炮車(chē)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題含解析

炮車(chē)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某個(gè)命題與正整數(shù)有關(guān)，如果當(dāng)時(shí)命題成立，那么可推得當(dāng)時(shí)命題也成立.現(xiàn)已知當(dāng)時(shí)該命題不成立，那么可推得（）A．當(dāng)時(shí)該命題不成立 B．當(dāng)時(shí)該命題成立C．當(dāng)時(shí)該命題不成立 D．當(dāng)時(shí)該命題成立2．已知關(guān)于的方程，，若對(duì)任意的，該方程總存在唯一的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．3．若函數(shù)，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則k的取值范圍是()A．（0，1） B． C． D．4．復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)是（）A． B． C． D．5．曲線與軸所圍成的封閉圖形的面積為（）A．2 B． C． D．46．若直線是曲線的切線，則（）A． B．1 C．2 D．7．某創(chuàng)業(yè)公司共有36名職工，為了了解該公司職工的年齡構(gòu)成情況，隨機(jī)采訪了9位代表，將數(shù)據(jù)制成莖葉圖如圖，若用樣本估計(jì)總體，年齡在內(nèi)的人數(shù)占公司總?cè)藬?shù)的百分比是（精確到）（）A． B． C． D．8．已知二項(xiàng)式的展開(kāi)式的第二項(xiàng)的系數(shù)為，則（）A． B． C．或 D．或9．一次數(shù)學(xué)考試后，甲說(shuō)：我是第一名，乙說(shuō)：我是第一名，丙說(shuō):乙是第一名。丁說(shuō)：我不是第一名，若這四人中只有一個(gè)人說(shuō)的是真話且獲得第一名的只有一人，則第一名的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁10．設(shè)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且，若，則A． B． C． D．11．隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則的最小值為（）A． B． C． D．12．動(dòng)點(diǎn)在圓上移動(dòng)時(shí)，它與定點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知隨機(jī)變量的分布列如下，那么方差_____.01214．在中，已知，則的值為_(kāi)_______.15．的展開(kāi)式的第3項(xiàng)為_(kāi)_____.16．復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)為，則_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知二次函數(shù)（均為實(shí)數(shù)），滿足，對(duì)于任意實(shí)數(shù)都有，并且當(dāng)時(shí)，有.（1）求的值；并證明：；（2）當(dāng)且取得最小值時(shí)，函數(shù)（為實(shí)數(shù)）單調(diào)遞增，求證：.18．（12分）（1）已知復(fù)數(shù)滿足，的虛部為，求復(fù)數(shù)；（2）求曲線、直線及兩坐標(biāo)軸圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積.19．（12分）已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）求曲線在點(diǎn)處的切線方程．20．（12分）已知橢圓的右頂點(diǎn)為，定點(diǎn)，直線與橢圓交于另一點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）試問(wèn)是否存在過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，使得成立？若存在，請(qǐng)求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.21．（12分）如圖，等高的正三棱錐P-ABC與圓錐SO的底面都在平面M上，且圓O過(guò)點(diǎn)A，又圓O的直徑AD⊥BC，垂足為E，設(shè)圓錐SO的底面半徑為1，圓錐體積為．(1)求圓錐的側(cè)面積；(2)求異面直線AB與SD所成角的大??；(3)若平行于平面M的一個(gè)平面N截得三棱錐與圓錐的截面面積之比為，求三棱錐的側(cè)棱PA與底面ABC所成角的大小．22．（10分）已知函數(shù)，．（1）若，求的取值范圍；（2）若的圖像與相切，求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】分析：利用互為逆否的兩個(gè)命題同真同假的原來(lái)，當(dāng)對(duì)不成立時(shí)，則對(duì)也不成立，即可得到答案．詳解：由題意可知，原命題成立的逆否命題成立，命題對(duì)不成立時(shí)，則對(duì)也不成立，否則當(dāng)時(shí)命題成立，由已知必推得也成立，與當(dāng)時(shí)命題不成立矛盾，故選A．點(diǎn)睛：本題主要考查了數(shù)學(xué)歸納法以及歸納法的性質(zhì)，互為逆否的兩個(gè)命題同真同假的性質(zhì)應(yīng)用，其中正確四種命題的關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題．2、B【解題分析】由成立，得，設(shè)，，則則時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；且，使得對(duì)于任意，對(duì)任意的，方程存在唯一的解，則，即，即，所以，所以實(shí)數(shù)得取值范圍是，故選B．點(diǎn)睛：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用問(wèn)題，其中解得中涉及到利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值和函數(shù)與方程等知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，試題有一定的難度，屬于難題，解答中把方程存在唯一的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題是解答的關(guān)鍵．3、A【解題分析】

