甘肅省蘭州市一中2024屆數學高二第二學期期末聯考模擬試題含解析

甘肅省蘭州市一中2024屆數學高二第二學期期末聯考模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在橢圓內，通過點，且被這點平分的弦所在的直線方程為（）A． B．C． D．2．利用獨立性檢驗來考慮兩個分類變量X與Y是否有關系時，通過查閱下表來確定“X和Y有關系”的可信度．如果k>5.024，那么就有把握認為“X和Y有關系”的百分比為()P(K2>k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.83A．25% B．95%C．5% D．97.5%3．已知函數的導函數為，滿足，且，則不等式的解集為()A． B． C． D．4．已知平面α與平面β相交，直線m⊥α，則()A．β內必存在直線與m平行，且存在直線與m垂直B．β內不一定存在直線與m平行，不一定存在直線與m垂直C．β內必存在直線與m平行，不一定存在直線與m垂直D．β內不一定存在直線與m平行，但必存在直線與m垂直5．定義在上的函數，若對于任意都有且則不等式的解集是（）A． B． C． D．6．給出下列四個命題：①回歸直線過樣本點中心（，）②將一組數據中的每個數據都加上或減去同一個常數后，平均值不變③將一組數據中的每個數據都加上或減去同一個常數后，方差不變④在回歸方程＝4x+4中，變量x每增加一個單位時，y平均增加4個單位其中錯誤命題的序號是（）A．① B．② C．③ D．④7．若，則的值為（）A．2 B．1 C．0 D．8．已知函數，則，，的大小關系是（）A． B．C． D．9．某產品的銷售收入（萬元）關于產量（千臺）的函數為；生產成本（萬元）關于產量（千臺）的函數為，為使利潤最大，應生產產品()A．9千臺 B．8千臺 C．7千臺 D．6千臺10．已知，分別是橢圓C：的上下兩個焦點，若橢圓上存在四個不同點P，使得的面積為，則橢圓C的離心率e的取值范圍是（）A． B． C． D．11．若曲線在點（0，n）處的切線方程x-y+1=0，則（）A．， B．，C．， D．，12．某中學高二年級的一個研究性學習小組擬完成下列兩項調查：①從某社區(qū)430戶高收入家庭，980戶中等收入家庭，290戶低收入家庭中任意選出170戶調查社會購買力的某項指標；②從本年級12名體育特長生中隨機選出5人調查其學習負擔情況；則該研究性學習小組宜采用的抽樣方法分別是（）A．①用系統(tǒng)抽樣，②用簡單隨機抽樣 B．①用系統(tǒng)抽樣，②用分層抽樣C．①用分層抽樣，②用系統(tǒng)抽樣 D．①用分層抽樣，②用簡單隨機抽樣二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．為計算，設計了下面的程序框圖，則在空白框中應填入______.14．若二項式（x﹣）n的展開式中只有第5項的二項式系數最大，則展開式中含x2項的系數為__．15．在的展開式中的系數與常數項相等，則正數______.16．若函數與函數的圖像有兩個不同的交點，則實數b的取值范圍是________；三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數.⑴求函數的單調區(qū)間；⑵如果對于任意的，總成立，求實數的取值范圍.18．（12分）(1)設k，，且，求證：；(2)求滿足的正整數n的最大值；19．（12分）如圖，在中，D是邊BC上一點，，，．（1）求DC的長；（2）若，求的面積．20．（12分）設命題實數滿足（）；命題實數滿足（1）若且p∧q為真，求實數的取值范圍；（2）若?q是?p的充分不必要條件，求實數的取值范圍．21．（12分）已知函數，.（1）討論的單調性；（2）若有兩個零點，求實數的取值范圍.22．（10分）已知展開式中的倒數第三項的系數為45，求：（1）含的項；（2）系數最大的項．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】試題分析：設以點為中點的弦的端點分別為，則，又，兩式相減化簡得，即以點為中點的弦所在的直線的斜率為，由直線的點斜式方程可得，即，故選A.考點：直線與橢圓的位置關系.2、D【解題分析】∵k＞5.024，而在觀測值表中對應于5.024的是0.025，∴有1-0.025=97.5%的把握認為“X和Y有關系”，

故選D．3、A【解題分析】

令，這樣原不等式可以轉化為，構造新函數，求導，并結合已知條件，可以判斷出的單調性，利用單調性，從而可以解得，也就可以求解出，得到答案.【題目詳解】解:令，則，令，則，在上單調遞增，，故選A.【題目點撥】本題考查了利用轉化法、構造函數法、求導法解決不等式解集問題，考查了數學運算能力和推理論證能力.4、D【解題分析】

