建模講義-微分方程

微分方程模

型河南科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院動態(tài)模型

描述對象特征隨時間(空間)的演變過程

分析對象特征的變化規(guī)律

預(yù)報對象特征的未來性態(tài)

研究控制對象特征的手段根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系確定函數(shù)微分方程建模根據(jù)建模目的和問題分析作出簡化假設(shè)按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程微分方程的幾個簡單實例

在許多實際問題中，當直接導出變量之間的函數(shù)關(guān)系較為困難，但導出包含未知函數(shù)的導數(shù)或微分的關(guān)系式較為容易時，可用建立微分方程模型的方法來研究該問題，本節(jié)將通過一些最簡單的實例來說明微分方程建模的一般方法。在連續(xù)變量問題的研究中，微分方程是十分常用的數(shù)學工具之一。例1

（理想單擺運動）建立理想單擺運動滿足的微分方程，并得出理想單擺運動的周期公式。

從圖3-1中不難看出，小球所受的合力為mgsinθ，根據(jù)牛頓第二定律可得：

從而得出兩階微分方程：

（3.1）這是理想單擺應(yīng)滿足的運動方程

（3.1）是一個兩階非線性方程，不易求解。當θ很小時，sinθ≈θ，此時，可考察（3.1）的近似線性方程：

（3.2）由此即可得出

（3.2）的解為:θ(t)=θ0cosωt

其中當時,θ(t)=0故有MQPmg圖3-1

（3.1）的近似方程例2

我方巡邏艇發(fā)現(xiàn)敵方潛水艇。與此同時敵方潛水艇也發(fā)現(xiàn)了我方巡邏艇，并迅速下潛逃逸。設(shè)兩艇間距離為60哩，潛水艇最大航速為30節(jié)而巡邏艇最大航速為60節(jié)，問巡邏艇應(yīng)如何追趕潛水艇。

這一問題屬于對策問題，較為復雜。討論以下簡單情形：敵潛艇發(fā)現(xiàn)自己目標已暴露后，立即下潛，并沿著直線方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。設(shè)巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)位于B處的潛水艇，取極坐標，以B為極點，BA為極軸，設(shè)巡邏艇追趕路徑在此極坐標下的方程為r=r(θ)，見圖3-2。BAA1drdsdθθ圖3-2由題意，，故ds=2dr圖3-2可看出，故有:即:（3.3）解為：（3.4）先使自己到極點的距離等于潛艇到極點的距離,然后按（3.4）對數(shù)螺線航行，即可追上潛艇。追趕方法如下：例3

一個半徑為Rcm的半球形容器內(nèi)開始時盛滿了水，但由于其底部一個面積為Scm2的小孔在t=0時刻被打開，水被不斷放出。問：容器中的水被放完總共需要多少時間？解:以容器的底部O點為原點，取坐標系如圖3.3所示。令h(t)為t時刻容器中水的高度，現(xiàn)建立h(t)滿足的微分方程。設(shè)水從小孔流出的速度為v(t)，由力學定律，在不計水的內(nèi)部磨擦力和表面張力的假定下，有：因體積守衡，又可得：易見：故有：

即：這是可分離變量的一階微分方程，得RxySO圖3-3hr

為了保持自然資料的合理開發(fā)與利用，人類必須保持并控制生態(tài)平衡，甚至必須控制人類自身的增長。本節(jié)將建立幾個簡單的單種群增長模型，以簡略分析一下這方面的問題。

種群的數(shù)量本應(yīng)取離散值，但由于種群數(shù)量一般較大，為建立微分方程模型，可將種群數(shù)量看作連續(xù)變量,由此引起的誤差將是十分微小的。

