2023年甘肅省武威市中考數(shù)學(xué)真題試卷(解析版)

2023年甘肅省武威市中考數(shù)學(xué)真題試卷及答案考生注意：本試卷滿分為120分，考試時間為120分鐘．所有試題均在答題卡上作答，否則無效．一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題只有一個正確選項(xiàng)．1.9的算術(shù)平方根是（）A. B. C.3 D.【答案】C【解析】由，可得9的算術(shù)平方根．解：9的算術(shù)平方根是3，故選C【點(diǎn)撥】本題考查的是算術(shù)平方根的含義，熟練的求解一個數(shù)的算術(shù)平方根是解本題的關(guān)鍵．2.若，則（）A.6 B. C.1 D.【答案】A【解析】根據(jù)等式的性質(zhì)即可得出結(jié)果．解：等式兩邊乘以，得，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了等式的性質(zhì)，熟練掌握等式的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．3.計(jì)算：（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】先計(jì)算單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，再合并同類項(xiàng)即可．解：，故選：B【點(diǎn)撥】此題考查了整式的四則混合運(yùn)算，熟練掌握單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．4.若直線（是常數(shù)，）經(jīng)過第一、第三象限，則的值可為（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】通過經(jīng)過的象限判斷比例系數(shù)k的取值范圍，進(jìn)而得出答案．∵直線（是常數(shù)，）經(jīng)過第一、第三象限，∴，∴的值可為2，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟記比例系數(shù)與圖象經(jīng)過的象限之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．5.如圖，是等邊的邊上的高，以點(diǎn)為圓心，長為半徑作弧交的延長線于點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由等邊三角形的性質(zhì)求解，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得，從而可得答案．解：∵是等邊的邊上的高，∴，∵，∴，故選C【點(diǎn)撥】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟記等邊三角形與等腰三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．6.方程的解為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解，然后解出的解要進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否為增根．去分母得，解方程得，檢驗(yàn):是原方程的解，故選A．【點(diǎn)撥】本題考查了解分式方程的一般步驟，解題關(guān)鍵是熟記解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，即把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解，注意分式方程需要驗(yàn)根．7.如圖，將矩形對折，使邊與，與分別重合，展開后得到四邊形．若，，則四邊形的面積為（）A.2 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】由題意可得四邊形是菱形，，，由菱形的面積等于對角線乘積的一半即可得到答案．解：∵將矩形對折，使邊與，與分別重合，展開后得到四邊形，∴，與互相平分，∴四邊形是菱形，∵，，∴菱形的面積為．故選：B【點(diǎn)撥】此題考查了矩形的折疊、菱形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握菱形的面積等于對角線乘積的一半是解題的關(guān)鍵．8.據(jù)統(tǒng)計(jì)，數(shù)學(xué)家群體是一個長壽群體，某研究小組隨機(jī)抽取了收錄約位數(shù)學(xué)家的《數(shù)學(xué)家傳略辭典》中部分歲及以上的長壽數(shù)學(xué)家的年齡為樣本，對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理與分析，統(tǒng)計(jì)圖表（部分?jǐn)?shù)據(jù)）如下，下列結(jié)論錯誤的是（）年齡范圍（歲）人數(shù)（人）251110A.該小組共統(tǒng)計(jì)了100名數(shù)學(xué)家年齡B.統(tǒng)計(jì)表中的值為5C.長壽數(shù)學(xué)家年齡在歲的人數(shù)最多D.