2023-2024學(xué)年湘教版必修第二冊(cè) 4-3-2空間中直線與平面的位置關(guān)系第4課時(shí)直線與平面垂直的性質(zhì) 學(xué)案

第4課時(shí)直線與平面垂直的性質(zhì)教材要點(diǎn)要點(diǎn)一直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言垂直于同一個(gè)平面的兩條直線________符號(hào)語言a⊥αb圖形語言作用①線面垂直?線線平行；②作平行線狀元隨筆(1)直線與平面垂直的性質(zhì)定理給出了判定兩條直線平行的另一種方法．(2)定理揭示了空間中“平行”與“垂直”關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，提供了“垂直”與“平行”關(guān)系轉(zhuǎn)化的依據(jù)．(3)線面垂直的性質(zhì)定理可簡記為“線面垂直，則線線平行”．要點(diǎn)二點(diǎn)面距、線面距1．點(diǎn)到平面的距離過一點(diǎn)S向平面ABC作垂線，垂足為A，則稱垂線段SA的長度為點(diǎn)S到平面ABC的距離．2．直線與平面的距離一條直線和一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，叫作這條直線與這個(gè)平面的距離．要點(diǎn)三直線與平面所成的角有關(guān)概念對(duì)應(yīng)圖形斜線一條直線l與一個(gè)平面α________，但不與平面α________，則直線l稱為平面α的一條斜線．斜足斜線l與平面α的交點(diǎn)A稱為斜足．投影過斜線l上斜足以外的一點(diǎn)P向平面α作垂線，過垂足O和斜足A的直線AO稱為斜線l在平面α上的投影．直線與平面所成的角(1)平面的一條斜線與它在該平面上的投影所成的銳角，叫作這條直線與這個(gè)平面所成的角．(2)直線與平面所成的角θ的取值范圍是__________．狀元隨筆把握定義應(yīng)注意兩點(diǎn)：①斜線上不同于斜足的點(diǎn)P的選取是任意的；②斜線在平面上的投影是過斜足和垂足的一條直線而不是線段．基礎(chǔ)自測1.思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)若l⊥β，且α∥β，則l⊥α.()(2)垂直于同一條直線的兩平面平行．()(3)如果一條直線上有兩點(diǎn)到一平面的距離相等，那么直線不一定與平面平行．()(4)如果一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，那么這兩個(gè)平面平行．()2．已知△ABC所在的平面為α，直線l⊥AB，l⊥AC，直線m⊥BC，m⊥AC，則不重合的直線l，m的位置關(guān)系是()A．相交B．異面C．平行D．不確定3．棱長為2的正方體ABCD-A′B′C′D′中，P是平面ABCD內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面A′B′C′D′的距離是()A．1B．2C．3D．44．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線AC與平面A1D所成的角為________．題型1直線與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用例1如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1.(1)求證：A1C⊥B1D1.(2)M，N分別為B1D1與C1D上的點(diǎn)，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求證：MN∥A1C.方法歸納(1)若已知一條直線和某個(gè)平面垂直，證明這條直線和另一條直線平行，可考慮利用線面垂直的性質(zhì)定理，證明另一條直線和這個(gè)平面垂直．(2)在證明時(shí)注意利用正方形、平行四邊形及三角形中位線的有關(guān)性質(zhì)．跟蹤訓(xùn)練1如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一點(diǎn)，N是A1C的中點(diǎn)，MN⊥平面A1DC.求證：MN∥AD1.