廣東省惠州市惠東高級中學2024屆數(shù)學高二下期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

廣東省惠州市惠東高級中學2024屆數(shù)學高二下期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，，若，，使得，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．2．冪函數(shù)的圖象過點，那么的值為（）A． B．64 C． D．3．六安一中高三教學樓共五層，甲、乙、丙、丁四人走進該教學樓2~5層的某一層樓上課，則滿足且僅有一人上5樓上課，且甲不在2樓上課的所有可能的情況有（）種A．27 B．81 C．54 D．1084．設、、，，，，則、、三數(shù)（）A．都小于 B．至少有一個不大于C．都大于 D．至少有一個不小于5．用反證法證明命題“若，則方程至少有一個實根”時，應假設（）A．方程沒有實根B．方程至多有一個實根C．方程至多有兩個實根D．方程恰好有兩個實根6．是異面直線的公垂線，在線段上(異于)，則的形狀是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．三角形不定7．已知實數(shù)滿足則的最大值是()A．-2 B．-1 C．1 D．28．拋物線的焦點為，點，為拋物線上一點，且不在直線上，則周長的最小值為A． B． C． D．9．甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎.有人分別采訪了四位歌手，甲說：“乙或丙獲獎”；乙說：“甲、丙都未獲獎”；丙說：“丁獲獎”；丁說：“丙說的不對”.若四位歌手中只有一個人說的是真話，則獲獎的歌手是（）A．甲B．乙C．丙D．丁10．某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)，繪制了如圖所示的折線圖.根據(jù)該折線圖，下列結論錯誤的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)11．若雙曲線（，）的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，則的離心率為（）A．2 B． C． D．12．已知復數(shù)為虛數(shù)單位，是的共軛復數(shù)，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若關于的不等式的解集為，則實數(shù)____________.14．將極坐標方程化為直角坐標方程得________．15．如圖，已知四面體的棱平面，且，其余的棱長均為2，有一束平行光線垂直于平面，若四面體繞所在直線旋轉(zhuǎn).且始終在平面的上方，則它在平面內(nèi)影子面積的最小值為________.16．正四面體的所有棱長都為2，則它的體積為________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)的最小值為.（1）若，求證：；（2）若，，求的最小值.18．（12分）已知函數(shù)f(x)=|2x-1|-|x+2|.（1）求不等式f(x)≥3的解集；（2）若關于x的不等式f(x)≥t2-3t在[19．（12分）已知數(shù)列的前項和滿足,.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，，求數(shù)列的前項和.20．（12分）設，函數(shù).（1）若，極大值；（2）若無零點，求實數(shù)的取值范圍；（3）若有兩個相異零點，，求證：.21．（12分）從6名男生和4名女生中任選4人參加比賽，設被選中女生的人數(shù)為隨機變量，求：(1)的分布列；(2)所選女生不少于2人的概率.22．（10分）已知復數(shù)，且為純虛數(shù)，求.（其中為虛數(shù)單位）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

由題意可轉(zhuǎn)化為，利用導數(shù)分別研究兩個函數(shù)最小值，求解即可.【題目詳解】解：當時，由得，=，當時，在單調(diào)遞減，是函數(shù)的最小值，當時，為增函數(shù)，是函數(shù)的最小值，又因為，都，使得，可得在的最小值不小于在的最小值，即，解得：，故選：．【題目點撥】本題考查指數(shù)函數(shù)和對勾函數(shù)的圖像及性質(zhì)，考查利用導數(shù)研究單調(diào)性問題的應用，屬于基礎題.2、A【解題分析】

設冪函數(shù)的解析式為∵冪函數(shù)的圖象過點.選A3、B【解題分析】

以特殊元素甲為主體，根據(jù)分類計數(shù)原理，計算出所有可能的情況，求得結果.【題目詳解】甲在五樓有33甲不在五樓且不在二樓有C3由分類加法計數(shù)原理知共有54+27=81種不同的情況，故選B.【題目點撥】該題主要考查排列組合的有關知識，需要理解排列組合的概念，根據(jù)題目要求分情況計數(shù)，屬于簡單題目.4、D【解題分析】

利用基本不等式計算出，于此可得出結論.【題目詳解】由基本不等式得，當且僅當時，等號成立，因此，若、、三數(shù)都小于，則與矛盾，即、、三數(shù)至少有一個不小于，故選D.【題目點撥】本題考查了基本不等式的應用，考查反證法的基本概念，解題的關鍵就是利用基本不等式求最值，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.5、A【解題分析】分析：直接利用命題的否定寫出假設即可,至少的反面是一個都沒有。詳解：用反證法證明命題“若，則方程至少有一個實根”時，要做的假設是方程沒有實根．故選：A．點晴：本題主要考察反證法，注意反證法證明問題時，反設實際是命題的否定6、C【解題分析】

用表示出，結合余弦定理可得為鈍角．【題目詳解】如圖，由可得平面，從而，線段長如圖所示，由題意，，，顯然，∴，為鈍角，即為鈍角三角形．故選C．【題目點撥】本題考查異面直線垂直的性質(zhì)，考查三角形形狀的判斷．解題關鍵是用表示出．7、C【解題分析】作出可行域，如圖內(nèi)部（含兩邊），作直線，向上平移直線，增加，當過點時，是最大值．故選C．8、C【解題分析】