《數(shù)學(xué)家傳略辭典》中收錄的數(shù)學(xué)家年齡在歲的人數(shù)估計(jì)有110人【答案】D【解析】利用年齡范圍為的人數(shù)為10人，對應(yīng)的百分比為，即可判斷A選項(xiàng)；由A選項(xiàng)可知該小組共統(tǒng)計(jì)了100名數(shù)學(xué)家的年齡，根據(jù)即可判斷B選項(xiàng)；由扇形統(tǒng)計(jì)圖可知，長壽數(shù)學(xué)家年齡在歲的占的百分比最大，即可判斷C選項(xiàng)；用乘以小組共統(tǒng)計(jì)了100名數(shù)學(xué)家的年齡中在歲的百分比，即可判斷D選項(xiàng)．解：A．年齡范圍為的人數(shù)為10人，對應(yīng)的百分比為，則可得（人），即該小組共統(tǒng)計(jì)了100名數(shù)學(xué)家的年齡，故選項(xiàng)正確，不符合題意；B．由A選項(xiàng)可知該小組共統(tǒng)計(jì)了100名數(shù)學(xué)家的年齡，則，故選項(xiàng)正確，不符合題意；C．由扇形統(tǒng)計(jì)圖可知，長壽數(shù)學(xué)家年齡在歲的占的百分比最大，即長壽數(shù)學(xué)家年齡在歲的人數(shù)最多，故選項(xiàng)正確，不符合題意；D．《數(shù)學(xué)家傳略辭典》中收錄的數(shù)學(xué)家年齡在歲的人數(shù)估計(jì)有人，故選項(xiàng)錯誤，符合題意．故選：D．【點(diǎn)撥】此題考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖和統(tǒng)計(jì)表，從扇形統(tǒng)計(jì)圖和統(tǒng)計(jì)表中獲取正確信息，進(jìn)行正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．9.如圖1，漢代初期的《淮南萬畢術(shù)》是中國古代有關(guān)物理、化學(xué)的重要文獻(xiàn)，書中記載了我國古代學(xué)者在科學(xué)領(lǐng)域做過的一些探索及成就．其中所記載的“取大鏡高懸，置水盆于其下，則見四鄰矣”，是古人利用光的反射定律改變光路的方法，即“反射光線與入射光線、法線在同一平面上；反射光線和入射光線位于法線的兩側(cè)；反射角等于人射角”．為了探清一口深井的底部情況，運(yùn)用此原理，如圖在井口放置一面平面鏡可改變光路，當(dāng)太陽光線與地面所成夾角時，要使太陽光線經(jīng)反射后剛好垂直于地面射入深井底部，則需要調(diào)整平面鏡與地面的夾角（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，過作平面鏡，可得，，而，再建立方程，可得，從而可得答案．解：如圖，過作平面鏡，∴，，而，∴，∴，∴，故選B．【點(diǎn)撥】本題考查的是垂直的定義，角的和差運(yùn)算，角平分線的含義，屬于跨學(xué)科題，熟記基礎(chǔ)概念是解本題的關(guān)鍵．10.如圖1，正方形的邊長為4，為邊的中點(diǎn)．動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿勻速運(yùn)動，運(yùn)動到點(diǎn)時停止．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動路程為，線段的長為，與的函數(shù)圖象如圖2所示，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】證明，，，則當(dāng)P與A，B重合時，最長，此時，而運(yùn)動路程為0或4，從而可得答案．解：∵正方形的邊長為4，為邊的中點(diǎn)，∴，，，當(dāng)P與A，B重合時，最長，此時，運(yùn)動路程為0或4，結(jié)合函數(shù)圖象可得，故選C【點(diǎn)撥】本題考查的是從函數(shù)圖象中獲取信息，正方形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，理解題意，確定函數(shù)圖象上橫縱坐標(biāo)的含義是解本題的關(guān)鍵．二、填空題：本大題共6小題，每小題3分，共18分．11.因式分解：________．【答案】【解析】先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．解：，故答案為：【點(diǎn)撥】本題考查的是綜合提公因式與公式法分解因式，掌握因式分解的方法與步驟是解本題的關(guān)鍵．12.關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則________（寫出一個滿足條件的值）．【答案】（答案不唯一，合理即可）【解析】先根據(jù)關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根得到，解得，根據(jù)的取值范圍，選取合適的值即可．解：∵關(guān)于一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得，當(dāng)時，滿足題意，故答案為：（答案不唯一，合理即可）【點(diǎn)撥】此題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握當(dāng)時，一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根是解題的關(guān)鍵．