2024屆北京市清華附中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

2024屆北京市清華附中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．下列值等于1的積分是（）A． B． C． D．2．定義方程的實(shí)數(shù)根叫做函數(shù)的“新駐點(diǎn)”，如果函數(shù)的“新駐點(diǎn)”分別為那么的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．3．一個(gè)四面體各棱長(zhǎng)都為，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為（）A． B． C． D．4．為了解某地區(qū)的中小學(xué)生視力情況，擬從該地區(qū)的中小學(xué)生中抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，事先已了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個(gè)學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大，在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是()A．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 B．按性別分層抽樣C．按學(xué)段分層抽樣 D．系統(tǒng)抽樣5．函數(shù)在區(qū)間上的最大值是（）A． B． C． D．6．已知雙曲線，若其過(guò)一、三象限的漸近線的傾斜角，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．7．設(shè)函數(shù)，若不等式恰有兩個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．8．三世紀(jì)中期，魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)割圓術(shù)，為計(jì)算圓周率建立了嚴(yán)密的理論和完善的算法.所謂割圓術(shù)，就是不斷倍增圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)求出圓周率的方法.如圖是劉徽利用正六邊形計(jì)算圓周率時(shí)所畫的示意圖，現(xiàn)向圓中隨機(jī)投擲一個(gè)點(diǎn)，則該點(diǎn)落在正六邊形內(nèi)的概率為（）A． B． C． D．9．函數(shù)的最大值為（）A． B．1 C． D．10．a(chǎn)，b為空間兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形的直角邊所在直線與a，b都垂直，斜邊以為旋轉(zhuǎn)軸選擇，有下列結(jié)論：①當(dāng)直線與a成60°角時(shí)，與b成30°角；②當(dāng)直線與a成60°角時(shí)，與b成60°角；③直線與a所成角的最小值為45°；④直線與a所成角的最大值為60°；其中正確的是_______.（填寫所以正確結(jié)論的編號(hào)）.A．①③ B．①④ C．②③ D．②④11．已知拋物線，過(guò)點(diǎn)的任意一條直線與拋物線交于兩點(diǎn)，拋物線外一點(diǎn)，若∠∠，則的值為()A． B． C． D．12．是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)O是原點(diǎn)，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為那么，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是．14．已知定義在R上的函數(shù)是奇函數(shù)且滿足，則_________.15．計(jì)算：_________16．乒乓球比賽,三局二勝制.任一局甲勝的概率是,甲贏得比賽的概率是,則的最大值為_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列（）的通項(xiàng)公式為（）.（1）分別求的二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和與系數(shù)之和；（2）求的二項(xiàng)展開式中的系數(shù)最大的項(xiàng)；（3）記（），求集合的元素個(gè)數(shù)（寫出具體的表達(dá)式）.18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（，為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.若直線與曲線相切.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）在曲線上任取兩點(diǎn)，，該兩點(diǎn)與原點(diǎn)構(gòu)成，且滿足，求面積的最大值.19．（12分）大型綜藝節(jié)目《最強(qiáng)大腦》中，有一個(gè)游戲叫做盲擰魔方，就是玩家先觀察魔方狀態(tài)并進(jìn)行記憶，記住后蒙住眼睛快速還原魔方．根據(jù)調(diào)查顯示，是否喜歡盲擰魔方與性別有關(guān)．為了驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，某興趣小組隨機(jī)抽取了100名魔方愛(ài)好者進(jìn)行調(diào)查，得到的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：已知在全部100人中隨機(jī)抽取1人抽到喜歡盲擰的概率為．喜歡盲擰不喜歡盲擰總計(jì)男10女20總計(jì)100表（1）并邀請(qǐng)這100人中的喜歡盲擰的人參加盲擰三階魔方比賽，其完成時(shí)間的頻率分布如表所示：完成時(shí)間（分鐘）[0，10）[10，20）[20，30）[30，40]頻率0.20.40.30.1表（2）（Ⅰ）將表（1）補(bǔ)充完整，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為是否喜歡盲擰與性別有關(guān)？（Ⅱ）現(xiàn)從表（2）中完成時(shí)間在[30，40]內(nèi)的人中任意抽取2人對(duì)他們的盲擰情況進(jìn)行視頻記錄，記完成時(shí)間在[30，40]內(nèi)的甲、乙、丙3人中恰有一人被抽到為事件A，求事件A發(fā)生的概率．（參考公式：，其中）P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.82820．（12分）在中,角所對(duì)的邊分別為且.（1）求角的值；（2）若為銳角三角形,且,求的取值范圍.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線，極坐標(biāo)方程分別為，．（Ⅰ）和交點(diǎn)的極坐標(biāo)；（Ⅱ）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），與軸的交點(diǎn)為，且與交于，兩點(diǎn)，求.22．（10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程:在直角坐標(biāo)系中，曲線（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）已知點(diǎn)，直線的極坐標(biāo)方程為，它與曲線的交點(diǎn)為，，與曲線的交點(diǎn)為，求的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

