天津市南開中學(xué)2023屆高三高考模擬數(shù)學(xué)試題（含答案與解析）

天津市南開中學(xué)2023屆高三高考模擬試題

數(shù)學(xué)

本試卷共4頁，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題（本題共9小題，每小題5分，共45分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.）

1,已知全集。={1，2,3,4,5,6},集合A={L2,3},人{(lán)2,5,6},則Ac（”）=（）

A.{4}B.{1,3}C.{1,2,3,4}D.{1,3,4,5,6}

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十

一，請(qǐng)問尖頭幾盞燈？’‘意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的

2倍，則塔的頂層共有燈

A.1盞B.3盞

C.5盞D.9盞

5.設(shè)4=k)g36,匕=log510,C=log714,則().

A.c>h>aB.b>c>a

C.a>c>bD.a>b>c

6.若向量Q,b滿足：4=(1,0),力=(1,6),則匕在Q上的投影向量為()

11r

A—aB.—ciC.—aD.a

44

22

7.已知拋物線V=2PMp>0)上一點(diǎn)M(1,加)到其焦點(diǎn)的距離為5,雙曲線二—二=1(a>0,6>0)的左

CTb~

頂點(diǎn)為4且離心率為趙，若雙曲線的一條漸近線與直線AM垂直，則雙曲線的方程為（）

2

22

A.》2_21=1B.---y2=lC.x2-2/=1D.x2-4y2=1

44'

8.將函數(shù)=sin2x的圖象向右平移°[0<e<9個(gè)單位后得到函數(shù)g（x）的圖象，若g（x）在區(qū)間

TT（JTITI

0,-上單調(diào)遞增，且函數(shù)g（x）的最大負(fù)零點(diǎn)在區(qū)間-],-q上，則9的取值范圍是

兀兀兀5兀、「兀兀]（兀兀

A

1294612）L63」（64J

9.直線/：ax+-y-l=0與x,y軸的交點(diǎn)分別為A,B,直線/與圓O：/+爐=1的交點(diǎn)為C,D,給出下

a

面三個(gè)結(jié)論：①VaNl,SMO產(chǎn)②三位1,|42|<|C￡>|；③三色1,SACOOV3.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是

（）

A.①②B.②?C.①③D.①②③

二、填空題（本題共6小題，每小題5分，共30分.）

Z.

10.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)4與Z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，且Z1=-l+i,則」=.

11.某次體檢，7位同學(xué)的身高（單位：米）分別為1.72,1.7位L75,1.41,1.80,1.69,1.77,則

這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是（米）

（"一:）的展開式的常數(shù)項(xiàng)為

12.,（用數(shù)字作答）

13.海棠同學(xué)在參加南開中學(xué)陶藝社時(shí)，制作了一個(gè)工藝品，如圖所示，該工藝品可以看成是一個(gè)球被一

個(gè)棱長(zhǎng)為32厘米正方體的六個(gè)面所截后剩余的部分(球心與正方體的中心重合)，若其中一個(gè)截面圓的

周長(zhǎng)為24兀厘米，則該球的表面積為平方厘米.

14.某校從5名學(xué)生中選派3人參加勞動(dòng)技能大賽，己知這5名學(xué)生中有高一年級(jí)學(xué)生2名，高二年級(jí)學(xué)

生2名，高三年級(jí)學(xué)生1名，則所選3人分別來自不同年級(jí)的概率為,記所選3人中高一年級(jí)

學(xué)生的人數(shù)為X,則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=.

++a_2A*<0

15.已知awA,函數(shù)2-’若對(duì)任意xe[-3,+℃),小閆龍|恒成立，則a

[~x2+2x-2a,x>0.11

的取值范圍是.

三、解答題(本大題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)

16.在.ABC中，a,b,c分別為角A,B,C所對(duì)的邊，且4cosc=2?+c.

(1)求角B的大??；

(2)若26sin(q+[)cos[t+]]-2sin2(4+l]=H，求cosC的值.

(26)【26)(26)13

17.在四棱錐P—48co中，底面ABCO,且/%=2，四邊形ABC。是直角梯形，且ABLA。，

BC//AD,AD=AB=2,BC=4,M為PC中點(diǎn)，E在線段BC上，且5E=L

(2)求平面與平面8M；夾角的余弦值；

(3)求點(diǎn)E到平面PDC的距離.

