2024屆吉林省長春市榆樹一中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末考試試題含解析

2024屆吉林省長春市榆樹一中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末考試試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又是在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)為（）A． B． C． D．2．設(shè)復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)（）A． B．C． D．3．三位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列，則女同學(xué)甲站在女同學(xué)乙的前面的概率是（）A． B． C． D．4．已知奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，若，，則的大小關(guān)系正確的是（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，且，則曲線在處的切線方程為（）A． B．C． D．6．某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了位學(xué)生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學(xué)生共有位，閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有位，則閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)為（）A． B． C． D．7．下列四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（）①命題“若，則”；②命題“且為真，則有且只有一個(gè)為真命題”；③命題“所有冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)”；④命題“已知是的充分不必要條件”.A．1 B．2 C．3 D．48．的內(nèi)角的對邊分別為，，，若的面積為，則A． B． C． D．9．設(shè)，，i為虛數(shù)單位，則M與N的關(guān)系是（）.A． B． C． D．10．某中學(xué)高二年級(jí)的一個(gè)研究性學(xué)習(xí)小組擬完成下列兩項(xiàng)調(diào)查：①從某社區(qū)430戶高收入家庭，980戶中等收入家庭，290戶低收入家庭中任意選出170戶調(diào)查社會(huì)購買力的某項(xiàng)指標(biāo)；②從本年級(jí)12名體育特長生中隨機(jī)選出5人調(diào)查其學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)情況；則該研究性學(xué)習(xí)小組宜采用的抽樣方法分別是（）A．①用系統(tǒng)抽樣，②用簡單隨機(jī)抽樣 B．①用系統(tǒng)抽樣，②用分層抽樣C．①用分層抽樣，②用系統(tǒng)抽樣 D．①用分層抽樣，②用簡單隨機(jī)抽樣11．函數(shù)在區(qū)間的圖像大致為（）．A． B．C． D．12．楊輝三角，是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列.在歐洲，這個(gè)表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡（1623-1662）是在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的.我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，這是我國數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就.如圖所示，在“楊輝三角”中，去除所有為1的項(xiàng)，依次構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列前135項(xiàng)的和為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在的展開式中常數(shù)項(xiàng)為30，則實(shí)數(shù)的值是____．14．已知定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)為，對任意，均滿足：.若，則不等式的解集是__________．15．如圖甲是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（簡稱）的會(huì)徽圖案，會(huì)徽的主體圖案是由如圖乙的一連串直角三角形演化而成的，其中，如果把圖乙中的直角三角形繼續(xù)作下去，記的長度構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為_____．16．已知某市社區(qū)35歲至45歲的居民有450人，46歲至55歲的居民有750人，56歲至65歲的居民有900人．為了解該社區(qū)35歲至65歲居民的身體健康狀況，社區(qū)負(fù)責(zé)人采用分層抽樣技術(shù)抽取若干人進(jìn)行體檢調(diào)查，若從46歲至55歲的居民中隨機(jī)抽取了50人，試問這次抽樣調(diào)查抽取的人數(shù)是________人．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某企業(yè)為了檢查甲、乙兩條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機(jī)在這兩條流水線上各抽取件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的質(zhì)量(單位：毫克)，質(zhì)量值落在的產(chǎn)品為合格品，否則為不合格品。如表是甲流水線樣本頻數(shù)分布表，如圖是乙流水線樣本的頻率分布直方圖。產(chǎn)品質(zhì)量/毫克頻數(shù)（1）根據(jù)乙流水線樣本的頻率分布直方圖，求乙流水線樣本質(zhì)量的中位數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）；（2）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為產(chǎn)品包裝是否合格與兩條自動(dòng)包裝流水線的選擇有關(guān)？甲流水線乙流水線總計(jì)合格品不合格品總計(jì)下列臨界值表僅供參考：參考公式：，其中.18．（12分）已知A(1,2),B(a,1),C(2,3),D(-1,b)(a,b∈R)是復(fù)平面上的四個(gè)點(diǎn),且向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1,z2.(1)若z1+z2=1+i,求z1,z2;(2)若|z1+z2|=2,z1-z2為實(shí)數(shù),求a,b的值.19．（12分）已知函數(shù)f(x)=axx2+1+a(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求證:當(dāng)a>0時(shí),對于任意x1,x20．（12分）如圖，橢圓和圓，已知橢圓C的離心率為，直線與圓O相切.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線l與橢圓相交于P，Q不同兩點(diǎn)，點(diǎn)在線段PQ上.設(shè)，試求的取值范圍.21．（12分）已知矩陣，.(1)求；(2)在平面直角坐標(biāo)系中,求直線在對應(yīng)的變換作用下所得直線的方程.22．（10分）已知函數(shù)（，e為自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）若，求的最大值；（2）若在R上單調(diào)遞減，①求a的取值范圍；②當(dāng)時(shí)，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】本題考察函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性由函數(shù)的奇偶性定義易得，，是偶函數(shù)，是奇函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，單調(diào)區(qū)間為時(shí)，變形為，由于2>1,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增時(shí)，變形為，可看成的復(fù)合，易知為增函數(shù)，為減函數(shù)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)故選擇A2、A【解題分析】