13.近年來，我國科技工作者踐行“科技強(qiáng)國”使命，不斷取得世界級的科技成果，如由我國研制的中國首臺作業(yè)型全海深自主遙控潛水器“海斗一號”，最大下潛深度10907米，填補(bǔ)了中國水下萬米作業(yè)型無人潛水器的空白；由我國自主研發(fā)的極目一號Ⅲ型浮空艇“大白鯨”，升空高度至海拔9050米，創(chuàng)造了浮空艇原位大氣科學(xué)觀測海拔最高的世界記錄．如果把海平面以上9050米記作“米”，那么海平面以下10907米記作“________米”．【答案】【解析】根據(jù)正負(fù)數(shù)表示相反的意義解答即可．解：把海平面以上9050米記作“米”，則海平面以下10907米記作米，故答案為：．【點(diǎn)撥】此題考查了正負(fù)數(shù)的理解：在一個事件中，規(guī)定一個量為正，則表示相反意義的量為負(fù)，正確理解正負(fù)數(shù)表示一對相反的意義的量是解題的關(guān)鍵．14.如圖，內(nèi)接于，是的直徑，點(diǎn)是上一點(diǎn)，，則________．【答案】35【解析】由同弧所對的圓周角相等，得再根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，得，然后由直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)果．解：是所對的圓周角，是的直徑，，在中，，故答案為:．【點(diǎn)撥】本題考查了圓周角定理，以及直角三角形的性質(zhì)，利用了轉(zhuǎn)化的思想，熟練掌握圓周角定理是解本題的關(guān)鍵．15.如圖，菱形中，，，，垂足分別為，，若，則________．【答案】【解析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，含直角三角形的性質(zhì)，及三角函數(shù)即可得出結(jié)果．解：在菱形中，，，，，，在中，，同理，，，，在中，．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的性質(zhì)，含直角三角形的性質(zhì)，及三角函數(shù)等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16.如圖1，我國是世界上最早制造使用水車的國家．1556年蘭州人段續(xù)的第一架水車創(chuàng)制成功后，黃河兩岸人民紛紛仿制，車水灌田，水渠縱橫，沃土繁豐．而今，蘭州水車博覽園是百里黃河風(fēng)情線上的標(biāo)志性景觀，是蘭州“水車之都”的象征．如圖2是水車舀水灌溉示意圖，水車輪的輻條（圓的半徑）長約為6米，輻條盡頭裝有刮板，刮板間安裝有等距斜掛的長方體形狀的水斗，當(dāng)水流沖動水車輪刮板時，驅(qū)使水車徐徐轉(zhuǎn)動，水斗依次舀滿河水在點(diǎn)處離開水面，逆時針旋轉(zhuǎn)上升至輪子上方處，斗口開始翻轉(zhuǎn)向下，將水傾入木槽，由木槽導(dǎo)入水渠，進(jìn)而灌溉，那么水斗從處（舀水）轉(zhuǎn)動到處（倒水）所經(jīng)過的路程是________米．（結(jié)果保留）【答案】【解析】把半徑和圓心角代入弧長公式即可；故填：．【點(diǎn)撥】本題考查弧長公式的應(yīng)用，準(zhǔn)確記憶公式，并正確代入公式是解題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題共6小題，共32分．解答時，應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17.計(jì)算：．【答案】【解析】利用二次根式的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可．解：．【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，掌握二次根式的混合運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．18.解不等式組：【答案】【解析】先分別解兩個不等式，求出它們的解集，再求兩個不等式解集的公共部分即可得到不等式組的解集．解：解不等式組：，解不等式①，得．解不等式②，得．因此，原不等式組的解集為．【點(diǎn)撥】本題考查了一元一次不等式組的解法，熟練掌握一元一次不等式組的解法是解答本題的關(guān)鍵．19.化簡：．【答案】【解析】先將除法轉(zhuǎn)化為乘法進(jìn)行計(jì)算，再根據(jù)分式的加減計(jì)算，即可求解．解：原式．【點(diǎn)撥】本題考查了分式的混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式運(yùn)算法則進(jìn)行求解．20.1672年，丹麥數(shù)學(xué)家莫爾在他的著作《歐幾里得作圖》中指出：只用圓規(guī)可以完成一切尺規(guī)作圖．1797年，意大利數(shù)學(xué)家馬斯凱羅尼又獨(dú)立發(fā)現(xiàn)此結(jié)論，并寫在他的著作《圓規(guī)的幾何學(xué)》中．請你利用數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，完成下面的作圖題：如圖，已知，是上一點(diǎn)，只用圓規(guī)將的圓周四等分．