18.已知數(shù)列｛〃｝是首項(xiàng)4=1也=10的等差數(shù)列，設(shè)&+2=31og1a“(〃eN*)

4

(1)求證：｛%｝等比數(shù)列；

(2)記1=記二，求數(shù)列｛c,,｝的前〃項(xiàng)和S.；

(3)在(2)的條件下，記4=(3〃+l)-S“，若對(duì)任意正整數(shù)W,不等式

111m

—y+-+—^＞不7恒成立，求整數(shù)團(tuán)的最大值.

19.已知橢圓三+/=l(a＞人＞0)的左頂點(diǎn)為A(-2,0),離心率為坐，過點(diǎn)A且斜率為左(左?！?的直

線/與橢圓交于點(diǎn)。與)'軸交于點(diǎn)E.

(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)P為A。的中點(diǎn).

(i)若X軸上存在點(diǎn)Q,對(duì)于任意的左伏。0),都有OP_LEQ(。為原點(diǎn))，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(ii)射線PO(。為原點(diǎn))與橢圓C交于點(diǎn)M,滿足J1+4/tan/AA〃)=一6一,求正數(shù)上值.

MAMD

1Y1

20.已知函數(shù)/(x)=—+lnx,^(x)=—+--Ina(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

axe2

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)。＞0時(shí)，若函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).

(i)求實(shí)數(shù)。的集合；

(ii)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)(b,c)有且僅有3條直線與函數(shù)y=/(x)的圖象相切，求證：當(dāng)力〉e時(shí)，

I1-1+c<f(b)<c.

參考答案

一、選擇題(本題共9小題，每小題5分，共45分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.〉

1.已知全集。={123,4,5,6},集合A={123},於{2,5,6},—)=()

A.{4}B.{1,3}C.{1,2,3,4}D.{1,3,4,5,6)

【答案】B

【解析】

【分析】

由已知集合，根據(jù)交補(bǔ)運(yùn)算求Ac(Q/)即可.

【詳解】由題意知：e8={1,3,4},而4={1,2,3},

.?.A@8)={1,3},

故選：B

的部分圖象大致為(

【解析】

【分析】根據(jù)題意，分析可得函數(shù)/(X)為奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，有〃力>0,利用排除法分析可得答案.

x(e-r+ev)

【詳解】解：根據(jù)題意，對(duì)于函數(shù)〃力=

2+cosx

-x(ev+e~vx(e-A+eA)

有函數(shù)“一力=-/(x),

2+cosx2+cosx

即函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除A、B；

當(dāng)x>0時(shí)，COSXG[-1,1],則恒有=+e1〉o,排除D；

,2+COSJC

故選：C.

3.已知。，beR,則“必=0”是“函數(shù)/(x)=x|x+a|+b是奇函數(shù)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義和性質(zhì)得出“函數(shù)/(x)=x|x+a|+b是奇函數(shù)”的等價(jià)條件，再根據(jù)

“ab=0”0。=0或A=0；由充分必要條件的定義即可得到結(jié)論.

【詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)锳，

若函數(shù)/(x)=x|x+a|+b為奇函數(shù),

則〃0)=b=0,

當(dāng)力=0時(shí)，f(x)=x\x+a\,若為奇函數(shù),

則/(-X)=-x|-x+a|=-/(x)=-x|x+a|,

即|x—a|=|x+a|,：.a=0,

即函數(shù)/。)=-》"+4|+6為奇函數(shù)的充要條件是。=8=0,

ab=0,；.a=0或力=0,

“ab=0”推不出“函數(shù)/(x)=x|x+a|+。是奇函數(shù)”，

“函數(shù)/(x)=x|x+a|+匕是奇函數(shù)”可以得到“曲=0”；

則“必=0”是“函數(shù)/(x)=x|x+a|+b是奇函數(shù)”的必要不充分條件.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，根據(jù)奇偶性的定義是解決本題的關(guān)鍵.屬于基礎(chǔ)題.

4.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十

一，請(qǐng)問尖頭幾盞燈？“意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的

2倍，則塔的頂層共有燈

A.1盞B.3盞

C.5盞D.9盞

【答案】B

【解析】

【詳解】設(shè)塔頂?shù)纳奖K燈，

由題意｛如｝是公比為2的等比數(shù)列，

,3止2381,

1-2

解得ai=3.