利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，求出數(shù)復(fù)數(shù)，即可得到答案.【題目詳解】復(fù)數(shù)滿足，則，所以復(fù)數(shù).故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)的概念，考查運(yùn)算求解能力.3、A【解題分析】

三男兩女的全排列中女同學(xué)甲要么站在女同學(xué)乙的前面要么站在女同學(xué)的后面．【題目詳解】三男兩女的全排列中女同學(xué)甲要么站在女同學(xué)乙的前面要么站在女同學(xué)的后面．即概率都為【題目點(diǎn)撥】本題考查排位概率，屬于基礎(chǔ)題．4、D【解題分析】

令，則，根據(jù)題意得到時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，求得，再由函數(shù)的奇偶性得到，即可作出比較，得到答案．【題目詳解】由題意，令，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，又由函?shù)為奇函數(shù)，所以，所以，所以，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，其中解答中根據(jù)題意，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于難題．5、B【解題分析】

先對已知函數(shù)f(x)求導(dǎo)，由可得a的值，由此確定函數(shù)和其導(dǎo)函數(shù)的解析式，進(jìn)而可得x=0處的切線方程。【題目詳解】，，解得，即，，則，，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.【題目點(diǎn)撥】本題考查求函數(shù)某點(diǎn)處的切線方程，解題關(guān)鍵是先由條件求出函數(shù)f(x)中的未知量a。6、B【解題分析】

根據(jù)題意畫出韋恩圖即可得到答案．【題目詳解】根據(jù)題意閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學(xué)生共有位，閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有位，得到的韋恩圖如圖，所以閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)為人故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用韋恩圖解決實(shí)際問題，屬于簡單題．7、C【解題分析】

①令，研究其單調(diào)性判斷.②根據(jù)“且”構(gòu)成的復(fù)合命題定義判斷.③根據(jù)冪函數(shù)的圖象判斷.④由，判斷充分性，取特殊值判斷必要性.【題目詳解】①令，，所以在上遞增所以，所以，故正確.②若且為真，則都為真命題，故錯(cuò)誤.③因?yàn)樗袃绾瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，故正確.④因?yàn)椋?，故充分性成立，?dāng)時(shí)，推不出，所以不必要，故正確.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查命題的真假判斷，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解題分析】分析：利用面積公式和余弦定理進(jìn)行計(jì)算可得。詳解：由題可知所以由余弦定理所以故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查解三角形，考查了三角形的面積公式和余弦定理。9、D【解題分析】

先根據(jù)性質(zhì)化簡，再判斷選項(xiàng).【題目詳解】,所以故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查性質(zhì)，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.10、D【解題分析】

①總體由差異明顯的幾部分構(gòu)成時(shí)，應(yīng)選用分層抽樣；②總體個(gè)體數(shù)有限、逐個(gè)抽取、不放回、每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性均等，應(yīng)選用簡單隨機(jī)抽樣；∴選D11、A【解題分析】分析：判斷的奇偶性，在上的單調(diào)性，計(jì)算的值，結(jié)合選項(xiàng)即可得出答案.詳解：設(shè)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，排除B；由當(dāng)時(shí)，，排除D；因?yàn)?，所以函?shù)為非奇非偶函數(shù)，排除C，故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查了函數(shù)圖象的識(shí)別，其中解答中涉及到函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性和函數(shù)值的應(yīng)用，試題有一定綜合性，屬于中檔試題，著重考查了分析問題和解答問題的能力.12、A【解題分析】

利用n次二項(xiàng)式系數(shù)對應(yīng)楊輝三角形的第n+1行，然后令x＝1得到對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)和，結(jié)合等比數(shù)列和等差數(shù)列的公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．【題目詳解】n次二項(xiàng)式系數(shù)對應(yīng)楊輝三角形的第n+1行，例如（x+1）2＝x2+2x+1，系數(shù)分別為1，2，1，對應(yīng)楊輝三角形的第3行，令x＝1，就可以求出該行的系數(shù)之和，第1行為20，第2行為21，第3行為22，以此類推即每一行數(shù)字和為首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，則楊輝三角形的前n項(xiàng)和為Sn2n﹣1，若去除所有的為1的項(xiàng)，則剩下的每一行的個(gè)數(shù)為1，2，3，4，……，可以看成一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，則Tn，可得當(dāng)n＝15，在加上第16行的前15項(xiàng)時(shí)，所有項(xiàng)的個(gè)數(shù)和為135，由于最右側(cè)為2，3，4，5，……，為首項(xiàng)是2公差為1的等差數(shù)列，則第16行的第16項(xiàng)為17，則楊輝三角形的前18項(xiàng)的和為S18＝218﹣1，則此數(shù)列前135項(xiàng)的和為S18﹣35﹣17＝218﹣53，故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查歸納推理的應(yīng)用，結(jié)合楊輝三角形的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的關(guān)系以及等比數(shù)列等差數(shù)列的求和公式是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度較大．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2；【解題分析】