（按如下步驟完成，保留作圖痕跡）①以點(diǎn)為圓心，長為半徑，自點(diǎn)起，在上逆時針方向順次截?。虎诜謩e以點(diǎn)，點(diǎn)圓心，長為半徑作弧，兩弧交于上方點(diǎn)；③以點(diǎn)為圓心，長為半徑作弧交于，兩點(diǎn)．即點(diǎn)，，，將的圓周四等分．【答案】見解析【解析】根據(jù)作圖提示逐步完成作圖即可．再根據(jù)圖形基本性質(zhì)進(jìn)行證明即可．解：如圖，即點(diǎn)，，，把的圓周四等分．理由如下：如圖，連接，由作圖可得：，且，∴等邊三角形，，同理可得：，∴，∴A，O，D三點(diǎn)共線，為直徑，∴，設(shè)，而，∴，，由作圖可得：，而，∴，，∴由作圖可得，而，∴，∴，同理，∴點(diǎn)，，，把的圓周四等分．【點(diǎn)撥】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，圓弧與圓心角之間的關(guān)系，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理與勾股定理的逆定理的應(yīng)用，圓周角定理的應(yīng)用，熟練掌握圖形的基本性質(zhì)并靈活應(yīng)用于作圖是解本題的關(guān)鍵．21.為傳承紅色文化，激發(fā)革命精神，增強(qiáng)愛國主義情感，某校組織七年級學(xué)生開展“講好紅色故事，傳承紅色基因”為主題的研學(xué)之旅，策劃了三條紅色線路讓學(xué)生選擇：A．南梁精神紅色記憶之旅（華池縣）；B．長征會師勝利之旅（會寧縣）；C．西路軍紅色征程之旅（高臺縣），且每人只能選擇一條線路．小亮和小剛兩人用抽卡片的方式確定一條自己要去的線路．他們準(zhǔn)備了3張不透明的卡片，正面分別寫上字母，，，卡片除正面字母不同外其余均相同，將3張卡片正面向下洗勻，小亮先從中隨機(jī)抽取一張卡片，記下字母后正面向下放回，洗勻后小剛再從中隨機(jī)抽取一張卡片．（1）求小亮從中隨機(jī)抽到卡片的概率；（2）請用畫樹狀圖或列表的方法，求兩人都抽到卡片的概率．【答案】（1）（2）【解析】（1）本題考查了等可能時間的概率，帶入公式即可求解；（2）先用列表法或樹狀圖法列舉出所有可能的情況，再帶入公式計(jì)算即可．【小問1詳解】（小亮抽到卡片）．【小問2詳解】列表如下：小剛小亮或畫樹狀圖如下：共有9種等可能的結(jié)果，兩人都抽到卡片的結(jié)果有1種，所以，（兩人都抽到卡片）．【點(diǎn)撥】本題考查列舉法求概率，正確用樹狀圖或者列表法列舉出所有情況，并找到符合條件的事件數(shù)量，正確帶入公式計(jì)算是解題的關(guān)鍵．22.如圖1，某人的一器官后面處長了一個新生物，現(xiàn)需檢測到皮膚的距離（圖1）．為避免傷害器官，可利用一種新型檢測技術(shù)，檢測射線可避開器官從側(cè)面測量．某醫(yī)療小組制定方案，通過醫(yī)療儀器的測量獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，并利用數(shù)據(jù)計(jì)算出新生物到皮膚的距離．方案如下：課題檢測新生物到皮膚的距離工具醫(yī)療儀器等示意圖說明如圖2，新生物在處，先在皮膚上選擇最大限度地避開器官的處照射新生物，檢測射線與皮膚的夾角為；再在皮膚上選擇距離處的處照射新生物，檢測射線與皮膚的夾角為．測量數(shù)據(jù)，，請你根據(jù)上表中的測量數(shù)據(jù)，計(jì)算新生物處到皮膚的距離．（結(jié)果精確到）（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】新生物處到皮膚的距離約為【解析】過點(diǎn)作，垂足為，在，用與的正切值表示出，在中，用和的正切值表示出，由，聯(lián)立求解即可．解：過點(diǎn)作，垂足為．由題意得，，，在中，．在中，．∵，∴，∴．答：新生物處到皮膚的距離約為．【點(diǎn)撥】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形，通過三角函數(shù)求解線段是求解本題的關(guān)鍵．四、解答題：本大題共5小題，共40分．解答時，應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．23.某校八年級共有200名學(xué)生，為了解八年級學(xué)生地理學(xué)科的學(xué)習(xí)情況，從中隨機(jī)抽取40名學(xué)生的八年級上、下兩個學(xué)期期末地理成績進(jìn)行整理和分析（兩次測試試卷滿分均為35分，難度系數(shù)相同；成績用表示，分成6個等級：．；．；．；．；．；．）．下面給出了部分信息：a．八年級學(xué)生上、下兩個學(xué)期期末地理成績的統(tǒng)計(jì)圖如下：b．八年級學(xué)生上學(xué)期期末地理成績在．這一組的成績是：15，15，15，15，15，16，16，16，18，18c．八年級學(xué)生上、下兩個學(xué)期期末地理成績的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)如下：學(xué)期平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)八年級上學(xué)期15八年級下學(xué)期19根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）填空：________；（2）若為優(yōu)秀，則這200名學(xué)生八年級下學(xué)期期末地理成績達(dá)到優(yōu)秀的約有________人；（3）你認(rèn)為該校八年級學(xué)生的期末地理成績下學(xué)期比上學(xué)期有沒有提高？