山東省菏澤市第一中學(xué)老校區(qū)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末檢測(cè)試題含解析

山東省菏澤市第一中學(xué)老校區(qū)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．的展開式中不含項(xiàng)的各項(xiàng)系數(shù)之和為（）A． B． C． D．2．在的展開式中，的系數(shù)是（）A． B． C．5 D．403．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（）A． B． C． D．4．已知向量，若，則實(shí)數(shù)（）A． B． C． D．5．對(duì)于實(shí)數(shù)和，定義運(yùn)算“*”：設(shè)，且關(guān)于的方程為恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根、、，則的取值范圍是（）A.B.C.D.6．對(duì)于函數(shù)，曲線在與坐標(biāo)軸交點(diǎn)處的切線方程為，由于曲線在切線的上方，故有不等式．類比上述推理：對(duì)于函數(shù)，有不等式（）A． B．C． D．7．函數(shù)(,則()A． B． C． D．大小關(guān)系不能確定8．在等差數(shù)列中，，則（）A．45 B．75 C．180 D．3609．若函數(shù)在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．10．閱讀如圖所示的程序框圖，則輸出的S等于()A．38 B．40 C．20 D．3211．下列命題是真命題的為（）A．若,則 B．若,則C．若,則 D．若,則12．已知函數(shù)，給出下列四個(gè)說法：；函數(shù)的周期為；在區(qū)間上單調(diào)遞增；的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱其中正確說法的序號(hào)是A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．命題“”的否定是__________.14．雙曲線的虛軸長(zhǎng)為，其漸近線夾角為__________.15．曲線在處的切線方程為______．16．若二項(xiàng)式（x﹣）n的展開式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)為__．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），，求一個(gè)以為根的實(shí)系數(shù)一元二次方程．18．（12分）某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每年投入固定成本萬元.此外，每生產(chǎn)件這種產(chǎn)品還需要增加投入萬元.經(jīng)測(cè)算，市場(chǎng)對(duì)該產(chǎn)品的年需求量為件，且當(dāng)出售的這種產(chǎn)品的數(shù)量為（單位：百件）時(shí)，銷售所得的收入約為（萬元）.（1）若該公司這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量為（單位：百件），試把該公司生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤(rùn)表示為年產(chǎn)量的函數(shù)；（2）當(dāng)該公司的年產(chǎn)量為多少時(shí)，當(dāng)年所得利潤(rùn)最大？最大為多少？19．（12分）已知二階矩陣A=abcd，矩陣A屬于特征值λ1=-1的一個(gè)特征向量為α120．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，平面，，為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求二面角的余弦值.21．（12分）某服裝超市舉辦了一次有獎(jiǎng)促銷活動(dòng),消費(fèi)每超過600元(含600元),均可抽獎(jiǎng)一次,抽獎(jiǎng)方案有兩種,顧客只能選擇其中的一種.方案一:從裝有10個(gè)形狀、大小完全相同的小球(其中紅球3個(gè),黑球7個(gè))的抽獎(jiǎng)盒中,一次性摸出3個(gè)球,其中獎(jiǎng)規(guī)則為:若摸到3個(gè)紅球,享受免單優(yōu)惠；若摸到2個(gè)紅球,則打6折；若摸到1個(gè)紅球,則打7折；若沒摸到紅球,則不打折.方案二:從裝有10個(gè)形狀、大小完全相同的小球(其中紅球3個(gè),黑球7個(gè))的抽獎(jiǎng)盒中,有放回每次摸取1球,連摸3次,每摸到1次紅球,立減200元.(1)若兩個(gè)顧客均分別消費(fèi)了600元,且均選擇抽獎(jiǎng)方案一,試求兩位顧客均享受6折優(yōu)惠的概率；(2)若某顧客消費(fèi)恰好滿1000元,試從概率的角度比較該顧客選擇哪一種抽獎(jiǎng)方案更合算.22．（10分）設(shè)函數(shù).(Ⅰ)求不等式的解集；(Ⅱ)求證:，并求等號(hào)成立的條件.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

采用賦值法，令得：求出各項(xiàng)系數(shù)之和，減去項(xiàng)系數(shù)即為所求【題目詳解】展開式中，令得展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為而展開式的的通項(xiàng)為則展開式中含項(xiàng)系數(shù)為故的展開式中不含項(xiàng)的各項(xiàng)系數(shù)之和為故選D.【題目點(diǎn)撥】考查對(duì)二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)展開式的性質(zhì)，重點(diǎn)考查實(shí)踐意識(shí)和創(chuàng)新能力，體現(xiàn)正難則反．2、A【解題分析】