分別求出被積函數(shù)的原函數(shù)，然后根據(jù)定積分的定義分別計(jì)算看其值是否為1即可．【題目詳解】解：選項(xiàng)A，xdxx2，不滿足題意；選項(xiàng)B，（x+1）dx＝（x2+x）1，不滿足題意；選項(xiàng)C，1dx＝x1﹣0＝1，滿足題意；選項(xiàng)D，dxx0，不滿足題意；故選C．考點(diǎn)：定積分及運(yùn)算．2、D【解題分析】

由已知得到：，對(duì)于函數(shù)h（x）=lnx，由于h′（x）=

令，可知r（1）＜0，r（2）＞0，故1＜β＜2

，且，選D.3、A【解題分析】試題分析：正四面體擴(kuò)展為正方體，二者有相同的外接球，通過(guò)正方體的對(duì)角線的長(zhǎng)度就是外接球的直徑，求出球的表面積．由于正四面體擴(kuò)展為正方體，二者有相同的外接球，所以正方體的棱長(zhǎng)為：1，所以正方體的對(duì)角線的長(zhǎng)度就是外接球的直徑，所以球的半徑為，所以球的表面積為：，故選A.考點(diǎn)：球內(nèi)接多面體4、C【解題分析】試題分析：符合分層抽樣法的定義，故選C.考點(diǎn)：分層抽樣．5、B【解題分析】

函數(shù)，，令，解得x．利用三角函數(shù)的單調(diào)性及其導(dǎo)數(shù)即可得出函數(shù)的單調(diào)性．【題目詳解】函數(shù)，，令，解得．∴函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減．∴時(shí)函數(shù)取得極大值即最大值．．故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．求三角函數(shù)的最值問(wèn)題，一般是通過(guò)兩角和差的正余弦公式將函數(shù)表達(dá)式化為一次一角一函數(shù)，或者化為熟悉的二次函數(shù)形式的復(fù)合函數(shù)來(lái)解決.6、B【解題分析】分析：利用過(guò)一、三象限的漸近線的傾斜角θ∈[，]，可得1≤≤，即可求出雙曲線的離心率e的取值范圍.詳解：雙曲線=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為y=x，由過(guò)一、三象限的漸近線的傾斜角θ∈[，]，∴tan≤≤tan，∴1≤≤，∴1≤≤3，∴2≤1+≤4，即2≤e2≤4，解得≤e≤2，故選：B．點(diǎn)睛：求離心率的常用方法有以下兩種：（1）求得的值，直接代入公式求解；（2）列出關(guān)于的齊次方程(或不等式)，然后根據(jù)，消去后轉(zhuǎn)化成關(guān)于的方程(或不等式)求解．7、D【解題分析】