請說明理由．【答案】（1）16（2）35（3）八年級，理由見解析【解析】（1）由中位數(shù)的概念，可知40人成績的中位數(shù)是第20、21位的成績；（2）根據(jù)樣本估計(jì)總體即可求解；（3）根據(jù)平均成績或中位數(shù)即可判斷．（1）解：由中位數(shù)的概念，可知40人成績的中位數(shù)是第20、21位的成績，由統(tǒng)計(jì)圖知A組4人，B組10人，C組10人，則中位數(shù)在C組，第20、21位的成績分別是16，16，則中位數(shù)是；故答案為：16；（2）解：(人)，這200名學(xué)生八年級下學(xué)期期末地理成績達(dá)到優(yōu)秀的約有35人，故答案為：35；（3）解：因?yàn)槌槿〉陌四昙墝W(xué)生的期末地理成績的平均分（或中位數(shù)）下學(xué)期的比上學(xué)期的高，所以八年級學(xué)生下學(xué)期期末地理成績更好．【點(diǎn)撥】本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖，中位數(shù)，眾數(shù)等知識，熟練掌握知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．24.如圖，一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）用的代數(shù)式表示；（3）當(dāng)?shù)拿娣e為9時，求一次函數(shù)的表達(dá)式．【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）把點(diǎn)代入，從而可得答案；（2）把點(diǎn)代入，從而可得答案；（3）利用三角形的面積先求解，可得的坐標(biāo)，可得，代入再解決的值即可．（1）解：∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∴．（2）∵點(diǎn)在一次函數(shù)的圖象上，∴，即．（3）如圖，連接．∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴一次函數(shù)的表達(dá)式為：．【點(diǎn)撥】本題考查的是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，坐標(biāo)與圖形面積，熟練的利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式是解本題的關(guān)鍵．25.如圖，內(nèi)接于，是的直徑，是上的一點(diǎn)，平分，，垂足為，與相交于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）當(dāng)?shù)陌霃綖椋瑫r，求的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】（1）根據(jù)同弧所對的圓周角相等，得出，根據(jù)得出，角平分線的定義得出，等量代換得出，進(jìn)而得出，即，即可得證；（2）連接，得，則，進(jìn)而證明，得出，解，得出，則，進(jìn)而根據(jù)即可求解．（1）證明：∵，∴．∵，∴．∵平分，∴，∴．∵，∴，∴，即．∵為的半徑，∴是的切線．（2）連接，得，∴．∵，∴，∵，∴，∴．∵是的直徑，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了切線的判定定理，圓周角定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．26.【模型建立】（1）如圖1，和都是等邊三角形，點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)在邊上．①求證：；②用等式寫出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．模型應(yīng)用】（2）如圖2，是直角三角形，，，垂足為，點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)在邊上．用等式寫出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【模型遷移】（3）在（2）的條件下，若，，求的值．【答案】（1）①見解析；②，理由見解析；（2），理由見解析；（3）【解析】（1）①證明：，再證明即可；②由和關(guān)于對稱，可得．證明，從而可得結(jié)論；（2）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，得，證明，．可得，證明，，可得，則，可得，從而可得結(jié)論；（3）由，可得，結(jié)合，求解，，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)．可得，，可得，再利用余弦的定義可得答案．（1）①證明：∵和都是等邊三角形，∴，，