可在正方體中選擇兩個相交平面，再選擇由頂點構成且與其中一個面垂直的直線，通過變化直線的位置可得正確的選項．【題目詳解】

如圖，平面平面，平面，但平面內無直線與平行，故A錯．又設平面平面，則，因，故，故B、C錯，綜上，選D．【題目點撥】本題考察線、面的位置關系，此種類型問題是易錯題，可選擇合適的幾何體去構造符合條件的點、線、面的位置關系或不符合條件的反例．5、D【解題分析】

令,求導后根據題意知道在上單調遞增，再求出，即可找到不等式的解集。【題目詳解】令則所以在上單調遞增，又所以的解集故選D【題目點撥】本題考查利用導數解不等式，屬于中檔題。6、B【解題分析】

由回歸直線都過樣本中心，可判斷①；由均值和方差的性質可判斷②③；由回歸直線方程的特點可判斷④，得到答案．【題目詳解】對于①中，回歸直線過樣本點中心，故①正確；對于②中，將一組數據中的每個數據都加上或減去同一個常數后，平均值為加上或減去這個常數，故②錯誤；對于③中，將一組數據中的每個數據都加上或減去同一個常數后，方差不變，故③正確；對于④中，在回歸直線方程，變量每增加一個單位時，平均增加4個單位，故④正確，故選B．【題目點撥】本題主要考查了回歸直線方程的特點和均值、方差的性質的應用，著重考查了．判斷能力，屬于基礎題．7、D【解題分析】分析：令x=1，可得1=a1．令x=，即可求出．詳解：，令x=1，可得1=．令x=，可得a1+++…+=1，∴++…+=﹣1，故選：D．點睛：本題考查了二項式定理的應用、方程的應用，考查了賦值法，考查了推理能力與計算能力，注意的處理，屬于易錯題．8、A【解題分析】

由為偶函數，知，由在（0，1）為增函數，知，由此能比較大小關系．【題目詳解】∵為偶函數，∴，∵，由時，，知在（0，1）為增函數，∴，∴，故選：A．【題目點撥】本題考查函數值大小的比較，解題時要認真審題，注意函數的單調性和導數的靈活運用．9、B【解題分析】

根據題意得到利潤關于產量的函數式，再由導數求得使利潤最大時的產量，即可求解出答案。【題目詳解】設利潤為萬元，則，，令，得，令，得，∴當時，取最大值，故為使利潤最大，應生產8千臺．選B.【題目點撥】本題主要考查了利用導數的性質求函數的最值來解決實際問題。10、A【解題分析】

求出橢圓的焦距，求出橢圓的短半軸的長，利用已知條件列出不等式求出的范圍，然后求解離心率的范圍．【題目詳解】解：，分別是橢圓的上下兩個焦點，可得，短半軸的長：，橢圓上存在四個不同點，使得△的面積為，可得，可得，解得，則橢圓的離心率為：．故選：．【題目點撥】本題考查橢圓的簡單性質的應用，屬于基礎題．11、A【解題分析】

根據函數的切線方程得到切點坐標以及切線斜率，再根據導數的幾何意義列方程求解即可．【題目詳解】曲線在點處的切線方程是，，則，即切點坐標為，切線斜率，曲線方程為，則函數的導數即，即，則，，故選A．【題目點撥】本題主要考查導數的幾何意義的應用，屬于中檔題．應用導數的幾何意義求切點處切線的斜率，主要體現在以下幾個方面：(1)已知切點求斜率,即求該點處的導數；(2)己知斜率求切點即解方程；(3)巳知切線過某點(不是切點)求切點,設出切點利用求解.12、D【解題分析】

①總體由差異明顯的幾部分構成時，應選用分層抽樣；②總體個體數有限、逐個抽取、不放回、每個個體被抽到的可能性均等，應選用簡單隨機抽樣；∴選D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據框圖作用分析即可求得空白處應該填入的語句.【題目詳解】由程序框圖的輸出值，結合本框圖的作用是計算，考慮，，所以空白處應該填入.故答案為：【題目點撥】此題考查程序框圖的識別，根據已知程序框圖需要輸出的值填補框圖，關鍵在于弄清框圖的作用，準確分析得解.14、1120【解題分析】由題意可得：n=8.∴通項公式，令=2，解得r=4.∴展開式中含x2項的系數為.故答案為：1120.點睛：求二項展開式有關問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據條件寫出第r＋1項，再由特定項的特點求出r值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數.可由某項得出參數項，再由通項寫出第r＋1項，由特定項得出r值，最后求出其參數.15、【解題分析】