故選B.

5.設(shè)a=log36,/?=log510,c=log714,則().

A.c>b>aB.b>c>a

C.a>c>bD.a>b>c

【答案】D

【解析】

1

【詳解】試題分析：???a=log；6=l-log32=】+---,6=logel0=l+log2=I+

k>g?3：k>g：5

c=log-14=】+log-2=1+---Kfog,7>k>g,5>log3>0；..a>b>c

log：7:

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性.

6.若向量a，b滿足：。=（1，0），力=（1，5,則8在a上的投影向量為（）

11r〃.

A.—aB.—aC.—/7D.a

44

【答案】D

【解析】

【分析】先根據(jù)平面向量數(shù)量積的幾何意義求出。在a上的投影，然后結(jié)合向量的數(shù)乘運(yùn)算即可求出結(jié)果.

【詳解】匕在。上的投影為W8s《出）=獷彳lxl+0xV3

=1

V12+02X^12+(V3)2

所以/，在a上的投影為a.

故選：D.

22

7.已知拋物線丁=2Px（p＞0）上一點(diǎn)M（1,根）到其焦點(diǎn)的距離為5,雙曲線工—與=1（。＞0力＞0）的左

ab-

頂點(diǎn)為A且離心率為好，若雙曲線的一條漸近線與直線40垂直，則雙曲線的方程為（）

2

22

A.X2--=1B.-y2=]c.x2-2y2=1D.%2_4y2=]

44

【答案】D

【解析】

【分析】

先求出拋物線的方程，從而得到加的值，根據(jù)離心率得到漸近線方程，由漸近線與直線AM垂直得到”的

值，從而可得雙曲線的方程.

【詳解】因?yàn)椤埃?,〃。到其焦點(diǎn)距離為5,故1+5=5,故，=8,

故拋物線的方程為：/=16X,故加=±4.

因?yàn)殡x心率為亭，故Ji+gJ=亭,故'=；,

根據(jù)拋物線和雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)M在第一象限，則M（l,4）,

V4-0c1

則與漸近線丁=一]垂直，故]_（_.）=2,故。=1,故。=5,

故雙曲線方程為：x2-4/=1.

故選：D.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：(1)丁=2*(〃＞0)上一點(diǎn)"(4,幾)到其焦點(diǎn)的距離為七+^,解題中注意利用

這個(gè)結(jié)論.

(2)如果直線4與直線4：了=左2了+方2垂直，那么％色=一1.

8.將函數(shù)〃x)=sin2x的圖象向右平移。(0＜。＜3個(gè)單位后得到函數(shù)g(x)的圖象，若g(x)在區(qū)間

■jrfjr7T］

0,-上單調(diào)遞增，且函數(shù)g(x)的最大負(fù)零點(diǎn)在區(qū)間一§,-w上，則。的取值范圍是

兀兀7157t、TITIfnn

A.

1294612)|_63j(64j

【答案】D

【解析】

【分析】利用函數(shù)/(x)=sin2x的圖象向右平移＜夕＜個(gè)單位后，得到函數(shù)g(%)的圖象的位置特

征，列出關(guān)于9的關(guān)系式，最后確定取值范圍.

【詳解】函數(shù)/(x)=sin2x的圖象向右平移個(gè)單位后，得到函數(shù)g(x)的圖象，所以

g(x)=sin(2x-2。)，XG0,2=＞(2工一2。)￡［一2。,?一2。］,g(x)在區(qū)間0,^上單調(diào)遞增，所以有

萬c，兀

---2夕W—

2=￡<夕(乙①；當(dāng)2%一2°=左萬=4+0(ZcZ)時(shí)，函數(shù)g(元)=0,而0<8<2，J9f

c、萬12422

-2(/)>----

1/兀兀)

以函數(shù)g(x)的最大負(fù)零點(diǎn)為x=""+S,它在區(qū)間上，所以有

一［＜—＜乃+9〈一￡=②，結(jié)合①②，夕的取值范圍是

32663

—,故本題選D.

(64_

【點(diǎn)睛】本題考查了正弦型函數(shù)圖象的變換規(guī)律，正弦型函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)，考查了運(yùn)算能力.