Malthus模型與Logistic模型馬爾薩斯（Malthus）模型

馬爾薩斯在分析人口出生與死亡情況的資料后發(fā)現(xiàn)，人口凈增長率r基本上是一常數(shù)，（r=b-d,b為出生率，d為死亡率）,即：

或（3.5）

（3.6）

（3.1）的解為：其中N0=N(t0)為初始時刻t0時的種群數(shù)。

馬爾薩斯模型的一個顯著特點：種群數(shù)量翻一番所需的時間是固定的。令種群數(shù)量翻一番所需的時間為T，則有：故模型檢驗

比較歷年的人口統(tǒng)計資料，可發(fā)現(xiàn)人口增長的實際情況與馬爾薩斯模型的預(yù)報結(jié)果基本相符，例如，1961年世界人口數(shù)為30.6（即3.06×109），人口增長率約為2%，人口數(shù)大約每35年增加一倍。檢查1700年至1961的260年人口實際數(shù)量，發(fā)現(xiàn)兩者幾乎完全一致，且按馬氏模型計算，人口數(shù)量每34.6年增加一倍，兩者也幾乎相同。模型預(yù)測假如人口數(shù)真能保持每34.6年增加一倍，那么人口數(shù)將以幾何級數(shù)的方式增長。例如，到2510年，人口達2×1014個，即使海洋全部變成陸地，每人也只有9.3平方英尺的活動范圍，而到2670年，人口達36×1015個，只好一個人站在另一人的肩上排成二層了。故馬爾薩斯模型是不完善的。幾何級數(shù)的增長所以Malthus模型假設(shè)的人口凈增長率不可能始終保持常數(shù)，它應(yīng)當與人口數(shù)量有關(guān)。Malthus模型實際上只有在群體總數(shù)不太大時才合理，到總數(shù)增大時，生物群體的各成員之間由于有限的生存空間，有限的自然資源及食物等原因，就可能發(fā)生生存競爭等現(xiàn)象。Logistic模型

人口凈增長率應(yīng)當與人口數(shù)量有關(guān)，即：r=r(N)

從而有：（3.7）r(N)是未知函數(shù)，但根據(jù)實際背景，它無法用擬合方法來求。為了得出一個有實際意義的模型，我們不妨采用一下工程師原則。工程師們在建立實際問題的數(shù)學模型時，總是采用盡可能簡單的方法。r(N)是未知函數(shù)，但根據(jù)實際背景，它無法用擬合方法來求。為了得出一個有實際意義的模型，我們不妨采用一下工程師原則。工程師們在建立實際問題的數(shù)學模型時，總是采用盡可能簡單的方法。r(N)最簡單的形式是常數(shù)，此時得到的就是馬爾薩斯模型。對馬爾薩斯模型的最簡單的改進就是引進一次項（競爭項）對馬爾薩斯模型引入一次項（競爭項），令r(N)=r-aN

此時得到微分方程：

或（3.8）

（3.8）被稱為Logistic模型或生物總數(shù)增長的統(tǒng)計籌算律，是由荷蘭數(shù)學生物學家弗赫斯特（Verhulst）首先提出的。一次項系數(shù)是負的，因為當種群數(shù)量很大時，會對自身增大產(chǎn)生抑制性，故一次項又被稱為競爭項。r(N)最簡單的形式是常數(shù)，此時得到的就是馬爾薩斯模型。對馬爾薩斯模型的最簡單的改進就是引進一次項（競爭項）r(N)是未知函數(shù)，但根據(jù)實際背景，它無法用擬合方法來求。（3.8）可改寫成：

（3.9）

(3.9)式還有另一解釋，由于空間和資源都是有限的，不可能供養(yǎng)無限增長的種群個體，當種群數(shù)量過多時，由于人均資源占有率的下降及環(huán)境惡化、疾病增多等原因，出生率將降低而死亡率卻會提高。設(shè)環(huán)境能供養(yǎng)的種群數(shù)量的上界為K（近似地將K看成常數(shù)），N表示當前的種群數(shù)量，K-N恰為環(huán)境還能供養(yǎng)的種群數(shù)量，（3.9）指出，種群增長率與兩者的乘積成正比，正好符合統(tǒng)計規(guī)律，得到了實驗結(jié)果的支持，這就是（3.9）也被稱為統(tǒng)計籌算律的原因。圖3-5對（3.9）分離變量：兩邊積分并整理得：令N(0)=N0，求得：故（3.9）的滿足初始條件N(0)=N0的解為：（3.10）易見：

