新教材蘇教版高中數(shù)學 選擇性必修第二冊 同步試題 第6章 空間向量與立體幾何 單元綜合檢測

第6章空間向量與立體幾何單元綜合檢測

一、單選題

1.下列說法正確的是()

A.任一空間向量與它的相反向量都不相等

B.將空間向量所有的單位向量平移到同一起點，則它們的終點構成一個圓

C.同平面向量一樣，任意兩個空間向量都不能比較大小

D.不相等的兩個空間向量的模必不相等

【答案】C

【分析】根據(jù)空間向量的基本概念及性質，結合各選項中空間向量的描述判斷正誤即可.

【解析】A：零向量與它的相反向量相等，故錯誤；

B：將空間中的所有單位向量平移到同一起點，則它們的終點構成一個球面，故錯誤；

C：空間向量與平面向量一樣，既有模又有方向，不能比較大小，故正確；

D：一個非零空間向量與它的相反向量不相等，但它們的模相等，故錯誤；

故選：C

2.已知三棱柱/8C-48C1，點P為線段B￡的中點，則萬=()

A.-AB+AC+-AA.B.AB+-AC+-AI

221221

C.—ABH—AC—AA.D.—ABd—AC+AA.

22122'

【答案】D

【解析】根據(jù)空間向量的線性運算求解即可

【解析】解：在三棱柱點P為線段AG的中點，則

------------------.................——1——.

AB=A}B[,BC=BiCi,BlP=PC}=-BtC1,

所以萬=麴+乖=怒+麗+;而

=AAt+AB+^(BA+AC)

=-JB+-7C+7A.,

221

故選：D

3.若q：a,b）［是三個非零向量；q：?B，3｝為空間的一個基底，則P是4的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】利用基底的判定方法和充分不必要條件的定義進行判定.

【解析】空間不共面的三個向量可以作為空間的一個基底，

若d,B，［是三個共面的非零向量，則但，B，現(xiàn)不能作為空間的一個基底：

但若伍，B,再為空間的一個基底，則a,b，/不共面,

所以乙h，3是三個非零向量，即p是q的必要不充分條件.

故選：B.

4.在正三棱柱/8C-44G中，若“8=&他，則N片與8G所成的角的大小是()

A.60'B.75°C.90"D.105°

【答案】C

【分析】取8c的中點連接力/,用可證明乙昉〃,進而可得用ML8G，

再由正三棱柱的性質可得由線面垂直的判定定理可證明8G_1面/用M，可得

BCJAB、,即可求解.

【解析】如圖：取BC的中點”，連接⑷B、M,

設N8=41a，則BBI=a,B￡=五a,

V2

在RtABA”中，Ta&，

tanZBB,M=——=——

1a2

在RtABBG中，tan/5|G8=*=g,

所以N8緯0=/8￡8,

所以ZB￡B+NMB?=NBB\M+NMB￡=90",

所以即0L8G，

因為三棱柱45C-44G是正三棱柱，

所以88]_L面/8C,//(=面/8(7,所以

因為。8c是等邊三角形，所以ZM1BC,

因為8月08。=8,所以上面8CG4，

因為8C1U面5CC圈，所以⑷WL8G，

因為41/門8幽=〃，所以8G，面工用必，

因為/qu面48附，所以8CJ/4，

所以/耳與8G所成的角的大小是90°,

故選：C.

5.下列四個命題中，正確命題的個數(shù)是()

①若｛%友就是空間的一個基底，則對任意一個空間向量，存在唯一的有序實數(shù)組(x,y,

z),p=xa+yb+zc；

②若兩條不同直線/,加的方向向量分別是￡,b，則/〃機0刃區(qū)；

③若｛風，礪，方｝是空間的一個基底，且歷=；況+；歷，則Z,B,C,。四點共

面；

④若兩個不同平面a,乃的法向量分別是燈，且"=(1,2,-2),V=(-2,-4,4),則a〃夕.

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】①由空間向量基本定理判斷；②由方向向量的定義判斷；③由空間向量共面定理

判斷；④由法向量的定義判斷.

