山西省翼城中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末聯(lián)考試題含解析

山西省翼城中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末聯(lián)考試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某工件的三視圖如圖所示，現(xiàn)將該工件通過切削，加工成一個體積盡可能大的長方體新工件，并使新工件的一個面落在原工件的一個面內(nèi)，則原工件材料的利用率為（）（）A． B． C． D．2．對于實數(shù)和，定義運算“*”：設(shè)，且關(guān)于的方程為恰有三個互不相等的實數(shù)根、、，則的取值范圍是（）A.B.C.D.3．已知函數(shù)，設(shè)，則A． B．C． D．4．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則（）A． B． C． D．5．設(shè)，是拋物線上兩點，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點，已知弦的中點的橫坐標(biāo)為3，記直線和的斜率分別為和，則的最小值為（）A． B．2 C． D．16．若實數(shù)a,b滿足a+b<0，則()A．a(chǎn),b都小于0B．a(chǎn),b都大于0C．a(chǎn),b中至少有一個大于0D．a(chǎn),b中至少有一個小于07．一個樣本數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為：13，14，19，x，23，27，28，31，其中，中位數(shù)為22，則x等于（）A．21 B．22 C．23 D．248．已知是定義在上的函數(shù)，且對任意的都有，，若角滿足不等式，則的取值范圍是（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，則使得成立的x的取值范圍是（）A． B． C． D．10．“所有9的倍數(shù)都是3的倍數(shù).某數(shù)是9的倍數(shù)，故該數(shù)為3的倍數(shù)，”上述推理A．完全正確 B．推理形式不正確C．錯誤，因為大小前提不一致 D．錯誤，因為大前提錯誤11．已知函數(shù)，則函數(shù)g（x）＝xf（x）﹣1的零點的個數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．512．若集合M＝{1，3}，N＝{1，3，5}，則滿足M∪X＝N的集合X的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．對于自然數(shù)方冪和，，，求和方法如下：，，…，將上面各式左右兩邊分別相加，就會有，解得，類比以上過程可以求得，且與無關(guān)，則的值為__________．14．矩陣的逆矩陣為__________.15．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且對任意的實數(shù)都有(是自然對數(shù)的底數(shù))，且，若關(guān)于的不等式的解集中恰有兩個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是_________．16．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，，過拋物線上一點作的垂線，垂足為，與相交于點.若，且的面積為，則的值為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，.已知，，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.18．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C:的焦點為F1（–1、0），F(xiàn)2（1，0）．過F2作x軸的垂線l，在x軸的上方，l與圓F2:交于點A，與橢圓C交于點D.連結(jié)AF1并延長交圓F2于點B，連結(jié)BF2交橢圓C于點E，連結(jié)DF1．已知DF1=．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求點E的坐標(biāo)．19．（12分）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.若不等式對任意實數(shù)x恒成立，則稱函數(shù)是“超導(dǎo)函數(shù)”.（1）請舉一個“超導(dǎo)函數(shù)”的例子，并加以證明；（2）若函數(shù)與都是“超導(dǎo)函數(shù)”，且其中一個在R上單調(diào)遞增，另一個在R上單調(diào)遞減，求證：函數(shù)是“超導(dǎo)函數(shù)”；（3）若函數(shù)是“超導(dǎo)函數(shù)”且方程無實根，（e為自然對數(shù)的底數(shù)），判斷方程的實數(shù)根的個數(shù)并說明理由.20．（12分）已知曲線的極坐標(biāo)方程為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線截曲線所得的弦長為，求的值.21．（12分）甲乙兩名選手在同一條件下射擊，所得環(huán)數(shù)的分布列分別為678910P0.160.140.420.10.18678910P0.190.240.120.280.17（I）分別求兩名選手射擊環(huán)數(shù)的期望；（II）某比賽需從二人中選一人參賽，已知對手的平均水平在7.5環(huán)左右，你認(rèn)為選誰參賽獲勝可能性更大一些？22．（10分）已知函數(shù)f(x)＝3x，f(a＋2)＝81，g(x)＝.(1)求g(x)的解析式并判斷g(x)的奇偶性；(2)求函數(shù)g(x)的值域.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】試題分析：分析題意可知，問題等價于圓錐的內(nèi)接長方體的體積的最大值，設(shè)長方體體的長，寬，高分別為，，，長方體上底面截圓錐的截面半徑為，則，如下圖所示，圓錐的軸截面如圖所示，則可知，而長方體的體積，當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號成立，此時利用率為，故選A.考點：1.圓錐的內(nèi)接長方體；2.基本不等式求最值.【名師點睛】本題主要考查立體幾何中的最值問題，與實際應(yīng)用相結(jié)合，立意新穎，屬于較難題，需要考生從實際應(yīng)用問題中提取出相應(yīng)的幾何元素，再利用基本不等式求解，解決此類問題的兩大核心思路：一是化立體問題為平面問題，結(jié)合平面幾何的相關(guān)知識求解；二是建立目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)思想，選擇合理的變量，或利用導(dǎo)數(shù)或利用基本不等式，求其最值.2、A【解題分析】試題分析：當(dāng)時，即當(dāng)時，，當(dāng)時，即當(dāng)時，，所以，如下圖所示，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)直線與曲線有三個公共點時，，設(shè)，則且，，且，所以，因此，所以，，故選A.考點：1.新定義；2.分段函數(shù)；3.函數(shù)的圖象與零點3、D【解題分析】