N(0)=N0

，N(t)的圖形請看圖3-5模型檢驗

用Logistic模型來描述種群增長的規(guī)律效果如何呢？1945年克朗皮克（Crombic）做了一個人工飼養(yǎng)小谷蟲的實驗，數(shù)學生物學家高斯（E·F·Gauss）也做了一個原生物草履蟲實驗，實驗結(jié)果都和Logistic曲線十分吻合。

大量實驗資料表明用Logistic模型來描述種群的增長，效果還是相當不錯的。例如，高斯把5只草履蟲放進一個盛有0.5cm3營養(yǎng)液的小試管，他發(fā)現(xiàn)，開始時草履蟲以每天230.9%的速率增長，此后增長速度不斷減慢，到第五天達到最大量375個，實驗數(shù)據(jù)與r=2.309，a=0.006157，N(0)=5的Logistic曲線：

幾乎完全吻合，見圖3-6。

圖3-6Malthus模型和Logistic模型的總結(jié)

Malthus模型和Logistic模型均為對微分方程（3.7）所作的模擬近似方程。前一模型假設(shè)了種群增長率r為一常數(shù)，（r被稱為該種群的內(nèi)稟增長率）。后一模型則假設(shè)環(huán)境只能供養(yǎng)一定數(shù)量的種群，從而引入了一個競爭項。

用模擬近似法建立微分方程來研究實際問題時必須對求得的解進行檢驗，看其是否與實際情況相符或基本相符。相符性越好則模擬得越好，否則就得找出不相符的主要原因，對模型進行修改。

Malthus模型與Logistic模型雖然都是為了研究種群數(shù)量的增長情況而建立的，但它們也可用來研究其他實際問題，只要這些實際問題的數(shù)學模型有相同的微分方程即可。歷史背景:贗品的鑒定在第二次世界大戰(zhàn)比利時解放以后，荷蘭野戰(zhàn)軍保安機關(guān)開始搜捕納粹同謀犯。他們從一家曾向納粹德國出賣過藝術(shù)品的公司中發(fā)現(xiàn)線索，于1945年5月29日以通敵罪逮捕了三流畫家范·梅格倫（H·A·Vanmeegren），此人曾將17世紀荷蘭名畫家揚·弗米爾（JanVeermeer）的油畫“捉奸”等賣給納粹德國戈林的中間人?？墒?，范·梅格倫在同年7月12日在牢里宣稱：他從未把“捉奸”賣給戈林，而且他還說，這一幅畫和眾所周知的油畫“在埃牟斯的門徒”以及其他四幅冒充弗米爾的油畫和兩幅德胡斯（17世紀荷蘭畫家）的油畫，都是他自己的作品，這件事在當時震驚了全世界，為了證明自己是一個偽造者，他在監(jiān)獄里開始偽造弗米爾的油畫“耶穌在門徒們中間”，當這項工作接近完成時，范·梅格倫獲悉自己的通敵罪已被改為偽造罪，因此他拒絕將這幅畫變陳，以免留下罪證。

為了審理這一案件，法庭組織了一個由著名化學家、物理學家和藝術(shù)史學家組成的國際專門小組查究這一事件。他們用X射線檢驗畫布上是否曾經(jīng)有過別的畫。此外，他們分析了油彩中的拌料（色粉），檢驗油畫中有沒有歷經(jīng)歲月的跡象。科學家們終于在其中的幾幅畫中發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)代顏料鈷蘭的痕跡，還在幾幅畫中檢驗出了20世紀初才發(fā)明的酚醛類人工樹脂。根據(jù)這些證據(jù)，范·梅格倫于1947年10月12日被宣告犯有偽造罪，被判刑一年。可是他在監(jiān)獄中只待了兩個多月就因心臟病發(fā)作，于1947年12月30日死去。

歷史背景:

然而，事情到此并未結(jié)束，許多人還是不肯相信著名的“在埃牟斯的門徒”是范·梅格倫偽造的。事實上，在此之前這幅畫已經(jīng)被文物鑒定家認定為真跡，并以17萬美元的高價被倫布蘭特學會買下。專家小組對于懷疑者的回答是：由于范·梅格倫曾因他在藝術(shù)界中沒有地位而十分懊惱，他下決心繪制“在埃牟斯的門徒”，來證明他高于三流畫家。當創(chuàng)造出這樣的杰作后，他的志氣消退了。而且，當他看到這幅“在埃牟斯的門徒”多么容易賣掉以后，他在炮制后來的偽制品時就不太用心了

。這種解釋不能使懷疑者感到滿意，他們要求完全科學地、確定地證明“在埃牟斯的門徒”的確是一個偽造品。這一問題一直拖了20年，直到1967年，才被卡內(nèi)基·梅倫（Carnegie-Mellon）大學的科學家們

基本上解決。

歷史背景:原理與模型

測定油畫和其他巖石類材料的年齡的關(guān)鍵是本世紀初發(fā)現(xiàn)的放射性現(xiàn)象。

放射性現(xiàn)象：著名物理學家盧瑟夫在本世紀初發(fā)現(xiàn)，某些“放射性”元素的原子是不穩(wěn)定的，并且在已知的一段時間內(nèi)，有一定比例的原子自然蛻變而形成新元素的原子，且物質(zhì)的放射性與所存在的物質(zhì)的原子數(shù)成正比。

用N(t)表示時間t時存在的原子數(shù),則：

常數(shù)λ是正的，稱為該物質(zhì)的衰變常數(shù)用λ來計算半衰期T:與負增長的Malthus模型完全一樣

其解為:

令則有:許多物質(zhì)的半衰期已被測定，如碳14，其T=5568；鈾238，其T=45億年。與本問題相關(guān)的其他知識:

(1)藝術(shù)家們應(yīng)用白鉛作為顏料之一，已達兩千年以上。白鉛中含有微量的放射鉛210，白鉛是從鉛礦中提煉出來的，而鉛又屬于鈾系，其演變簡圖如下（刪去了許多中間環(huán)節(jié)）鈾238-45億年->釷234-24天->釙234-6/5分->鈾234-257億年->釷230-8萬年->鐳226-1600年->氡222-19/5天->釙218-3分->鉛214-27分->釙214-<1s->鉛210-20年->鉍210-5天->釙210-138天->鉛206（一種非放射性物質(zhì)）注：時間均為半衰期

(3)從鉛礦中提煉鉛時，鉛210與鉛206一起被作為鉛留下，而其余物質(zhì)則有90—95%被留在礦渣里，因而打破了原有的放射性平衡。

(2)地殼里幾乎所有的巖石中均含有微量的鈾。一方面，鈾系中的各種放射性物質(zhì)均在不斷衰減，而另一方面，鈾又不斷地衰減，補充著其后繼元素。各種放射性物質(zhì)（除鈾以外）在巖石中處于放射性平衡中。根據(jù)世界各地抽樣測量的資料，地殼中的鈾在鈾系中所占平均重量比約為百萬分之2.7（一般含量極微）。各地采集的巖石中鈾的含量差異很大，但從未發(fā)現(xiàn)含量高于2—3%的。簡化假定：本問題建模是為了鑒定幾幅不超過300年的古畫，為了使模型盡可能簡單，可作如下假設(shè)：

(1)由于鐳的半衰期為1600年，經(jīng)過300年左右，應(yīng)用微分方程方法不難計算出白鉛中的鐳至少還有原量的90%，故可以假定，每克白鉛中的鐳在每分鐘里的分解數(shù)是一個常數(shù)。

(2)鉛210的衰變?yōu)椋?/p>

鉛210T=22年釙210鉛206T=138天若畫為真品，顏料應(yīng)有300年左右或300年以上的歷史，容易證明：每克白鉛中釙210的分解數(shù)等于鉛210的分解數(shù)（相差極微，已無法區(qū)別）?？捎们罢叽婧笳?，因釙的半衰期較短，易于測量。建模：