【解析】①若｛，,反號是空間的一個基底，則對任意-一個空間向量，存在唯一的有序實數(shù)組

(x,y,z),使得萬=xG+j石+z?,由空間向量基本定理知，正確；

②若兩條不同直線/,機的方向向量分別是￡,則/〃機=源區(qū)，由方向向量的定義知,

正確;

③若｛0，無，反｝是空間的一個基底，且歷=；方+；歷+場,則4,B,C,。四點共

面，由空間向量共面定理知，正確；

④若兩個不同平面a,￡的法向量分別是燈，且力=(1,2,-2),v=(-2,-4,4),貝卜〃人由法

向量的定義知，正確.

故選：D

6.如圖，在正四棱柱/8C。-44clz)|中，。是底面18cZ)的中心，E,尸分別是881,Z)Z)|的

中點，則下列結論正確的是()

A.AP//EF

B.A101EF

C.4?！ㄆ矫姹扔?/p>

D.4。_1_平面EFA

【答案】B

【分析】建立空間直角坐標系，利用空間位置關系的向量證明，逐項分析、判斷作答.

【解析】在正四棱柱4GA中，以點。為原點建立如圖所示的空間直角坐標系,

z

令AB=2a,DDi=2b(a>0,b>G),O是底面"CD的中心，瓦廠分別是四,0。的中點,

則0(a,a,0),4(2a,0,2b),EQa,2a,b),B、(2a,2a,2b),F(0,0,6,OA1=(a,-a,2b),

FE=(2a,2a,0),EBl=(0,0,Z)),

對于A,顯然畫與厚不共線，即4。與不平行，A不正確;

對于B,因西?而=Q?2Q+(—〃),2Q+0?26=0,貝1」兩_1屈，即4O_LE尸，B正確;

對于C,設平面E叫的法向量為［=(3*),則/竺2(7x+2ci)。，令％=1,得〃=(］,_］,。),

n?EB}=bz=0

0Ax-w=2^z>0,因此04與［不垂直，即4。不平行于平面后五4，C不正確；

對于D,由選項C知，可與［不共線，即4。不垂直于平面女4，D不正確.

故選：B

7.己知四棱柱48。。一44。功的底面是邊長為2的正方形，側棱與底面垂直，若點C到

平面48/。的距離為警，則直線4。與平面力與A所成角的余弦值為()

A3而34rVio行

10101010

【答案】A

【分析】先由等面積法求得的長，再以4為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系

A.-xyz,運用線面角的向量求解方法可得答案.

【解析】如圖，連接4G交BQ于。點，過點C作于〃,

則CH1平面ABR,則CH=-y-,

設/&=a,

則AO=CO=da2+2,AC=2^2,

則根據(jù)三角形面積得SMOC.=^XAOXCH=^ACXJ初一＞C」,

代入解得a=2近.

以4為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系A,-xyz.

則4（0,0,2a），4（2,0,0），4（0,2,0）,。（0,2,6）國=（0,2-近），的=（2,0,-2五），麗=（-2,2,2后），

設平面/4A的法向量為亓=（X,y,z）,

[n-ADi=0f2y-2j5z=0「＜_

則——c，即，/—，令x=V^,得”=（血,也,1）.

[〃?=u—2A/2z=U

cos〈而*晅^?,

田01萬110

所以直線B、D與平面4B￡R所成的角的余弦值為專

故選：A.

AP

?/%

/?\*\

/：At\/'、D,

B&注7y

/抬

X

8.如圖，在菱形4BCD中,AB=—,/BAD=60°,沿對角線8。將折起，使點

3

A,C之間的距離為20，若尸，0分別為線段8。，C4上的動點，則下列說法錯誤的是（）

A.平面48。_L平面BCD

B.線段尸。的最小值為&

C.當我=紇，4PD=DB時,點。到直線尸。的距離為巫

14

D.當P,。分別為線段80,。的中點時，尸。與所成角的余弦值為逅

4

【答案】C

【分析】取8。的中點。，易知0N，83,。。，8。，結合條件及線面垂直的判定定理可得

ON，平面BOC,進而有平面平面8CC,即可判斷A；建立坐標系，利用向量法可

判斷BCD.