求△MAF周長的最小值，即求|MA|+|MF|的最小值，設點M在準線上的射影為D，根據(jù)拋物線的定義，可知|MF|=|MD|，因此，|MA|+|MF|的最小值，即|MA|+|MD|的最小值.根據(jù)平面幾何知識，可得當D，M，A三點共線時|MA|+|MD|最小，因此最小值為xA﹣（﹣1）=5+1=6，∵|AF|==5，∴△MAF周長的最小值為11，故答案為：C．9、A【解題分析】分析：因為四位歌手中只有一個人說的是真話，假設某一個人說的是真話，如果與條件不符，說明假設不成立，如果與條件相符，說明假設成立.詳解：若乙是獲獎的歌手，則甲、乙、丁都說的真話，不符合題意；若丙是獲獎的歌手，則甲、丁都說的真話，不符合題意；若丁是獲獎的歌手，則乙、丙都說的真話，不符合題意；若甲是獲獎的歌手，則甲、乙、丙都說的假話，丁說的真話，符合題意；故選A.點睛：本題考查合情推理，屬基礎題.10、A【解題分析】

觀察折線圖可知月接待游客量每年7，8月份明顯高于12月份，且折線圖呈現(xiàn)增長趨勢，高峰都出現(xiàn)在7、8月份，1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月波動性更小.【題目詳解】對于選項A，由圖易知月接待游客量每年7，8月份明顯高于12月份，故A錯；對于選項B，觀察折線圖的變化趨勢可知年接待游客量逐年增加，故B正確；對于選項C，D，由圖可知顯然正確.故選A.【題目點撥】本題考查折線圖，考查考生的識圖能力，屬于基礎題.11、A【解題分析】由幾何關系可得，雙曲線的漸近線方程為，圓心到漸近線距離為，則點到直線的距離為，即，整理可得，雙曲線的離心率．故選A．點睛:雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關于a，b，c的齊次式，結合b2＝c2－a2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．12、C【解題分析】，選C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由不等式2x2﹣3x+a＜0的解集為（m，1）可知：x＝m，x＝1是方程2x2﹣3x+a＝0的兩根．根據(jù)韋達定理便可分別求出m和a的值．【題目詳解】由題意得：1為的根，所以，從而故答案為【題目點撥】本題考查一元二次不等式的解法，屬于基礎題．14、【解題分析】

在曲線極坐標方程兩邊同時乘以，由可將曲線的極坐標方程化為普通方程.【題目詳解】在曲線極坐標方程兩邊同時乘以，得，化為普通方程得，即，故答案為：.【題目點撥】本題考查曲線極坐標方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化，解題時充分利用極坐標與普通方程之間的互化公式，考查運算求解能力，屬于中等題.15、【解題分析】

在四面體中找出與垂直的面，在旋轉(zhuǎn)的過程中在面內(nèi)的射影始終與垂直求解.【題目詳解】和都是等邊三角形，取中點，易證，，即平面，所以.設在平面內(nèi)的投影為，則在四面體繞著旋轉(zhuǎn)時，恒有.因為平面，所以在平面內(nèi)的投影為.因此，四面體在平面內(nèi)的投影四邊形的面積要使射影面積最小，即需最短；在中，，，且邊上的高為，利用等面積法求得，邊上的高，且，所以旋轉(zhuǎn)時，射影的長的最小值是.所以【題目點撥】本題考查空間立體幾何體的投影問題，屬于難度題.16、.【解題分析】試題分析:過作，則是的中心，連接,則,,在中，,所以.考點：多面體的體積.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）4【解題分析】

試題分析：（1）由絕對值三角不等式得，從而，要證明，只需證明，作差即可得證；（2）由題意，，展開后，利用基本不等式求解即可.試題解析：（1）.要證明，只需證明，∵，∵，∴，∴，∴，可得.（2）由題意，，故，當且僅當，時，等號成立.18、（1）(-∞,-43]∪[6,+∞)【解題分析】試題分析：（1）將f(x)的表達式以分段函數(shù)的形式寫出，將原題轉(zhuǎn)化為求不等式組的問題，最后對各個解集求并集得出原不等式的解集；（2）f(x)≥t2-3t在[0,1]上無解相當于f(x)試題解析：（1）由題意得f(x)={x-3,x≥則原不等式轉(zhuǎn)化為{x≥12x-3≥3或∴原不等式的解集為(-∞,-4（2）由題得f(x)由（1）知，f(x)在[0,1]上的最大值為-1，即解得t>3+52或t<3-519、（1）（2）【解題分析】

根據(jù)公式解出即可．寫出，再分組求和．【題目詳解】（1）當時，；當時，，綜上.（2）由（1）知【題目點撥】本題考查數(shù)列通項的求法及分組求法求前n項和．屬于基礎題．20、（1）；（2）；（3）證明見解析.【解題分析】分析：（1），根據(jù)導數(shù)的符號可知的極大值為；（2），就分類討論即可；（3）根據(jù)可以得到，因此原不等式的證明可化為，可用導數(shù)證明該不等式.詳解:（1）當時，，當時，，當時，，故的極大值為.（2），①若時，則，是區(qū)間上的增函數(shù)，∵，，∴，函數(shù)在區(qū)間有唯一零點；②若，有唯一零點；③若，令，得，在區(qū)間上，，函數(shù)是增函數(shù)；在區(qū)間上，，函數(shù)是減函數(shù)；故在區(qū)間上，的極大值為，由于無零點，須使，解得，故所求實數(shù)的取值范圍是．（3）由已知得，所以，故等價于即．不妨設，令，，則，在上為單調(diào)增函數(shù)，所以即，也就是，故原不等式成立．點睛：導數(shù)背景下的函數(shù)零點個數(shù)問題，應該根據(jù)單調(diào)性和零點存在定理來說明．而要證明零點滿足的不等式，則需要根據(jù)零點滿足的等式構建新的目標等式，從而把要求證的不等式轉(zhuǎn)化為易證的不等式．21、（1）見解析；（2）.【解題分析】試題分析：（1）依題意，ξ的可能取值為0，1，2，3，4，ξ股從超幾何分布，，由此能求出ξ的分布列．

（2）所選女生不少于2