利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，當(dāng)?shù)拇蝺鐬闀r(shí)，求得，再由展開式中常數(shù)項(xiàng)為30，得到關(guān)于的方程.【題目詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，解得：.【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式定理中的展開式，考查基本運(yùn)算求解能力，運(yùn)算過程中要特別注意符號(hào)的正負(fù)問題.14、【解題分析】

先根據(jù)已知得出函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性解不等式.【題目詳解】因?yàn)槭巧系呐己瘮?shù)，所以是上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，，即解得，解集為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，注意構(gòu)造的新函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性的判斷.15、【解題分析】

由圖可知，由勾股定理可得,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可.【題目詳解】根據(jù)圖形，因?yàn)槎际侵苯侨切危?是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，，，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查歸納推理的應(yīng)用，等差數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式，以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，意在考查綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解答問題的能力，屬于與中檔題.16、【解題分析】根據(jù)題意可得抽樣比為則這次抽樣調(diào)查抽取的人數(shù)是即答案為140.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）210；（2）詳見解析.【解題分析】

（1）先判斷中位數(shù)在第四組，再根據(jù)比例關(guān)系得到計(jì)算得到答案.（2）完善列聯(lián)表，計(jì)算，與臨界值表作比較得到答案.【題目詳解】解：（1）因?yàn)榍叭M的頻率之和前四組的頻率之和所以中位數(shù)在第四組，設(shè)為由，解得（2）由乙流水線樣本的頻率分布直方圖可知，合格品的個(gè)數(shù)為，所以，列聯(lián)表是：甲流水線乙流水線總計(jì)合格品不合格品總計(jì)所以的觀測值故在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下，不能認(rèn)為產(chǎn)品的包裝是否合格與兩條自動(dòng)包裝流水線的選擇有關(guān)．【題目點(diǎn)撥】本題考查了中位數(shù)的計(jì)算，獨(dú)立性檢驗(yàn)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和解決問題的能力.18、（1）；（2）【解題分析】

（1）向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，，利用，即可得出；（2）為實(shí)數(shù)，可得，即可得出結(jié)論.【題目詳解】(1)∵=(a-1,-1),=(-3,b-3),∴z1=(a-1)-i,z2=-3+(b-3)i,∴z1+z2=(a-4)+(b-4)i=1+i,∴a-4=1,b-4=1,解得a=b=5,∴z1=4-i,z2=-3+2i.(2)∵|z1+z2|=2,z1-z2為實(shí)數(shù),z1+z2=(a-4)+(b-4)i,z1-z2=(a+2)+(2-b)i,∴=2,2-b=0,∴a=4,b=2.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)的模以及復(fù)數(shù)與向量的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.復(fù)數(shù)的模的幾何意義是復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離，所以若，則表示點(diǎn)與點(diǎn)的距離.19、（1）當(dāng)a>0時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-1),(1,+∞)；當(dāng)a<0時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1),(1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,1)；（2）詳見解析.【解題分析】試題分析：（I）首先求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)，對字母a進(jìn)行分類討論，根據(jù)f'(x)>0，可知f(x)函數(shù)單調(diào)遞增，f'(x)<0時(shí)f(x)函數(shù)單調(diào)遞減可得答案．（Ⅱ）要證當(dāng)a＞0時(shí)，對于任意x1，x2∈（0，e]，總有g(shù)(x1)＜f(x試題解析解：（Ⅰ）函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f'當(dāng)a>0時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，f'(x)，x

(-∞,-1)

-1

(-1,1)

1

(1,+∞)

f'-

0

+

0

-

f(x)

↘

↗

↘

當(dāng)a<0時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，f'(x)，x

(-∞,-1)

-1

(-1,1)

1

(1,+∞)

f'+

0

-

0

+

f(x)

↗

↘

↗

綜上所述，當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-1)，(1,+∞)；當(dāng)a<0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1)，(1,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,1).5分（2）由（1）可知，當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，f(x)>f(0)；f(x)在(1,e]上單調(diào)遞減，且f(e)=aee2+1+a>a.所以x∈(0,e]時(shí)，f(x)>a令g'(x)=0，得①當(dāng)0<a<e時(shí)，由g'(x)>0，得0<x<a；由g'所以函數(shù)g(x)在(0,a)上單調(diào)遞增，在(a,e]上單調(diào)遞減.所以g(x)因a-(alna-a)=a(2-lna)>a(2-ln②當(dāng)a≥e時(shí)，g'(x)≥0在所以函數(shù)g(x)在(0,e]上單調(diào)遞增，g(x)所以對于任意x1,x綜上所述，對于任意x1,x考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2.函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．20、（1）；（2）.【解題分析】

（1）根據(jù)橢圓的離心率和直線與圓相切得到，解方程組即可.（2）設(shè)，，，當(dāng)直線與軸重合時(shí)，求出.當(dāng)直線與軸不重合時(shí)，設(shè)直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理化簡，求出的表達(dá)式，再求出的范圍即可.【題目詳解】（1）由題