【解析】取8。的中點O,連接O4OC,

?在菱形N8CD中，AB=-,ZBAD=60°,

3

：.OA=OC=2,又4c=2五，

：.OA2+OC2=AC2,所以。4J_OC,

又易知。1J_BD,OC1BD,

因為。/IOC,OA1BD,OCHBD=O,

所以04J_平面8Z）C,

因為04u平面48。,

所以平面平面8OC,故A正確;

以。為原點，OBQCQA分別為KRZ軸建立坐標系,

則8］乎,0,())。(0,2,0),/(0,0,2),《-￥，0,0),

當我=K,4PD=DB時,0(0,1,1),P卜弓，0,0

用=停1,1),DP=坐,0,0),

\PQDP\；V21

所以點D到直線PQ的距離為"再一=.=Wr，故C錯誤;

設尸(a,0,0),CQ=ACA=2(0,-2,2),可得0(0,2—22,24),

\PQ\=7?2+(2-2A)2+(2A)2=

當a=0"=ge寸，|P01n而=虛，故B正確；

當尸，。分別為線段8。，C4的中點時;

*0,0,0),0(0,1,1),①=(0,1,1),而=[-竽,0,-2

設尸。與AD所成的角為

悠麗2盤

則cos6=

畫網(wǎng)-夜x口彳

所以。。與所成角的余弦值為半，故D正確;

故選：C.

二、多選題

9.在空間直角坐標系。-平中，平面a的法向量3=(2,2,1),直線/的方向向量為五，則下

列說法正確的是()

A.x軸一定與平面a相交B.平面a一定經(jīng)過點0

C.若玩=(-1,-1,-；),則/LaD.若玩=(-1,0,2),則〃/a

【答案】AC

【分析】A選項，設設X軸的方向向量設為2=(1,0,0),通過計算73*0可以得到兩者一定

相交；B選項直接可以作出判斷；C選項通過觀察發(fā)現(xiàn)3=_2而，可以作出判斷，D選項通過

計算GW=0,可以得到〃/a或/在平面a上.

【解析】不妨設x軸的方向向量設為￡=(1,0,0),則71=(1,0,0),(2,2,1)=2工0,故x軸一定

與平面a相交，A正確；平面a不一定經(jīng)過點O,B錯誤；因為(2,2,1)=-2(-1,-1,-；),即

n=-2m>故/_La,C正確;因為〃??〃=(―1,0,2>(2,2,1)=—2+2=0,所以m_L〃,所以〃/a

或/在平面a上，故D錯誤.

故選：AC

10.如圖，在平行六面體"88-44GA中，以頂點力為端點的三條棱長都是I,且它們

彼此的夾角都是60。，/為4cl與80的交點，若在=2瓦=反羽=己，則下列正確的是

()

A.~BM=-a--b+cB.AC=a+b+c

22}

c."G的長為石D.cos（石陽

【答案】BD

【分析】AB選項，利用空間向量基本定理進行推導即可；C選項，在B選項的基礎上，平

方后計算出|布『=6,從而求出口乙卜太；D選項，利用向量夾角的余弦公式進行計算.

【解析】根據(jù)題意，依次分析選項:

對于A選項，BM==AAt+^（BA+BC）=^b--a+c,A錯誤，

對于B選項，AC^AB+AD+CC^a+b+c,B正確：

對于C選項，AC}=a+b+c,則|元（=（萬+5+0）2=12+/+方2+2萬萬+2萬/+蘇?方=6,

則|就心加，C錯誤:

2則8族雞=裔裔4,

）^^AB-AC]=a-（a+b+c）=d+a-b+d-c=2,D正確.

故選：BD.

11.在四棱錐PZ8CZ）中，底面N8C。為菱形，2ABC=三,尸4_L平面4BCD,PA=AB=2,

E為棱P8的中點，尸為棱8c上的動點，則下列結論正確的為（）

-JT

A.平面平面尸8cB.EF與平面所成角的最大值為7

6

c.E到面以C的距離為立D./E與PC所成角的余弦值為1

24

【答案】CD

【分析】取8c的中點可證得尸兩兩垂直，所以以A為原點，以AM,皿AP

所在直線分別為x/，z軸建立空間直角坐標系，然后利用空間向量逐個分析判斷.