題型2有關(guān)距離的計(jì)算例2已知在長方體ABCD-A1B1C1D1中，棱AA1＝12，AB＝5.(1)求點(diǎn)B1到平面A1BCD1的距離；(2)求B1C1到平面A1BCD1的距離．方法歸納(1)從平面外一點(diǎn)向平面作垂線，該點(diǎn)到垂足間的線段的長度叫作點(diǎn)到平面的距離．求點(diǎn)到平面的距離的關(guān)鍵是作出或找出點(diǎn)到平面的垂線段．(2)當(dāng)直線與平面平行時(shí)，直線上任意一點(diǎn)到平面的距離都是直線到平面的距離，求解的基本方法是在直線上任選一點(diǎn)，找出該點(diǎn)到平面的距離，然后根據(jù)求點(diǎn)到平面的距離的有關(guān)方法求解，即將線面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離．跟蹤訓(xùn)練2正方體ABCD-A1B1C1D1，棱長為2，求：(1)直線A1A到平面B1BCC1的距離；(2)點(diǎn)A1到平面D1DBB1的距離．題型3直線與平面所成的角例3在正方體ABCD-A1B1C1D1中，(1)求直線A1C與平面ABCD所成的角的正切值；(2)求直線A1B與平面BDD1B1所成的角．方法歸納求斜線與平面所成角的步驟(1)作圖：作(或找)出斜線在平面內(nèi)的投影，作投影要過斜線上一點(diǎn)作平面的垂線，再過垂足和斜足作直線，注意斜線上點(diǎn)的選取以及垂足的位置要與問題中已知量有關(guān)，才能便于計(jì)算．(2)證明：證明某平面角就是斜線與平面所成的角．(3)計(jì)算：通常在垂線段、斜線和投影所組成的直角三角形中計(jì)算．跟蹤訓(xùn)練3在正三棱柱ABC-A′B′C′中，AB＝1，AA′＝2，求直線BC′與平面ABB′A′所成角的正弦值．易錯(cuò)辨析對(duì)線面垂直的性質(zhì)應(yīng)用不當(dāng)致誤例4已知m，n為異面直線，m⊥α，n⊥β，直線l滿足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，則()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α與β相交，且交線與l垂直D．α與β相交，且交線與l平行解析：若α∥β，則由m⊥平面α，n⊥平面β，可得m∥n，這與m，n是異面直線矛盾，故α與β相交．設(shè)α∩β＝a，過空間內(nèi)一點(diǎn)P，作m′∥m，n′∥n，m′與n′相交，m′與n′確定的平面為γ因?yàn)閘⊥m，l⊥n，所以l⊥m′，l⊥n′，所以l⊥γ.因?yàn)閙⊥α，n⊥β，所以m′⊥α，n′⊥β，所以a⊥m′，a⊥n′，所以a⊥γ.又因?yàn)閘?α，l?β，所以l與a不重合．所以l∥a.答案：D易錯(cuò)警示易錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得解答本題時(shí)，容易忽視α∥β時(shí)，可由條件推出m∥n，與m，n為異面直線矛盾，導(dǎo)致錯(cuò)選A.也容易忽視構(gòu)造輔助平面γ，無法利用線面垂直的性質(zhì)定理證明線線平行，導(dǎo)致錯(cuò)選C.解答此類問題的方法是依據(jù)線面垂直的性質(zhì)逐項(xiàng)作出判斷，必要時(shí)畫出圖形，借助圖形進(jìn)行直觀的判斷．課堂十分鐘1．對(duì)于任意的直線l與平面α，在平面α內(nèi)必有直線m，使m與l()A．平行B．相交C．垂直D．互為異面直線2.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若G為CC1的中點(diǎn)，則直線AG與側(cè)面BCC1B1所成角的正弦值是()A．23B．C．53D．3．△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C到平面α的距離分別為2cm，3cm，4cm，且它們?cè)讦恋耐瑐?cè)，則△ABC的重心到平面α的距離為________cm.4．如圖，PA⊥平面ABD，PC⊥平面BCD，E，F(xiàn)分別為BC，CD上的點(diǎn)，且EF⊥AC.求證：CFDC＝CE第4課時(shí)直線與平面垂直的性質(zhì)新知初探·課前預(yù)習(xí)要點(diǎn)一平行a∥b要點(diǎn)三相交垂直[0°，90°][基礎(chǔ)自測]1．答案：(1)√(2)√(3)√(4)√2．