(1)記提煉白鉛的時刻為t=0，當時每克白鉛中鉛210的分子數(shù)為y0，由于提煉前巖石中的鈾系是處于放射性平衡的，故鈾與鉛的單位時間分解數(shù)相同?？梢酝扑愠霎敃r每克白鉛中鉛210每分鐘分解數(shù)不能大于30000個。若則（個）這些鈾約重

（克）即每克白鉛約含0.04克鈾，含量為4%以上確定了每克白鉛中鉛分解數(shù)的上界，若畫上的鉛分解數(shù)大于該值，說明畫是贗品；但若是小于不能斷定畫一定是真品。

(2)設(shè)t時刻1克白鉛中鉛210含量為y(t)，而鐳的單位時間分解數(shù)為r（常數(shù)），則y(t)滿足微分方程：

由此解得：故：畫中每克白鉛所含鉛210目前的分解數(shù)λy(t)及目前鐳的分解數(shù)r均可用儀器測出，從而可求出λy0的近似值，并利用(1)判斷這樣的分解數(shù)是否合理。Carnegie-Mellon大學的科學家們利用上述模型對部分有疑問的油畫作了鑒定，測得數(shù)據(jù)如下（見表3-1）。油畫名稱210分解數(shù)（個/分）鐳226分解數(shù)（個/分）1、在埃牟斯的門徒

8.50.82、濯足12.60.263、看樂譜的女人10.30.34、演奏曼陀琳的女人8.20.175、花邊織工1.51.46、笑女5.26.0計算λy0

（個/分）980501571301273401022501274.8-10181表3-1對“在埃牟斯的門徒”，λy0≈98050（個/每克每分鐘），它必定是一幅偽造品。類似可以判定（2），（3），（4）也是贗品。而（5）和（6）都不會是幾十年內(nèi)偽制品，因為放射性物質(zhì)已處于接近平衡的狀態(tài)，這樣的平衡不可能發(fā)生在十九世紀和二十世紀的任何作品中。判定結(jié)果：利用放射原理，還可以對其他文物的年代進行測定。例如對有機物（動、植物）遺體，考古學上目前流行的測定方法是放射性碳14測定法，這種方法具有較高的精確度，其基本原理是：由于大氣層受到宇宙線的連續(xù)照射，空氣中含有微量的中微子，它們和空氣中的氮結(jié)合，形成放射性碳14（C14）。有機物存活時，它們通過新陳代謝與外界進行物質(zhì)交換，使體內(nèi)的C14處于放射性平衡中。一旦有機物死亡，新陳代謝終止，放射性平衡即被破壞。因而，通過對比測定，可以估計出它們生存的年代。例如，1950年在巴比倫發(fā)現(xiàn)一根刻有Hammurabi王朝字樣的木炭，經(jīng)測定，其C14衰減數(shù)為4.09個/每克每分鐘，而新砍伐燒成的木炭中C14衰減數(shù)為6.68個/每克每分鐘，C14的半衰期為5568年，由此可以推算出該王朝約存在于3900-4000年前。

新產(chǎn)品的推廣

經(jīng)濟學家和社會學家一直很關(guān)心新產(chǎn)品的推銷速度問題。怎樣建立一個數(shù)學模型來描述它，并由此析出一些有用的結(jié)果以指導生產(chǎn)呢？以下是第二次世界大戰(zhàn)后日本家電業(yè)界建立的電飯煲銷售模型。

設(shè)需求量有一個上界，并記此上界為K，記t時刻已銷售出的電飯煲數(shù)量為x(t)，則尚未使用的人數(shù)大致為K－x(t)，于是由統(tǒng)計籌算律：記比例系數(shù)為k，則x(t)滿足：

此方程即Logistic模型，解為：

還有兩個奇解:x=0和x=K

對x(t)求一階、兩階導數(shù)：x’(t)>0，即x(t)單調(diào)增加。令x’’(t0)=0，有當t<t0時，x’(t)單調(diào)增加，當t>t0時，x’(t)單調(diào)減小。在銷出量小于最大需求量的一半時，銷售速度是不斷增大的，銷出量達到最大需求量的一半時，該產(chǎn)品最為暢銷，接著銷售速度將開始下降。所以初期應(yīng)采取小批量生產(chǎn)并加以廣告宣傳；從有20%用戶到有80%用戶這段時期，應(yīng)該大批量生產(chǎn)；后期則應(yīng)適時轉(zhuǎn)產(chǎn)，這樣做可以取得較高的經(jīng)濟效果。