畫(huà)出的圖像，有3個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于有3個(gè)交點(diǎn)?！绢}目詳解】有3個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于有3個(gè)交點(diǎn)記則過(guò)原點(diǎn)作的切線，有3個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于有3個(gè)交點(diǎn)記則過(guò)原點(diǎn)作的切線，設(shè)切點(diǎn)為則切線方程為：，又切線過(guò)原點(diǎn)，即，將，，代入解得，所以切線斜率所以【題目點(diǎn)撥】本題考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，考查了函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題，屬于中檔題。4、B【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算，化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)概念得結(jié)果【題目詳解】，故的共軛復(fù)數(shù).故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)概念，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.5、D【解題分析】

曲線與軸所圍成圖形的面積，根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱性，就是求正弦函數(shù)在上的定積分的兩倍．【題目詳解】解：曲線與軸所圍成圖形的面積為：．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查了定積分，考查了微積分基本定理，求解定積分問(wèn)題，關(guān)鍵是找出被積函數(shù)的原函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．6、C【解題分析】

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，求導(dǎo)數(shù)，寫(xiě)出切線斜率，由切線過(guò)點(diǎn)，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，得切線斜率．【題目詳解】直線過(guò)定點(diǎn)，設(shè)，切點(diǎn)為，，，∴切線方程為，又切點(diǎn)過(guò)點(diǎn)，∴，解得．∴．故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，在未知切點(diǎn)時(shí)，一般先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，由導(dǎo)數(shù)得出切線方程，再結(jié)合已知條件求出切點(diǎn)坐標(biāo)，得切線方程．7、A【解題分析】

求出樣本平均值與方差，可得年齡在內(nèi)的人數(shù)有5人，利用古典概型概率公式可得結(jié)果.【題目詳解】,,年齡在內(nèi)，即內(nèi)的人數(shù)有5人，所以年齡在內(nèi)的人數(shù)占公司總?cè)藬?shù)的百分比是等于，故選A.【題目點(diǎn)撥】樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)公式．樣本方差公式，標(biāo)準(zhǔn)差.8、A【解題分析】分析：根據(jù)第二項(xiàng)系數(shù)，可求出；由定積分基本性質(zhì)，求其原函數(shù)為，進(jìn)而通過(guò)微積分基本定理求得定積分值。詳解：展開(kāi)式的第二項(xiàng)為所以系數(shù)，解得所以所以選A點(diǎn)睛：本題考查了二項(xiàng)式定理和微積分基本定理的綜合應(yīng)用，通過(guò)方程確定參數(shù)的取值，綜合性強(qiáng)，屬于中檔題。9、C【解題分析】

通過(guò)假設(shè)法來(lái)進(jìn)行判斷?！绢}目詳解】假設(shè)甲說(shuō)的是真話，則第一名是甲，那么乙說(shuō)謊，丙也說(shuō)謊，而丁說(shuō)的是真話，而已知只有一個(gè)人說(shuō)的是真話，故甲說(shuō)的不是真話，第一名不是甲；假設(shè)乙說(shuō)的是真話，則第一名是乙，那么甲說(shuō)謊，丙說(shuō)真話，丁也說(shuō)真話，而已知只有一個(gè)人說(shuō)的是真話，故乙說(shuō)謊，第一名也不是乙；假設(shè)丙說(shuō)的是真話，則第一名是乙，所以乙說(shuō)真話，甲說(shuō)謊，丁說(shuō)的是真話，而已知只有一個(gè)人說(shuō)的是真話，故丙在說(shuō)謊，第一名也不是乙；假設(shè)丁說(shuō)的是真話，則第一名不是丁，而已知只有一個(gè)人說(shuō)的是真話，那么甲也說(shuō)謊，說(shuō)明甲也不是第一名，同時(shí)乙也說(shuō)謊，說(shuō)明乙也不是第一名，第一名只有一人，所以只有丙才是第一名，故假設(shè)成立，第一名是丙。本題選C?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查了推理能力。解決此類(lèi)問(wèn)題的基本方法就是假設(shè)法。10、D【解題分析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出和的值即可得到結(jié)論．【題目詳解】是定義在上的偶函數(shù)，，，即，則，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，以及函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解答問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題．11、D【解題分析】

利用正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性得出，再將代數(shù)式與相乘，展開(kāi)后可利用基本不等式求出的最小值．【題目詳解】由于，由正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性可知，，所以，，即，，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查正態(tài)密度概率以及利用基本不等式求最值，解題關(guān)鍵在于利用正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性得出定值，以及對(duì)所求代數(shù)式進(jìn)行配湊，以便利用基本不等式求最值，考查計(jì)算能力，屬于中等題．12、B【解題分析】

設(shè)連線的中點(diǎn)為,再表示出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo),代入圓化簡(jiǎn)即可.【題目詳解】設(shè)連線的中點(diǎn)為,則因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的中點(diǎn)為,故,又在圓上,故,即即故選：B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了軌跡方程的一般方法,屬于基礎(chǔ)題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)求出，然后求出，即可求出.【題目詳解】解：由離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)得：，解得：，所以，所以.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查離散型隨機(jī)變量方差的求法，是基礎(chǔ)題，注意離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)的合理運(yùn)用.14、0【解題分析】