求出函數(shù)的定義域、化簡(jiǎn)不等式，構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的圖象，從而可得的范圍，得到答案．【題目詳解】由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，不等式，即，即，兩邊除以，可得，又由直線恒過(guò)定點(diǎn)，若不等式恰有兩個(gè)整數(shù)解，即函數(shù)圖象有2個(gè)橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)落在直線的上方，由圖象可知，這2個(gè)點(diǎn)為，可得，即，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)的綜合應(yīng)用，其中解答中把不等式的解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象的關(guān)系，合理得出不等式組是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于中檔試題．8、A【解題分析】設(shè)圓的半徑為，則圓的面積，正六邊形的面積，所以向圓中隨機(jī)投擲一個(gè)點(diǎn)，該點(diǎn)落在正六邊形內(nèi)的概率，故選A.9、A【解題分析】

由題意求得導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)單調(diào)性，即可求解函數(shù)的最大值，得到答案.【題目詳解】由題意，可得，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)的最大值為，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值問(wèn)題，其中解答中求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得出函數(shù)的單調(diào)性是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解題分析】

由題意知，、、三條直線兩兩相互垂直，構(gòu)建如圖所示的邊長(zhǎng)為1的正方體，，，斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸，則點(diǎn)保持不變，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，以坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出結(jié)果．【題目詳解】解：由題意知，、、三條直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖，不妨設(shè)圖中所示正方體邊長(zhǎng)為1，故，，斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸，則點(diǎn)保持不變，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，以坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，直線的方向單位向量，1，，，直線的方向單位向量，0，，，設(shè)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的坐標(biāo)中的坐標(biāo)，，，其中為與的夾角，，，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的向量，，，，，設(shè)與所成夾角為，，則，，，，③正確，④錯(cuò)誤．設(shè)與所成夾角為，，，當(dāng)與夾角為時(shí)，即，，，，，，，此時(shí)與的夾角為，②正確，①錯(cuò)誤．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．11、D【解題分析】

設(shè)出點(diǎn)和直線，聯(lián)立方程得到關(guān)于的韋達(dá)定理，將轉(zhuǎn)化為斜率相反，將根與系數(shù)關(guān)系代入得到答案.【題目詳解】設(shè)，設(shè)直線AB：又恒成立即答案為D【題目點(diǎn)撥】本題考查了直線和拋物線的位置關(guān)系,定點(diǎn)問(wèn)題,設(shè)直線方程時(shí)消去可以簡(jiǎn)化運(yùn)算,將角度關(guān)系轉(zhuǎn)化為斜率關(guān)系是解題的關(guān)鍵,計(jì)算量較大,屬于難題.12、B【解題分析】

利用象限角的定義直接求解，即可得到答案．【題目詳解】由題意，，所以表示第二象限角，故選B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了角所在象限的判斷，考查象限角的定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了推理能力與計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】解：因?yàn)?（2+3,-3-2）=（5,-5），所以向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是5-5i14、0【解題分析】

根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可知，由可求得周期和，利用周期化簡(jiǎn)所求式子可求得結(jié)果.【題目詳解】為定義在上的奇函數(shù)，.由得：，是周期為的周期函數(shù)，令得：..故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和周期性求解函數(shù)值的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)抽象函數(shù)關(guān)系式推導(dǎo)得到函數(shù)的周期.15、【解題分析】

直接利用定積分公式計(jì)算即可?！绢}目詳解】【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了定積分計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。16、【解題分析】分析：采用三局兩勝制，則甲在下列兩種情況下獲勝：甲凈勝二局，前二局甲一勝一負(fù)，第三局甲勝，由此能求出甲勝概率；進(jìn)而求得的最大值.詳解：采用三局兩勝制，

則甲在下列兩種情況下獲勝：（甲凈勝二局），（前二局甲一勝一負(fù)，第三局甲勝）．因?yàn)榕c互斥，所以甲勝概率為則設(shè)即答案為.，注意到，則函數(shù)在和單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在處取得極大值，也是最大值，最大值為即答案為.點(diǎn)睛：本題考查概率的求法和應(yīng)用以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的方法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想的合理運(yùn)用．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），0；（2），；（3）.【解題分析】