傳染病模型傳染病是人類的大敵，通過疾病傳播過程中若干重要因素之間的聯(lián)系建立微分方程加以討論，研究傳染病流行的規(guī)律并找出控制疾病流行的方法顯然是一件十分有意義的工作。在本節(jié)中，我們將主要用多房室系統(tǒng)的觀點來看待傳染病的流行，并建立起相應(yīng)的多房室模型。

醫(yī)生們發(fā)現(xiàn)，在一個民族或地區(qū)，當某種傳染病流傳時，波及到的總?cè)藬?shù)大體上保持為一個常數(shù)。即既非所有人都會得病也非毫無規(guī)律，兩次流行（同種疾?。┑牟叭藬?shù)不會相差太大。如何解釋這一現(xiàn)象呢？試用建模方法來加以證明。

問題的提出：設(shè)某地區(qū)共有n+1人，最初時刻共有i人得病，t時刻已感染（infective）的病人數(shù)為i(t)，假定每一已感染者在單位時間內(nèi)將疾病傳播給k個人（k稱為該疾病的傳染強度），且設(shè)此疾病既不導致死亡也不會康復模型1此模型即Malthus模型，它大體上反映了傳染病流行初期的病人增長情況，在醫(yī)學上有一定的參考價值，但隨著時間的推移，將越來越偏離實際情況。

已感染者與尚未感染者之間存在著明顯的區(qū)別，有必要將人群劃分成已感染者與尚未感染的易感染，對每一類中的個體則不加任何區(qū)分，來建立兩房室系統(tǒng)。

則可導出：故可得：

(3.15)

模型2記t時刻的病人數(shù)與易感染人數(shù)（susceptible）分別為i(t)與s(t)，初始時刻的病人數(shù)為i。根據(jù)病人不死也不會康復的假設(shè)及（競爭項）統(tǒng)計籌算律，其中：解得：（3.17）可得：（3.16）統(tǒng)計結(jié)果顯示，(3.17)預(yù)報結(jié)果比(3.15)更接近實際情況。醫(yī)學上稱曲線為傳染病曲線，并稱最大值時刻t1為此傳染病的流行高峰。令：得：此值與傳染病的實際高峰期非常接近，可用作醫(yī)學上的預(yù)報公式。

模型2仍有不足之處，它無法解釋醫(yī)生們發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象，且當時間趨與無窮時，模型預(yù)測最終所有人都得病，與實際情況不符。

為了使模型更精確，有必要再將人群細分，建立多房室系統(tǒng)infectiverecoveredsusceptiblekl

（3.18）

l稱為傳染病恢復系數(shù)求解過程如下：

對（3）式求導，由（1）、（2）得：解得：記：

則：將人群劃分為三類（見右圖）：易感染者、已感染者和已恢復者（recovered）。分別記t時刻的三類人數(shù)為s(t)、i(t)和r(t)，則可建立下面的三房室模型：模型3infectiverecoveredsusceptiblekl

由(1)式可得：

從而解得：積分得：（3.19）

不難驗證，當t→+∞時，r(t)趨向于一個常數(shù)，從而可以解釋醫(yī)生們發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象。

為揭示產(chǎn)生上述現(xiàn)象的原因（3.18）中的第（1）式改寫成：其中通常是一個與疾病種類有關(guān)的較大的常數(shù)。下面對

進行討論，請參見右圖如果，則有，此疾病在該地區(qū)根本流行不起來。如果，則開始時，i(t)單增。但在i(t)增加的同時，伴隨地有s(t)單減。當s(t)減少到小于等于時，i(t)開始減小，直至此疾病在該地區(qū)消失。鑒于在本模型中的作用，被醫(yī)生們稱為此疾病在該地區(qū)的閥值。的引入解釋了為什么此疾病沒有波及到該地區(qū)的所有人。圖3-14