【解析】取8c的中點"，連接4W,/C,

TT

因為底面為菱形，Z.ABC=—,

所以/M18C,

因為尸/_L平面48CO,平面/BCD,

所以P/

所以/M,ND,/P兩兩垂直，所以以A為原點，以力所在直線分別為x，%z軸建立

空間直角坐標系，則

4(0,0,0),8(0,一1,0),C(道,1,0),￡)(0,2,0),P(0,0,2),

因為E為棱尸8的中點，所以E件,

I22J

設尸(6.0)(-l<a<l),

對于A,設平面NEF的法向量為前=(XQ”ZJ,平面PBC的法向量為E=(%,%,Z2),

因為次=乎,,萬0,a,0),PS=(73,-1,-2),PC=(V3,1,-2),

\/

serl而再-3+Z|=0{n-PB=y/3x2-y2-2z2=0

麗?萬=A+gOBPC='+32Z2=°

令王=也,x2=6,

---9a4-9

若平面?平面MC,則”.〃=3-b=。'解得”3不合題意，所以A錯誤,

11

對于B,平面彳8CO的一個法向量為"=(0,0,2),EF=

M+于一

設痔與平面48C。所成角為。，則

~AP~EF21

sin0=|cos(AP,EF，卜

da-+a+2

兩麻2j-+l+^2+a+-

V44

77乎

所

以

+>n夕<

因為/+a+2=4--4-si-

因為地>_L,所以。大于所以B錯誤，

726

對于C,設平面P/C的法向量為加=(xj,z),4P=(0,0,2),4。=(6,1,0),

則〈____廠,令x=JL則b=(JJ,—3,0),

b-AC—yJ3x+y=0

AE=俘,-罰，

22

33

h-AE_2+2_幣

所以￡到面RIC的距離為所以c正確,

T3+92

對于D,設/￡與尸C所成角為a,

AE=PC=(V3,l,-2),

AE-PC\2

所以cosa=|cos^/l￡1,PC)卜rr所以正確,

AE\ID

1-V3+1+4

故選：CD

12.如圖，已知P為棱長為1的正方體對角線8。上的一點，且8P=ABR,2w(O,l)下面

結論中正確的有()

A.A}DrC}P

B.4尸可能與面力P8垂直

2

C.當4P+P。取最小值時，A=1

717"

若；le(O,l),貝iJN/PCe

D.I'll

【答案】AC

【分析】以。為坐標原點分別為xj,z軸建立空間直角坐標系，利用空間向量

的坐標運算逐一分析即可.

【解析】以。為坐標原點，D4DGD4分別為x,y,z軸建立如圖空間直角坐標系,

y

則8(1,1,0),。(0,0,1),設尸(x,y,z).

因為8尸=48￡?1,Ae(0,1),

所以BP=4AD],BP(x—l,y—l,z)=A(—1,—1,1),

解得「(1T,1->M).

對于A因為4。，0,1)，D(0,0,OXC](0,1,1),

所以麗=(T,0,-1),乖=(1-乙二,2-1),

則而哥=Tx(lT)+0x(Y)+(_l)x(/l,_l)=0,

所以故A正確，

對于B,因為4(1,0,1),4(1,0,0),5(1,1,0),0,(0,0,1),

所以4?=(一九1一人工-1),1瓦=(-1,0,1),荔=(0,1,0),

設n=(x,y,z)為面ABD,的法向量，則

f-x+z=0_

即《八，令％=1，則〃=(1,0/)，

[y=0

假設4尸與面垂直，即吊尸與面4BA垂直，

故4尸=即(-/1,1-2,2-1)=//(1,0,1)=(//,0,〃),

—A=〃

得1-2=0,此方程組無解,

2-1=4

即4尸不可能與面/P3垂直，故B錯誤，

對于C,4P+PZ)=-1)2+(1--)2+(幾_1)2+](1_4)2+(1_4)2+42

=2J3/2-44+2—2J314—§2

+—，

3

2

則當之二：時，4P+P。取最小值，故C正確,

對于D,因為41,0,0)9(0,1,0),

所以方=(/I,丸_1,_%),無=(4_1,4,_/1),

-PAPC322-22,1

則34"=同時—-------=I—

3Z2-22+l3萬-2/1+1'