對函數(shù)求導(dǎo)，得出函數(shù)在上單調(diào)遞減，利用中間值法比較、、的大小關(guān)系，利用函數(shù)的單調(diào)性得出、、三個數(shù)的大小關(guān)系．【題目詳解】，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，，即，，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此，，故選D.【題目點撥】本題考查函數(shù)值的大小比較，這類問題需要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及自變量的大小，其中單調(diào)性可以利用導(dǎo)數(shù)來考查，本題中自變量的結(jié)構(gòu)不相同，可以利用中間值法來比較，考查推理能力，屬于中等題．4、C【解題分析】

對進(jìn)行化簡，得到標(biāo)準(zhǔn)形式，在根據(jù)復(fù)數(shù)模長的公式，得到【題目詳解】對復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡所以【題目點撥】考查復(fù)數(shù)的基本運算和求復(fù)數(shù)的模長，屬于簡單題.5、D【解題分析】

設(shè)，運用點差法和直線的斜率公式和中點坐標(biāo)公式，可得，再由基本不等式可得所求最小值．【題目詳解】設(shè)，可得，相減可得，可得，又由，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即的最小值為.故選：D．【題目點撥】本題主要考查了拋物線的方程和性質(zhì)，考查直線的斜率公式和點差法的運用，以及中點坐標(biāo)公式，考查方程思想和運算能力，屬于基礎(chǔ)題．6、D【解題分析】假設(shè)a,b都不小于0,即a≥0,b≥0,則a+b≥0,這與a+b<0相矛盾,因此假設(shè)錯誤,即a,b中至少有一個小于0.7、A【解題分析】

這組數(shù)據(jù)共有8個，得到這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是最中間兩個數(shù)字的平均數(shù)，列出中位數(shù)的表示式，得到關(guān)于x的方程，解方程即可．【題目詳解】由條件可知數(shù)字的個數(shù)為偶數(shù)，∴這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是最中間兩個數(shù)字的平均數(shù)，∴中位數(shù)22，∴x＝21故選A．【題目點撥】本題考查了中位數(shù)的概念及求解方法，屬于基礎(chǔ)題．8、A【解題分析】

構(gòu)造新函數(shù)，由可得為單調(diào)減函數(shù)，由可得為奇函數(shù)，從而解得的取值范圍.【題目詳解】解：令因為，所以為R上的單調(diào)減函數(shù)，又因為，所以，即，即，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故，即為，化簡得，即，即，由單調(diào)性有，解得，故選A.【題目點撥】本題考查了函數(shù)性質(zhì)的綜合運用，解題的關(guān)鍵是由題意構(gòu)造出新函數(shù)，研究其性質(zhì)，從而解題.9、C【解題分析】