綜上所述，模型3指出了傳染病的以下特征：（1）當人群中有人得了某種傳染病時，此疾病并不一定流傳，僅當易受感染的人數(shù)與超過閥值時，疾病才會流傳起來。（2）疾病并非因缺少易感染者而停止傳播，相反，是因為缺少傳播者才停止傳播的，否則將導致所有人得病。（3）種群不可能因為某種傳染病而絕滅。

模型檢驗：

醫(yī)療機構(gòu)一般依據(jù)r(t)來統(tǒng)計疾病的波及人數(shù)，從廣義上理解，r(t)為t時刻已就醫(yī)而被隔離的人數(shù)，是康復還是死亡對模型并無影響。及：注意到：可得：（3.20）

通常情況下，傳染病波及的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比不會太大，故一般是小量。利用泰勒公式展開取前三項，有：

代入（3.20）得近似方程：積分得：其中：這里雙曲正切函數(shù)：而：對r(t)求導：（3.21）曲線

在醫(yī)學上被稱為疾病傳染曲線。圖3-14給出了（3.21）式曲線的圖形，可用醫(yī)療單位每天實際登錄數(shù)進行比較擬合得最優(yōu)曲線。圖3-14（a）穩(wěn)定性問題

在研究許多實際問題時，人們最為關(guān)心的也許并非系統(tǒng)與時間有關(guān)的變化狀態(tài)，而是系統(tǒng)最終的發(fā)展趨勢。例如，在研究某頻危種群時，雖然我們也想了解它當前或今后的數(shù)量，但我們更為關(guān)心的卻是它最終是否會絕滅，用什么辦法可以拯救這一種群，使之免于絕種等等問題。要解決這類問題，需要用到微分方程或微分方程組的穩(wěn)定性理論。一般的微分方程或微分方程組可以寫成：定義

稱微分方程或微分方程組

為自治系統(tǒng)或動力系統(tǒng)。(3.28)

若方程或方程組f(x)=0有解Xo，X=Xo顯然滿足（3.28）。稱點Xo為微分方程或微分方程組（3.28)的平衡點或奇點。

本章第2節(jié)中的Logistic模型

共有兩個平衡點：N=0和N=K，分別對應(yīng)微分方程的兩兩個特殊解。前者為No=0時的解而后者為No=K時的解。

當No<K時，積分曲線N=N(t)位于N=K的下方；當No>K時，則位于N=K的上方。從圖3-17中不難看出，若No>0，積分曲線在N軸上的投影曲線（稱為軌線）將趨于K。這說明，平衡點N=0和N=K有著極大的區(qū)別。圖3-17

定義1

自治系統(tǒng)的相空間是指以（x1,…,xn）為坐標的空間Rn。特別，當n=2時，稱相空間為相平面。空間Rn的點集{(x1,…,xn)}|xi=xi(t)滿足(3.28)，i=1,…,n}稱為系統(tǒng)的軌線，所有軌線在相空間的分布圖稱為相圖。定義2

設(shè)x0是（3.28）的平衡點，稱：

（1）x0是穩(wěn)定的，如果對于任意的ε>0，存在一個δ>0，只要|x(0)-x0|<δ，就有|x(t)-x0|<ε對所有的t都成立。

（2）x0是漸近穩(wěn)定的，如果它是穩(wěn)定的且。

微分方程平衡點的穩(wěn)定性除了幾何方法，還可以通過解析方法來討論，所用工具為以下一些定理。

（3）x0是不穩(wěn)定的，如果（1）不成立。根據(jù)這一定義，Logistic方程的平衡點N=K是穩(wěn)定的且為漸近穩(wěn)定的，而平衡點N=0則是不穩(wěn)定的。

解析方法定理1設(shè)xo是微分方程的平衡點：若,則xo是漸近穩(wěn)定的若,則xo是漸近不穩(wěn)定的證由泰勒公式，當x與xo充分接近時，有：由于xo是平