由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，可直接得出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)為，令，則的系數(shù)是.故選A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)展開式中指定項(xiàng)的系數(shù)，熟記二項(xiàng)式定理即可，屬于基礎(chǔ)題型.3、A【解題分析】因?yàn)椋詮?fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是-1，選A.4、B【解題分析】

由題得，解方程即得解.【題目詳解】因?yàn)?，所?故選B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查向量垂直的坐標(biāo)表示，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.5、A【解題分析】試題分析：當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，所以，如下圖所示，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)直線與曲線有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，，設(shè)，則且，，且，所以，因此，所以，，故選A.考點(diǎn)：1.新定義；2.分段函數(shù)；3.函數(shù)的圖象與零點(diǎn)6、A【解題分析】

求導(dǎo)，求出函數(shù)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再求出在交點(diǎn)處的切線斜率，代入點(diǎn)斜式方程求出切線，在與函數(shù)圖像的位置比較，即可得出答案．【題目詳解】由題意得，且的圖像與軸的交點(diǎn)為，則在處的切線斜率為，在處的切線方程為，因?yàn)榍芯€在圖像的上方，所以故選A【題目點(diǎn)撥】本題考查由導(dǎo)函數(shù)求切線方程以及函數(shù)圖像的位置，屬于一般題．7、C【解題分析】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得到函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而得到原函數(shù)的單調(diào)性，從而得到結(jié)果.【題目詳解】函數(shù)(,對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得到當(dāng)x>1時(shí)，導(dǎo)函數(shù)大于0，函數(shù)單調(diào)增，當(dāng)x<1時(shí)，導(dǎo)函數(shù)小于0，函數(shù)單調(diào)遞減，因?yàn)?，故得?故答案為C.【題目點(diǎn)撥】這個(gè)題目考查了導(dǎo)函數(shù)對(duì)于研究函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性可以通過常見函數(shù)的性質(zhì)得到，也可以通過定義法證明得到函數(shù)的單調(diào)性，或者通過求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性．8、C【解題分析】

由，利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得結(jié)果.【題目詳解】由，得到，則．故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.解與等差數(shù)列有關(guān)的問題時(shí)，要注意應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)：若，則.9、D【解題分析】

由題意得在上恒成立，利用分離參數(shù)思想即可得出結(jié)果．【題目詳解】∵，∴，又∵函數(shù)在上是增函數(shù)，∴在恒成立，即恒成立，可得，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題．10、B【解題分析】

模擬程序,依次寫出各步的結(jié)果,即可得到所求輸出值．【題目詳解】程序的起始為第一次變?yōu)榈诙巫優(yōu)榈谌巫優(yōu)榈谒拇巫優(yōu)闈M足條件可得故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu),難度較易.11、A【解題分析】試題分析：B若，則，所以錯(cuò)誤；C．若，式子不成立．所以錯(cuò)誤；D．若，此時(shí)式子不成立．所以錯(cuò)誤，故選擇A考點(diǎn)：命題真假12、B【解題分析】

根據(jù)函數(shù)的周期性可排除，同時(shí)可以確定對(duì)．由，可去絕對(duì)值函數(shù)化為，可判斷對(duì)．由取特值，可確定錯(cuò)．【題目詳解】，所以函數(shù)的周期不為，錯(cuò)，，周期為．=，對(duì)．當(dāng)時(shí)，，，所以f(x)在上單調(diào)遞增．對(duì)．，所以錯(cuò)．即對(duì)，填．【題目點(diǎn)撥】本題以絕對(duì)值函數(shù)形式綜合考查三角函數(shù)求函數(shù)值、周期性、單調(diào)性、對(duì)稱性等性質(zhì)，需要從定義角度入手分析，也是解題之根本．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

利用全稱命題的否定可得出答案．【題目詳解】由全稱命題的否定可知，命題“”的否定是“，”，故答案為“，”.【題目點(diǎn)撥】本題考查全稱命題的否定，熟記全稱命題與特稱命題的否定形式是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．14、60°．【解題分析】

計(jì)算出的值，得出漸近線的斜率，得出兩漸近線的傾斜角，從而可得出兩漸近線的夾角.【題目詳解】由題意知，雙曲線的虛軸長(zhǎng)為，得，所以，雙曲線的漸近線方程為，兩條漸近線的傾斜角分別為、，因此，兩漸近線的夾角為，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線漸近線的夾角，解題的關(guān)鍵就是求出漸近線方程，根據(jù)漸近線的傾斜角來求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

求得的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程可得所求切線方程．【題目詳解】的導(dǎo)數(shù)為，可得曲線在處的切線的斜率為，切點(diǎn)為，可得切線方程為，即為．故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程，考查直線方程的運(yùn)用，以及運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．16、1120【解題分析】由題意可得：n=8.∴通項(xiàng)公式，令=2，解得r=4.∴展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：1120.點(diǎn)睛：求二項(xiàng)展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出第r＋1項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出r值即可.(2)已知展開式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫出第r＋1項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出r值，最后求出其參數(shù).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解題分析】