/2II1

因為之￡(0,1)，所以；432--22+1<2,則一7K1——~~~

732322-22+12

貝ij-g<cosAAPC<g,貝|JcosZAPCe，故D錯誤.

故選:AC

三、填空題

13.已知丘瓦才是空間的一個單位正交基底，向量p=￡+%+鼠Q+BN-瓦"｝是空間的另

一個基底，用基底瓦c｝表示向量，=.

【答案】|(a+i)-^(a-fe)+3c

【分析】p=a+2b+3c=x(a+b)+y(a-b)+zc,然后整理解方程組即可.

【解析1lStp=a+2b+3c=x(a+b)+y(a-b)+zc，

BRWa+2b+3c=(x+y)5+(x-y)B+zc，

因為M石忑｝是空間的一個單位正交基底，

,3

x=-

7

x+y=I'

所以有.x-y=2=>.y=-1,

z=3i

z=3

3-1_

所以萬=10+b)-5僅一b)+3乙

故答案為：5k+區(qū))—'-(a—+3c

14.已知正方體N8CD-44GA的棱長為6,E為棱44的中點，尸為棱44上的點，且

4戶：尸g=1:5,IjliJEFBCt=.

【答案】18

【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量的數(shù)量積運算求解.

【解析】建立如圖所示空間直角坐標系：

則E(6,0,3),F(6,l,6),B(6,6,0)G@6,6),

所以而=(0,1,3),國=(-6,0,6),

所以加?而;=18,

故答案為：18

15.在平行六面體N8CD-44GA中，底面/8CD為正方形，48=2,AA}=3,

幺AB=44D=2,若4G=5,則cos".

【答案】；

【分析】利用向量運算表示|您|,由此求得cose.

【解析】AC,=AB+AD+AA?AC[=\<AB+AD+AA^

-----.222----------------——?

=AB+AD+AA+2ABAD+2ABA/1+2ADA4

=4+4+9+0+2x2x3cos04-2x2x3cos3

=17+24cos。=25,cos。.

故答案為：I

16.如圖，在棱長為1的正方體/8C。-中，點M為線段8。上的動點，下列四個

結論：

①存在點使得直線與直線8c夾角為30。；

②存在點使得C附與平面叱夾角的正弦值釁:

③存在點加，使得三棱錐CQM的體積為百；

④存在點〃，使得a>/?,其中a為二面角44-8的大小，尸為直線例4與直線

所成的角.

則上述結論正確的有.(填上正確結論的序號)

【答案】②③

【分析】對①：由連接力。，BC1,由印:，平面即可判斷；對③：設M到平面

CDDC的距離為力，則Q,反1,所以％.加“=~/巾=:用的0/即可判斷；對④：以C為坐

標原點建立如圖所示的空間直角坐標系。-孫Z,設=2BD4Q,41),利用向量法求出cosa

與cos/7,比較大小即可判斷；對②：設GM與平面48c夾角為凡利用向量法求出

sin0=|cos<QM,m>\,即可求解判斷.

【解析】解：對①：連接"〃，BC」在正方體Z88-44G。中，由48工平面8CG與，

可得上月C,又耳C，8C1,ABIBC,=5,所以用(7J?平面Z8CQ,所以與C1/M,

故①錯誤；

對③：設M到平面CZ>P,C,的距離為h,則0?K,1,所以

VD,C,DM=^M-<7,0,0=；5「向04=^，X%W0,g,故③正確；

對④：以C為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系C-斗，設8M=ZBAQ41),

則荏=(-1,0,0),羽=(0,0,1),西=(1,-1,1),兩=(2,——，［)，所以一(2,1-1,/),

=(A-1,-2,4一1),

—?不.,A.MAB,1-2

"可詞'j+2'

萬,AA.-0z=0

設平面M44的法向量為G=(x,九z),則'即

n-AtM=0[(A-l)x-X^+(X-l)z=0

取三=(2,X-1,0),又次=(0,1,0)是平面/8與4的一個法向量，

又二面角M-A4-8為銳二面角或直角,

_.一'..n-DA.1-A1—A

所以c°sa=|cos<"，￡>/>|=|--.----------=,----------.