9.直線/：ax+-y-l=0與x,y軸的交點(diǎn)分別為A,B,直線/與圓O：/+尸=1的交點(diǎn)為C,D,給出下

a

面三個(gè)結(jié)論：①V論1,②三色1,|AB|<|CD|；③三龍1,SACWV3.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是

()

A.①②B.②③C.①③D.①②③

【答案】C

【解析】

【分析】①當(dāng)時(shí)，分別可得直線的截距，由三角形的面積公式易得結(jié)論①正確；②當(dāng)時(shí)，反證

法可得結(jié)論②錯(cuò)誤；③由三角形的面積公式可得SAC8=；sin/A0CK；,可得結(jié)論③正確.

【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，把x=0代入直線方程可得y=m把y=0代入直線方程可得x=',

a

...SAAOB=』XaX4=L故結(jié)論①正確;

2a2

,故依砰=4+」,

②當(dāng)心1時(shí)，HB|=

a~

\-a\

直線/可化為^x+y-a=0,圓心0至I"的距離d='

V?4+i

1

,故|C￡>F=4(1-淤)=4(1--j~~r),

1------------

假設(shè)H8|<|CC|,則兇B|2<|C￡>F，即〃+<4(121)，

a2a

a

整理可得(序+二)2-4(?2+-4)+4<0,即(a2+-4-2)2<0,

Q-Q-

顯然矛盾，故結(jié)論②錯(cuò)誤；

5ACOD=-|OA||OC|sinZAOC=-sinZAOC<-,

222

故人使得結(jié)論③正確.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查直線和圓的位置關(guān)系，涉及基本不等式和三角形的面積公式，屬中檔題.

二、填空題(本題共6小題，每小題5分，共30分.)

z,

10.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)4與Z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，且4=-1+『，則一L=

【答案】i

【解析】

【分析】由已知求得Zz=l+?,代入五，然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.

【詳解】,?,復(fù)數(shù)?與Z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，且?=-1+工

則z2=l+/,

.4=T+i（-1+'）（1_'）=21

**z2-1+z-（l+/）（l-z）-2一，

故答案為i.

【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基礎(chǔ)的計(jì)算題.

11.某次體檢，7位同學(xué)的身高（單位：米）分別為1.72,1.78，1.75,1.41,1.80,1.69,1.77,則

這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是（米）

【答案】1.78

【解析】

【分析】首先將數(shù)據(jù)從小到大排列，再根據(jù)百分位數(shù)計(jì)算規(guī)則計(jì)算可得.

【詳解】將這7個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列為1.41,1.69,1.72,1.75,1.77,1.78,1.80,

因?yàn)?x75%=5.25,故第75百分位數(shù)為第6個(gè)數(shù)1.78.

故答案為：1.78

12.（五-的展開式的常數(shù)項(xiàng)為.（用數(shù)字作答）

21

【答案】一彳

2

【解析】

【分析】寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，令x的指數(shù)為零，求出參數(shù)的值，代入通項(xiàng)即可得解.

［詳解］的展開式通項(xiàng)為.X手，

9—3r（1A3?1

令二一二0,解得尸=3,所以，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為《?—士.

2\2）2

21

故答案為：----.

2

13.海棠同學(xué)在參加南開中學(xué)陶藝社時(shí)，制作了一個(gè)工藝品，如圖所示，該工藝品可以看成是一個(gè)球被一

個(gè)棱長(zhǎng)為32厘米的正方體的六個(gè)面所截后剩余的部分（球心與正方體的中心重合），若其中一個(gè)截面圓的

周長(zhǎng)為24兀厘米，則該球的表面積為平方厘米.

【答案】160071

【解析】

【分析】先根據(jù)截面圓周長(zhǎng)和正方體的棱長(zhǎng)求出球的半徑，即可求出球的表面積.

【詳解】截面圓的周長(zhǎng)為24兀，則截面圓的半徑為生=12,

2兀

如圖，設(shè)球心為。，截面圓的圓心為。-P為截面圓上一點(diǎn),

則0。_LO￡

32

由題意=5=16,

OF=12,

所以O(shè)P=Joo；+OF=20.

該球的表面積為471X2（）2=1600兀（平方厘米），

故答案為：160071

14.某校從5名學(xué)生中選派3人參加勞動(dòng)技能大賽，已知這5名學(xué)生中有高一年級(jí)學(xué)生2名，高二年級(jí)學(xué)

生2名，高三年級(jí)學(xué)生1名，則所選3人分別來自不同年級(jí)的概率為,記所選3人中高一年級(jí)

學(xué)生的人數(shù)為X,則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E（X）=.