轉(zhuǎn)化函數(shù)，證明函數(shù)單調(diào)性，奇偶性，再轉(zhuǎn)化為，即，求解即可.【題目詳解】由題意，函數(shù)，定義域為R，故為偶函數(shù)令，在單調(diào)遞增，且在單調(diào)遞增則因此故選：C【題目點撥】本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性在解不等式中的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于較難題.10、A【解題分析】

根據(jù)三段論定義即可得到答案.【題目詳解】根據(jù)題意，符合邏輯推理三段論，于是完全正確，故選A.【題目點撥】本題主要考查邏輯推理，難度不大.11、B【解題分析】

由g（x）＝xf（x）﹣1＝0得f（x），根據(jù)條件作出函數(shù)f（x）與h（x）的圖象，研究兩個函數(shù)的交點個數(shù)即可得到結(jié)論．【題目詳解】由g（x）＝xf（x）﹣1＝0得xf（x）＝1，當(dāng)x＝0時，方程xf（x）＝1不成立，即x≠0，則等價為f（x）＝，當(dāng)2＜x≤4時，0＜x﹣2≤2，此時f（x）＝f（x﹣2）＝（1﹣|x﹣2﹣1|）＝﹣|x﹣3|，當(dāng)4＜x≤6時，2＜x﹣2≤4，此時f（x）＝f（x﹣2）＝[﹣|x﹣2﹣3|]＝﹣|x﹣5|，作出f（x）的圖象如圖，則f（1）＝1，f（3）＝f（1）＝，f（5）＝f（3）＝，設(shè)h（x）＝，則h（1）＝1，h（3）＝，h（5）＝＞f（5），作出h（x）的圖象，由圖象知兩個函數(shù)圖象有3個交點，即函數(shù)g（x）的零點個數(shù)為3個，故選：B．【題目點撥】本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用條件轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．12、D【解題分析】可以是共4個，選D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解題分析】分析：利用類比法先求出，再求，從而得到答案.詳解：利用類比法：，，，…，將上面各式左右兩邊分別相加，就會有，解得；繼續(xù)使用類比法：，，，…，將上面各式左右兩邊分別相加，就會有，解得，.故答案為：.點睛：類比推理應(yīng)用的類型及相應(yīng)方法類比推理的應(yīng)用一般為類比定義、類比性質(zhì)和類比方法．(1)類比定義：在求解由某種熟悉的定義產(chǎn)生的類比推理型試題時，可以借助原定義來求解；(2)類比性質(zhì)：從一個特殊式子的性質(zhì)、一個特殊圖形的性質(zhì)入手，提出類比推理型問題，求解時要認(rèn)真分析兩者之間的聯(lián)系與區(qū)別，深入思考兩者的轉(zhuǎn)化過程是求解的關(guān)鍵；(3)類比方法：有一些處理問題的方法具有類比性，可以把這種方法類比應(yīng)用到其他問題的求解中，注意知識的遷移．14、【解題分析】

通過逆矩陣的定義構(gòu)建方程組即可得到答案.【題目詳解】由逆矩陣的定義知：,設(shè)，由題意可得：，即解得，因此.【題目點撥】本題主要考查逆矩陣的相關(guān)計算，難度不大.15、【解題分析】

由得，即.設(shè)，由得，從而.判斷函數(shù)的單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合求實數(shù)的取值范圍.【題目詳解】，即.設(shè).,.由，得；由，得或，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，如圖所示當(dāng)時，.又，且時，，由圖象可知，要使不等式的解集中恰有兩個整數(shù)，需滿足，即.所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【題目點撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.16、【解題分析】