I〃II。川〃2+(/l_])2V222-22+1

???322-42+2-(2萬-22+l)=/l2-2A+l=(/l-l)2>0,

.-.3A2-4A+2>2A2-22+l,又

.-.COS^..cos?,a,,p,故④錯誤.

對②：由④的解析知，QW=(A,l-/l,2-l),而=(1,1,0),西=(0,1,1),

—[m-CA-0[a+b=G

設平面陰。的法向量為機=(a,b,c),則不八，即八八，

v7[m-C5,=0[b+c=0

LL

取a=l,則加=

設G"與平面48。夾角為夕，令sin8=，os<C]M〃?>|=/攸"=^=——k=—,即

11V322-4Z+2x^/33

3A2-4A+l=0.又Q.41,解得久=1或;，故②正確.

故答案為：②③.

四、解答題

17.如圖，在四棱錐P-/8CD中，底面力8c。是正方形，/〃_L平面/8C￡>,PA=2AB=4,

點M是PN的中點.

P,

BC

⑴求證：BDLCM■

⑵求直線PC與平面MCD所成角的正弦值.

【答案】⑴證明見解析

⑵立

6

【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質和判定定理即可證明；

（2）根據(jù)題意建立空間直角坐標系，通過線面角相關公式進行計算即可.

【解析】（1）如圖，連接/C,

:四邊形力8C。是正方形，/80.

又尸/1■平面/8CD,8。u平面/8CD,；?尸/_L5。，

：P4/Cu平面4C,PA[}AC=A,

：.8。平面P/C,

又CNu平面4C,

，BD1CM

（2）易知Z8,HP兩兩垂直，以點A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系4-+.

'：PA=2AB=4,.,.^（0,0,0）,P（0,0,4）,M（0,0,2）,C（2,2,0）,￡＞（0,2,0）,

AA7c=（2,2,-2）,砸=（0,2,-2）,PC=（2,2,-4）.

n?MC=2x+2歹一2z=0

設平面MCD的法向量為G=(*/,z),

n-MD=2y-2z=0

1jr

令y=l,得〃=(0,1,1).設直線PC與平面MCD所成角為。，由圖可知0<e<5,

則sin”辰伍阿卜媽="一叱一叼$

18.如圖，在四棱錐尸-/BCD中，ABHCD,AD=CD=BC=PA=PC='4B,BC1PA.

2

(1)證明：平面尸8c上平面HC；

Q)若PB=2五,求點8到平面尸"。的距離.

【答案】⑴證明過程見詳解

【分析】（1）由已知可證ZC13C,結合8C1P/,可證3CJ,平面上4C,即可證結論;

（2）結合（1）先證明P。，OE,04兩兩垂直，并得出需要的線段長，再建立空間直角坐

標系，求出平面P/O的一個法向量與通，代入公式即可解答.

【解析】（1）取N8的中點為E,連接CE,可知四邊形4JCE是平行四邊形，=

...點C在以Z8為直徑的圓上，/C/8c.

又BCLPA,P/n/C=/,且尸4,/<7匚平面24。，二5（?工平面以。，

又5Cu平面尸8C,.?.平面P8C/平面R4c.

（2）平面PNC,

由尸8=2近，BC=PC,得8c=2，AC=2也.