【答案】①.||

【解析】

【分析】

（1）利用古典概率模型進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案；

（2）求出隨機(jī)變量X可能取值的概率，再代入期望的計(jì)算公式；

【詳解】⑴人^<

(2)隨機(jī)變量X可能取值為0』,2,則

C31（）受（）里￡■=』,

p（x=0）===_!_,Px=l=g=9,px=2=

C；10Cl10Cl10

6

E（X）=0x—+lx色+2x3

10105

故答案為：-；—

—,“、「爐+2%+。一2，x<0,,一「I1

15.已知acR,函數(shù)/(x)={若對(duì)任意［-3,+8),段)Wx恒成立，則a

—x9~+2x—2a,x>0.

的取值范圍是.

【答案】),2

O

【解析】

【分析】由題意分類討論x>0和X40兩種情況，結(jié)合恒成立的條件整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.

【詳解】分類討論：①當(dāng)x>0時(shí)，/(x)<|x|BP：-x2+2x-2tz<x，

整理可得：a2—x24—xt

22

由恒成立條件可知：42［一；/+；工)(x>0),

IZZ/max

結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知:

當(dāng)％=，時(shí),則a2L

28

②當(dāng)—3<x40時(shí)，/（x）w|x|即：X2+2X+?-2<-X.整理可得：a<-x2-3x+2）

由恒成立的條件可知：2

a<(-x-3x+2%n(-3<%<0),

結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知：

當(dāng)x=-3或x=0時(shí)，(-廠-3了+2).=2,則a<2；

\/min

-1

2，故答案為

綜合①②可得。的取值范圍是8-5,2

O

點(diǎn)睛：對(duì)于恒成立問題，常用到以下兩個(gè)結(jié)論：(l)e/(x)恒成立0a次(2)Y/(x)恒成立有

關(guān)二次函數(shù)的問題，數(shù)形結(jié)合，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法.一般從：①開口方向；②對(duì)稱

軸位置；③判別式；④端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)四個(gè)方面分析.

三、解答題（本大題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）

16.在中，a,b,c分別為角A,B,。所對(duì)的邊，且力cosC=2a+c.

（1）求角B的大?。?/p>

（2）若2Gsin（g+F]cos（g+B]-2sin?[4+斗=[,求cosC的值.

（26）[26）[26）13

【答案】（1）—

3

⑵12+56

-26~

【解析】

【分析】（1）利用余弦定理將角化邊，再由余弦定理計(jì)算可得；

（2）利用二倍角公式、輔助角公式及誘導(dǎo)公式求出cosA,即可求出sinA,再由兩角差的余弦公式計(jì)算可

得.

【小問1詳解】

_ABC中，a,b,。分別為角A,B,。所對(duì)的邊，且2Z?cosC=2a+c.

,2_2

???由余弦定理得2bx—―=2a+c,整理得b2=a2+c2+ac^

2ab

cosB

2

840,兀),

【小問2詳解】

5/5sin(A+gJ+co$(A+gJ=百，

.(A兀、1(A兀、］24nnf71兀、24

2—sinA+-+-cosA+-,即2sm+-+~=—，

2V3/213J\13\36/13

所以cosA=—,

13

又Ac|0,—|,sinA=Vl-cos2A=—,

I3j13

c建八Tt，.兀..1126512+5>/3

，cosC=cos——A-cos—cosA+sin—sinA=—x-—+——x—=-------.

UJ3321321326

17.在四棱錐P—ABC。中，PA_L底面ABCQ,且24=2，四邊形ABC。是直角梯形，且45,4),

BC//AD,AD=AB^2,BC=4,〃為PC中點(diǎn)，E在線段上，且6E=1.

（1）求證：DW〃平面B43；

（2）求平面PDE與平面BOE夾角的余弦值;

（3）求點(diǎn)E到平面POC的距離.

【答案】（1）證明見解析

⑶上

【解析】

【分析】（1）（2）（3）根據(jù)題意，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AO為＞軸，/爐為z軸建立空間直角坐

標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得；

【小問1詳解】

證明：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，A6為*軸，AO為V軸，”為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則4(0,0,0),5(2,0,0),￡>(0,2,0),P(0,0,2),C(2,4,0),A/(1,2,1),￡(2,1,0),

DM=(1,0,1),

易知平面的一個(gè)法向量為A。=（0,2,0）,故。A/.AQ=0,

則DM±AD

又。平面Q4B，故〃平面B45.

