有1人.從這8人中任意選取男性3人、女性2人，記選到“運動型”的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

先根據(jù)函數(shù)的圖象關于對稱且是上的奇函數(shù)，可求出函數(shù)的最小正周期，再由時，，即可求出結果.【題目詳解】根據(jù)題意，函數(shù)的圖象關于對稱，則，又由函數(shù)是上的奇函數(shù)，則，則有，變形可得，即函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，則，又由函數(shù)是上的奇函數(shù)，則，故.故選C【題目點撥】本題主要考查函數(shù)的基本性質，周期性、奇偶性、對稱性等，熟記相關性質即可求解，屬于?？碱}型.2、A【解題分析】

利用已知條件，分類討論化簡可得.【題目詳解】因為，所以當時，有，即；當時，則一定成立，而和均不一定成立；當時，有，即；綜上可得選項A正確.故選：A.【題目點撥】本題主要考查不等關系的判定，不等關系一般是利用不等式的性質或者特值排除法進行求解，側重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).3、C【解題分析】

先由雙曲線的離心率的值求出的值，然后求出雙曲線的頂點坐標和漸近線方程，再利用點到直線的距離公式可求出結果【題目詳解】解：因為焦點在軸上的雙曲線的離心率為，所以，解得，所以雙曲線方程為，其頂點為，漸近線方程為由雙曲線的對稱性可知，只要求出其中一個頂點到一條漸近線的距離即可不妨求點到直線的距離故選：C【題目點撥】此題考查了雙曲線的有關知識和點到直線的距離公式，屬于基礎題4、D【解題分析】由函數(shù)，可得，所以函數(shù)為奇函數(shù)，又，因為，所以，所以函數(shù)為單調遞增函數(shù)，因為，即，所以，解得，故選D．點睛：本題考查了函數(shù)的單調性、奇偶性和函數(shù)不等式的求解問題，其中解答中函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的單調性，轉化為不等式是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，對于解函數(shù)不等式：首先根據(jù)函數(shù)的單調性和奇偶性把不等式轉化為的形式，然后根據(jù)函數(shù)的單調性去掉“”，轉化為具體的不等式(組)，此時要注意與的取值應在外層函數(shù)的定義域內是試題的易錯點．5、D【解題分析】

根據(jù)復合函數(shù)的單調性，同增異減，則，在區(qū)間上是增函數(shù)，再根據(jù)定義域則在區(qū)間上恒成立求解.【題目詳解】因為函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，所以，在區(qū)間上是增函數(shù)，且在區(qū)間上恒成立.所以且，解得.故選：D【題目點撥】本題主要考查復合函數(shù)的單調性，還考查了理解辨析和運算求解的能力，屬于中檔題.6、C【解題分析】

本題需要分類討論，首先需要討論“在雙曲線的右支上”這種情況，然后討論“在雙曲線的左支上”這種情況，然后根據(jù)題意，即可得出結果。【題目詳解】若在雙曲線的右支上，根據(jù)雙曲線的相關性質可知，此時的最小值為，因為滿足題意的點在雙曲線的左支，所以，即，所以①，若在雙曲線的左支上，根據(jù)雙曲線的相關性質可知，此時的最小值為，想要滿足題意的點在雙曲線的左支上，則需要滿足，即，所以②由①②得，故選C?！绢}目點撥】本題考查了圓錐曲線的相關性質，主要考查了圓錐曲線中雙曲線的相關性質，考查雙曲線的離心率的取值范圍，考查雙曲線的長軸、短軸以及焦距之間的關系，考查推理能力，是中檔題。7、D【解題分析】

執(zhí)行循環(huán)，根據(jù)判斷條件確定結束循環(huán)，輸出結果.【題目詳解】第1步：a＝7-2n＝5，a＞0成立，S＝S＋a＝5，n＝2；第2步：a＝7-2n＝3，a＞0成立，S＝S＋a＝8，n＝3；第3步：a＝7-2n＝1，a＞0成立，S＝S＋a＝1，n＝4；第4步：a＝7-2n＝－1，a＞0不成立，退出循環(huán)，輸出S＝1．選D.【題目點撥】本題考查循環(huán)結構流程圖，考查基本分析判斷能力，屬基礎題.8、C【解題分析】

9、C【解題分析】

根據(jù)的圓標準方程求得兩圓的圓心與半徑，再根據(jù)兩圓內切、外切的條件,分別求得的值并驗證即可得結果.【題目詳解】圓的圓心，半徑為5；圓的圓心，半徑為r.若它們相內切，則圓心距等于半徑之差，即＝|r－5|，求得r＝18或－8，不滿足5<r<10.若它們相外切，則圓心距等于半徑之和，即＝|r＋5|，求得r＝8或－18(舍去)，故選C．【題目點撥】本題主要考查圓的方程以及圓與圓的位置關系，屬于基礎題.兩圓半徑為，兩圓心間的距離為，比較與及與的大小，即可得到兩圓的位置關系.10、C【解題分析】

由二項式定理及利用賦值法即令和，兩式相加可得，結合最高次系數(shù)的值即可得結果.【題目詳解】中，取，得，取，得，所以，即，又，則，故選C．【題目點撥】本題主要考查了二項式定理及利用賦值法求二項式展開式的系數(shù)，屬于中檔題.11、B【解題分析】