?.?8。1平面/“。，又8Cu平面/8C。，平面J,平面P4C,

連接QE交/C于點。，則。為/C的中點，連接P0,則POL/C,且PO=1,

?.?平面/BCD/平面尸/C,平面NBCOc平面04C=ZC,P。/平面

POVOE,由題意可知，OE//BC,：.OE1AC,

故以點。為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，

，（不,0,0）,P（0,0,l）,8（-b,2,0）,D（0,-l,0）

則而=卜迅,-1,0）,?=卜五0,1）,^5=（-273,2,0）,

_,、[7o-n=0-yj3x—y=0

設平面尸/。的法向量為"=（x,y,z）,由｛—，得＜

APn=0-y/3x+Z=0

令x=i,則〃=（i,-若,6）,

點8到平面P/。的距離為

19.如圖，將長方形044。（及其內部）繞0?旋轉一周形成圓柱，其中。/=1,。。=2,

⑴在弧48上是否存在點C（。,用在平面。4。1的同側），使5C_L46,若存在，確定其位

置，若不存在，說明理由；

（2）求平面4。/與平面BQ出夾角的余弦值.

【答案】（1）存在，當qc為圓柱。。的母線，BC工AB,

（2）也

17

【分析】（1）當8。為圓柱的母線，證明平面4BC，從而得出5C_LN4；

（2）以。為原點，建立空間直角坐標系，利用向量法得出平面4。田與平面用。射夾角的余

弦值.

【解析】（1）存在，當4c為圓柱0Q的母線，BCL4B、.

連接8C,/C，4C,因為8。為圓柱0Q的母線，所以印7,平面/8C,

又因為8Cu平面/8C,所以qC，8c.

因為為圓。的直徑，所以8c1AC.

BClAC,BtCA.BC,AC^BtC=C,所以8c人平面力80,

因為/月u平面川?C，所以8C_L/4.

（2）以。為原點，。4。。1分別為％z軸，垂直于y,z軸直線為x軸建立空間直角坐標系,

如圖所示.

4（0,1,2）,。（0,0,2）,8（0,-1,0）,

因為的長為J,所以咚,21,碓=（0,-1,一2）,

66（22

設平面。4臺的法向量而=（"/*）,

-y-2z=0,

1G八令x=-3解得y=V3,Z=~~2~1

一工+——y=o,

[22，

所以碗=[-3,0

k)

因為X軸垂直平面ARB,所以設平面4aB的法向量n=（1,0,0）.

2同

所以8S伍）

17.

所以平面4。田與平面與。姿夾角的余弦值為筆L

20.如圖，在三棱柱/8C-4耳G中，BC=CQ,4C=AB、.

⑴證明：平面平面8CC圈;

（2）若8C=JL4C，4B=B、C,NCSA=60。，求直線8%與平面力圈4所成角的正弦值.

【答案】⑴見解析:

喈

【分析】（1）設8Gn8C=O,連接/O,由題意可得。為8G，8c的中點，又因為8C=CG，

4C=AB1,所以C0_L8G，AOIB^,從而可得8（，平面,即可證明平面力8（；，平

面8CC￡；

（2）建立以。為坐標原點，所在的直線分別為x軸，y軸，z軸的空間坐標系，利

用向量法求解.

【解析】（1）證明：設8Gn8C=。,連接如圖所示:

則。為8G，AC的中點，

因為8C=CG，

所以C0J_8G，

即BtC1BCt,

又因為/C=/A，

所以40180,

又因為N0c8G=。，

所以4c，平面

又因為B,Cu平面8CG4，

所以平面/8G，平面8CC圈：

(2)解：因為/。4=60。，

所以為正三角形，四邊形8CC圈為菱形，

因為8c=VLiC，AB=B}C,

設/C=l,貝BC=6，

所以A/C用為等腰直角三角形，

所以/=變，

2

又因為四邊形BCGB1為菱形,

所以=—,5。=鳥近=逅，

'222

又因為力8=耳。=/，

所以加+08?=2+9=2=次，

44

所以。f_L8C；,

即048G，B1C兩兩垂直，

以。為坐標原點，所在的直線分別為x軸，了軸，z軸，建立如圖所示的坐標系:

iZ

A\________

1

所以8（4^，°，°），-,o）,c（o,--^-,o）,力（0,0,1^）,G（-^^,o,o）

設MGoJo/o），

UULUULUJ2）=（/+*，No，4），

由c=G4可得（o,上,y

所以與=-興乂=￥，z°￡

2'

所以4（當*凈,

所以卑（一訪興冬,那?/V6V2__V6_V2.