【小問2詳解】

易知平面BDE一個(gè)法向量為AP=(0,0,2),

設(shè)平面PDE的法向量為m=(x,y,z),

且尸。=(0,2,—2),DE=(2,-1,0),

m?PD=2y-2z=0

則令y=2,則x=l,z=2,.M=(1,2,2),

m?DE=2x-y=0

設(shè)平面POE與平面BOE夾角為6,易知。為銳角,

\!n-AP422

所以cos?=kos(m,AP-,即平面PDE與平面3DE夾角的余弦值為I.

\m\\AP3x2

【小問3詳解】

設(shè)平面PDC的法向量為”=(a,反c),且。C=(2,2,0),

[n-PD^2b-2c^0,、

則〈，令人=1,則4=一1,C=l,故-1,1,1),

[h-DC=2a+2b=0

DEn

設(shè)點(diǎn)E到平面PQC距離為“，；.〃=卡日

18.已知數(shù)列也｝是首項(xiàng)a=1e=10的等差數(shù)列，設(shè)2+2=310glq,(〃eN)

4

(1)求證：｛4｝是等比數(shù)列；

(2)記加=日一，求數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S.；

(3)在(2)的條件下，記4=(3"+l>S“，若對(duì)任意正整數(shù)〃，不等式

11m

+埼>五恒成立,求整數(shù)〃7的最大值?

【答案】(1)證明見解析.

n

⑵S”

3〃+1

(3)11

【解析】

【分析】(1)運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得公差d=3,進(jìn)而得到么=3〃-2,再由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和等

比數(shù)列的定義，即可得證;

(2)由(1)得%=((二二一『二］，再利用裂項(xiàng)相消法求和即可；

313〃-23?+1J

(3)根據(jù)題意，求得4,="，設(shè)/?(〃)=」一+」一+3+」一，判斷其為單調(diào)遞增，求得最小值為

幾+1力+2n+n

/(I),再由恒成立思想可得團(tuán)的范圍，進(jìn)而得到整數(shù)團(tuán)的最大值.

【小問1詳解】

b-h

解：由仇=1及a=10,得d=0~L=3,所以。=3〃-2.

4-1

Z〔XM

因?yàn)椤?2=3k)ga=3〃-2+2=3〃，所以log4=〃，即。=M(i*

44"⑷'

=；,所以數(shù)列｛q｝是首項(xiàng)4=；,公比q的等比數(shù)列.

【小問2詳解】

1

解：由(1)得c“一/J,所以

111

—4--——+---

4473H-23H+1J313H+1J3〃+1

【小問3詳解】

解：因?yàn)?,=(3〃+l)S“=(3〃+l>^y=〃，

111f/l

則問題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意正整數(shù)n使不等式——+——++——>一恒成立.

幾+1〃+2〃+力24

設(shè)/(〃)=」~7+—^+―++」一，則

n+l〃+2幾+3〃+〃

111

/*(n+l)-f(n}=-----------+-----------+-■+----------------1-----hH----

')')(“+1)+1(〃+1)+2(7?+1)(/7+1)?〃+1〃+2n+n

111

=-----1-----------

2〃+12幾+2n+1

111

=-------------------=---------------------->0

2〃+12n+2(2〃+1)(2〃+2)

所以/(〃+1)>/(〃)，故/(〃)的最小值是"1)=;.

ini

由一〉一，所以加＜12,則整數(shù)加可取最大值為11.

224

19.已知橢圓[+￥=1（。＞人＞。）的左頂點(diǎn)為4（-2,0）,離心率為當(dāng)，過點(diǎn)A且斜率為攵僅。0）的直

線/與橢圓交于點(diǎn)。與y軸交于點(diǎn)E.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)P為A。的中點(diǎn).

（i）若X軸上存在點(diǎn)Q,對(duì)于任意的左伏。0）,都有OP_LEQ（。為原點(diǎn)），求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；

（ii）射線P0（。為原點(diǎn)）與橢圓C交于點(diǎn)滿足Jl+4Ftan/AM￡＞=__,求正數(shù)左的值.