設塔頂?shù)腶1盞燈，由題意{an}是公比為2的等比數(shù)列，∴S7==181，解得a1=1．故選B．12、B【解題分析】

先對已知函數(shù)f(x)求導，由可得a的值，由此確定函數(shù)和其導函數(shù)的解析式，進而可得x=0處的切線方程?！绢}目詳解】，，解得，即，，則，，曲線在點處的切線方程為，即.【題目點撥】本題考查求函數(shù)某點處的切線方程，解題關鍵是先由條件求出函數(shù)f(x)中的未知量a。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、34【解題分析】分析：根據(jù)表格中數(shù)據(jù)求出，代入公式求得的值，從而得到回歸直線方程，將代入回歸方程即可得到結果.詳解：設回歸直線方程，由表中數(shù)據(jù)可得，代入歸直線方程可得，所以回歸方程為當時，可得，故答案為.點睛：求回歸直線方程的步驟：①依據(jù)樣本數(shù)據(jù)確定兩個變量具有線性相關關系；②計算的值；③計算回歸系數(shù)；④寫出回歸直線方程為；回歸直線過樣本點中心是一條重要性質，利用線性回歸方程可以估計總體，幫助我們分析兩個變量的變化趨勢.14、54【解題分析】

運用排列組合，先求出偶數(shù)的可能一共有多少個，然后減去三個數(shù)字都是偶數(shù)的情況【題目詳解】當個位是偶數(shù)的時候共有種可能三個數(shù)字都是偶數(shù)時，有種可能則滿足題意的三位數(shù)共有種故答案為【題目點撥】本題考查了排列組合的數(shù)字的排序問題，只要按照題目要求進行分類求出一共的情況，然后減去不符合情況即可得出結果15、1【解題分析】

作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得如圖的△ABC及其內部，再將目標函數(shù)z＝x﹣y對應的直線進行平移并觀察z的變化，即可得到z＝x﹣y的最大值．【題目詳解】作出實數(shù)x，y滿足約束條件表示的平面區(qū)域，得到如圖的△ABC及其內部，其中A（1，1），B（3，1），C（1，1）將直線l：z＝x﹣y進行平移，當l經(jīng)過點B時，目標函數(shù)z達到最大值；∴z最大值＝1；故答案為1．【題目點撥】本題給出二元一次不等式組，求目標函數(shù)z＝x﹣y的最大值，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡單的線性規(guī)劃等知識，屬于中檔題．16、【解題分析】分析：根據(jù)基本量直接計算詳解：因為數(shù)列為等比數(shù)列，所以解得：所以點睛：在等比數(shù)列問題中的未知量為首項和公比，求解這兩個未知量需要兩個方程，所以如果已知條件可以構造出來兩個方程，則一定可以解出首項和公比，進而可以解決其他問題，因此基本量求解是這類問題的基本解法.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析；（3）.【解題分析】

（1）用賦值法可求解，令可求得，令可求得．（2）左邊用階乘展開可證．再由己證式結合裂項求和，可求解（3）法一：先證公式再用公式化簡可求值．法二：將兩邊求導，再賦值x=1和x=-1可求解．【題目詳解】（1）當時，（*）在（*）中，令得在（*）中，令得，所以（2）證明：因為，由二項式定理可得所以因為，所以（3）法一：由（2）知因為，所以+則，所以法二：將兩邊求導，得令得；①令得.②①②得解得，所以.【題目點撥】本題考查二項式定理中的賦值法求值問題，這是解決與二項式定理展開式中系數(shù)求和中的常用方法．18、（Ⅰ）在(－∞，a)和(3a，＋∞)上是減函數(shù)，在(a,3a)上是增函數(shù)．，（Ⅱ）（Ⅲ）【解題分析】

（Ⅰ）求導，并求出函數(shù)的極值點，列表分析函數(shù)的單調性與極值，從而可得出函數(shù)的單調區(qū)間與極小值和極大值；（Ⅱ）由條件得知，考查函數(shù)的單調性知，得知函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，于是得出，解該不等式組即可；（Ⅲ）將代入函數(shù)的解析式，利用導數(shù)研究該函數(shù)在區(qū)間上的單調性，將問題轉化為解出不等式即可得出實數(shù)的取值范圍．【題目詳解】（Ⅰ）．令，得x＝a或x＝3a.當x變化時，的變化情況如下表：x(－∞，a)a(a,3a)3a(3a，＋∞)－0＋0－↘極小↗極大↘∴在(－∞，a)和(3a，＋∞)上是減函數(shù)，在(a,3a)上是增函數(shù)．當時，取得極小值，；當時，取得極大值，；（Ⅱ），其對稱軸為.因為，所以.所以在區(qū)間上是減函數(shù)．當時，取得最大值，；當時，取得最小值，.于是有即.又因為，所以.（Ⅲ）當時，.，由，即，解得，即在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．要使在[1,3]上恒有兩個相異實根，即在(1,2)，(2,3)上各有一個實根，于是有即解得.【題目點撥】本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間、利用導數(shù)求解函數(shù)不等式恒成立以及利用導數(shù)研究函數(shù)的零點，解題時注意這些問題的等價轉化，在處理零點問題時，可充分利用圖象來理解，考查化歸與轉化、數(shù)形結合的數(shù)學思想，屬于中等題．19、（1）見解析（2）【解題分析】

（1），可得，在菱形中，求出，由勾股定理的逆定理，即可證明；（2）以為原點，建立空間直角坐標系，求出坐標，進而求出平面和平面的法向量坐標，根據(jù)空間向量面面角公式，求出二面角的余弦，即可求出結論.【題目詳解】（1）證明：∵，∴，∴.∵四邊形為菱形，∴.∵，∴；又，，∴，∴，∴，∴，∴.（2）解：以為原點，分別以，，所在直線軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.，，，，，，.設平面法向量，由得，取，∴.同理可得面的法向量，設二面角的平面角為，則，∴.故二面角的正弦值為.【題目點撥】本題考查空間中點，線，面的