81G=（一-丁---?°），44=（---,0,—），

設平面44G的法向量為”=（x,y,z），

所以[竺々T

{B]A]-n=0

fV6@

----x----y=0

22,

即有

y/by/2

----x+---z=0

22

令z=6，得x=l,y=->/J,

所以〃=（1,一百,），

設直線網(wǎng)與平面44G所成角為0,

-?戶指I娓

則有sin<9=1cos<B…門F

所以直線84與平面4AG所成角的正弦值為逅.

7

21.如圖1,4。分別是矩形48cA上的點，AB=2AAt=2AD^2,DC=2DD、,把四邊形

沿折疊，使其與平面/BCD垂直，如圖2所示，連接48,得到幾何體

ABA「DCR.

⑴當點E在棱45上移動時，證明：DiELA{D.

⑵在棱48上是否存在點E,使二面角"-EC-。的平面角為?？若存在，求出月E的長;

若不存在，請說明理由.

【答案】⑴證明見解析；

（2）存在，|/?=2—亭.

【分析】（1）利用題設條件及面面垂直的性質定理證得。4DC,。。兩兩垂直，從而建立空

間直角坐標系，求得4萬，印，由此可證得口￡，4。；

（2）利用（1）中結論，求出平面。CE與平面的法向量，從而利用空間向量夾角余弦

的坐標公式得到關于比的方程，解之即可.

【解析】（1）由圖1易知圖2中，有4DLDD1,4DLCD,

又因為面A,ADD,1面ABCD,面AtADDtA面ABCD=AD,CDu面ABCD,

所以C。，面//?？?，又。。u面故coion，

故以。為原點，邊。4OC,。。所在直線分別為x軸，＞軸，z軸建立空間直角坐標系，如

圖，

則￡>(0,0,0),￡>,(0,0,1),4(l,0,l),C(0,2,0),

不妨設/￡=%,0<^<2,則E(l,%,0),故而=(-1,0,7),率

所以庠?麗=0,故

（2）假設存在E（l,九,0）使二面角A-EC-O的平面角為J,其中04%W2,

因為。。，平面。CE,所以西=（0,0,1）可作為平面DCE的一個法向量，

因為西=（0,-2,1）,席=（1,%,T）,

r-D.E=0[x+yy-z=0

設平面Z）CE的一條法向量為尸=（xj,z）,則，，即、‘n°，c,

r-CD,=0[-2y+z=0

令y=l,則x=2-%,z=2,故了=(2-外,1,2),

因為二面角A—EC-。的平面角為J,

0

兀2

所以卜os（￡>￡）［,不）卜cos—即

6_2J(2―%y+1+42，

整理得3%2_12%+11=0,解得%=2-9或%=2+左（舍去），

所以|工目=乂）=2--^->

故在棱川上存在點E,使二面角。-EC"的平面角為,且照=2-率

22.如圖①所示，長方形中，AD=\,AB=2,點M是邊CD的中點，將△4。“沿

4"翻折到連接尸8,PC,得到圖②的四棱錐尸-4BCM.

⑴求四棱錐尸-/8CM的體積的最大值；

⑵若棱P5的中點為N,求CN的長；

⑶設尸-//-。的大小為。，若0€（0卷，求平面尸/M和平面P8C夾角余弦值的最小值.

【答案】⑴理

4

⑵考

2

⑶當

【分析】（1）作出輔助線，得到當平面以M，平面/8CW時，P點到平面48cM的距離最

大，四棱錐P-48CW的體積取得最大值，求出=也，從而得到體積最大值；

22

（2）作出輔助線,證明出四邊形CNQM為平行四邊形,從而得到CW=九@=J[j+12=當；

（3）作出輔助線，得到NPGD為尸的平面角，即NPGD=8,建立空間直角坐標

系，用含0的關系式表達出平面玄〃和平面尸8