解析：∵直線l⊥AB，l⊥AC，且AB∩AC＝A∴l(xiāng)⊥平面α，同理直線m⊥平面α.由線面垂直的性質(zhì)定理可得l∥m.答案：C3．答案：B4．解析：如圖，因?yàn)镃D⊥平面ADD1A1，所以直線AC與平面A1D所成的角為∠CAD，因?yàn)椤鰽DC是等腰直角三角形，所以∠CAD＝45°.答案：45°題型探究·課堂解透例1證明：(1)如圖，連接A1C1.∵CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1?平面A1B1C1D1，∴CC1⊥B1D1.∵四邊形A1B1C1D1是正方形，∴A1C1⊥B1D1.又∵CC1∩A1C1∴B1D1⊥平面A1C1C.又∵A1C?平面A1C1C，∴B1D1⊥A1C.(2)如圖，連接B1A，AD1.∵B1C1綊AD，∴四邊形ADC1B1為平行四邊形，∴C1D∥AB1.∵M(jìn)N⊥C1D，∴MN⊥AB1.又∵M(jìn)N⊥B1D1，AB1∩B1D1∴MN⊥平面AB1D1.由(1)知A1C⊥B1D1.同理可得A1C⊥AB1.又∵AB1∩B1D1＝B1，∴A1C⊥平面AB∴A1C∥MN.跟蹤訓(xùn)練1證明：因?yàn)樗倪呅蜛DD1A1為正方形，所以AD1⊥A1D.又因?yàn)镃D⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.因?yàn)锳1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC又因?yàn)镸N⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.例2解析：(1)如圖，過點(diǎn)B1作B1E⊥A1B于點(diǎn)E.由題意知BC⊥平面A1ABB1且B1E?平面A1ABB1，∴BC⊥B1E.∵BC∩A1B∴B1E⊥平面A1BCD1，∴線段B1E的長即為所求．在Rt△A1B1B中，B1E＝A1B1·BB∴點(diǎn)B1到平面A1BCD1的距離為6013(2)∵B1C1∥BC，且B1C1?平面A1BCD1，BC?平面A1BCD1，∴B1C1∥平面A1BCD1.∴點(diǎn)B1到平面A1BCD1的距離即為所求，∴直線B1C1到平面A1BCD1的距離為6013跟蹤訓(xùn)練2解析：(1)∵A1A∥平面B1BCC1，∵A1B1⊥平面B1BCC1，∴直線A1A到平面B1BCC1的距離等于線段A1B1的長，∵A1B1＝2，∴直線A1A到平面B1BCC1的距離等于2.(2)連接A1C1，B1D1，BD，A1C1與B1D1交于點(diǎn)O1，如圖．∵A1O1⊥平面D1DBB1，∴點(diǎn)A1到平面D1DBB1的距離等于線段A1O1＝2.例3解析：(1)連接AC，因?yàn)橹本€A1A⊥平面ABCD，所以∠A1CA為直線A1C與平面ABCD所成的角，設(shè)A1A＝1，則AC＝2，所以tan∠A1CA＝22(2)連接A1C1交B1D1于O，連接BO，在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，因?yàn)锽B1⊥平面A1B1C1D1，A1C1?平面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1C1，又BB1∩B1D1所以A1C1⊥平面BDD1B1，垂足為O.所以∠A1BO為直線A1B與平面BDD1B1所成的角，在Rt△A1BO中，A1O＝12A1C1＝12A1B，所以∠A1BO＝30°，即A1B與平面BDD1B跟蹤訓(xùn)練3解析：如圖所示，取A′B′的中點(diǎn)D，連接C′D，BD.因?yàn)榈酌妗鰽′B′C′是正三角形，所以C′D⊥A′B′.因?yàn)锳A′⊥底面A′B′C′，所以A′A⊥C′D.又AA′∩A'B'＝A′，所以C′D⊥側(cè)面所以BD是斜線BC′在平面ABB′A′上的投影，∠C′BD是直線BC′與平面ABB′A′所成的角．等邊三角形A′B′C′的邊長為1，C′D＝32在Rt△BB′C′中，BC′＝B'B2+B'C'2＝5，故直線BC[課堂十分鐘]1．答案：C2.解析：連接BG.因?yàn)锳B⊥平面BB1C1C，所以∠AGB是直線AG與側(cè)面BCC1B1所成角，在Rt△ABG中，若AB＝a，則AG＝32a，所以sin∠AGB＝2答案：A3．解析：如圖，設(shè)A，B，C在平面α上的投影分別為A