根據二項展開式的通項公式，求出展開式中的系數、展開式中的常數項，再根據它們相等，求出的值.【題目詳解】解：因為的展開式的通項公式為，令，求得，故展開式中的系數為.令，求得，故展開式中的系數為，所以，因為為正數，所以.故答案為：.【題目點撥】本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數的性質，屬于基礎題.16、【解題分析】

作出函數的圖象和直線，由圖形觀察可知它們有兩交點的情形。【題目詳解】作出函數的圖象和直線，如圖，當直線過點時，，當直線與函數圖象相切時，，，，（舍去），∴函數與函數的圖像有兩個不同的交點時。故答案為：【題目點撥】本題考查直線與函數圖象交點個數問題，解題時用數形結合思想，即作出函數圖象（半個橢圓）及直線當平移直線時觀察它與函數圖象的交點情況．本題解題時要特別注意函數圖象只是橢圓的上半部分，不能誤認為是整個橢圓，那就會得出錯誤結論．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；（2）【解題分析】

試題分析：⑴求出函數的導數令其大于零得增區(qū)間，令其小于零得減函數；⑵令，要使總成立，只需時，對討論,利用導數求的最小值.試題解析：(1)由于，所以.當，即時，；當，即時，.所以的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.(2)令，要使總成立，只需時.對求導得，令，則，()所以在上為增函數，所以.對分類討論：①當時，恒成立，所以在上為增函數，所以，即恒成立；②當時，在上有實根，因為在上為增函數，所以當時，，所以，不符合題意；③當時，恒成立，所以在上為減函數，則，不符合題意.綜合①②③可得，所求的實數的取值范圍是.考點：利用導數求函數單調區(qū)間、利用導數求函數最值、構造函數.18、(1)略；(2)7【解題分析】

（1）根據組合數公式可證得左右兩側形式相同，從而可得結論；（2）將問題變?yōu)椋瑢⒉坏仁阶髠雀鶕M合數運算性質可求得等于，從而可將不等式變?yōu)椋鶕檎麛登蟮媒Y果.【題目詳解】（1）當時，（2），即：又，即又為正整數，即正整數的最大值為：【題目點撥】本題考查利用組合數公式及其性質進行運算或證明，考查對于公式的掌握程度，考查學生的轉化能力，屬于中檔題.19、（1）3（2）【解題分析】

（1）在中，中分別使用正弦定理，結合，，即，即得解；（2）在中，中分別使用余弦定理，結合，可解得，分別計算，又可得解.【題目詳解】（1）在中，由正弦定理，得．在中，由正弦定理，得．因為，所以，所以．從而有，即．又，所以．（2）在中，由余弦定理，得．在中，由余弦定理，得．由，得．因為，所以．故有．解得．又，所以，．；．故的面積．【題目點撥】本題考查了正弦定理、余弦定理的綜合應用，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于中檔題.20、(1);(2).【解題分析】試題分析：（1）若a=1，分別求出p，q成立的等價條件，利用且p∧q為真，求實數x的取值范圍；（2）利用￢p是￢q的充分不必要條件，即q是p的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．試題解析：(1)由得，又，所以，當時，，即為真時實數的取值范圍為.為真時實數的取值范圍是，若為真，則真真，所以實數的取值范圍是.（2）是的充分不必要條件，即，等價于，設，，則是的真子集；則，且所以實數的取值范圍是.21、(1)當a≤0，在（0，2）上單調遞增，在（2，+∞）遞減；當，在（0，2）和上單調遞增，在（2，）遞減；當a=，在（0，+∞）遞增；當a＞，在（0，）和（2，+∞）上單調遞增，在（，2）遞減；(2).【解題分析】

（1）求出，分四種情況討論的范圍，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數增區(qū)間，求得的范圍，可得函數的減區(qū)間；（2）由（1）知當時，單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為，又，取，可證明，有兩個零點等價于，得，可證明，當時與當且時，至多一個零點，綜合討論結果可得結論.【題目詳解】（1）的定義域為，，（i）當時，恒成立，時，在上單調遞增；時，在上單調遞減.（ii）當時，由得，（舍去），①當，即時，恒成立，在上單調遞增；②當，即時，或，恒成立，在上單調遞增；時，恒成