通過(guò)展開(kāi)，然后利用已知可得，于是整理化簡(jiǎn)即可得到答案.【題目詳解】由于，因此，所以，即，所以,則，故答案為0.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的運(yùn)用，意在考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)，難度中等.15、【解題分析】

利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)式，令可得出答案．【題目詳解】的展開(kāi)式的第項(xiàng)為，故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式指定項(xiàng)，解題時(shí)充分利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)式，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．16、2【解題分析】

根據(jù)直接求解即可.【題目詳解】本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)模的求解，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)答案見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析【解題分析】試題分析：(1)由函數(shù)的解析式可得，結(jié)合均值不等式的結(jié)論可得.(2)由題意討論二次函數(shù)的對(duì)稱軸和單調(diào)性即可證得題中的結(jié)論.試題解析：（1）由題意，即，又，∴，則恒成立∴，∴.（2）由（1）可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)此時(shí)，要使其在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，必有對(duì)稱軸與其關(guān)系為，即為所證.18、（1）或；（2）．【解題分析】分析：（1）設(shè)，由已知條件得，，再結(jié)合的虛部為，即可求出；（2）本題要求的是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積，看清組成圖形的最主要的曲線，和組成圖形的兩個(gè)端點(diǎn)處的數(shù)據(jù)，用定積分寫(xiě)出體積的表示形式，得到結(jié)果.詳解：（1）設(shè)，由已知條件得，，∵的虛部為，∴，∴或，即或.（2）.點(diǎn)睛：本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查了用定積分求幾何體的體積.19、（1）極大值為，極小值為（2）【解題分析】

試題分析：（Ⅰ）由求導(dǎo)公式和法則求出f′（x），求出方程f′（x）=0的根，根據(jù)二次函數(shù)的圖象求出f′（x）＜0、f′（x）＞0的解集，由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系求出f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出f′（0）：切線的斜率，由解析式求出f（0）的值，根據(jù)點(diǎn)斜式求出曲線在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程，再化為一般式方程試題解析：（1），，．①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，．當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：當(dāng)時(shí)，有極大值，并且極大值為當(dāng)時(shí)，有極小值，并且極小值為（2），．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值20、（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，或【解題分析】

（1）由已知可得，再將點(diǎn)代入橢圓方程，求出即可；（2）設(shè)，由已知可得，結(jié)合，可得，從而有，驗(yàn)證斜率不存在時(shí)是否滿足條件，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系，得出關(guān)系式，結(jié)合，即可求解.【題目詳解】（Ⅰ）由橢圓的右頂點(diǎn)為知，.把點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，得.解得.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（Ⅱ），所以.由，得，即，所以.設(shè)，，則，，所以.①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，，這與矛盾.②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為.聯(lián)立方程得.，.由可得，，即.整理得.解得.綜上所述，存在滿足條件的直線，其方程為或.【題目點(diǎn)撥】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系，要熟練應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系設(shè)而不求方法解決相交弦問(wèn)題，考查計(jì)算求解能力，屬于中檔題.21、(1)；(2)；(3)【解題分析】

（1）利用圓錐體積可求得圓錐的高，進(jìn)而得到母線長(zhǎng)，根據(jù)圓錐側(cè)面積公式可求得結(jié)果；（2）作交圓錐底面圓于點(diǎn)，則即為異面直線與所成角，在中，求解出三邊長(zhǎng)，利用余弦定理可求得，從而得到結(jié)果；（3）根據(jù)截面面積之比可得底面積之比，求得，進(jìn)而求得等邊三角形的邊長(zhǎng)，利用正棱錐的特點(diǎn)可知若為的中心，則即為側(cè)棱與底面所成角，在中利用正切值求得結(jié)果.【題目詳解】（1）設(shè)圓錐高為，母線長(zhǎng)為由圓錐體積得：圓錐的側(cè)面積：（2）作交圓錐底面圓于點(diǎn)，連接，則即為異面直線與所成角由題意知：，，又即異面直線與所成角為：（3）平行于平面M的一個(gè)平面N截得三棱錐與圓錐的截面面積之比為又，即為邊長(zhǎng)為的等邊三角形設(shè)為的中心，連接，則三棱錐為正三棱錐平面即為側(cè)棱與底面所成角即側(cè)棱與底面所成角為：【題目點(diǎn)撥】本題考查圓錐側(cè)面積的求解、異面直線所成角的求解、直線與平面所成角的求解.解決立體幾何中的角度問(wèn)題的關(guān)鍵是能夠通過(guò)平移找到異面直線所成角、通過(guò)找到直線在平面內(nèi)的投影，得到線面角.22、（1）；（2）1【解題分析】

（1）由題意可得，設(shè)，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性、極值和最值，即