MAMD

fA

【答案】（I）上+y2=i；（H）（i）見解析；（ii）%

46

【解析】

【分析】（I）根據(jù)橢圓的左頂點(diǎn)為A（-2,0）,離心率為母，結(jié)合性質(zhì)/=82+。2,列出關(guān)于。、b、c

的方程組，求出〃、b,即可得結(jié)果；（H）（i）假設(shè)x軸上存在著點(diǎn)Q（加,0）使得0P設(shè)A。

'-8尸2k、

y=Z（x+2）,與橢圓方程聯(lián)立，求得P,利用斜率公式，結(jié)合?心,=-1可求得

J+4&2'1+4吃

〃?=-：；（ii）設(shè)P。所在直線方程為＞=—1-x,與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線距離公式結(jié)

24Z

1,1+4左2+2>4J1+,3…I,..2t/…八6『

合韋達(dá)定理求出.-----三——=二......，冉由S+4KtanZAMD=-------:可

27^71妹-+1%+4%2MAMD

03

得5根“°=7]+4&個(gè)，解方程即可得結(jié)果.

【詳解】⑴由已知得。=2又1飛=上二二色,."=1橢圓方程為：—+/=1,

a24

（II）（i）假設(shè)x軸上存在著點(diǎn)。（租,0）使得。P，EQ,

設(shè)AO所在的直線方程為：y=Z（x+2）,點(diǎn)。（X1,y）

由解得（叱+W+16入+.-4=。,A=16>0,

c-16/c2-2+x,-Sk2口'-8-2k、

-2+x,=―：—=--------L=-------5,：.P

14公+1021+4公J+4/'1+4/,

2k._-1

七(0,2%)/.kEQ

二？叩F

?OPLEQ，S=—1,

解得〃?=-：x軸上存在著點(diǎn)Q(-g,o)使得OP’EQ成立,

(ii)設(shè)PO所在直線方程為曠=-」-%，則

4k

M到直線/的距離：d=~

VF+i

J1+4rtanZAMD=——

MAMD

...而必sinZAMD=6

cosZAMD|M4||M.cos/AMO

即1Jl+4)sinNAA例例W4=3,；?SMMD=?

c_1Jl+4-2+2%癡+/_3

AMMD==

2V^+I-7FTTVIZF

解得J1+4k°-4左,k>0.'.k-.

6

【點(diǎn)睛】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、以及解析幾何中的存在性問題，屬于難題.解決存在

性問題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在，注意：①當(dāng)條

件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類討論；②當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件；③當(dāng)

條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法題很難時(shí)采取另外的途徑.

1Y1

20.已知函數(shù)/(x)=—+lnx,g(x)=—+--lna(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

axe2

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)。>0時(shí)，若函數(shù)y=/(x)與y=g(x)的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).

(i)求實(shí)數(shù)”的集合；

(ii)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)(仇c)有且僅有3條直線與函數(shù)y=/(x)的圖象相切，求證：當(dāng)匕〉e時(shí),

-■|］+c</S)<c.

【答案】(1)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1).

(2)(i)|||(ii)證明見解析

【解析】

【分析】(1)直接利用導(dǎo)函數(shù)求單調(diào)區(qū)間，需注意定義域；

(2)(i)根據(jù)y=f(x)與y=g(x)的單調(diào)性可判斷，只有=時(shí)，兩函數(shù)圖象有且只有一個(gè)公

共點(diǎn)；

(ii)經(jīng)過點(diǎn)他,C)有且僅有3條直線與函數(shù)y=/(x)的圖象相切，可轉(zhuǎn)化為切點(diǎn)為(』,/(七))經(jīng)過點(diǎn)

(b,c)與函數(shù)y=/(x)的圖象相切的的直線有3條，即將(仇c)代入切線方程后，關(guān)于修的方程有3個(gè)根.

a卜1「

進(jìn)而轉(zhuǎn)化為"(x)=lnx-廠+------有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)”(x)的單調(diào)性研究其零點(diǎn)，可得到不

ZXX

等關(guān)系，進(jìn)而可證明不等式成立.

【小問1詳解】

當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=—+lnx,x>0,

11x-1

------1-----------

x2xx2

當(dāng)o<x<i時(shí)，r(x)<。，所以/(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,

當(dāng)X>1時(shí)，制x)>0,所以/(力在區(qū)間(1,轉(zhuǎn))上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)4=1時(shí)，/(X)的