先由求出復(fù)數(shù)，再由求出復(fù)數(shù)，計(jì)算出其復(fù)數(shù)，可得出以復(fù)數(shù)為根的實(shí)系數(shù)方程為，化簡(jiǎn)后可得出結(jié)果.【題目詳解】由，得，，.，，因此，以復(fù)數(shù)為一個(gè)根的實(shí)系數(shù)方程為，即，即.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)形式的乘法與除法運(yùn)算，考查實(shí)系數(shù)方程與虛根之間的關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.18、(1);(2)當(dāng)年產(chǎn)量為件時(shí)，所得利潤(rùn)最大.【解題分析】分析：（1）利用銷售額減去成本即可得到年利潤(rùn)關(guān)于年產(chǎn)量的函數(shù)解析式；（2）分別利用二次函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)的單調(diào)性，求得兩段函數(shù)值的取值范圍，從而可得結(jié)果.詳解：（1）由題意得：；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)對(duì)稱軸為，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，故，所以當(dāng)年產(chǎn)量為件時(shí)，所得利潤(rùn)最大.點(diǎn)睛：本題主要考查閱讀能力及建模能力、分段函數(shù)的解析式，屬于難題.與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合的題型也是高考命題的動(dòng)向，這類問題的特點(diǎn)是通過現(xiàn)實(shí)生活的事例考查書本知識(shí)，解決這類問題的關(guān)鍵是耐心讀題、仔細(xì)理解題，只有吃透題意，才能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解答.理解本題題意的關(guān)鍵是構(gòu)造分段函數(shù)，構(gòu)造分段函數(shù)時(shí)，做到分段合理、不重不漏，分段函數(shù)的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者).19、A=【解題分析】

運(yùn)用矩陣定義列出方程組求解矩陣A【題目詳解】由特征值、特征向量定義可知，Aα即abc同理可得3a+2b=12,3c+2d=8.解得a=2，b=3，c=2，d=1.因此矩陣【題目點(diǎn)撥】本題考查了由矩陣特征值和特征向量求矩陣，只需運(yùn)用定義得出方程組即可求出結(jié)果，較為簡(jiǎn)單20、（1）見解析；（2）.【解題分析】

（1）證明，再證明平面，即可證明；（2）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，再求平面以及平面的法向量，再求兩個(gè)平面法向量夾角的余弦值，結(jié)合圖像即可求得二面角的余弦值.【題目詳解】（1）證明：連接，.因?yàn)樗倪呅问橇庑吻?，為的中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫?，所以，又，所以平面，則.因?yàn)椋?（2）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系（其中為與的交點(diǎn)），如圖所示，則，，，.設(shè)平面的法向量為，則，，即，令，得.設(shè)平面的法向量為，則，，即，令，得.所以，由圖可知二面角為鈍角，故二面角的余弦值為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查空間幾何元素位置關(guān)系的證明，考查二面角的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和空間想象轉(zhuǎn)化分析推理能力.21、（1）（2）該顧客選擇第一種抽獎(jiǎng)方案更合算，詳見解析【解題分析】

（1）選擇方案一，利用積事件的概率公式計(jì)算出兩位顧客均享受到免單的概率值；（2）選擇方案一，計(jì)算出付款金額的分布列和數(shù)學(xué)期望值，選擇方案二，計(jì)算出付款金額數(shù)學(xué)期望值，比較大小可得出結(jié)論.【題目詳解】（1）選擇方案一：若享受到6折優(yōu)惠，則需要摸出2個(gè)紅球，設(shè)顧客享受到6折優(yōu)惠為事件A，則，所以兩位顧客均享受到6折優(yōu)惠的概率為；（2）若選擇方案一，設(shè)付款金額為元，則可能的取值為0,600,700,1000，，，故的分布列為06007001000所以（元）；若選擇方案二，設(shè)摸到紅球的個(gè)數(shù)為，付款金額為元，則，由已知可得，故，，所以（元），因?yàn)?，所以該顧客選擇第一種抽獎(jiǎng)方案更合算.【題目點(diǎn)撥】本題考查獨(dú)立事件的概率乘法公式，考查隨機(jī)變量分布列與數(shù)學(xué)期望，在列隨機(jī)變量的分布列時(shí)，要弄清變量所滿足的分布列類型，結(jié)合相關(guān)概率公式進(jìn)行計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題．22、(Ⅰ)(Ⅱ)見證明【解題分析】

(Ⅰ)利用零點(diǎn)分類法，進(jìn)行分