由題意知可求的坐標(biāo)．由于軸，，，可得，．利用拋物線的定義可得，代入可取，再利用，即可得出的值.【題目詳解】解：如圖所示，，，.與軸平行，，，．，解得，代入可取，，解得．故答案為:．【題目點撥】本題考查了拋物線的定義及其性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形面積計算公式.本題的關(guān)鍵在于求出的坐標(biāo)后，如何根據(jù)已知面積列出方程.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）由于，計算出再通過正弦定理即得答案；（Ⅱ）可先求出，然后利用和差公式即可求得答案.【題目詳解】（Ⅰ）解：，且，∴，又，∴，由正弦定理,得，∴的值為.（Ⅱ）由題意可知，，∴,.【題目點撥】本題主要考查三角恒等變換，正弦定理的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生的分析能力，計算能力，難度不大.18、（1）；（2）.【解題分析】

(1)由題意分別求得a,b的值即可確定橢圓方程；(2)解法一：由題意首先確定直線的方程，聯(lián)立直線方程與圓的方程，確定點B的坐標(biāo)，聯(lián)立直線BF2與橢圓的方程即可確定點E的坐標(biāo)；解法二：由題意利用幾何關(guān)系確定點E的縱坐標(biāo)，然后代入橢圓方程可得點E的坐標(biāo).【題目詳解】（1）設(shè)橢圓C的焦距為2c.因為F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.又因為DF1=，AF2⊥x軸，所以DF2=，因此2a=DF1+DF2=4，從而a=2.由b2=a2-c2，得b2=3.因此，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）解法一：由（1）知，橢圓C：，a=2，因為AF2⊥x軸，所以點A的橫坐標(biāo)為1.將x=1代入圓F2的方程(x-1)2+y2=16，解得y=±4.因為點A在x軸上方，所以A(1，4).又F1(-1，0)，所以直線AF1：y=2x+2.由，得，解得或.將代入，得，因此.又F2(1，0)，所以直線BF2：.由，得，解得或.又因為E是線段BF2與橢圓的交點，所以.將代入，得.因此.解法二：由（1）知，橢圓C：.如圖，連結(jié)EF1.因為BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，從而∠BF1E=∠B.因為F2A=F2B，所以∠A=∠B，所以∠A=∠BF1E，從而EF1∥F2A.因為AF2⊥x軸，所以EF1⊥x軸.因為F1(-1，0)，由，得.又因為E是線段BF2與橢圓的交點，所以.因此.【題目點撥】本題主要考查直線方程、圓的方程、橢圓方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓及橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、分析問題能力和運算求解能力.19、(1)見解析.(2)見解析.(3)見解析.【解題分析】分析：（1）根據(jù)定義舉任何常數(shù)都可以；（2）∵，∴，即證-在R上成立即可；（3）構(gòu)造函數(shù)，因為是“超導(dǎo)函數(shù)”，∴對任意實數(shù)恒成立，而方程無實根，故恒成立，所以在上單調(diào)遞減，故方程等價于，即，設(shè)，分析函數(shù)單調(diào)性結(jié)合零點定理即可得出結(jié)論.詳解：（1）舉例：函數(shù)是“超導(dǎo)函數(shù)”，因為，，滿足對任意實數(shù)恒成立，故是“超導(dǎo)函數(shù)”.注：答案不唯一，必須有證明過程才能給分，無證明過程的不給分.（2）∵，∴，∴因為函數(shù)與都是“超導(dǎo)函數(shù)”，所以不等式與對任意實數(shù)都恒成立，故，，①而與一個在上單調(diào)遞增，另一個在上單調(diào)遞減，故，②由①②得對任意實數(shù)都恒成立，所以函數(shù)是“超導(dǎo)函數(shù)”.（3）∵，所以方程可化為，設(shè)函數(shù)，，則原方程即為，③因為是“超導(dǎo)函數(shù)”，∴對任意實數(shù)恒成立，而方程無實根，故恒成立，所以在上單調(diào)遞減，故方程③等價于，即，設(shè)，，則在上恒成立，故在上單調(diào)