（1）根據(jù)二項(xiàng)展開式直接得二項(xiàng)式系數(shù)之和為，利用賦值法求二項(xiàng)展開式中的系數(shù)之和；（2）根據(jù)二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式得系數(shù)，再列方程組解得系數(shù)最大的項(xiàng)；（3）先根據(jù)二項(xiàng)式定理將展開成整數(shù)與小數(shù)，再根據(jù)奇偶性分類討論元素個(gè)數(shù)，最后根據(jù)符號(hào)數(shù)列合并通項(xiàng).【題目詳解】（1）二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，令得二項(xiàng)展開式中的系數(shù)之和為；（2）設(shè)二項(xiàng)展開式中的系數(shù)最大的項(xiàng)數(shù)為則因此二項(xiàng)展開式中的系數(shù)最大的項(xiàng)為，（3）所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，集合的元素個(gè)數(shù)為當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，集合的元素個(gè)數(shù)為綜上，元素個(gè)數(shù)為【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式系數(shù)之和、二項(xiàng)式展開式各項(xiàng)系數(shù)之和、二項(xiàng)式展開式中系數(shù)最大項(xiàng)以及利用二項(xiàng)式展開式計(jì)數(shù)，考查綜合分析求解與應(yīng)用能力，屬較難題.18、（1）；（2）【解題分析】

（1）由直線與圓相切，可得圓心到直線的距離等于半徑，列方程求解,進(jìn)而由直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)即可；（2）設(shè)，（，，），由，展開利用三角函數(shù)求最值即可.【題目詳解】（1）由題意可知，直線的直角坐標(biāo)方程為.曲線是圓心為，半徑為的圓，由直線與曲線相切可得.可知曲線的直角坐標(biāo)方程為.所以曲線的極坐標(biāo)方程為，即.（2）由（1）不妨設(shè)，（，，）..當(dāng)時(shí)，面積的最大值為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化，考查了極坐標(biāo)系下三角形的面積公式，考查了三角函數(shù)的最值問(wèn)題，屬于中檔題.19、（I）表（1）見(jiàn)解析，在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為喜歡盲擰與性別有關(guān)；（II）【解題分析】

（I）根據(jù)題意計(jì)算出在全部的100人中喜歡盲擰的人數(shù)，可將表（1）補(bǔ)充完整，利用公式求得,與臨界值比較，即可得到結(jié)論；（II）首先計(jì)算出成功完成時(shí)間在內(nèi)的人數(shù)，再利用列舉法和古典概型的概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求概率?！绢}目詳解】（I）在全部的100人中喜歡盲擰的人數(shù)為人，根據(jù)題意列聯(lián)表如下：喜歡盲擰不喜歡盲擰總計(jì)男401050女203050總計(jì)6040100由表中數(shù)據(jù)計(jì)算所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為喜歡盲擰與性別有關(guān)；（Ⅱ）成功完成時(shí)間在[30，40]內(nèi)的人數(shù)為設(shè)為甲、乙、丙，A,B,C,依題意：從該6人中選出2人，所有可能的情況有：甲乙，甲丙，甲A，甲B,甲C，乙丙，乙A，乙B，乙C，丙A，丙B，丙C，AB,AC,BC.共15種，其中甲、乙、丙3人中恰有一人被抽到有：甲A，甲B,甲C，乙A，乙B，乙C，丙A，丙B，丙C，共9種，故事件A發(fā)生的概率為【題目點(diǎn)撥】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)以及古典概型的概率計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題。20、（1）；（2）.【解題分析】試題分析：(1)在三角形中處理邊角關(guān)系時(shí)，一般全部轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，或全部轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系.題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用余弦定理，應(yīng)用正弦、余弦定理時(shí)，注意公式變形的應(yīng)用，解決三角形問(wèn)題時(shí)，注意角的限制范圍;(2)在三角形中，注意隱含條件，（3）注意銳角三角形的各角都是銳角.（4）